paralelismo - conceitos e propriedades

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Paralelismo
Conceitos e propriedades
Relação entre retas
Retas paralelas: duas retas são paralelas se são coincidentes ou são coplanares (estão
contidas em um mesmo plano) e não têm ponto comum.
Retas paralelas e coincidentes 𝑟 = 𝑠
Retas paralelas e distintas
𝑟, 𝑠  𝛼
𝑟 ∩ 𝑠 = ∅
Reta Transversal
DEF: Uma transversal é uma reta que corta duas outras em pontos distintos.
𝒕
𝑟
𝑠
Reta Transversal
Os pares ෠1 e ෠5, ෠2 e ෠6, ෠3 e ෠7, ෠4 e ෠8 são ângulos correspondentes.
Os pares ෠1 e ෠7, ෠2 e ෠8 são ângulos alternos internos.
Os pares ෠3 e ෠5, ෠4 e ෠6 são ângulos alternos externos.
Os pares ෠1 e ෠8, ෠2 e ෠7 são ângulos colaterais internos.
Os pares ෠4 e ෠5, ෠3 e ෠6 são ângulos colaterais externos.
Critério do Paralelismo
TEO: Sejam duas retas 𝑟 e 𝑠 interceptadas por uma transversal. Se dois ângulos
correspondentes são congruentes, então 𝑟 e 𝑠 são paralelas.
Critério de Paralelismo
Demo:
Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas não paralelas, que se interceptam num 
ponto 𝑃. 
Seja 𝑡 uma reta transversal. 
Os ângulos ෠3 𝑒 ෠7 são correspondentes.
Pelo Teorema do Ângulo Externo, ෠3 > ෠7, isto é ෠3 ≠ ෠7.
Logo, se ෠3 = ෠7, então 𝑟 ∥ 𝑠 .
Corolários
1. Se 𝑟 e 𝑠 são retas cortadas por uma transversal, 𝑡, de modo que um par de ângulos 
alternos externos são congruentes, então as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas.
2. Se 𝑟 e 𝑠 são retas cortadas por uma transversal, 𝑡, de modo que um par de ângulos 
alternos internos são congruentes, então as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas.
3. Se 𝑟 e 𝑠 são retas cortadas por uma transversal 𝑡, de modo que um par de ângulos 
colaterais internos (colaterais externos) são suplementares, então as retas 𝑟 e 𝑠 são 
paralelas.
Postulado de Euclides
Postulado das Paralelas ou Postulado de Euclides
𝑃 ∉ 𝑟 𝑃 ∈ 𝑠 𝑒 𝑠 ∥ 𝑟
Dado um ponto P não pertencente a uma reta r, por P podemos 
traçar uma única reta s paralela a r.
Recíproca do Teorema
TEO: Sejam duas retas 𝑟 e 𝑠 interceptadas por uma transversal. Se 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então
os ângulos correspondentes são congruentes.
Obs: Também é válido para ângulos alternos (internos e externos).
Recíproca do Teorema
Demo:
Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas paralelas, e 𝑡 uma transversal que as
intercepta nos pontos 𝐴 𝑒 𝐵, respectivamente.
Considere 𝑟′ uma reta passando por 𝐴 e que forma com 𝑡 quatro
ângulos congruentes aos ângulos correspondentes formados por 𝑠
e 𝑡.
Pelo teorema, 𝑟′ e 𝑠 são paralelas.
Pelo Postulado de Euclides, 𝑟 e 𝑟′ devem ser coincidentes.
Logo, 𝑟 forma ângulos com a reta 𝑡 congruentes aos
correspondentes formados por 𝑠 e 𝑡.
Condição Necessária e Suficiente
Uma condição necessária e suficiente para duas retas distintas serem paralelas é
formarem com uma transversal ângulos correspondentes (ou alternos) congruentes.
𝑎
𝑏
𝑡
𝛼
𝛽
𝛼 ≡ 𝛽 ↔ 𝑎 ∥ 𝑏
Exemplo 01:
Em cada uma das imagens, 𝑟 ∥ 𝑠 . Calcule 𝑥.
r
s
t
r
s
t
r
s
t
120°
150°
𝑥
2𝑥 + 30°
𝑥 − 30°
2𝑥
Solução do Exemplo 01:
A. Se 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então têm ângulos alternos internos congruentes. Então, o
ângulo suplementar adjacente de 𝑥 é igual a 120°.
120 + 𝑥 = 180 → 𝒙 = 𝟔𝟎°
B. Se 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então têm ângulos alternos externos congruentes.
150 = 2𝑥 + 30 → 𝒙 = 𝟔𝟎°
C. Se 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então têm ângulos correspondentes congruentes. Então, o
ângulo suplementar adjacente de 2𝑥 é igual a 𝑥 − 30°.
𝑥 − 30 + 2𝑥 = 180 → 𝒙 = 𝟕𝟎°
Exemplo 02:
Na figura, 𝑟 ∥ 𝑠. Calcule 𝑥 e 𝑦.
r
s
2𝑥𝑦
3𝑥 − 10°
90°
Solução do Exemplo 02
O ângulo raso tem medida 180°. Logo
𝑦 + 90 + 2𝑥 = 180
2𝑥 + 𝑦 = 90 (A)
Se r e s são paralelas, então os ângulos alternos internos são congruentes. Logo
3𝑥 − 10 = 𝑦
3𝑥 − 𝑦 = 10 (B)
Resolvendo o sistema de equações (A) e (B), temos
𝒙 = 𝟐𝟎° e 𝒚 = 𝟓𝟎°
Paralelismo
Teorema de Tales e Teorema do Ângulo Externo
Teorema Angular de Tales
TEO: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
Teorema Angular de Tales
Demo: Seja 𝑟 uma reta paralela ao lado 𝐴𝐵 passando pelo vértice 𝐶. 
Pelo critério de paralelismo, 
෠𝐵 ≡ 𝐷 መ𝐶𝐸 (ângulos correspondentes)
መ𝐴 ≡ 𝐷 መ𝐶𝐴 (ângulos alternos internos)
O ângulo 𝐸 መ𝐶𝐵 é um ângulo raso. Logo
𝐷 መ𝐶𝐸 + 𝐷 መ𝐶𝐴 + 𝐴 መ𝐶𝐵 = 180°
Assim
 + ෠𝐵 + መ𝐶 = 180° (c.q.d)
Exemplo 03:
Calcule 𝑥.
Solução do Exemplo 03:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 
Logo,
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 180°
6𝑥 = 180°
𝒙 = 𝟑𝟎°
Corolário
COR: Em todo triangulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das
medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Corolário
Demo: Seja 𝑝 uma reta paralela ao lado 𝐴𝐵 passando pelo vértice 𝐶. 
Assim
መ𝐴 ≡ 𝛼 (ângulos alternos internos)
Logo
Ƹ𝑒𝐵 ≡ 𝛼 + 𝛽 (ângulos alternos internos)
መ𝐴
Ƹ𝑒𝐵
Observação:
Num triângulo equilátero, cada ângulo mede 60°.
Demo: O triângulo equilátero é também isósceles, pois possui três
lados congruentes (𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝐶).
Pelo teorema do triângulo isósceles
𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 ↔ ෠𝐵 ≡ መ𝐶
𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝐶 ↔ መ𝐴 ≡ ෠𝐵
Logo, os três ângulos internos do triângulo equilátero também
são congruentes. Como a soma de suas medidas deve ser 180°,
então መ𝐴 ≡ ෠𝐵 ≡ መ𝐶 = 60°.
Exemplo 04:
Na figura, 𝐸𝐷 é paralelo a 𝐵𝐶 . Sendo 𝐵 መ𝐴𝐸 igual a 80° e 𝐴 ෠𝐵𝐶 igual a 35° , calcule
𝐴 ෠𝐸𝐷 .
𝐵
𝐴
𝐸 𝐷
𝐶
Solução do Exemplo 04:
Prolongando o segmento 𝐸𝐷, temos que
𝛼 = 35° (ângulos correspondentes).
O ângulo 𝑥 é o ângulo externo do triângulo
∆𝐴𝑃𝐸, logo
𝑥 = 𝛼 + 80° = 35 + 80
𝒙 = 𝟏𝟏𝟓°
𝐵
𝐴
𝐸 𝐷
𝐶
𝑥80°
35°
𝛼
Exemplo 05:
Considere 𝑟 ∥ 𝑠 na figura abaixo. Dado que 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐵, calcule 𝑥.
Solução do Exemplo 05:
Como r e s são paralelas, no triângulo ∆𝐴𝐵𝐶, temos os seus ângulos internos
መ𝐴 = 50° (alternos internos congruentes)
෠𝐵 = 𝑥 (alternos internos congruentes)
መ𝐶 ≡ መ𝐴 (teorema do triângulo isósceles)
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, 
então.
50° + 𝑥 + 50° = 180°
𝒙 = 𝟖𝟎°
Exemplo 06:
Determine a medida do ângulo 𝑥 sabendo que as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas.
Solução do Exemplo 06:
Como 𝑟 e 𝑠 são paralelas,
𝛼 = 27° (ângulos alternos internos congruentes.
Pelo teorema do ângulo externo,
Ƹ𝑒 = 𝑥 + 80°.
A soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é 180°. Então:
𝛼 + Ƹ𝑒 + 35° = 180°
27 + 𝑥 + 80 + 35 = 180
𝒙 = 𝟑𝟖°
Ƹ𝑒
𝛼
Exercícios
Exercícios
1. Seja 𝑟 ∥ 𝑠, calcule 𝛼 e 𝛽.
Exercícios
2. Seja 𝑟 ∥ 𝑠, calcule 𝑥 e 𝑦.
𝑦
70°
3𝑥
4𝑥
r
s
Exercícios
3. Determine a medida do menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas
aos vértices 𝐵 e 𝐶 de um triângulo ∆𝐴𝐵𝐶, sabendo que መ𝐴 = 76°.
Respostas:
1. 𝛼 = 70° e 𝛽 = 110°
2. 𝑥 = 10° 𝑒 𝑦 = 150°
3. 52°