Anton Rorres - Caps 4 7 e 4 8

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Espaço Linha, Espaço Coluna, Espaço Nulo (4.7): 
· Definição1: para uma matriz A nXn
,
os vetores
 em Rn formados pelas linhas de A são denominados vetores linha de A, e os vetores
em Rn formados pelas colunas de A são denominados vetores coluna de A.
· Definição2: se A for uma matriz mXn, então o subespaço de Rn gerados pelos vetores linha de A é denominado espaço linha de A, e o subespaço de Rm gerado pelos vetores coluna de A é denominado espaço coluna de A. O espaço solução do sistema homogêneo de equações , que é um subespaço de Rn, é denominado espaço nulo de A.
· Teorema: um sistema de equações lineares é consistente se, e só se, b está no espaço coluna de A. Ou seja, o sistema pode ser expresso como a soma dos produtos entre as entradas de x e os vetores coluna de A. Ou seja, tendo como vetores coluna de A e como as entradas da matriz x, temos .
· Teorema: se denotar uma solução qualquer de um sistema linear consistente e se for uma base do espaço nulo de A, então cada solução de pode ser expressa na forma . Reciprocamente, com qualquer escolha dos escalares , o vetor x dessa fórmula é uma solução de . A solução geral de um sistema linear consistente pode ser expressa como a soma de uma solução particular daquele sistema com a solução geral do sistema homogêneo correspondente.
· Teorema: se uma matriz R está em forma escalonada por linhas, então os vetores linha com os pivôs (ou seja, vetores linha não nulos) formam uma base do espaço linha de R, e os vetores coluna com os pivôs vetores linha formam uma base do espaço coluna de R.
· Teorema: sejam A e B matrizes equivalentes por linhas,
· Um conjunto qualquer de vetores coluna A é linearmente independente se, e só se, o conjunto de vetores coluna correspondente de B é linearmente independente.
· Um conjunto qualquer de vetores coluna de A forma uma base do espaço coluna de A se, e só se, o conjunto de vetores coluna correspondente de B forma uma base do espaço coluna de B.
· Problema: dado um conjunto de vetores Rn, encontre um subconjunto desses vetores que forme uma base de ger(S) e expresse os vetores que não estejam na base como combinação lineares dos vetores da base.
· Formamos a matriz A com vetores em como vetores coluna.
· Reduzimos a matriz A a uma forma escalonada reduzida por linhas R.
· Dentamos os vetores coluna de R por .
· Identificamos as colunas de R com pivôs. Os vetores coluna de A correspondentes formam uma base de ger(S).
· Obtemos um conjunto de equações de dependência expressando cada vetor coluna de R que não tem pivô como uma combinação linear de vetores coluna precedentes que tenham pivôs.
· Substituímos os vetores coluna de R que apareceram nas equações de dependência pelos vetores coluna de A correspondentes. 
Posto, nulidade e os espaços matriciais fundamentais (4.8):
· Teorema: os espaços linha e coluna de uma matriz têm a mesma dimensão.
· Definição1: a dimensão comum do espaço linha e do espaço coluna de uma matriz A é denominada posto de A e denotada por pos(A). A dimensão do espaço nulo de A é denominada nulidade de A e denotada por nul(A). 
· Teorema – Dimensão para matrizes: se A for uma matriz com n colunas, então 
.
· Teorema: se A for uma matriz mXn, então
· 
· 
· Definição1: se um sistema linear contém mais restrições do que incógnitas, ele é um sistema sobredeterminado. Se um sistema linear contém mais incógnitas do que restrições, ele é um sistema subdeterminado. 
· Teorema: se for um sistema linear consistente de m equações em n incógnitas e se A tiver posto r, então a solução geral do sistema contém parâmetros.
· Teorema: seja A uma matriz nXn:
· Caso Sobredeterminado: Se , então o sistema é inconsistente com pelo menos um vetor b em Rn
· Caso Subdeterminado: Se , então, dado qualquer vetor b em Rn, o sistema é inconsistente ou tem uma infinidade de soluções. 
· Teorema: se A for uma matriz qualquer, entçao . Isso tem várias implicações:
· .
· Se , então
1. 
2. .
3. 
4. 
5. .
Essas quatro formulas estabelecem uma relação algébrica entre os tamanhos da matriz e as dimensões de seus espaços fundamentais.
· Definição2: se W for um subespaço de Rn, então o conjunto de todos os vetores de Rn ortogonais a cada vetor W é denominado complemento ortogonal de W e denotado por W⊥.
· Teorema: seja W um subespaço de Rn,
· W⊥ é um subespaço de Rn.
· O único vetor comum entre W e W⊥ é 0.
· O complemento ortogonal de W⊥ é W.
· Teorema: seja A uma matriz mXn,
· O espaço nulo de A e o espaço linha de A são complementos ortogonais em Rn.
· O espaço nulo de At e o espaço linha de A são complementos ortogonais em Rn.
· Teorema – Afirmações Equivalentes: se A for uma matriz nXn, então as seguintes afirmações são equivalentes:
· A é invertível.
· tem somente a solução trivial.
· A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
· A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
· é consistente com cada matriz b de tamanho nX1.
· tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho nX1.
· .
· Os vetores coluna de A são linearmente independentes.
· Os vetores linha de A são linearmente independentes.
· Os vetores coluna de A geram Rn.
· Os vetores linha de A geram Rn.
· Os vetores coluna de A formam uma base de Rn.
· Os vetores linha de A formam uma base de Rn.
· A tem posto n.
· A tem nulidade 0.
· O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rn.
· O complemento ortogonal do espaço linha de A é .