Aula 09 - Momento de Inércia - Parte 01

Prévia do material em texto

1
Aula 08: Momento de Inércia
Mecânica Geral
2
Momento de inércia de massa
O momento de inércia de massa de um corpo é uma medida de sua resistência à aceleração angular. Como ele é usado na dinâmica para estudar o movimento de rotação, os métodos para seu cálculo serão discutidos a seguir.
Considere o corpo rígido mostrado na Figura. Definimos o momento de inércia da massa do corpo em relação ao eixo z como:
Aqui, r é a distância perpendicular do eixo até o elemento arbitrário dm. Como a formulação envolve r, o valor de I é exclusivo para cada eixo em relação ao qual ele é calculado.
O eixo que geralmente é escolhido, porém, passa pelo centro de massa G do corpo. A unidade comum usada para essa medida é kg . m2.
3
Momento de inércia de massa
Se o corpo consiste em um material tendo densidade , então dm =  dV (Figura a). Substituindo isso na Equação 10.12, o momento de inércia do corpo é calculado usando-se elementos de volume para integração; ou seja,
Para a maioria das aplicações,  será uma constante e, assim, esse termo pode ser fatorado da integral, e a integração é, então, puramente uma função da geometria.
4
Procedimento para análise
Elemento de casca
Se um elemento de casca tendo altura z, raio y e espessura dy é escolhido para integração (Figura b), então seu volume é dV = (2y)(z) dy.
 Esse elemento pode ser usado nas equações 10.13 ou 10.14 para determinar o momento de inércia Iz do corpo em relação ao eixo z, pois todo o elemento, em razão de sua “esbelteza”, encontra-se à mesma distância perpendicular r = y do eixo z (ver Exemplo 10.10).
5
Procedimento para análise
EXEMPLO 10.10
Determine o momento de inércia de massa do cilindro mostrado na Figura a em relação ao eixo z. A densidade do material, , é constante.
6
Procedimento para análise
EXEMPLO 10.10
7
Procedimento para análise
EXEMPLO 10.10
8
Procedimento para análise
Elemento de disco
Se um elemento de disco de raio y e espessura dz é escolhido para integração (Figura 10.22c), então seu volume é dV = (y2) dz.
Neste caso, o elemento é finito na direção radial, e consequentemente seus pontos não se encontram todos à mesma distância radial r do eixo z. Como resultado, as equações não podem ser usadas para determinar Iz. Em vez disso, para a integração usando esse elemento, é necessário primeiramente a determinação do momento de inércia do elemento em relação ao eixo z e depois a integração desse resultado (ver Exemplo 10.11).
9
Procedimento para análise
EXEMPLO 10.11
Um sólido é formado girando a área sombreada como mostra a Figura a em torno do eixo y. Se a densidade do material é 2 Mg/m3, determine o momento de inércia de massa em relação ao eixo y.
10
Procedimento para análise
EXEMPLO 10.11
11
Teorema dos eixos paralelos
Se o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa for conhecido, o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo pode ser determinado usando o teorema dos eixos paralelos.
Para derivar esse teorema, considere o corpo mostrado na Figura. O eixo z’ passa pelo centro de massa G, ao passo que o eixo paralelo z correspondente está afastado por uma distância constante d.
12
Teorema dos eixos paralelos
Selecionando o elemento de massa diferencial dm, que está localizado no ponto (x’, y’) o momento de inércia do corpo em relação ao eixo z é: 
onde:
IG = momento de inércia em relação ao eixo z¿ passando pelo centro de massa G
m = massa do corpo
d = distância entre os eixos paralelos
13
Raio de giração
Ocasionalmente, o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo específico é reportado nos manuais de engenharia através do raio de giração, k. 
Esse valor tem unidades de comprimento, e quando ele e a massa do corpo m são conhecidos, o momento de inércia pode ser determinado pela equação:
Observe a semelhança entre a definição de k nessa fórmula e r na equação dI = r2dm, que define o momento de inércia de um elemento de massa diferencial dm do corpo em relação a um eixo.
14
Corpos compostos
Se um corpo é construído a partir de uma série de outros de formato simples, como discos, esferas e barras, o momento de inércia do corpo em relação a qualquer eixo z pode ser determinado somando algebricamente os momentos de inércia de todos os corpos componentes, calculados em relação ao mesmo eixo.
Para os cálculos, os apêndices contêm uma tabela de alguns formatos simples.
15
Corpos compostos
EXEMPLO 10.12
Se a chapa mostrada na Figura a tem densidade de 8000 kg/m3 e espessura de 10 mm, determine seu momento de inércia de massa em relação a um eixo perpendicular à página e passando pelo pino em O.
16
Corpos compostos
EXEMPLO 10.12
17
Corpos compostos
EXEMPLO 10.13
O pêndulo na Figura consiste em dois elementos finos, cada um com massa de 9 kg. Determine o momento de inércia da massa do pêndulo em relação a um eixo que passa através (a) do pino em O e (b) do centro de massa G do pêndulo.
18
Corpos compostos
EXEMPLO 10.13
19
Corpos compostos
EXEMPLO 10.13
20
Obrigado
Mauro.lobato@faculdadeideal.edu.br
21
2
2
2
hR
m
rdr
h
rhdr
dV
dV
dm
V
m
V
m
rp
p
r
p
r
r
r
r
r
=
=
=
=
ò
ò
ò
2
2
4
2
1
2
1
R
hR
Iz
hR
Iz
rp
rp
=
=