Pesquisa Operacional

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Autores: Prof. Fernando Eduardo Peres
 Prof. Mauricio Martins do Fanno 
Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin
Prof. Fábio Gomes da Silva
Pesquisa Operacional
Professores conteudistas: Fernando Eduardo Peres/Maurício Martins do Fanno
Prof. Ms. Fernando Eduardo Peres, nascido na Cidade de Santos, no Estado de São Paulo, é formado em 
Matemática (Licenciatura e Bacharelado) e Pedagogia. É pós‑graduado em Administração de Sistemas de Informação, 
Formação Didática do Ensino Superior e mestre em Administração de Empresas. Atua como professor do Ensino Superior 
desde 1986 em diversas faculdades e universidades, lecionando disciplinas voltadas à formação de engenheiros e 
administradores, tanto na área da Matemática como da Administração. Na UNIP, ministra aulas desde 1996, das 
disciplinas de Tecnologia da Informação, Gestão da Informação e Pesquisa Operacional.
Prof. Maurício Martins do Fanno, nascido na cidade de São Paulo, no Estado de São Paulo, é formado em 
Engenharia Mecânica pela Faculdade de Engenharia Industrial (FEI) e é pós‑graduado em Formação Didática do Ensino 
Superior. Desempenhou funções de Gerente e Diretor em diversas empresas nacionais, nas áreas de Engenharia, 
Manutenção e Produção. É professor do Ensino Superior desde 1986 e atua em diversas faculdades e universidades, 
lecionando disciplinas voltadas à formação de administradores, tanto na área da Matemática como de Administração. 
Na UNIP, ministra aulas desde 1993, das disciplinas Estatística, Administração da Produção e Materiais e Pesquisa 
Operacional.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
P437p Peres, Fernando Eduardo 
Pesquisa operacional / Fernando Eduardo Peres, Maurício 
Martins do Fanno. ‑ São Paulo: Editora Sol, 2013.
 
84 p. il.
1. Pesquisa operacional. 2. Modelagem do problema. 3.Função 
objetivo. I. Título. 
CDU 65.012.122
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Cristina Z. Fraracio
 Luanne Batista
Sumário
Pesquisa Operacional
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 HISTóRICO DA PESQUISA OPERACIONAL .............................................................................................. 11
2 OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PESQUISA OPERACIONAL ........................................................... 15
3 MODELAGEM E FORMAS DE REPRESENTAçãO DE PROBLEMAS ................................................. 17
4 CAMPOS DE APLICAçãO DA PO: TÉCNICAS E MÉTODOS ................................................................ 20
Unidade II
5 MODELAGEM DO PROBLEMA ..................................................................................................................... 26
6 TIPOS DE SOLUçãO ........................................................................................................................................ 28
6.1 Solução gráfica ...................................................................................................................................... 28
6.2 Solução pelo algoritmo Simplex .................................................................................................... 33
6.3 Solução computacional – utilizando ferramenta Solver do MS Excel® ........................ 50
7 PROBLEMAS ENVOLVENDO MINIMIZAçãO DA FUNçãO OBJETIVO ........................................... 59
7.1 Algoritmo Simplex ............................................................................................................................... 59
7.2 Solução computacional ..................................................................................................................... 69
8 APLICAçõES TíPICAS ...................................................................................................................................... 74
7
APrEsEntAçãO
Prezado aluno,
Este texto foi produzido para apresentar os principais conceitos da Pesquisa Operacional (PO), campo 
do conhecimento destinado a solucionar problemas com a utilização de modelos matemáticos.
Profissionalmente ou mesmo pessoalmente, estamos sempre tomando decisões, ou seja, avaliando, 
entre diversas opções, a mais adequada. Na maioria das vezes, essas decisões são tomadas por meio de 
ações reflexas condicionadas ou simplesmente por hábito. É assim, por exemplo, que dirigimos nosso 
automóvel todos os dias. Não “pensamos” no que fazer antes de cada movimento que fazemos no 
trânsito.
Este material e a Pesquisa Operacional (PO) não se preocupam, no entanto, com essas decisões 
reflexas, e sim com as decisões conscientes, aquelas nas quais há um método racional de solução.
José Celso Contador (1998) afirma que uma decisão consciente é formalizada em seis etapas:
• formulação do problema e fixação do objetivo;
• construção do modelo ou modelagem do problema;
• validação do modelo;
• obtenção da solução;
• avaliação da solução;
• implantação, acompanhamento e manutenção da solução.
Evidentemente, um processo tão formal como o mencionado é necessário quando trabalhamos com 
problemas complexos, mas de modo geral, ainda que de uma maneira mais intuitiva, menos formal, 
usamos essas etapas mesmo quando trabalhamos com problemas mais simples, seja no campo das 
decisões qualitativas, seja no das quantitativas.
Decisões qualitativas envolvem fatos que não são quantificáveis; por exemplo, a decisão de um 
gerente industrial de aumentar a produção porque supõe ou pressente que o mercado irá melhorar. 
Essas decisões não são objeto do nosso estudo nesta disciplina.
Decisões quantitativas envolvem fatos quantificáveis, ou seja, situações que podem ser mensuradas 
e atribuídos valores numéricos a ela. Por exemplo, uma empresa que tem as fontes de matéria‑prima 
e os clientes dispersos geograficamente pode decidir, por meio de um modelo matemático, qual é a 
melhor localização para suas atividades industriais, que torne os custos logísticos os mínimos possíveis. 
O tratamento desses modelos matemáticos é o objetivo da PO.
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Os tradicionais textos sobre Pesquisa Operacional apresentam fundamentação matemática 
extremamente complexa. Todavia, pretendemos apresentar o assunto de modo que apenas os 
conhecimentos elementares de Matemática sejam requeridos. Dessa forma, nenhuma demonstração 
matemática faz parte do escopo deste trabalho.
Churchman, Ackoff e Arnoff (apud CONTADOR, 1998) conceitua Pesquisa Operacional 
como “a aplicação de instrumentos, técnicas e métodos científicos a problemas relativos ao 
funcionamentode um sistema, permitindo a obtenção de soluções ótimas para esses problemas”, 
e ressalta que ela é caracterizada pela utilização de modelos matemáticos para orientar os 
executivos na tomada de decisões a respeito de operações sob seu controle, estando inserida na 
Teoria dos Sistemas.
Observe a ênfase na caracterização de sistemas e de aspectos matemáticos. Essa caracterização 
é importante porque cada sistema é parte de um sistema mais amplo e pode ser composto 
por sistemas menos amplos. Nem todos os sistemas são passiveis de serem tratados pela PO, 
sendo, portanto, uma das mais importantes e a primeira das atribuições de quem trabalha com 
Pesquisa Operacional a delimitação das fronteiras dos sistemas a serem estudados, assegurando 
a aplicabilidade da PO a ele.
Ackoff e Sassieni, também citados por Contador (1998) consideram a PO como a aplicação do método 
científico, por equipes interdisciplinares, a problemas relativos ao controle de sistemas organizacionais, 
com a finalidade de obter soluções que satisfaçam aos objetivos da organização como um todo. Esses 
autores, portanto, evidenciam que a PO tem caráter de conciliadora dos objetivos conflitantes das 
diversas funções dentro de uma organização.
Em resumo, portanto, podemos dizer que a PO busca a solução ótima que atende aos objetivos 
conflitantes dos diversos setores de uma organização, tendo em mente o objetivo corporativo. Logo, é 
a utilização de modelos matemáticos e simulações para a correta alocação de recursos, permitindo a 
condução e a coordenação das operações em uma organização.
Assim sendo, este texto pretende apresentar as principais técnicas e ferramentas estudadas em PO, 
capacitando o Administrador a tomar decisões de maneira mais racional e objetiva, por meio do uso de 
modelos previamente estudados.
Esperamos que, com este material, você tenha a oportunidade de aprender os conceitos básicos de 
Pesquisa Operacional e torne‑se apto para continuar os estudos nessa área quando necessário for.
IntrOduçãO
Grande parte da ciência da Administração é dedicada à correta aplicação dos recursos disponíveis. 
Raramente, para não usarmos a palavra nunca, teremos a quantidade de recursos que sonhamos para 
um empreendimento qualquer. Eles serão sempre reduzidos, e mais: só poderemos afirmar que somos 
ou seremos bem‑sucedidos nessa arte se os recursos aplicados se multiplicarem em ganhos de capital 
que proporcionarem mais recursos para novas empresas.
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Numa organização qualquer, frequentemente estarão à disposição várias oportunidades de aplicação 
desses recursos, algumas apresentando mais retorno, outras, menos retorno; algumas mais adequadas 
às nossas capacidades, outras, menos adequadas; algumas que implicam em mais riscos e outras, em 
menos riscos. Qual das alternativas escolher pode ser um dilema difícil. Você, como administrador, 
frequentemente terá de decidir entre essas várias opções. Como fazer?
Muitas das vezes, decidiremos com base em nossa intuição, experiência, ou, como dizem os 
americanos, em nosso feeling. Será que isso é suficiente? Possivelmente, não! Mesmo nas vezes 
em que formos bem‑sucedidos, temos de levar em conta o risco que corremos com esse processo. 
Ferramentas objetivas, matemáticas, metodológicas não substituirão a intuição, mas poderão ser 
importantes complementos a ela.
A Pesquisa Operacional atua exatamente nesse campo. Ela criou e cria ferramentas, processos e 
modelos que permitirão tornar nossas decisões o mais lógicas e racionais possíveis.
Imagine que você tenha dois produtos diferentes para lançar no mercado. Cada um deles tem um 
potencial de vendas, um custo de fabricação, uma margem de lucro, a necessidade de publicidade e 
competências produtivas. Você dispõe de certa quantia em dinheiro para fazer o negócio acontecer, 
digamos, só para efeito de raciocínio, de R$ 10 milhões.
Você aplicaria toda a quantia no produto A ou no produto B? Parte no A e parte no B? Quanto no A 
e quanto no B? Perceba que essas perguntas só têm respostas dentro de um contexto real, no qual você 
poderia utilizar sua experiência e intuição. Contudo, mesmo nesse contexto, perceba o risco que correrá 
seja qual for a sua decisão. Não ficaria mais fácil para você se técnicas estudadas, testadas e aplicadas 
em outros casos dessem pelo menos uma indicação do melhor caminho a seguir?
Nesta disciplina, tentaremos aprender justamente algumas dessas ferramentas. Como elas foram 
desenvolvidas e como podem ser utilizadas. Veremos como elas servem para tomar decisões, para mediar 
conflitos entre os objetivos particulares de cada função da empresa e os objetivos corporativos, e como 
aplicar melhor todos os nossos recursos, não só capital, mas também recursos humanos, tecnológicos, 
materiais ou científicos.
Evidentemente, esse material tem como ambição abrir uma porta à sua curiosidade, não explorar 
totalmente as instalações. Não temos tempo suficiente para isso, mas uma introdução a esse tema pode 
atiçar sua curiosidade sobre uma área frequentemente relegada a segundo plano pelos administradores, 
transformando‑se numa oportunidade profissional para você.
Veremos o histórico da Pesquisa Operacional e seus conceitos básicos e também uma das mais 
importantes das ferramentas da PO, a Programação Linear.
Vamos então ao trabalho!
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Pesquisa OPeraciOnal
Unidade I
IntrOduçãO à PEsquIsA OPErAcIOnAl
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de 
problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos 
e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou 
operação de sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas de 
ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos 
dos indivíduos ou organizações (SOBRAPO, 2010).
O objetivo desta primeira unidade é mostrar a gênese e evolução da Pesquisa Operacional na 
Segunda Guerra Mundial até os dias de hoje, mostrando como essa ciência objetiva introduzir elementos 
de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar, no entanto, dos 
elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas.
Pretende‑se mostrar também como os grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos, a partir 
da segunda metade do século XX, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e 
disseminação, nos permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades, não apenas das 
empresas, mas também de instituições do setor público dentro e fora da área econômica. Face ao seu 
caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais, 
com suas contribuições estendendo‑se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da 
Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial, sendo especialmente importante 
na Administração, como ferramenta objetiva de decisões.
1 HIstórIcO dA PEsquIsA OPErAcIOnAl
O termo pesquisa operacional parece ter surgido no início da década de 1940, coincidindo com a 
Segunda Guerra Mundial, que geralmente é citada como a responsável pelo surgimento da PO. Alguns 
autores, como Sobral e Peci consideram a PO como sinônimo da Abordagem Quantitativa, umas das 
abordagens estudadas nas Teorias da Administração.
Outros autores, mesmo reconhecendo que a utilização do termo PO é relativamente recente, chegam 
a colocar o uso de técnicas de pesquisa operacional em tempos muito mais remotos. Parece ser bem 
documentado o uso dessas técnicas já no século XVI, e alguns autores chegam a citar o famoso incêndio 
da frota romana em Siracusa, provocada por espelhos solares ajustados por Arquimedes, como um 
exemplo do uso de pesquisa operacional, mesmo sem esse nome.O certo é que a gênese e o desenvolvimento inicial da PO estão fortemente ligados aos esforços aliados 
na Segunda Grande Guerra. A necessidade de alocar de forma eficiente os parcos recursos disponíveis 
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fez com que os exércitos americano e britânico convocassem elevado número de cientistas para lidar 
com as complexidades dos problemas táticos e estratégicos envolvidos. Na prática, como afirmam Hillier 
e Lieberman (2013), lhes foi solicitada a realização de pesquisas sobre operações (militares).
Ellenrieder, citado por Contador (1998), comenta esse momento da seguinte forma:
Sob o ponto de vista histórico, o nome PO é relativamente novo, de origem 
militar, sendo usado pela primeira vez na Grã‑Bretanha, durante a Segunda 
Guerra Mundial. No começo desse conflito, os organismos responsáveis pela 
defesa daquele país utilizaram o concurso de especialistas tais como físicos, 
biólogos, matemáticos para assessorar e contribuir no estudo e solução 
de certos problemas que, geralmente, se consideravam de atribuição 
estritamente militar. Basicamente, as razões disto eram fundadas no fato de 
existirem armamentos relativamente novos, mas sem o suficiente uso que 
permitisse medir sua eficiência máxima.
Em agosto de 1940, o Chefe do comando Antiaéreo daquele país solicitou 
a colaboração do professor P.M.S. Blackett da Universidade de Manchester, 
prêmio Nobel de Física, para estudar a coordenação dos equipamentos de 
radar com um novo aparelho que indicava a elevação e rumo dos canhões, 
tendo por objetivo abater aviões nazistas que bombardeavam Londres. Para 
realizar seu trabalho, Blackett reuniu uma equipe com treino científico, 
mas não necessariamente especialista em eletrônica. Seu grupo incluía 
três fisiólogos, dois físico‑matemáticos, um astrofísico, um oficial militar, 
um topógrafo, um físico geral e dois matemáticos. Essa equipe foi batizada 
pelos contemporâneos como “o Circo de Blackett”, que, apesar do nome 
depreciativo, demonstrou ser altamente eficiente na tarefa para a qual 
foi criada. O sucesso de Blackett e de seu “circo” estimulou a formação 
de equipes mistas de especialistas nos diversos campos do conhecimento 
vinculados aos problemas relativos às operações militares, táticas ou 
estratégicas. Assim foram resolvidos, com sucesso, problemas referentes 
à detecção de navios e submarinos inimigos por meio do uso de radar 
em aeroplanos, e a determinação da melhor profundidade para explodir 
as bombas lançadas dos aviões contra os submarinos, entre outros. As 
equipes de “analistas operacionais”, como eles foram chamados naquela 
época, começaram a se expandir na Grã‑Bretanha e logo, no Canadá, na 
Austrália e nos Estados Unidos.
 Observação
Perceba como a correta administração de recursos exíguos está na 
origem da Pesquisa Operacional. Épocas de guerra são momentos em que 
os recursos nunca são os suficientes e os resultados são fundamentais. 
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Não alcançar resultados significa morte, destruição de seres humanos e 
propriedades. No fundo, não muito diferentes das falências e fracassos das 
organizações. A Pesquisa Operacional nasceu e foi vital em muitos aspectos 
no esforço de guerra, resolvendo problemas de logística, operações, 
transportes, entre outros, da mesma maneira que a utilizamos hoje nas 
organizações econômicas.
Terminada a guerra, o sucesso da PO nos aspectos bélicos motivou interesse no mundo dos negócios 
que passava a apresentar crescente complexidade e especialização. A explosão econômica a partir da 
reconstrução mundial contribui de maneira particularmente importante para a crescente convicção de 
muitos executivos de que as técnicas de PO aplicavam‑se não só aos aspectos bélicos como também aos 
de contexto organizacional.
Dois fatores, em especial, foram responsáveis pelo rápido crescimento da PO. Em primeiro 
lugar, o desenvolvimento rápido das técnicas gestadas durante a guerra. O Método Simplex, 
por exemplo, já havia sido desenvolvido por Dantzig em 1947. No final da década de 1950, já 
estavam bem desenvolvidas as ferramentas padrão da PO, como programação linear, teoria das 
filas e teoria do inventário.
 saiba mais
O conhecido filme Gênio Indomável (Good Will Hunting) foi baseado 
numa lenda urbana tida como parte da vida de Dantzig, um estudante 
realmente brilhante. É um filme que vale a pena ser visto.
O segundo fator importante para a generalização da PO é a extraordinária explosão da 
tecnologia no terreno das telecomunicações e da cibernética, ocorridas a partir dessa época, 
mas em especial a partir da década de 1980. Atualmente milhões de pessoas ao redor do mundo 
dispõem de computadores pessoais do mais diversos tipos (desde desktops até tablets), capazes de 
realizar milhões de operações matemáticas em segundos, conectadas permanentemente aos seus 
pares pela internet.
O desenvolvimento e o uso da PO provocou um impressionante aumento na eficiência das organizações, 
resultando em contribuição notável para o aumento da produtividade da economia de diversos países. O 
quadro que veremos em seguida foi retirado da obra Introdução à pesquisa operacional, dos renomados 
estudiosos Frederick Hillier e Gerald Lieberman, editada continuamente nos últimos 40 anos, e mostra o 
impacto financeiro (economia anual) do uso de técnicas da PO em diversas organizações.
A essas economias de muitos milhões de dólares adicionam‑se benefícios adicionais não mensuráveis, 
tão ou mais significativos, tais como melhoria no atendimento aos clientes, maior controle gerencial e 
outros benefícios intangíveis.
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Quadro 1 – Aplicações da PO e resultados obtidos nas organizações
Organização Natureza da aplicação Economia anual (US$)
Federal Expres Planejamento logístico de despachos Não estimada
Continental Airlines Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes nos horários de voo. 40 milhões
Swift & Company Aumentar as vendas e melhorar o desempenho na fabricação 12 milhões
Memorial Sloan‑Kettering 
Cancer Center Procedimentos de tratamentos radioterápicos 459 milhões
United Airlines, Programar turnos de trabalho nas centrais de reserva e nos balcões em aeroporto 6 milhões
Welch´s Otimizar o uso e a movimentação de matéria‑prima 150 mil
Sansung Eletronics Desenvolver métodos de redução de tempo de fabricação e níveis de estoque 200 milhões mais receitas
Pacific Lumber Company Gestão de ecossistemas florestais a longo prazo 398 milhões VPL*
Procter & Gamble Redesenho do sistema de produção e distribuição 200 milhões
Canadian Pacific Reilway Planejamento de rotas para frete rodoviário 100 milhões
United Airlines, Realocação de aeronaves quando ocorrem problemas Não estimada
U.S. Military Planejamento logístico da operação Tempestade no Deserto Não estimada
Air New Zealand Alocação da tripulação de voo 6,7 milhões
Taco Bell Programar a escala de funcionários nas lojas da rede 13 milhões
Waste Management Desenvolvimento de um sistema de gerenciamento de rotas para coleta e eliminação de lixo 100 milhões
Bank Hapoalim Group Desenvolvimento de um sistema de apoio à tomada de decisões para analistas de investimentos 31 milhões mais receitas
Sears Programação e rotas de veículos para as frotas de entrega e atendimento domiciliar 42 milhões
Conoco‑Phillips Avaliação de projetos de exploração petrolífera Não estimada
Workers Compensation Gestão de pedidos de benefícios por invalidez e reabilitação de alto risco 4 milhões
Westinghouse Avaliarprojetos de pesquisa e desenvolvimento Não estimada
Merrill Lynch Gestão de riscos de liquidez parra as linhas de crédito rotativo 4 bilhões mais liquidez
PSA Peugeot Citroen Orientar o processo de projeto para plantas de montagem de veículos eficientes 130 milhões mais lucros
KeyCorp Aumentar a eficiência do serviço dos caixas de banco 20 milhões
General Motors Aumentar a eficiência das linhas de produção 90 milhões
Deere & Company Controle de estoque por meio das cadeias de suprimentos 1 bilhão menos estoques
Time Inc. Gerenciamento dos canais de distribuição para revistas 3,5 milhões mais lucros
Bank One corporetion Gestão de linhas de crédito e taxas de juros para cartões de crédito 75 milhões mais lucros
Merrill Lynch Análise para estabelecimentos de preços para o fornecimento de serviços financeiros 50 milhões mais receitas
AT&T Projeto e operação de call centers 750 milhões mais lucros
*VPL: Valor presente líquido
Fonte: Hillier e Lieberman (2013, p. 4).
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2 ObjEtIvOs E MEtOdOlOgIA dA PEsquIsA OPErAcIOnAl
Conforme o próprio nome indica e como ficou claro na leitura do item anterior, estamos tratando 
de uma pesquisa sobre operações, ou seja, a aplicação na resolução de problemas que envolvam o 
direcionamento e a coordenação de operações (atividades) nas organizações. A natureza dessas 
operações é muito diversa. Aplica‑se a PO numa gama extraordinariamente grande de áreas, tais como 
manufaturas, armazenamento e transporte, planejamento financeiro e de crédito, assistência médica e 
hospitalar, serviços públicos e muitas outras.
Observe também que o termo pesquisa sugere o uso do método cientifico na investigação dos 
problemas empresariais. Assim, temos um processo que se inicia na observação e formulação do 
problema, inclusive com a coleta de dados relevantes. A partir daí, monta‑se um modelo científico, 
tipicamente matemático, que explique e equacione a “alma” do problema. Hipoteticamente, esse 
modelo construído é uma representação fiel e viável do problema estudado representando suas 
características fundamentais e apresentando conclusões (as soluções do modelo matemático) válidas 
para a situação real.
Essa hipótese deve ser validada. Essa validação é feita por meio da experimentação prática do 
modelo, verificando‑se sua adequação e, eventualmente, introduzindo‑se modificações que o tornem 
mais próximo da realidade e da eficiência desejada. Como a pesquisa operacional trata da gestão 
prática das organizações, é necessário também que ela forneça conclusões positivas e inteligíveis para 
o tomador de decisão.
Hillier e Lieberman (2013, p. 2) observam que uma característica importante da PO é seu ponto de 
vista abrangente:
[...] a PO adota um ponto de vista organizacional. Dessa forma, tenta 
solucionar os conflitos de interesses entre as unidades da organização da 
maneira que seja (encontrada) a melhor solução para a organização como 
um todo. Isso não implica que o estudo de cada problema deva considerar 
explicitamente todos os aspectos da organização; ao contrário, os objetivos 
devem ser consistentes com aqueles de toda a organização.
Ackoff e Sasieni (apud CONTADOR, 1998) também procuram ressaltar que a PO tem por finalidade 
conciliar os objetivos conflitantes das diversas funções da organização e, para tanto, segundo Contador 
(1998), usam as atitudes dos departamentos de produção, de vendas, de finanças e de pessoal nas fases 
de planejamento da linha de produtos e de programação para ilustrar esses conflitos.
O departamento de produção busca produzir a maior quantidade possível de bens a um custo menor 
possível. Isso será facilitado se produzir continuamente um mesmo produto. No caso de mais de um 
produto, o departamento defenderá a produção do volume total em um único momento, com o maior 
lote possível, economizando nos tempos de preparação e treinamento, alcançando alta eficiência, mas 
aumentando os estoques. Assim, o departamento de produção prefere uma política de estoques elevados 
e uma linha de produtos limitada.
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O departamento de vendas também deseja estoques elevados, para que tenha condições de entregar 
tudo o que o cliente venha a requisitar, mas também busca vender o máximo possível cada cliente 
e, assim, dedicar‑se a uma linha de produtos extensa, com grande variedade de mix. Perceba que 
os departamentos de vendas e produção entram em conflito no que se refere à extensão do mix de 
produtos: o primeiro defendendo uma grande variedade e o departamento de produção insistindo na 
redução da variedade.
O departamento financeiro deseja, continuamente, minimizar o capital necessário para as operações 
da empresa, e uma das maneiras mais fáceis é reduzir estoques e, consequentemente, o dinheiro 
empatado. A visão financeira julga também que os estoques devem oscilar proporcionalmente com o 
volume de vendas.
Todavia, se o nível de vendas baixa, o departamento de pessoal e também o de produção não 
desejam reduzir a produção e demitir colaboradores, pois ações desse tipo desperdiçam o capital que 
foi utilizado no recrutamento, seleção e treinamento, acarreta despesas com indenizações, prejudica a 
moral da organização e, em eventual aumento de vendas, obrigam a necessidade de seleção de novos 
funcionários. O departamento de pessoal deseja, portanto, manter o nível de produção constante, o que, 
no momento em que as vendas caem, gera estoques. Os departamentos de finanças e pessoal discordam 
fortemente em relação à política de estocagem.
Por conseguinte, como observa Contador (1998):
[...] é responsabilidade do dirigente estabelecer a política de estoques que, 
segundo algum critério válido, melhor satisfaça aos interesses da empresa 
como um todo, e não aos interesses de qualquer dos departamentos que lhe 
estejam subordinados. A tarefa de integração exige que todo o sistema seja 
considerado; isto é a essência do trabalho do dirigente. No que, em muitos 
casos, pode ser auxiliado pela PO.
 Observação
Perceba, portanto, que essa solução de conflitos conduz a outra 
característica da PO: a tentativa de se encontrar uma melhor solução, 
chamada de solução ótima para o modelo que representa o problema 
considerado. Hillier e Lieberman (2013, p. 2) afirmam: “Dissemos uma 
melhor solução e não a melhor solução, pois pode haver várias soluções, 
cada uma delas sendo considerada a melhor”.
Essas características mencionadas levam naturalmente a outra. A PO não é tarefa para um único 
indivíduo, que nunca teria todas as habilidades necessárias. A Pesquisa Operacional exige equipes 
multifuncionais compostas por indivíduos treinados em Estatística, Administração, Matemática, Teorias 
Comportamentais, entre outras especialidades.
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3 MOdElAgEM E FOrMAs dE rEPrEsEntAçãO dE PrOblEMAs
Para obter soluções ótimas, a Pesquisa Operacional se vale de modelagens, ou seja, estabelece 
modelos, normalmente matemáticos que representam a realidade estudada.
Modelos são representações da realidade, mas a esta normalmente envolve tal complexidade e 
quantidade tão grande de variáveis que não é possível – e nem teria utilidade alguma – um modelo que 
leve em conta toda essa complexidade e número de variáveis. Dessa forma, em Pesquisa Operacional, 
consideramos um modelo matemático simplificado.
Mendes (2013) define um modelo matemático como uma representação ou interpretação simplificada 
da realidade, ou a interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estruturade conceitos 
mentais ou experimentais. Portanto, um modelo pode ser mais ou menos complexo dependendo da 
realidade que representa.
Contador (1998) afirma que podemos, em geral, construir modelos que são muito mais simples do 
que a realidade e, ainda assim, conseguir empregá‑los para prever e explicar fenômenos com alto grau 
de precisão. Ele afirma ainda que o “truque” é achar as variáveis certas e a relação correta entre elas.
Ackoff e Sasieni (apud CONTADOR, 1998, p. 4) resumem modelo como sendo uma representação 
simplificada da realidade devendo satisfazer a duas condições fundamentais:
Ser simples de entender, resolver e aplicar.
Fornecer uma representação completa e realista do problema real, 
incorporando apenas os elementos necessários para caracterizar sua 
essência.
Três modelos são normalmente utilizados na maioria das ciências e, portanto, na Pesquisa Operacional: 
modelos icônicos; modelos analógicos e modelos simbólicos.
Nos modelos icônicos, as características relevantes dos objetos reais são representadas como se 
parecem, mas normalmente com mudança de escala; são, portanto, imagens, daí o termo icônico. Um 
modelo de um carro de Fórmula 1, em escala 1:30, colocado num túnel de vento, é o exemplo da 
modelagem à qual nos referimos.
Os modelos analógicos usam um conjunto de propriedades para representar outro conjunto de 
propriedade. O desenho das linhas do metrô ou então o diagrama unifilar de uma instalação hidráulica 
são exemplos desse tipo de modelo.
Os modelos simbólicos usam letras, números e outros símbolos para representar as variáveis e 
suas relações. Redundam, portanto, em expressões matemáticas, geralmente equações e inequações. A 
fórmula do movimento de um corpo em queda livre é um exemplo desse modelo
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É fácil de entender que os modelos icônicos são os mais difíceis de serem utilizados, enquanto os 
modelos simbólicos são os mais fáceis. Frequentemente, os três tipos são empregados em sequência; 
os dois primeiros, para uma primeira abordagem e consequente construção do último, que é então, 
utilizado a partir daí como ferramenta rotineira para determinado problema.
Na Pesquisa Operacional, procura‑se sempre que possível estabelecer modelos simbólicos, não só 
porque são mais fáceis de manipular como também porque produzem quase sempre resultados mais 
exatos que os modelos icônicos e analógicos (CONTADOR, 1998).
Um exemplo simples de modelo simbólico poderia ser o seguinte:
Sueli faz bonecas artesanais de pano. Cada uma das bonecas custa para ser feita, considerando 
materiais e mão de obra, R$ 18,00, e ela as vende por R$ 30,00. Além disso, ela tem um custo fixo de 
R$ 96,00 por mês. Qual o modelo matemático que representa o lucro dessa operação?
Considerando x o número de bonecas vendidas ao longo de um mês, o modelo matemático seria o 
seguinte:
L = (30 – 18) . x – 96
Perceba que poderíamos responder a questões a partir desse modelo. Vejamos exemplo:
Caso Sueli venda 15 bonecas, qual será o lucro mensal dela?
L = (30 – 18) . 15 – 96 = 84
Quantas bonecas, no mínimo, Sueli deverá vender por mês para não ter prejuízo?
Não ter prejuízo significa um lucro maior ou igual a zero; portanto:
0 30 18 96 12 96 12 96
96
12
8≤ −( ) − ∴− ≤ − ∴ ≥ ∴ ≥ ∴ ≥ . x x x x x bonecas
Evidentemente, os problemas de Pesquisa Operacional não são tão elementares assim, são dotadas 
de uma maior complexidade, em especial pela introdução de restrições. Mendes (2013) estabelece as 
seguintes etapas básicas para um projeto de Pesquisa Operacional:
• formulação do problema;
• construção do modelo;
• obtenção da solução.
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Pesquisa OPeraciOnal
O mesmo autor apresenta um exemplo que deixa mais claro o processo e as dificuldades envolvidas:
Considere que você tenha duas filhas em famílias diferentes: Débora Helena e Denise Maria. Se você 
pudesse, planejaria sair com as duas ao mesmo e a todo tempo. No entanto, isso não é possível, pois não 
aceitariam sair com você juntas. E sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras 
coisas) para fazer isso. Para garantir a sua felicidade, considerando esses problemas desagradáveis, você 
precisa decidir quantas vezes ao mês sair com cada uma.
Vamos chamar de x1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Débora por semana e x2 a 
quantidade de vezes que você vai sair com a Denise, também por semana. Essas variáveis (x1 e x2) 
são chamadas variáveis de decisão. São valores que representam o cerne do problema e que podemos 
escolher (decidir) livremente.
Veja que você pode sair quantas vezes quiser com cada uma das suas filhas. Entretanto, existem 
alguns problemas: Débora é “metida” e gosta de lugares caros. Um passeio com ela custa R$ 180,00. 
Já Denise, é mais simples, gosta de passeios mais baratos. Sair com ela custa só R$ 100,00. Por último, 
você tem um limite de gastos: no máximo R$ 800,00 por semana. Como fazer para garantir que não se 
endivide?
Perceba que, se você sai com Débora x1 vezes por semana, gastará 180x1 reais por semana. Com 
Denise gastará 100x2 reais por semana. Portanto, os seus gastos semanais limitados a R$ 800,00 seguem 
o seguinte modelo matemático:
180x1 + 100x2 ≤ 800
Essa é a função objetivo, aquilo que você tem que alcançar, balanceando os passeios com uma e com 
a outra. Perceba que existem inúmeras soluções possíveis para essa inequação, e qualquer uma seria 
válida se não tivéssemos restrições impostas.
 lembrete
Inequação é uma sentença matemática, com uma ou mais incógnitas, 
expressas por uma desigualdade, diferenciando‑se de uma equação que 
representa uma igualdade. Incógnitas de uma inequação ou equação são 
valores desconhecidos para os quais a sentença é verdadeira.
Nesse caso as restrições seriam nos tempos gatos nos passeios. Débora é mais sossegada, um passeio 
com ela dura apenas 2 horas, já Denise, mais agitada, usa 4 horas do seu precioso tempo, e você só tem 
20 horas semanais disponíveis para esses passeios. Essas restrições matematicamente seriam expressas 
da seguinte forma:
2x1 + 4x2 ≤ 20
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Claro está que o número de passeios é um valor maior ou igual a zero, não existe um número de 
passeios negativo. Portanto, temos mais duas restrições:
x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0
Sua decisão será a obtenção do valor máximo do número de saídas com ambas as filhas e 
matematicamente corresponde à resolução do sistema de inequações:
180x1 + 100x2 ≤ 800
2x1 + 4x2 ≤ 20
x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0
Evidentemente, essa solução é um pouco mais complexa do que as soluções de um sistema 
convencional de equações. Na unidade II, veremos como esses sistemas são resolvidos.
4 cAMPOs dE APlIcAçãO dA PO: técnIcAs E MétOdOs
A Pesquisa Operacional serve, fundamentalmente, para resolver problemas. Existe um problema 
quando alguém:
• deseja algo (objetivo);
• dispões de alternativas para alcançá‑lo, com diferentes probabilidades;
• tem dúvidas quanto à linha de ação a escolher.
Esses problemas são muito frequentes em administração, seja ela em organizações públicas ou 
privadas. Dentre as muitas áreas que podem ser citadas, elencamos:
• análise de investimentos;
• programação da produção;
• planejamento estratégico;
• controle de projetos;
• alocação de recursos;
• manutenção de equipamentos;
• seleção de equipamentos.
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Pesquisa OPeraciOnal
Hilliere Lieberman (2013) mencionam o interessante exemplo de aplicação reproduzido a seguir, 
envolvendo a conhecida empresa de transporte FedEx.
Exemplo de Aplicação da Pesquisa Operacional:
A Federal Expres (FedEx) é a maior empresa de transporte expresso do mundo. Todos os 
dias, ela entrega 6,5 milhões de documentos, pacotes e outros itens nos Estados Unidos e 
em mais de 220 países e territórios ao redor do mundo. Em alguns casos, pode‑se garantir 
a entrega dessas remesas até as 10h30 da manhã seguinte.
As mudanças envolvidas no fornecimento desse serviço são estarrecedoras. Esses 
milhões de embarque diários têm que ser classificados um a um e direcionados para o local 
geral correto (usualmente por via aérea) e, então, devem ser entregues no destino exato 
(normalmente utilizando‑se veículo motorizado) em um período surpreendentemente 
curto. Como tudo isso é possível?
A pesquisa operacional (PO) é o motor tecnológico que propulsiona a empresa. Desde sua 
fundação em 1973, a PO ajudou na tomada de suas principais decisões de negócios, inclusive 
investimento em equipamentos, estrutura de rotas, cronograma, finanças e localização de 
suas instalações. Após ter literalmente creditada à PO a salvação da empresa durante seus 
primeiros anos, tornou‑se habitual ter a PO representada nas reuniões de diretoria semanais, 
e, de fato, vários dos diretores atuais provêm do destacado grupo de PO da FedEx.
A FedEx acaba sendo reconhecida como uma empresa de nível mundial. 
Rotineiramente ela se encontra no topo da lista anual das Empresas Mais Admiradas 
da Fortune Magazine. Ela também foi a primeira vencedora (em 1991) do prêmio hoje 
conhecido com INFORMS Prize, que é concedido anualmente para a integração efetiva 
e repetida da PO na tomada de decisão organizacional de maneira pioneira, variada, 
inovadora e duradoura.
Fonte: Hillier e Lieberman (2013, p. 5).
 saiba mais
Assista ao filme Náufrago (Cast Away), que mostra a complexidade das 
operações da FedEx e a obcessão por alcançar resultados.
A Pesquisa Operacional utiliza muitos modelos diferentes. Podemos citar como principais os seguintes:
• programação matemática (linear, não linear, inteira, dinâmica, geométrica e estocástica);
• teoria das filas;
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• teoria dos estoques;
• simulação;
• teoria dos grafos (que inclui PERT e COM);
• teoria dos jogos;
• teoria da decisão;
• amostragem;
• regressões;
• análise discriminante;
• séries temporais.
Neste material, nos ateremos ao principal desses modelos, a Programação Linear, que veremos na 
unidade seguinte.
 lembrete
Programação linear nos remete ao modelo matemático linear, ou 
seja, a funções de 1º grau. Em Administração, esse modelo é o que se 
adapta à maior parte dos casos práticos. Muitos casos, mesmo que não 
sigam rigorosamente o modelo linear, podem ser aproximados para ele 
sem grandes perdas de precisão. Outros modelos matemáticos, como os 
exponenciais, quadráticos ou logarítmicos, são mais raros, mas apresentam 
características de aplicabilidade similar.
 resumo
O termo pesquisa operacional parece ter surgido no início da década 
de 1940, coincidindo com a Segunda Guerra Mundial, que geralmente 
é citada como a responsável pelo surgimento da PO. A necessidade 
de alocar de forma eficiente os parcos recursos disponíveis fez com 
que os exércitos americano e britânico convocassem elevado número 
de cientistas para lidar com a complexidade dos problemas táticos e 
estratégicos envolvidos. Foi o professor PMS Blackett da Universidade de 
Manchester e seu grupo que estimularam a formação de equipes mistas 
de especialistas nos diversos campos do conhecimento vinculados aos 
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Pesquisa OPeraciOnal
problemas relativos às operações militares, táticas ou estratégicas. 
Terminada a guerra, o sucesso da PO nos aspectos bélicos motivou 
interesse no mundo dos negócios que passava a apresentar crescente 
complexidade e especialização.
A explosão econômica a partir da reconstrução mundial contribuiu de 
maneira particularmente importante na crescente convicção de muitos 
executivos de que as técnicas de PO aplicavam‑se não só aos aspectos 
bélicos como também ao contexto organizacional. O desenvolvimento e 
o uso da PO provocaram um impressionante aumento na eficiência das 
organizações, resultando em contribuição notável para o aumento da 
produtividade da economia de diversos países.
Hoje, aplica‑se PO numa gama extraordinária de grandes de áreas, 
tais como, manufaturas, armazenamento e transporte, planejamento 
financeiro e de crédito, assistência médica e hospitalar, serviços 
públicos e muitas outras. Portanto, a solução de problemas faz uso 
da PO, na tentativa de encontrar uma melhor solução, chamada como 
solução ótima para o modelo que representa o problema considerado. 
Modelos são representações da realidade, que envolve complexidade 
e às vezes uma quantidade muito grande de variáveis. Na Pesquisa 
Operacional, procura‑se, sempre que possível, estabelecer modelos 
simbólicos, não só porque são mais fáceis de manipular como também 
porque produzem quase sempre resultados mais exatos que os modelos 
icônicos e analógicos.
 Exercícios
Questão 1. Acerca da Pesquisa Operacional foram feitas as seguintes afirmações:
I – É caracterizada pela utilização de modelos matemáticos para orientar os executivos na tomada 
de decisões.
II – A Pesquisa Operacional busca informações perfeitas para os problemas e trabalha com as partes 
dos elementos que compõem um sistema.
III – Considera‑se como características da Pesquisa Operacional, a aplicação do método científico 
e o uso de equipes interdisciplinares, com a finalidade de obter soluções que melhor satisfaçam aos 
objetivos da organização como um todo.
IV – A Pesquisa Operacional tem por finalidade conciliar os objetivos conflitantes dos diversos órgãos 
da empresa.
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São corretas as afirmativas:
A) I, II e III.
B) I, II e IV.
C) I, III e IV.
D) II, III e IV.
E) Todas as afirmativas são corretas.
Resposta correta: alternativa C.
Análise da alternativa
Justificativa: a afirmativa II é incorreta. A Pesquisa Operacional não procura soluções perfeitas, 
mesmo porque possivelmente não existe uma solução perfeita para problemas dessa natureza. Ela 
procura soluções ótimas, o chamado tradeoff. Além disso, trabalha com o sistema, e não com as partes 
do sistema. A visão holística é fundamental nesse campo de estudo.
Questão 2. A Pesquisa Operacional trabalha com modelos matemáticos que são representações 
da realidade, mas não podem ser tão complexos e difíceis de controlar como a realidade, pois sim não 
haveria nenhuma vantagem em utilizá‑lo. Dessa forma, podemos afirmar que:
Podemos construir modelos que são muito mais simples do que a realidade e, ainda assim, conseguir 
empregá‑los para prever e explicar fenômenos com alto grau de precisão,
Porque
Embora seja necessário um grande número de variáveis para prever um fenômeno com exatidão 
perfeita, um pequeno número de variáveis explica geralmente a maior parte dele.
Em relação às duas afirmativas, podemos dizer que:
A) As duas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
B) As duas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
C) A primeira é verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira é falsa, e a segunda é verdadeira.
E) As duas são falsas.
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Resposta correta: alternativa B.
Análise da alternativa
Justificativa:
Podemos construir modelos que são muito mais simples do que a realidade e, ainda assim, conseguir 
empregá‑los para prever e explicar fenômenos com alto grau de precisão.
Está correto afirmar isso. A utilização de modelos baseia‑se nessas duas premissas, simplificação e 
reprodução da realidade no que ela tem de essencial.
Embora seja necessário um grande número de variáveis para prever um fenômeno com exatidão 
perfeita, um pequeno número de variáveis explica geralmente a maior parte dele.
Está correto o que se afirma. Apesar de na realidade termos uma grande quantidade de variáveis, 
somente umas poucas são responsáveis pela maior parte do comportamento de um fenômeno. Essa 
simplificação justifica a afirmativa anterior, no que diz respeito à simplificação e à correta representação 
da realidade.