Portfólio 03_ Introdução a Analise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA-MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE 
PROFESSOR (A): ANDERSON FEITOZA LEITAO MAIA 
TUTOR (A): HUDSON DE SOUSA FELIX 
ALUNO (A): SABRINA GONÇALVES DE MELO 
MATRÍCULA: 0427767 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUITERIANÓPOLIS-CE 
2019 
 
 
 
 
01) Sejam a racional diferente de zero, e x irracional. Prove que 𝒂𝒙 e 𝒂 + 𝒙 são 
irracionais. Dê exemplo de dois irracionais 𝒙, 𝒚 tais que 𝒙 + 𝒚 e 𝒙𝒚 são 
racionais. 
Solução: 
Como ''a'' é racional diferente de zero e ''x'' irracional. Nesse caso, ''a'' pode ser 
escrito na forma de fração e ''x'' não pode: 
𝑎 =
𝑏
𝑐
 (com ′′𝑏 𝑒 𝑐′′ ′′ ∈ ℕ. ) 
𝑥 =
𝑥
1
 
Sendo assim: 
𝑎 ∗ 𝑥 =
𝑏
𝑐
∗
𝑥
1
 
𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 ∗
𝑥
𝑐
 
Sabemos que um número natural multiplicado por um número irracional gera um 
número irracional. Assim, 
𝑏𝑥
𝑐
 é irracional. 
𝑎 + 𝑥 =
𝑏
𝑐
+ 𝑥 
𝑎 + 𝑥 =
𝑏
𝑐
+ 𝑥 ∗
𝑐
𝑐
 [𝑥 ∗ 𝑐 é irracional (número natural multiplicado por um número 
irracional)] 
𝑎 + 𝑥 =
𝑏 + 𝑥𝑐
𝑐
 
Dessa maneira, a soma de um número natural com um irracional, forma um número 
irracional. Sendo assim, 
𝑏 + 𝑥𝑐
𝑐
 é irracional. 
Exemplos: 𝑎 = 1 + √5, 𝑏 = 1 − √5 , assim 𝑎 + 𝑏 = 2 𝑒 𝑎 ∗ 𝑏 = 1 − 5 = 4. 
04) Seja 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙
𝒏 um polinômio com coeficientes inteiros. 
a) Se um número racional 
𝒑
𝒒
 (com p e q primos entre si) é tal que 𝒇 (
𝒑
𝒒
) = 𝟎, 
prove que p divide 𝒂𝟎 e q divide 𝒂𝒏. 
Solução: 
Se P divide 𝑎0, P é um primo múltiplo de 𝑎0 , tal que 
𝑎0
𝑃
= 𝑥, sendo 𝑥 ≠ 0. 
Sabemos que Q também é primo e que divide 𝑎𝑛, assim 
𝑎𝑛
𝑄
= 𝑌, sendo 𝑌 ≠ 0. 
Se conclui que P e Q são primos múltiplos respectivamente de 𝑎0 e 𝑎𝑛. 
 
08) Sejam A, B conjuntos não-vazios de números reais, tais que 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈
𝑩 ⇒ 𝒙 ≤ 𝒚. Prove que 𝐬𝐮𝐩 𝑨 ≤ 𝐢𝐧𝐟 𝑩. Prove que 𝐬𝐮𝐩 𝑨 = 𝐢𝐧𝐟 𝑩 se, e somente se, 
para todo 𝜺 > 𝟎 dado, podem-se obter 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ 𝑩 tais que 𝒚 − 𝒙 < 𝜺. 
Solução: 
1a parte) Dado 𝑦 ∈ 𝐵 é cota superior de A, logo 𝑠𝑢𝑝 𝐴 ≤ 𝑦 para cada y pois 𝑠𝑢𝑝 𝐴 
é a menor das cotas superiores, essa relação implica que 𝑠𝑢𝑝 𝐴 e cota inferior de B 
logo 𝑠𝑢𝑝 𝐴 ≤ 𝑖𝑛𝑓 𝐵, pois 𝑖𝑛𝑓 𝐵 e a maior cota inferior. 
2a parte) 
Usamos a contra positiva. Não podemos ter 𝑖𝑛𝑓 𝐵 < 𝑠𝑢𝑝 A como fizemos na parte 
anterior, então temos necessariamente que 𝑖𝑛𝑓 𝐵 > 𝑠𝑢𝑝 𝐴, tomamos então 𝜀 = 
𝑖𝑛𝑓 𝐵 − 𝑠𝑢𝑝𝐴 > 0 e temos 𝑦 − 𝑥 ≥ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵 pois 𝑦 ≥ 𝑖𝑛𝑓 𝐵 𝑒 𝑠𝑢𝑝 𝐴 ≥ 𝑥 
de onde segue −𝑥 ≥ −𝑠𝑢𝑝 𝐴, somando esta desigualdade com a de y tem-se 𝑦 −
 𝑥 ≥ 𝑖𝑛𝑓 𝐵 – 𝑠𝑢𝑝 𝐴 = 𝜀. 
⇒ , 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓 𝐵. Então sendo para qualquer 𝜀 > 0, 𝑠𝑢𝑝𝐴 −
𝜀
2
 não é cota 
superior de A, pois é menor que o sup A (que é a menor cota superior), da mesma 
maneira 𝑖𝑛𝑓 𝐴 +
𝜀
2
 não é cota inferior de B, então existem x ∈ A e y ∈ B tais que 
𝑠𝑢𝑝𝐴 −
𝜀
2
< 𝑥 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓 𝐵 ≤ 𝑦 < 𝑖𝑛𝑓 𝐵 +
𝜀
2
 
𝑖𝑛𝑓 𝐵 −
𝜀
2
 < 𝑥 ≤ 𝑦 < 𝑖𝑛𝑓 𝐵 +
𝜀
2
 
de onde segue 𝑖𝑛𝑓 𝐵 −
𝜀
2
 < 𝑥, −𝑥 <
𝜀
2
− 𝑖𝑛𝑓 𝐵 𝑒 𝑦 < 𝑖𝑛𝑓 𝐵 +
𝜀
2
 somando ambas 
tem-se 𝑦 − 𝑥 < 𝜀. 
09) Dado 𝑨 ⊂ 𝑹 não-vazio, limitado inferiormente, seja −𝑨 = {−𝒙, 𝒙 ∈ 𝑨}. Prove 
que −𝑨 é limitado superiormente e que 𝐬𝐮𝐩(−𝑨) = − 𝐢𝐧𝐟 𝑨. 
Solução: 
Dado A contido em R não vazio, limitado inferiormente, seja – 𝐴 é limitado 
superiormente e quesup(−𝐴) = − inf 𝐴. 
Seja A contido em R limitado inferiormente, 𝐴 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … } com 𝑥; < 𝑥; +1, assim 
temos que inf(𝐴) = 𝑥1. 
 sendo 𝑥; < 𝑥; +1 => −𝑥; > −𝑥 => −𝐴 = {… , −𝑥3, − 𝑥2, − 𝑥1} , dessa forma −𝐴 é 
limitada superiormente e sup(𝐴) = −𝑥1 = − inf(𝐴). 
12) Sejam 𝑩 ⊂ 𝑨 conjuntos não-vazios de números reais. Suponha que 𝑨 seja 
limitado superiormente e que, para cada 𝒙 ∈ 𝑨, exista um 𝒚 ∈ 𝑩 tal que 𝒙 ≤ 𝒚. 
Prove que nestas condições, tem-se 𝐬𝐮𝐩 𝑩 = 𝐬𝐮𝐩 𝑨. 
Solução: 
B é limitado inferiormente pois está contido em um conjunto limitado e vale que 
𝑖𝑛𝑓(𝐴) ≤ 𝑖𝑛𝑓(𝐵), pois 𝐵 ⊂ 𝐴, supondo que fosse 𝑐 = 𝑖𝑛𝑓(𝐴) < 𝑖𝑛𝑓(𝐵), então 
tomando 𝜀 = 𝑖𝑛𝑓(𝐵) − 𝑖𝑛𝑓(𝐴) > 0, existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 < 𝑐 + 𝜀 = 𝑖𝑛𝑓(𝐴) − 
𝑠𝑢𝑝(𝐴) + 𝑖𝑛𝑓(𝐵) = 𝑖𝑛𝑓(𝐵), por hipótese existe 𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑖𝑛𝑓(𝐵) 𝑐𝑜𝑚 𝑦 ∈ 𝐵, o que 
é absurdo, pois não pode existir um elemento menor que o ínfimo.