Portfólio 02_ Introdução a Analise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA-MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE 
PROFESSOR (A): ANDERSON FEITOZA LEITAO MAIA 
TUTOR (A): HUDSON DE SOUSA FELIX 
ALUNO (A): SABRINA GONÇALVES DE MELO 
MATRÍCULA: 0427767 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUITERIANÓPOLIS-CE 
2019 
 
 
 
 
03) Prove que 
𝟏−𝒙𝒏+𝟏
𝟏−𝒙
= 𝟏 + 𝒙 + ⋯ + 𝒙𝒏, para todo 𝒙 ≠ 𝟏 𝒆 𝒏 ∈ 𝑵. 
Solução: 
Seja: 𝑃(𝑛) =
1−𝑥𝑛+1
1−𝑥
= 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛 
Para 𝑛 = 1 
No primeiro termo obtemos: 
1−x1+1
1−x
=
1−x2
1−𝑥
=
(1−𝑥)(1+𝑥)
(1−𝑥)
= 1 + 𝑥 
No primeiro termo temos: 1 + 𝑥1 = 1 + 𝑥 
Logo, 𝑃(1) é verdadeira. 
Suponhamos por hipótese que 𝑃(𝑛) seja válida para 𝑛 = 𝑘: 
𝑃(𝑘) =
1−𝑥𝑘+1
1−𝑥
= 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛 → é verdadeira 
Para 𝑛 = 𝑘 + 1: 𝑃(𝑘 + 1) =
[1−𝑥(𝑘+1)+1]
1−𝑥
= 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1 
Adicionando 𝑥𝑘+1 a ambos os membros de 𝑃(𝑘), temos: 
[1 − 𝑥(𝑘+1)]
(1 − 𝑥)
+ 𝑥𝑘+1 = 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1 
(1 − 𝑥𝑘+1) + (1 − 𝑥) ∗ 𝑥𝑘+1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1 
[1 − 𝑥(𝑘+1)]
(1 − 𝑥)
= 1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1 
Logo, pelo princípio da Indução P(n) é verdadeira ∀ 𝑛 ∈ ℕ. 
07) Seja 𝒇: 𝑹 → 𝑹 dada por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟎. 
a) Verifique que 𝒇(𝒙) = 𝒂 (𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
)
𝟐
−
∆
𝟒𝒂
, onde ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄. 
Solução: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 
𝑎𝑥2 +
𝑎
𝑎
∗
2𝑏
2
∗ 𝑥 + 𝑐 = 
𝑎 (𝑥2 + 2 ∗ 1
𝑏
2𝑎
 𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
4𝑎2
) + 𝑐 = 
𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− (−
𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
) = 
𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎
, onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
b) Mostre que se 𝒂 > 𝟎, então o menor valor de 𝒇(𝒙) ocorre quando 𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
 
Solução: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎
 
Se 𝑎 > 0, (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
≥ 0. Então o valor mínimo para 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
) é quando 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
) =
0, isto é 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
. 
c) Mostre que se 𝒂 < 𝟎, então o maior valor de 𝒇(𝒙) é 𝒇 (−
𝒃
𝟐𝒂
) = −
∆
𝟒𝒂
. 
Solução: 
Se 𝑎 < 0, então como (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
 é positivo, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 
𝑎 ∗ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
< 0 ∗ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
→ 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎
≤ 0 −
∆
4𝑎
, ∀ 𝑥 ℝ. 
Portanto, f atinge seu máximo em −
∆
4𝑎
. 
10) Prove que ⃒⃒𝒙⃒ − ⃒𝒚⃒⃒⃒⃒ ≤ ⃒𝒙 − 𝒚⃒⃒⃒ para quaisquer ,x yR . 
Solução: 
Fazendo |𝑥| da seguinte forma: 
|𝑥| = |𝑥 − 𝑦 + 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦| → pela desigualdade triangular 
Portanto, temos, −(|𝑥| − |𝑦|) ≤ |𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥| − |𝑦|. 
Por definição, ||𝑥| − |𝑦|| é um dos números |𝑥| − |𝑦| ou −(|𝑥| − |𝑦|), em ambos 
casos ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|. 
11) Prove que ⃒𝒂 − 𝒃⃒ < 𝜺 ⇒ ⃒𝒂⃒ < ⃒𝒃⃒ + 𝜺. 
Solução: 
|𝑎 − 𝑏| + |𝑏| < ε + |𝑏| → usando a desigualdade triangular, temos: 
|𝑎 − 𝑏| + |𝑏| ≥ |𝑎 − 𝑏 + 𝑏| ≥ |𝑎| 
Assim, obtemos que |𝑎| < |𝑏| + ε 
18) Prove que: 
a) Para quaisquer a,b reais não-negativos vale √𝒂𝒃 ≤
𝒂+𝒃
𝟐
, com a igualdade 
ocorrendo se e só se 𝒂 = 𝒃; 
Observe que √𝑎 e √𝑏são números reais bem definidos 
(√𝑎 − √𝑏)
2
≥ 0 
(√𝑎)
2
− 2√𝑎 ∗ √𝑏 + (√𝑏)
2
≥ 0 
|𝑎| + |𝑏| ≥ 2√𝑎 ∗ √𝑏 
√𝑎 ∗ √𝑏 ≤ 
|𝑎| + |𝑏|
2
 
√𝑎 ∗ 𝑏 ≤ 
|𝑎|+|𝑏|
2
 
Se a, b são negativos, tem se que |𝑎| = 𝑎 e |𝑏| = 𝑏: √𝑎 ∗ 𝑏 ≤ 
|𝑎|+|𝑏|
2
 = 
𝑎+𝑏
2
 
𝒃) 𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 ≥ 𝟎 𝒆 𝒄 ≥ 𝟎 ⟹ (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄)(𝒃 + 𝒄) ≥ 𝟖𝒂𝒃𝒄; 
(𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎 + 𝑐) ∗ (𝑏 + 𝑐) 
2 ∗
(𝑎 + 𝑏)
2
∗ 2 
(𝑎 + 𝑐)
2
∗ 2 
(𝑏 + 𝑐)
2
= 
8 *
(𝑎+𝑏)
2
∗
(𝑎+𝑐)
2
∗
(𝑏+𝑐)
2
≥ 
8 ∗ √𝑎 ∗ 𝑏 ∗ √𝑎 ∗ 𝑐 ∗ √𝑏 ∗ 𝑐 = 
8 ∗ √𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 
8 ∗ √𝑎2 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑐2 = 
8 ∗ |𝑎| ∗ |𝑏| ∗ |𝑐| = 
Logo, (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎 + 𝑐) ∗ (𝑏 + 𝑐) ≥ 8 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 
𝒄)𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝒄𝟒 ≥ 𝒂𝒃𝒄(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 reais; 
𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4= 
𝑎4
2
+
𝑎4
2
+
𝑏4
2
+
𝑏4
2
+
𝑐4
2
+
𝑐4
2
= 
𝑎4
2
+
𝑏4
2
+
𝑎4
2
+
𝑐4
2
+
𝑏4
2
+
𝑐4
2
= 
 𝑎4 + 𝑏4
2
+
 𝑎4 + 𝑐4
2
+
 𝑏4 + 𝑐4
2
≥ 𝑎2 ∗ 𝑏2 + 𝑎2 ∗ 𝑐2 + 𝑏2 ∗ 𝑐2 ≥ 
𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2
2
+ 
𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2
2
+
𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑐2
2
≥ 
𝑎𝑏𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑏𝑐 + 𝑎𝑐𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 
𝒅)𝒂, 𝒃, 𝒄 > 𝟎 ⟹
𝟏
𝒂
+
𝟏
𝒃
+
𝟏
𝒄
≤
𝒂𝟖 + 𝒃𝟖 + 𝒄𝟖
𝒂𝟑𝒃𝟑𝒄𝟑
 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 
𝑎8 + 𝑏8 + 𝑐8 = (𝑎2)4 + (𝑏2)4 + (𝑐2)4 ≥ 
𝑎2𝑏2𝑐2 ∗ (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) = 
𝑎3 ∗ 𝑎𝑏3 ∗ 𝑐3
𝑎𝑏𝑐
∗ (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) = 
𝑎3 ∗ 𝑎𝑏3 ∗ 𝑐3 ∗ (
𝑎2 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑐2
𝑎𝑏𝑐
) 
Note que 
1
𝑎
+
1
𝑏
+
1
𝑐
= 
𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑐
 ≤ 
𝑏2+𝑎2
2
+
𝑎2+𝑐2
2
+
𝑐2+𝑏2
2
𝑎𝑏𝑐
= 
2𝑎2
2
+
2𝑏2
2
+
2𝑐2
2
𝑎𝑏𝑐
=
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏𝑐
 
Logo, 
𝑎8+𝑏8+𝑐8
𝑎3𝑏3𝑐3
≥
𝑎3∗𝑏3∗𝑐3
𝑎3𝑏3𝑐3
∗
𝑎2∗𝑏2∗𝑐2
𝑎𝑏𝑐
≥
1
𝑎
+
1
𝑏
+
1
𝑐