MA11 - Exercícios Resolvidos - 3 12

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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
1 Conjuntos
1. Sejam P propriedades referentes a elementos de um conjunto universo .1, P , Q , Q2 1 2 U
Sup onha que P1 e P esgotam todos os casos posśıveis (ou seja, um elemento qualquer de 2 U
ou tem propriedade P ou têm P ). Suponha ainda que Q e Q são incompat́ıveis (isto é,1 2 1 2
excluem-se mutualmente). Suponha, finalmente, que P e P . Prove que valem as1 ⇒ Q1 2 ⇒ Q2
rećıpro cas: Q1 ⇒ P P .1 e Q2 ⇒ 2
Solução:
Como P e P esgotam todas as possibilidades e P , então um1 2 1 ⇒ Q1 b em como P2 ⇒ Q2
elemento de U ou têm propriedade Q ou têm propriedade Q . Ou em outras palavras: não pode1 2
haver elemento de que não goze de Q e QU 1 2 ao mesmo temp o.
Suponha por absurdo que Q . Neste caso um elemento têm também1 ⇒ P2 u pertencente a U
propriedade Q . O que gera um absurdo já que Q e Q se excluem mutualmente.2, p ois P2 ⇒ Q2 1 2
Logo Q .1 ⇒ P1
Analogamente se prova que Q2 ⇒ P .2
2. Enquadre no contexto do exerćıcio anterior o seguinte fato geométrico: Duas obĺıquas que
se afastam igualmente do pé da perpendicular são iguais. Se se afastam desigualmente então são
desiguais e a maior é a que mais se afasta.
Solução:
Fazendo uma comparação com o exerćıcio anterior teremos:
P1: Propriedade de se afastar igualmente.
Q1: Propriedade de serem de tamanhos iguais.
P2: Propriedade de se afastar desigualmente.
Q2: Propriedade de terem tamanhos desiguais.
De modo que P e a reciproca também é verdadeira.1 ⇒ Q1, P2 ⇒ Q2
3. Sejam X subconjuntos do conjunto universo . Suponha que X e1X2, Y1Y2 U 1∪X2 = U
Y Y Y1∩ 2 = ∅, que X1 ⊂ 1 e que X . Prove que X = Y e X = Y .2 ⊂T2 1 1 2 2
Solução:
Como por hipótese X1 ⊂ Y1 então basta provar que X que por dupla inclusão teremos1 ⊃ Y1
mostrado que: X = Y .1 1
Para mostrar que X . Como por hipótese X1 ⊃ Y1 tomemos um elemento y ∈ Y1 1 ∪ X2 = U
então y pertence a X ou pertence a X .1 2
2
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Se y ∈ X2 e X2 ⊂ Y2 então y ∈ Y2. O que seria um absurdo já que Y1 ∩ Y2 = ∅. Logo y ∈
X1 o que prova que X1 ⊃ Y1. E portanto que X = Y .1 1
Analogamente se prova que X = Y .2 2
4. Compare o exerćıcio anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos
enunciados. Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido pelo outro.
Solução:
Para provarmos que X1 = Y , por exemplo precisávamos apenas mostrar que: X .1 1 ⊃ Y1
Assim se tomarmos um elemento , P como a propriedade de pertencer a X e Qu de U 1 1 1
como a propriedade de pertencer a Y . Então podemos afirmar que P1 1 ⇒ Q1. Já que X .1 ⊂ Y1
Neste caso provar a reciproca (Q ), seria o equivalente a provar X .1 ⇒ P1 1 ⊃ Y1
Em outras palavras provar a questão 3 implica na prova da questão 1 e vice-versa.
5. Ainda no tema do primeiro exerćıcio, seria válido substituir as implicações P1 ⇒ Q1 e P2
⇒ Q2 na hipótese por suas reciprocas Q e Q1 ⇒ P1 2 ⇒ P ?2
Solução:
Essa substituição não obriga a implicação P e P . Basta imaginar o exemplo1 ⇒ Q1 2 ⇒ Q2
em que U = N, P1 é a propriedade “n é par”, P2 significa “n é impar”, Q que dizer “n e múltiplo1
de 4” e Q diz “n é um numero primo maior do que 2”.2
6. Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação 
√
x+ 2 = 2, veja
quais são reverśıveis e explique o aparecimento de ráızes estranhas. Faça o mesmo com a equação√
x+ 3 = .x
Solução:
Fazendo y = têm se:
√
x ⇒ y + 2 = y2 ∗
⇒ y2 − y − 2 = 0
⇒ (y − 2)(y + 1) = 0 (1)
⇒ y = 2, y = −1 (2)
como y =
√
x de (1) e (2) temos:
2 = (3)
√
x
−1 = 
√
x (4)
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De (3) segue que x = 4.
(
√
x)2 = 22
x = 4
De (4) segue que x = 1.
(
√
x) 1)2 = (− 2
x = 1
Testando estas ráızes chegamos a conclusão de que a solução de é apenas 4.
√
x+ 2 = x
√
x+ 2 = x
√
4 + 2 = 4
2 + 2 = 4
4 = 4
A passagem marcada por é a única implicação irreverśıvel. Como y = ( a sub-∗ 2 ±
√
x)2
stituição de x por y acaba gerando uma equação com duas ráızes. Uma delas seria a tal “raiz
estranha”.
Analogamente se resolve 
√
x+ 3 = .x
7. Mostre que, para todo 0, a equação tem exatamente uma raiz.m > 
√
x+m = x
Solução:
Seja y =
√
x então:
√
x+m = x p o de ser escrita como y +m = y2
⇒ y2 − y −m = 0
Aplicando bhaskara:
y =
−( ( 1) 4(1)( )−1) ±
p
− 2 − −m
2(1) 
=
1±
√
1 + 4m
2
Como por hipótese m > 0 então a (1 + 4m) > 0 e a equação = 0 possuirá duasy2 − y −m
ráızes, uma positiva e uma negativa que chamaremos de k1 e −k2 (com ).k1, k2 ∈ R
Se y = −k2 então 
√
x = −k2 e x = (k2)2 sendo assim:
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√
x+ +m = x⇒ −k2 m = (k2)2
⇒ m = (k2)2 + k2
⇒ m > (k2)2 (1)
mas como 
√
x = −k2 então:
m > (k2)
2 ⇒ m > x
Essa implicação no entanto é um absurdo pois analisando a equação (
√
x + m = x), e a
condição de que 0 então devemos ter não pode ser igual a m > x ≥ m. Logo x −k2 p ois isso
resultaria em m > x
Logo a equação só possui uma raiz. E ela é positiva.
8. Considere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas:
x = 1 ⇔ x2 − 2x+ 1 = 0
⇔ x2 − 2 · 1 + 1 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ x = ±1
Conclusão (?): 1. Onde está o erro?x = 1 ⇔ x = ±
Solução:
O problema está na segunda implicação. Enquanto x2 − 2x + 1 = 0 1 + 1 = 0 a⇒ x2 − 2 ·
reciproca não é verdadeira, pois se 1 então (x = − −1)2 − 2 · 1 + 1 também é igual a zero. Ou
seja, a passagem de x2 − 2x+ 1 = 0 para x2 − 2(1) + 1 = 0 é irreverśıvel.
9. As ráızes do polinômio 6 são 1, 2 e 3. Substitua, nesse polinômio, o termox3−6x2 + 11x−
11x p or 11 · 2 = 22, obtendo então x3 − 6x2 + 16, que ainda tem 2 como raiz mas não se anula
para x = 1 nem x = 3. Enuncie um resultado geral que explique este fato e o relacione com o
exerćıcio anterior.
Solução:
Dado um polinômio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d cuja raiz é α então p( ) = 0. Tomando agoraα
um segundo polinômio q(x) = cx p o de-se escrever p(x) como:
p(x x) = ax bx3 + 2 + q( ) + d
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Repare que está substituição nada muda em p(x). De modo que p( ) continua sendo raizα
de p(x). Desse modo substituir q( ) pelo termo “qx” em p(x) significa apenas que estamosα
substituindo x p or α em “qx”.
p(x) = ax3 + bx2 + cα + d
Assim α continua sendo raiz de p(x), mas as suas demais ráızes perdem o sentido.
Esse fato também se verifica no exerćıcio anterior quando substitúımos x por 1 na equação
x2 − 2x+ 1 = 0
10. Seja P(x) uma condição envolvendo a variável x.
(1) “Para todo x, é satisfeita a condição P(x)”
(2) “Existe algum x que satisfaz a condição P(x).
a) Sendo A o conjunto de objetos x (de um certo conjunto universo ) que satisfazem aU
condição P(x), escreva as sentenças (1) e (2) acima, usando a linguagem dos conjuntos.
b) Quais as negações de (1) e (2)?
c) Paracada sentença abaixo diga se ela é verdadeira ou falsa e forme sua negação:
• Existe um numero real tal que 1.x x2 = −
• Para todo numero inteiro , vale .n n2 > n
• Para todo numero real , tem-se 1 ou 1.x x > x2 <
• Para todo numero real existe um numero natural tal que x n n > x.
• Existe um numero natural tal que, para todo numero real , tem se n x n > x.
Solução de A:
Da sentença (1) conclui-se apenas que: todo também pertence a A. Não se pode dizerx ∈ U
que A = U porque não se sabe se é constitúıdo apenas de objetos x.U
De (2) se conclui-que A 6= ∅
Assim as sentenças (1) e (2) escritas na forma de conjunto seriam respectivamente:
(1) A = { | }x x ∈ U
(2) A 6= ∅
Solução de B:
A negação de (1) é: Existe um , tal que P(x) não é satisfeita. Que na forma de conjuntox
seria:
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A ⊂ U
Essa notação sugere que mesmo que seja composto apenas de objetos então, “A” aindaU x
seria sub conjunto de U já que ao menos um elemento pertenceria ao conjunto universo mas,x
não a “A”.
A negação de (2) é: Nenhum elemento satisfaz a condição P(x). Que na forma de conjuntox
seria:
A = ∅
Solução de C:
• Falsa. Pois isso implicaria na existência de uma raiz negativa.
A negação da afirmação será: Para todo numero real x, têm se x 1.2 6= −
• Falsa. Pois 1 é um numero inteiro e 1 não é maior que ele mesmo (1 1).2 2 >
A negação da afirmação será: Existe um numero inteiro n tal que .n n2 ≤
• Falsa. Pois 2 é um numero real e 2 12 >
A negação da afirmação será: Existe um numero real tal que 1 e 1.x x ≤ x2 ≥
• Verdadeira. Dado um numero real na forma r r =
p
q
então q r = p e p ertence
aos naturais de modo que .q r > r 
A negação da afirmação será: Existe um numero real x tal que paran < x 
to do numero natural .n
• Falsa. O problema aqui está no fato da afirmação garantir a unicidade do numero
natural. O que ocorre é que, dado um r ∈ R existem diversos naturais tais quen
n > r.
A negação da afirmação será: Para todo numero natural n, existe um numero
real x tal que .n ≤ x
11. Considere os conjuntos abaixo:
F = conjunto de todos os filósofos.
M = conjunto de todos os matemáticos.
C = conjunto de todos os cientistas.
P = conjunto de todos os professores.
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a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos.
1) Todos os matemáticos são cientistas.
2) Alguns matemáticos são professores.
3) Alguns cientistas são filósofos.
4) Todos os filósofos são cientistas ou professores.
5) Nem todo professor é cientista.
b) Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:
6) Alguns matemáticos são filósofos
7) Nem todo filosos é cientista
8) Alguns filósofos são professores
9) Se um filosofo não é matemático, ele é professor.
10) Alguns filósofos são matemáticos.
c) Tomando as 5 primeiras afirmativas como hipóteses, verifique quais das afirmativas (6 ema
diante), são necessariamente verdadeiras.
Solução de A:
1) M C⊆
2) M ∩ P 6= ∅
3) C ∩ F 6= ∅
4) C F∪ P ⊃
5) P ∩ Cc 6= ∅
Solução de B:
6) M ∩ F 6= ∅
7) F ∩ Cc 6= ∅
8) F ∩ P 6= ∅
9) F P⊂ M ∪
10) F ∩ M 6= ∅
Solução de C:
A única alternativa verdadeira é a de numero nove.
12. O artigo 34 da Constituição Brasileira de 1988 diz o seguinte: “A União não intervirá
nos Estados nem no Distrito Federal, exceto para:
I. Manter a integridade nacional;
II. Repelir invasão estrangeira ou de unidade da Federação em outra”
I I I. ...;
a) Suponhamos que o estado do Rio de Janeiro seja invadido por tropas do estado de São
Paulo. O texto acima obriga a União a intervir no estado? Na sua opinião, qual era a intenção
dos legisladores nesse caso:
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b) Reescreva o texto do artigo 34 de modo a torná-lo mais preciso.
Solução de a:
O texto não obriga a intervenção da federação.
Solução de b:
A União intervirá nos Estados ou no Distrito (...).
13. Prove que x2 + x− 1 = 0⇒ x3 − 2x+ 1 = 0.
Solução:
Se x2 + x − 1 = 0 então ( 1) = 0. Como (x − 1)(x2 + x − x − 1)( 2x2 + x + 1) = x3 − x + 1
então pode se afirmar que:
x x2 + x− 1 = 0⇒ 3 − 2x+ 1 = 0
14. Prove que, para x, y e k inteiros, tem se x+ 4 + 3y = 13k ⇔ 4x y = 13(4k − y). Conclua
que 4 são diviśıveis por 13 para os mesmos valores inteiros de .x+ 3 + 4y e x y x e y
Solução:
x x+ 4y = 13k ⇒ 4 + 16y = 52k
⇒ 4x+ (3 + 13y y) = 52k
⇒ 4x+ 3y = 52k − 13y
⇒ 4x+ 3y = 13(4k − y)
A conclusão de que é diviśıvel por 13 é evidente já que é inteiro e:x+ 4y k
k =
x+ 4y
13
O que obriga a à divisibilidade por 13.x+ 4y
Analogamente se conclui que 4 também é diviśıvel por 13. Já que o produto de inteirosx+ 3y
também é inteiro (3k) e a subtração entre eles também (3 ).k − y
15. O diagrama de Venn para os conjuntos X, Y, Z decompõe o plano em oito regiões. Numere
essas regiões e exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas dessas regiões.
(Por exemplo: X − Y = 1 2).∪
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a) ( );Xc ∪ Y c
b) ( ;Xc ∪ Y ) ∪ Zc
c) (Xc ∩ Y ) ∪ ( );X ∩ Zc
d) (X ∪ Y )c ∩ Z
Solução de D:
Uma representação posśıvel para essas oito regiões é a seguinte.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Assim:
(X ∪ Y ) = 3 ∪ ∪4 . . . ∪ 8
( ) (X ∪ Y c = (1 ∪ 2 . . . ∪ 8) − X ∪ Y ) = 1 2∪
( )X ∪ Y c ∩ Z = (1 ∪ 2) (1 ∩ ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = 1
As demais respostas seguem a mesma lógica.
16. Exprimindo cada membro como reunião de regiões numeradas, prove as desigualdades:
a) (X ∪ Y ) ∩ Z = ( );X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z
b) X ∪ ( )Y ∩ Z c = X ∪ Y c ∪ Zc
Solução de A:
Nesse caso pode-se usar o diagrama do exerćıcio anterior.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Considerando apenas o lado direito da igualdade ( ) temos:X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z
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(X ∪ Y ) ∩ Z = [(7 ∪ 8 5∪ ∪ 4) (3 ∪ ∪ 8 5∪ ∪ 6)] ∩ (4 1)∪ 5 6∪ ∪
(X ∪ Y ) ∩ Z = [(7 ∪ 8 5 4∪ ∪ ∪ 3 ∪ 6)] ∩ (4 1)∪ 5 6∪ ∪
(X ∪ Y ) ∩ Z = 4 ∪ 5 ∪ 6 (1)
Considerando agora o lado esquerdo:
(X ∩ Z) ∪ ( 5 7 (4 5 6 ((3 5 6 (1 4 5 6))Y ∩ Z) = ((4, , , 8) ∩ , , , 1)) ∪ , , , 8) ∩ , , ,
(X ∩ Z) ∪ ( (5 6)Y ∩ Z) = (4, 5) ∪ ,
(X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) = 4, ,5 6 (2)
Comparando (1) e (2) fica provado a igualdade.
Solução de B:
Análoga a anterior.
17. Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condição necessária e suficientes para que se
tenha A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.
Solução:
Para este problema novamente usaremos a imagem a seguir.
1
2 3
4
5
6
8
7
X Y
Z
Primeiro vamos calcular o lado direito da igualdade:
A ∪ (B ∩ C) = 7 6∪ 4 8 5∪ ∪ ∪
e agora o lado esquerdo.
(A ∪B) ∩ C = 4 6∪ 5 ∪
Para que (7 6) e (4 6) sejam iguais seria necessário que a região 7 8 fosse∪ 4 8 5∪ ∪ ∪ ∪ 5∪ ∪
vazia ou que: 7 ∪ 8 = 4 ou 7 8 = 5 ou mesmo 7 8 = 6.∪ ∪
Se 7 ∪ 8 for vazioentão A ⊂ C. Se 7 ∪ 8 for igual a 4, 5 ou mesmo 6 também teremos .A ⊂ C
Portanto a condição para que a igualdade seja verdadeira é de que: .A ⊂ C
11