AULA 6 - SOLUÇÕES DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Prévia do material em texto

1 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
-ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA- 
Professor: Me Dhisney Gonçalves de Oliveira 
_________________________________________________________________________________________________ 
AULA 6 - SOLUÇÕES DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
Revisão sobre algumas generalidades dos sistemas de equações lineares 
Equação linear: equação do 1º grau que possui uma ou mais incógnitas, representadas por: 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2+ . . . + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
Sendo: 
𝑎1, 𝑎2 e 𝑎𝑛 → Respectivos coeficientes das incógnitas 
𝑥1, 𝑥2 e 𝑥𝑛 → Respectivas incógnitas; 
 𝑏 → termo independente. 
Sistema de equações lineares: sistema de “𝑚” equações lineares a “𝑛” incógnitas (conjunto de equações), 
representado por: 
{
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥1+. . . + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥1+. . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥1+. . . + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
…
…
…
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥1+. . . + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Os sistemas de equações lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis, podendo 
ser: Sistema possível e determinado - 𝑆𝑃𝐷 - det[𝑀] ≠ 0 (quando existe apenas uma única solução que satisfaz as 
equações -); Sistema possível e indeterminado - 𝑆𝑃𝐼 - det[𝑀] = 0 (quando existem infinitas soluções que satisfaz as 
equações); ou Sistema impossível - 𝑆𝐼 - det[𝑀] = 0, porém, det[𝑀𝑥] , det[𝑀𝑦] ou det[𝑀𝑛] ≠ 0 (não existe nenhuma 
solução que satisfaz as equações). 
Na associação de um sistema de equações lineares a uma matriz, as linhas e colunas da matriz são preenchidas 
pelos coeficientes das equações e pelos termos independentes (matriz completa). 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
Solucionar um sistema de equação linear consiste em determinar os valores das “𝑛” incógnitas que satisfazem as 
“𝑚” equações do sistema. 
Existem vários métodos para solucionar um sistema de equação linear, sendo, a quantidade equações e 
incógnitas o principal parâmetros a ser considerado na escolha de um método. 
Sistema e equações lineares com duas equações e duas incógnitas. 
Satisfazendo essas condições, existem diversos métodos, sendo, os mais conhecidos: o método da substituição; 
método da comparação; e o método da adição. 
¬ Método da substituição 
 2 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
Método que consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e posteriormente, realizar a 
substituição na outra equação. 
Exemplo 1. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas pelo método da 
substituição. 
{
3𝑥 + 𝑦 = 11
𝑥 + 2𝑦 = 7
 
Solução: 
1º Passo: Isolar uma das equações: 
{
3𝑥 + 𝑦 = 11 [1]
𝑥 + 2𝑦 = 7 [2]
 
 [1] 3𝑥 + 𝑦 = 11 → 𝑦 = 11 − 3𝑥 
2º Passo: Substituir a equação [1] na equação [2]. 
[2] 𝑥 + 2𝑦 = 7 
𝑥 + 2 ∙ (11 − 3𝑥) = 7 
𝑥 + 22 − 6𝑥 = 7 
𝑥 − 6𝑥 = 7 − 22 
−5𝑥 = −15 
𝑥 =
−15
−5
 
𝑥 = 3 
3º Passo: Substituir o valor da primeira incógnita na equação [1]: 
[1] 𝑦 = 11 − 3𝑥 
𝑦 = 11 − 3 ∙ 3 
𝑦 = 11 − 9 
𝑦 = 2 
4º Passo: Tirar a prova: 
{
3𝑥 + 𝑦 = 11
𝑥 + 2𝑦 = 7
 
{
3 ∙ 3 + 2 = 11
3 + 2 ∙ 2 = 7
 
{
9 + 2 = 11
3 + 4 = 7
 
{
11 = 11
7 = 7
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {3, 2}. 
 3 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
¬ Método da comparação 
Consiste em isolar uma das incógnitas nas duas equações e posteriormente igualar os valores. 
Exemplo 2. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas pelo método da 
comparação. 
{
𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 5𝑦 = 4
 
Solução: 
1º Passo: Isolar a mesma incógnita na equação [1] e na equação [2]: 
[1] 𝑥 + 2𝑦 = 5 → 𝑥 = 5 − 2𝑦 
[2] 3𝑥 − 5𝑦 = 4 → 3𝑥 = 4 + 5𝑦 → 𝑥 =
4 + 5𝑦
3
 
2º Passo: Igualar as duas equações [1] = [2], e posteriormente, solucionar uma das incógnitas: 
5 − 2𝑦 =
4 + 5𝑦
3
 
3 ∙ (5 − 2𝑦) = 4 + 5𝑦 
15 − 6𝑦 = 4 + 5𝑦 
−6𝑦 − 5𝑦 = 4 − 15 
−11𝑦 = −11 
𝑦 =
−11
−11
 
𝑦 = 1 
3º passo: Substituir o valor da primeira incógnita na equação [1] ou na equação [2]: 
𝑥 = 5 − 2𝑦 
𝑥 = 5 − 2 ∙ 1 
𝑥 = 5 − 2 
𝑥 = 3 
4º Passo: Tirar a prova: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 5𝑦 = 4
 
{
3 + 2 ∙ 1 = 5
3 ∙ 3 − 5 ∙ 1 = 4
 
{
3 + 2 = 5
9 − 5 = 4
 
{
5 = 5
4 = 4
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {3, 1}. 
 4 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
¬ Método da adição: 
Consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a 
equação [1] na equação [2], uma das incógnitas fique igual a zero. 
Exemplo 3. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas pelo método da 
adição. 
{
2𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 + 3𝑦 = −4
 
Resolução: 
1º Passo: Multiplique uma das equações por um escalar de forma que, o coeficiente de uma das incógnitas em 
uma equação seja oposto ao coeficiente da mesma incógnita da outra equação: 
[1] − 3 ∙ (2𝑥 + 𝑦 = 2) → −6𝑥 − 3𝑦 = −6 
Substituindo, temos: 
{
−6𝑥 − 3𝑦 = −6
𝑥 + 3𝑦 = −4
 
Note que agora temos dois coeficientes que são opostos. 
2º Passo: Soma as duas equações: 
−6𝑥 − 3𝑦 = −6
 𝑥 + 3𝑦 = −4
 −5𝑥 + 0 = −10
 
3º Passo: Soluciona a única incógnita resultante: 
−5𝑥 = −10 
𝑥 =
−10
−5
 
𝑥 = 2 
4º Passo: Substitui uma das incógnitas na equação [1] ou na equação [2]: 
2𝑥 + 𝑦 = 2 
2 ∙ 2 + 𝑦 = 2 
4 + 𝑦 = 2 
𝑦 = 2 − 4 
𝑦 = −2 
5º Passo: Tirar a prova: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 + 3𝑦 = −4
 
{
2 ∙ 2 − 2 = 2
2 + 3 ∙ (−2) = −4
 
{
4 − 2 = 2
2 − 6 = −4
 
{
2 = 2
−4 = −4
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {2, −2}. 
 5 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
Sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas 
Em sistemas com tais características, o procedimento de resolução dá-se por associação do sistema de equações 
lineares a uma matriz completa. Dentre os vários métodos utilizados, os mais conhecidos são: Regra de Crammer; 
Eliminação de Gauss (ou Escalonamento). 
¬ Método de Crammer 
Consiste na resolução através dos valores das determinantes da matriz, onde: 
𝑥 =
∆𝑥
∆
 𝑦 =
∆𝑦
∆
 𝑧 =
∆𝑧
∆
 
Sendo: 
∆ → Determinante da matriz incompleta do sistema = 𝑑𝑒𝑡 [𝑀]; 
∆𝑥→ Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de 𝑥 pela coluna dos termos 
independentes; 
∆𝑦→ Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de 𝑦 pela coluna dos termos 
independentes; 
∆𝑧→ Determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de 𝑧 pela coluna dos termos 
independentes. 
Exemplo 4. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas pelo método de 
Crammer. 
{
2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 10
4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 16
2𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 = 24
 
Resolução: 
1º Passo: Faça a associação do sistema de equação a uma matriz incompleta estendida: 
[
2 4 −6
4 2 2
2 8 −4
|
2 4
4 2
2 8
] 
2º Passo: Encontre o valor de ∆: 
∆ = [
2 4 −6
4 2 2
2 8 −4
|
2 4
4 2
2 8
] 
∆ = 2 ∙ 2 ∙ (−4) + 4 ∙ 2 ∙ 2 + (−6) ∙ 4 ∙ 8 − [4 ∙ 4 ∙ (−4) + 2 ∙ 2 ∙ 8 + (−6) ∙ 2 ∙ 2] 
∆ = −16 + 16 − 192 − [−64 + 32 − 24] 
∆ = −192 − [−56] 
∆ = −192 + 56 
∆ = −136 
Note que det[𝑀] ≠ 0, logo, temos um 𝑆𝑃𝐷, ou seja, uma solução possível 
 6 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
3º Passo: Determine ∆𝑥, ∆𝑦 e ∆𝑧. Na matriz estendida, substitua os elementos coluna referente a cada uma das 
incógnitas pela coluna dos termos independentes,ou seja: 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = [
10
16
24
] 
Para ∆𝑥: 
∆𝑥 = [
10 4 −6
16 2 2
24 8 −4
|
10 4
16 2
24 8
] 
∆𝑥 = 10 ∙ 2 ∙ (−4) + 4 ∙ 2 ∙ 24 + (−6) ∙ 16 ∙ 8 − [4 ∙ 16 ∙ (−4) + 10 ∙ 2 ∙ 8 + (−6) ∙ 2 ∙ 24] 
∆𝑥 = −80 + 192 − 768 − [−256 + 160 − 288] 
∆𝑥 = −656 − [−384] 
∆𝑥 = −656 + 384 
∆𝑥 = −272 
Para ∆𝑦: 
∆𝑦= [
2 10 −6
4 16 2
2 24 −4
|
2 10
4 16
2 24
] 
∆𝑦= 2 ∙ 16 ∙ (−4) + 10 ∙ 2 ∙ 2 + (−6) ∙ 4 ∙ 24 − [10 ∙ 4 ∙ (−4) + 2 ∙ 2 ∙ 24 + (−6) ∙ 16 ∙ 2] 
∆𝑦= −128 + 40 − 576 − [−160 + 96 − 192] 
∆𝑦= −664 − [−256] 
∆𝑦= −664 + 256 
∆𝑦= −408 
Para ∆𝑧: 
∆𝑧= [
2 4 10
4 2 16
2 8 24
|
2 4
4 2
2 8
] 
∆𝑧= 2 ∙ 2 ∙ 24 + 4 ∙ 16 ∙ 2 + 10 ∙ 4 ∙ 8 − [4 ∙ 4 ∙ 24 + 2 ∙ 16 ∙ 8 + 10 ∙ 2 ∙ 2] 
∆𝑧= 96 + 128 + 320 − [384 + 256 + 40] 
∆𝑧= 544 − [680] 
∆𝑧= −136 
4º Passo: Determinar os valores das incógnitas: 
𝑥 =
∆𝑥
∆
=
−272
−136
= 2 
 
 7 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
 𝑦 =
∆𝑦
∆
=
−408
−136
= 3 
𝑧 =
∆𝑧
∆
=
−136
−136
= 1 
5º Passo: Tirar a prova: 
{
2 ∙ 2 + 4 ∙ 3 − 6 ∙ 1 = 10
4 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 16
2 ∙ 2 + 8 ∙ 3 − 4 ∙ 1 = 24
 
{
4 + 12 − 6 = 10
8 + 6 + 2 = 16
4 + 24 − 4 = 24
 
{
10 = 10
16 = 16
24 = 24
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {2 3 1}. 
¬ Método da eliminação de Gauss 
Ou escalonamento, e um procedimento que consiste em isolar as incógnitas a partir da matriz completa, 
fundamentado em três transformações elementares, sendo: 
1ª Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do 
sistema: 
{
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
= {
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
 
2ª Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das 
equações do sistema, por um número real não nulo. 
{
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
= {
4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 6 
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
 
Note que a primeira equação foi multiplicada pelo escalar 2. 
3ª Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida 
a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação: 
{
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
= {
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4 
−5𝑦 − 5𝑧 = 5
−11𝑦 − 5𝑧 = −17
 
Exemplo 5. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas pela eliminação de 
Gauss. 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 10
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = − 6
 
Resolução: 
1º Passo: Faça a associação do sistema de equação a uma matriz incompleta estendida: 
[
1 2 −3
2 1 1
−3 2 1
 
10
3
−6
] 
 8 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
2º Passo: Realizar operações entre as linhas da matriz, até obter apenas uma linha e coluna referente aos 
coeficientes das incógnitas igual a zero. 
Seja 𝐿1, 𝐿2 e 𝐿3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, substitua a linha 2 e 3 por uma linha obtida pela 
operação realizada entre a primeira linha e a linha a qual pretende substituir, desde que essa nova linha resulte 
em um coeficiente igual a zero, ou seja: 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿2, sendo a 𝐿1 a ser mantida na nova matriz e a 𝐿2 a ser substituída: 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎: 𝐿1 = [1 2 −3 10] 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑑𝑎: 𝐿2 = [2 1 1 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 + 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑑𝑎 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
O valor de 𝛼 pode ser determinado substituindo o termo da primeira coluna em cada uma das linhas, sendo: 
𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 = 0 
𝛼 =
−𝐿2
𝐿1
 
𝛼 =
−2
1
 
𝛼 = −2 
Logo, a nova linha é dada por: 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ [1 2 −3 10] + [2 1 1 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [1 ∙ (−2) 2 ∙ (−2) −3 ∙ (−2) 10 ∙ (−2)] + [2 1 1 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 −4 6 − 20] + [2 1 1 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 + 2 −4 + 1 6 + 1 − 20 + 2] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟐 = [𝟎 −𝟑 𝟕 − 𝟏𝟕] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿3, sendo a 𝐿1 a ser mantida (sempre a mesma da etapa anterior) na nova matriz e a 𝐿3 a 
ser substituída: 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎: 𝐿1 = [1 2 −3 10] 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑑𝑎: 𝐿3 = [−3 2 1 − 6] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 + 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑑𝑎 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 = 0 
𝛼 =
−𝐿3
𝐿1
 
 9 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝛼 =
−(−3)
1
 
𝛼 = 3 
Logo, a nova linha é dada por: 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 3𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 3 ∙ [1 2 −3 10] + [−3 2 1 − 6 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [1 ∙ 3 2 ∙ 3 −3 ∙ 3 10 ∙ 3] + [−3 2 1 − 6] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [3 6 −9 30] + [−3 2 1 − 6] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [3 + (−3) 6 + 2 −9 + 1 30 − 6] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟑 = [𝟎 𝟖 −𝟖 𝟐𝟒] 
3º Passo: Reescrever a nova matriz: 
[
1 2 −3
0 −3 7
0 8 −8
 
10
−17
24
] 
Lembrando que, a linha ser mantida deve ser escolhida antes de iniciar as operações e essa deve ser alocada na 
primeira linha (1ª transformação elementar). 
Note que ainda não temos uma matriz onde uma de suas linhas apresenta apenas uma única coluna que 
representa os coeficientes das incógnitas diferente de zero. Logo, preciso repetir a operação; 
[
1 2 −3
0 −3 7
0 8 −8
 
10
−17
24
] 
Agora, a operação é entre a 𝐿2 e 𝐿3, sendo a 𝐿2 a ser mantida na nova matriz e a 𝐿3 a ser substituída: 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎: 𝐿2 = [0 −3 7 − 17] 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑑𝑎: 𝐿3 = [0 8 −8 24] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿3 + 𝐿2 
𝛼 ∙ 𝐿3 + 𝐿2 = 0 
𝛼 ∙ 𝐿3 = −𝐿2 
𝛼 =
−𝐿2
𝐿3
 
𝛼 =
−3
−8
=
3
8
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = 
3
8
𝐿3 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = 
3
8
∙ [0 8 −8 24 ] + [0 −3 7 − 17] 
 10 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = [
3
8
∙ 0 
3
8
∙ 8 
3
8
∙ (−8) 
3
8
∙ 24 ] + [0 −3 7 − 17] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = [0 3 −3 9 ] + [0 −3 7 − 17] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = [0 + 0 3 + (−3) −3 + 7 9 + (−17)] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐿3 = [0 0 4 − 8] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
[
1 2 −3
0 −3 7
0 0 4
 
10
−17
−8
] 
4º Passo: Fazer a associação da matriz completa ao sistema de equação linear: 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 10
0𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = −17
0𝑥 + 0𝑦 + 4𝑧 = − 8
→ {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 10
−3𝑦 + 7𝑧 = −17
4𝑧 = − 8
 
5º Passo: Determinar o valor das incógnitas, iniciando pela equação que apresenta uma única incógnita: 
4𝑧 = − 8 
𝑧 =
−8
4
 
𝒛 = −𝟐 
−3𝑦 + 7𝑧 = −17 
𝑦 =
−17 − 7𝑧
−3
 
𝑦 =
−17 − 7 ∙ (−2)
−3
 
𝑦 =
−17 + 14
−3
 
𝑦 =
−3
−3
 
𝒚 = 𝟏 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 10 
𝑥 = 10 − 2𝑦 + 3𝑧 
𝑥 = 10 − 2 ∙ (1) + 3 ∙ (−2) 
𝑥 = 10 − 2 − 6 
𝒙 = 𝟐 
6º Passo: Tirar a prova: 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 10
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = − 6
 
{
2 + 2 ∙ 1 − 3 ∙ (−2) = 10
2 ∙ 2 + 1 + (−2) = 3
−3 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + (−2) = − 6
 
 11 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
{
2 + 2 + 6 = 10
4 + 1 − 2 = 3
−6 + 2 − 2 = − 6
 
{
10 = 10
3 = 3
−6 = − 6
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {2 1 −2}. 
Sistema de equações lineares com mais de três equações e incógnitas 
Sendo um 𝑆𝑃𝐷, independentemente de sua ordem, eles são passíveis de serem solucionados pela eliminação deGauss (escalonamentos). Outro método, tratando de um sistema que resulta em uma matriz incompleta quadrada, é a 
doção do procedimento dos determinantes: 
𝑥 =
∆𝑥
∆
 𝑦 =
∆𝑦
∆
 𝑧 =
∆𝑧
∆
 𝑤 =
∆𝑤
∆
 
No entanto, sendo uma matriz de ordem superior a 3 (𝑚 > 3), os valores dos determinantes não mais serão 
obtidos pela Regra de Crammer, e sim pelo Teorema de Laplace. 
Exemplo 6. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 e 𝑤. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +𝑤 = 2
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 3𝑤 = 5
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 𝑤 = −9
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = −6
 
Resolução: 
Associando em matriz completa: 
[
1 1 1
1 −1 −2
2
3
1
−1
−3
−1
 
1 2
−3 5
1
1
−9
−6
] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿2: 
𝐿1 = [1 1 1 1 2] 
 𝐿2 = [1 −1 −2 −3 5 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝛼 =
−𝐿2
𝐿1
 
𝛼 =
−1
1
 
𝛼 = −1 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −[1 1 1 1 2] + [1 −1 −2 −3 5 ] 
 12 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−1 −1 −1 − 1 −2] + [1 −1 −2 −3 5 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−1 + 1 −1 + (−1) −1 + (−2) − 1 + (−3) −2 + 5] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟐 = [𝟎 −𝟐 −𝟑 − 𝟒 𝟑] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿3: 
𝐿1 = [1 1 1 1 2] 
 𝐿3 = [2 1 −3 1 −9 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝛼 =
−𝐿3
𝐿1
 
𝛼 =
−2
1
 
𝛼 = −2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −2𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −2 ∙ [1 1 1 1 2] + [2 1 −3 1 −9 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [1 ∙ (−2) 1 ∙ (−2) 1 ∙ (−2) 1 ∙ (−2) 2 ∙ (−2)] + [2 1 −3 1 −9 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [−2 −2 −2 −2 −4] + [2 1 −3 1 −9 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [−2 + 2 −2 + 1 −2 + (−3) −2 + 1 −4 + (−9)] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟑 = [𝟎 −𝟏 −𝟓 −𝟏 −𝟏𝟑] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿4: 
𝐿1 = [1 1 1 1 2] 
 𝐿4 = [3 −1 −1 1 −6 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿4 
𝛼 =
−𝐿4
𝐿1
 
𝛼 =
−3
1
 
𝛼 = −3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = −3𝐿1 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = −3 ∙ [1 1 1 1 2] + [3 −1 −1 1 −6 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [1 ∙ (−3) 1 ∙ (−3) 1 ∙ (−3) 1 ∙ (−3) 2 ∙ (−3)] + [3 −1 −1 1 −6 ] 
 13 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [−3 −3 −3 −3 −6] + [3 −1 −1 1 −6 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [−3 + 3 −3 + (−1) −3 + (−1) −3 + 1 −6 + (−6)] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟒 = [𝟎 −𝟒 −𝟒 −𝟐 −𝟏𝟐] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
[
1 1 1
0 −2 −3
0
0
−1
−4
−5
−4
 
1 2
−4 3
−1
−2
−13
−12
] 
Reorganizando as linhas, de forma a ter o menor coeficiente em linha superior (1ª transformação elementar), 
temos: 
[
1 1 1
0 −1 −5
0
0
−2
−4
−3
−4
 
1 2
−1 −13
−4
−2
3
−12
] 
Continuado o escalonamento: 
Operação entre 𝐿2 e 𝐿3: 
 𝐿2 = [0 −1 −5 −1 −13 ] 
𝐿3 = [0 −2 −3 −4 3] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿2 + 𝐿3 
𝛼 =
−𝐿3
𝐿2
 
𝛼 =
−(−2)
−1
 
𝛼 = −2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿2 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −2𝐿2 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −2 ∙ [0 −1 −5 −1 −13] + [0 −2 −3 −4 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [0 ∙ (−2) −1 ∙ (−2) −5 ∙ (−2) −1 ∙ (−2) −13 ∙ (−2)] + [0 −2 −3 −4 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [0 2 10 2 26] + [0 −2 −3 −4 3 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [0 + 0 2 + (−2) 10 + (−3) 2 + (−4) 26 + 3] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟑 = [𝟎 𝟎 𝟕 −𝟐 𝟐𝟗] 
Operação entre 𝐿2 e 𝐿4: 
 𝐿2 = [0 −1 −5 −1 −13 ] 
𝐿4 = [0 −4 −4 −2 −12] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿2 + 𝐿4 
 14 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝛼 =
−𝐿4
𝐿2
 
𝛼 =
−(−4)
−1
 
𝛼 = −4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿2 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = −4𝐿2 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = −4 ∙ [0 −1 −5 −1 −13] + [0 −4 −4 −2 −12] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 ∙ (−4) −1 ∙ (−4) −5 ∙ (−4) −1 ∙ (−4) −13 ∙ (−4)] + [0 −4 −4 −2 −12] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 4 20 4 52] + [0 −4 −4 −2 −12] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 + 0 4 + (−4) 20 + (−4) 4 + (−2) 52 + (−12)] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟒 = [𝟎 𝟎 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟎] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
[
1 1 1
0 −2 −3
0
0
0
0
7
16
 
1 2
−4 3
−2
2
29
40
] 
Continuado o escalonamento: 
Operação entre 𝐿3 e 𝐿4: 
 𝐿3 = [0 0 7 −2 29 ] 
𝐿4 = [0 0 16 2 40] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿3 + 𝐿4 
𝛼 =
−𝐿4
𝐿3
 
Note que o coeficiente da 4ª é um número menor e mais fácil de ser utilizado, portanto vou considerar esse: 
𝛼 =
−2
−2
 
𝛼 = 1 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝛼 ∙ 𝐿3 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = 𝐿3 + 𝐿4 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 0 7 −2 29] + [0 0 16 2 40] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 + 0 0 + 0 7 + 16 −2 + 2 29 + 40] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿4 = [0 0 23 0 69] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
 15 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
[
1 1 1
0 −2 −3
0
0
0
0
7
23
 
1 2
−4 3
−2
0
29
69
] 
Agora já temos uma matriz 100% escalonada, ou seja, apresenta uma linha onde existe apenas uma coluna 
referente aos coeficientes das incógnitas diferente de zero. 
A associação da matriz completa ao sistema de equação linear: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +𝑤 = 2
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 3𝑤 = 5
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 𝑤 = −9
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = −6
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 2
0𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 4𝑤 = 3
0𝑥 + 0𝑦 + 7𝑧 − 2𝑤 = 29
0𝑥 − 0𝑦 + 23𝑧 + 0𝑤 = 69
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +𝑤 = 2
−2𝑦 − 3𝑧 − 4𝑤 = 3
7𝑧 − 2𝑤 = 29
23𝑧 = 69
 
Determinando o valor das incógnitas: 
23𝑧 = 69 
𝑧 =
69
23
 
𝒛 = 𝟑 
7𝑧 − 2𝑤 = 29 
𝑤 =
29 − 7𝑧
−2
 
𝑤 =
29 − 7 ∙ 3
−2
 
𝑤 =
29 − 21
−2
 
𝑤 =
8
−2
 
𝒘 = −𝟒 
−2𝑦 − 3𝑧 − 4𝑤 = 3 
𝑦 =
3 + 3𝑧 + 4𝑤
−2
 
𝑦 =
3 + 3 ∙ 3 + 4 ∙ (−4)
−2
 
𝑦 =
3 + 9 − 16
−2
 
𝑦 =
−4
−2
 
𝒚 = 𝟐 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 2 
𝑥 = 2 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 
 16 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑥 = 2 − 2 − 3 − (−4) 
𝑥 = 2 − 5 + 4 
𝒙 = 𝟏 
Tirando a prova: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 +𝑤 = 2
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 3𝑤 = 5
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 𝑤 = −9
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = −6
 
{
1 + 2 + 3 + (−4) = 2
1 − 2 − 2 ∙ 3 − 3 ∙ (−4) = 5
2 ∙ 1 + 2 − 3 ∙ 3 + (−4) = −9
3 ∙ 1 − 2 − 3 + (−4) = −6
 
{
6 − 4 = 2
1 − 2 − 6 − (−12) = 5
2 + 2 − 9 − 4 = −9
3 − 2 − 3 − 4 = −6
 
{
2 = 2
5 = 5
−9 = −9
−6 = −6
 
Resposta: A solução do sistema de equação apresentado é 𝑆 = {1 2 3 −4}. Também posso responder no 
formato de uma equação matricial: 
[
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
] = [
1
2
3
−4
] 
Exemplo 7. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, pelo método 
do escalonamento. 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
 
Resolução: 
Associando em matriz completa: 
[
1 2
2 1
 
−3 −4
−3 4
] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿2: 
𝐿1 = [1 2 −3 −4] 
 𝐿2 = [2 1 −3 4 ] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝛼 =
−𝐿2
𝐿1
 
𝛼 =
−2
1
 
𝛼 = −2 
 17 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ [1 2 −3 −4] + [2 1 −3 4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [1 ∙ (−2) 2 ∙ (−2) −3 ∙ (−2) −4 ∙ (−2)] + [2 1 −3 4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 −4 6 8] + [2 1 −3 4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 + 2 −4 + 1 6 + (−3) 8 + 4] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟐 = [𝟎 −𝟑 𝟑 𝟏𝟐] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
[
1 2
0 −3
 
−3 −4
3 12
] 
Note que ainda não temos uma matriz totalmente escalonada. No entanto, não podemosdar mais continuidade, 
pois se tornarmos a relacionar a 𝐿1 com a 𝐿2, resultaremos em uma linha com o primeiro elemento diferente de 
zero. 
Assim, a associação da matriz completa ao sistema de equação linear é: 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
 → {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
0𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 12
 
{
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
−3𝑦 + 3𝑧 = 12
 
Logo, para solucionar as incógnitas, temos: 
−3𝑦 + 3𝑧 = 12 
𝑦 =
12 − 3𝑧
−3
 
𝒚 = −𝟒 + 𝒛 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4 
𝑥 = −4 − 2𝑦 + 3𝑧 
𝑥 = −4 − 2 ∙ (−4 + 𝑧) + 3𝑧 
𝑥 = −4 − (−8 + 2𝑧) + 3𝑧 
𝑥 = −4 + 8 − 2𝑧 + 3𝑧 
𝒙 = 𝟒 + 𝒛 
[
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
4 + 𝑧
−4 + 𝑧
ℝ
] 
Note que a incógnita 𝑧 pode assumir qualquer número pertencente ao conjunto de números reais (ℝ), portanto, a 
resposta é: 
Resposta: O sistema de equação apresentado possui infinitas soluções, ou seja, um sistema possível e 
indeterminado - 𝑆𝑃𝐼. 
Observação: Tire a prova. Atribua qualquer valor a 𝑧 e verifique no sistema de equação apresentado. 
 18 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
Exemplo 8. Dado o sistema de equação linear a seguir, determine os valores das incógnitas 𝑥 𝑒 𝑦, pelo método do 
escalonamento. 
{
𝑥 + 2𝑦 = 10
2𝑥 − 2𝑦 = −4
3𝑥 + 5𝑦 = 20
 
Resolução: 
Associando em matriz completa: 
[
1 2 10
2 −2 −4
3 5 20
] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿2: 
𝐿1 = [1 2 10] 
 𝐿2 = [2 −2 −4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝛼 =
−𝐿2
𝐿1
 
𝛼 =
−2
1
 
𝛼 = −2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ 𝐿1 + 𝐿2 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ [1 2 10] + [2 −2 −4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = −2 ∙ [−2 ∙ 1 −2 ∙ 2 −2 ∙ 10] + [2 −2 −4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 −4 −20] + [2 −2 −4] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿2 = [−2 + 2 −4 + (−2) −20 + (−4)] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟐 = [𝟎 −𝟔 −𝟐𝟒] 
Operação entre 𝐿1 e 𝐿3: 
𝐿1 = [1 2 10] 
 𝐿3 = [3 5 20] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝛼 =
−𝐿3
𝐿1
 
𝛼 =
−3
1
 
𝛼 = −3 
 19 
-Geometria analítica e álgebra linear- 
Professor: Dhisney Gonçalves de Oliveira 
Versão: 1 / Revisão: 1 (17-09-2020) 
 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = 𝛼 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −3 ∙ 𝐿1 + 𝐿3 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = −3 ∙ [1 2 10] + [3 5 20] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [−3 ∙ 1 −3 ∙ 2 −3 ∙ 10] + [3 5 20] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [−3 −6 −30] + [3 5 20] 
𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝐿3 = [−3 + 3 −6 + 5 −30 + 20] 
𝑵𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝑳𝟑 = [𝟎 −𝟏 −𝟏𝟎] 
Reescrevendo a nova matriz, temos: 
[
1 2 10
0 −6 −24
0 −1 −10
] 
Verifique que já foi obtido uma matriz escalonada em duas linhas e associando a matriz completa ao sistema de 
equação linear, tem-se: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 10
2𝑥 − 2𝑦 = −4 
3𝑥 + 5𝑦 = 20
→ {
𝑥 + 2𝑦 = 10
0𝑥 − 6𝑦 = −24 
0𝑥 − 𝑦 = −10
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 10
−6𝑦 = −24 
−𝑦 = −10
 
Solucionando as incógnitas, tem-se: 
[3ª 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜] − 𝑦 = −10 
𝑦 =
−10
−1
 
𝒚 = 𝟏𝟎 
[2ª 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜] − 6𝑦 = −24 
𝑦 =
−24
−6
 
𝒚 = 𝟒 
Note que temos foi obtido dois valores para a incógnita 𝑦, o que resultará em também em dois valores para a 
incógnita 𝑥. No entanto, esses valores não satisfarão as 3 equações do sistema, logo: 
Resposta: O sistema de equação apresentado não há nenhuma solução possível, ou seja, é um sistema impossível 
de ser solucionado - 𝑆𝐼.