Exercícios - Aritmética (lista 1)

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Matemática em Exerćıcios
Aritmética - Lista de Exerćıcios
Professor Guilherme Miguel Rosa
1. Prove a igualdade por indução, sendo n um número natural:
13 + 23 + · · ·+ n3 =
(
n(n + 1)
2
)2
.
2. Prove por indução sobre n, que 7|23n − 1, para todo n ∈ N.
3. Sabendo que 3|4a + 5b, conclua que 3|5a + 10b.
4. Encontre o número natural que ao ser dividido por 7 resulta um quociente 4 e resto o maior posśıvel.
5. Sabe-se que a e b são números naturais que quando divididos por 8 deixam resto 7 e 2, respectiva-
mente. Determine o resto da divisão de a + b por 8.
6. Prove que todo inteiro ı́mpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3.
7. Mostre que o quadrado de um número inteiro é da forma 3k ou 3k + 1.
8. Seja n um número natural, prove que a divisão de n2 por 6 nunca deixa resto 2.
9. Mostre que de três inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 3.
10. Perguntado sobre quantos alunos tinha naquele ano, o professor escreveu no quadro: “733 alunos,
dos quais 276 são meninos e 435 são meninas”. Inicialmente a resposta pareceu estranha, mas logo
notamos que o professor não empregou o sistema decimal. Qual foi o sistema utilizado pelo professor?
Gabarito e soluções:
• 1) Para n = 1: 13 = (1(1+1)2 )
2 = 1. A igualdade é válida. Suponha que seja válida também para
algum n natural, ou seja, 13 + 23 + · · ·+n3 =
(
n(n+1)
2
)2
. Calculando a soma dos n+ 1 primeiros
termos, temos:
13 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3 =
(
n(n+1)
2
)2
+ (n + 1)3 =
(
(n+1)(n+2)
2
)2
.
• 2) Para n = 1: 23·1 − 1 = 8 − 1 = 7, e 7|7, logo o resultado é válido. Suponha que para algum
n natural 7|23n − 1. Basta mostrar que 7|23(n+1) − 1. Pela hipótese de indução, existe k inteiro
tal que 23n− 1 = 7k =⇒ 23(23n− 1) = 23(7k) =⇒ 23n+3− 23 = 7(23k) =⇒ 23(n+1)− 1− 7 =
7(23k) =⇒ 23(n+1) − 1 = 7(23k) + 7 =⇒ 23(n+1) − 1 = 7(23k + 1).
• 3) Temos que 3|4a+5b, logo, 3 divide qualquer múltiplo de 4a+5b, em particular 3|2 ·(4a+5b) =
8a + 10b. Além disso, como 3|3a, 3|(8a + 10b)− 3a = 5a + 10b.
• 4) 34
• 5) 1
1
• 6) Qualquer número inteiro n pode ser ser escrito em uma das formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou
4k + 3. Se n é ı́mpar, não pode ser da forma 4k = 2(2k) nem 4k + 2 = 2(2k + 1) pois são pares.
Logo, n é da forma 4k + 1 ou 4k + 3.
• 7) Escreva o número inteiro n de acordo com os posśıveis restos na divisão por 3 e calcule os
quadrados.
• 8) Semelhante ao problema 7.
• 9) Todo número inteiro n pode ser escrito em uma das formas: 3k, 3k + 1 ou 3k + 2. Seja n,
n + 1 e n + 2 os três inteiros consecutivos. Se n = 3k, ele é múltiplo de 3. Caso n = 3k + 1,
temos que n + 2 é múltiplo de 3, pois n + 2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1). Por fim, caso
n = 3k + 2, n + 1 será o múltiplo de três, visto que n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1).
• 10) Buscamos um número natural b tal que (6·b0+7·b+2·b2)+(5·b0+3·b+4·b2) = 3·b0+3·b+7·b2.
Logo, basta encontrar a raiz natural da equação b2 − 7b− 8 = 0, que é b = 8.
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