Livro de Cálculo

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CURSO DE 
CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. MARCUS V. S. RODRIGUES 
FORTALEZA - 2009 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
2
SUMÁRIO 
Capítulo 1 – Limite e continuidade 3
1.1. Limites: Um conceito intuitivo 3
1.2. Limites: Técnicas para calcular 19
1.3. Limites: Uma definição matemática 39
1.4. Continuidade 52
1.5. Limites e continuidade das funções trigonométricas 65
Exercícios propostos (Capítulo 1) 76
Capítulo 2 – A derivada 79
2.1. A reta tangente e a derivada 79
2.2. Técnicas de diferenciação 89
2.3. Derivada de funções trigonométricas 101
2.4. Regra da cadeia 107
2.5. Diferenciais e aproximação linear local 110
Exercícios propostos (Capítulo 2) 117
Capítulo 3 – Funções Logarítmicas e Exponenciais 122
3.1. Funções inversas 122
3.2. Diferenciação implícita 134
3.3. Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 143
3.4. Derivada das funções inversas trigonométricas e a Regra 
 de L´Hopital 159
Exercícios propostos (Capítulo 3) 170
Capítulo 4 – Aplicações da derivada 175
4.1. Crescimento, decrescimento e concavidade 175
4.2. Extremos relativos 185
4.3. Extremos absolutos e gráficos 194
4.4. Problemas de otimização 211
Exercícios propostos (Capítulo 4) 226
Respostas dos exercícios propostos 230
Referências Bibliográficas 231
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
3
CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE 
 
1.1 Limites: Um conceito intuitivo 
 
Dois problemas geométricos estimularam o desenvolvimento do 
Cálculo: achar a área de regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em 
ambos os casos se requerem um processo de limite para obter a solução. 
Porém, o processo de limite ocorre em várias situações, sendo o conceito de 
limite o alicerce sobre o qual todos os conceitos de cálculo estão baseados. 
Em geral, pode-se dizer que o uso básico de limites é o de descrever 
o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima 
de certo valor. Por exemplo, seja a função; 
( )
2 2
2
x xf x
x
− −
=
−
 
Esta função não está definida para 2x= , porém, pode-se analisar o 
seu comportamento nas proximidades de 2x= . Isto é, interessa-se o 
comportamento de f para valores de x próximos a 2, porém não para 2x= . 
A aproximação a 2 pode-se ocorrer de duas formas, por valores 
menores do que 2 , isto é pela esquerda, e por valores maiores do que 2 , isto 
é pela direita. Desde modo pode-se construir a tabela 1.1, apresentada logo a 
seguir. 
 
Tabela 1.1 
X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 
f(x) 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1 
 
Para reforçar este comportamento pode-se analisar, também, o 
gráfico da função que é apresentado na figura 1.1. 
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4
 
Figura 1.1 
 
Analisando a tabela 1.1 e a figura 1.1 fica evidente que os valores de 
( )f x tornam-se cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver mais 
próximo de 2 , por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Pode-se 
também, tornar os valores de ( )f x o mais próximo que se deseje de 3 , 
fazendo x suficientemente próximo de 2 . 
 
Definição 1.1.1. Se os valores de ( )f x puderem ser definidos tão próximos 
quanto queira de um número L , fazendo x suficientemente próximo de p 
(porém não igual a p ), ou seja; ( )f x L→ quando x p→ , então, escreve-se: 
( )lim
x p
f x L
→
= (1.1)
 
Neste caso, tem-se que 
2 2 3
2
x x
x
− −
→
−
 quando 2x→ , então, 
escreve-se: 
2
2
2lim 3
2x
x x
x→
− −
=
−
 
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5
O que foi feito anteriormente foi simplesmente uma conjectura a 
respeito do valor do limite 
2
2
2lim
2x
x x
x→
− −
−
, usando argumentos algébricos e 
gráficos, para verificar o valor deste limite. 
 
Exemplo Resolvido 1.1.1. Faça uma conjectura sobre o valor do seguinte 
limite: 
2
1
1lim
1x
x
x→
−
−
 
 
Solução. Observe que esta função não está definida para 1x= , então, fazendo 
os valores de x se aproximarem de 1 , tanto pela esquerda, quanto pela direita, 
pode-se construir a tabela 1.2. Logo em seguida tem-se o gráfico cartesiano da 
função. 
 
Tabela 1.2 
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 
f(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1 
 
 
Figura 1.2 
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6
Da análise da tabela 1.2 e do gráfico da pela figura 1.2, tem-se: 
2 1 2
1
x
x
−
→
−
 quando 1x→ (por ambos os lados) 
logo, pode-se escrever: 
2
1
1lim 2
1x
x
x→
−
=
−
 
 
Exemplo Resolvido 1.1.2. Faça uma conjectura sobre o valor limite: 
0
lim
1 1x
x
x→ + −
 
 
Solução. Esta função não está definida para 0x= , então, fazendo os valores 
de x se aproximarem de 0 , tanto pela esquerda, quanto pela direita, pode-se 
construir a tabela 1.3. 
 
Tabela 1.3 
x − 0,01 − 0,001 − 0,0001 − 0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01 
f(x) 1,994987 1,9995 1,99995 1,999995 2,000005 2,00005 2,0005 2,004988
 
Para fazer o gráfico da função, pode-se simplificar algebricamente a 
expressão do limite. Para 0x≠ , tem-se: 
( ) ( )1 1 1 11 1 1 1
1 11 1 1 1 1 1
x x x xx x x x
x xx x x
+ + + +⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= = = = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ + −+ − + − + +⎝ ⎠⎝ ⎠
 
Pode-se concluir que o gráfico da função é igual ao gráfico da 
função 1 1y x= + + para 0x≠ . 
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Figura 1.3 
 
Analisando os dados da tabela 1.3 e do gráfico dado pela figura 1.3, 
tem-se que: 
2
1 1
x
x
→
+ −
 quando 0x→ (por ambos os lados) 
logo, pode-se escrever: 
1
lim 2
1 1x
x
x→
=
+ −
 
 
O limite dado pela equação 1.1 é chamado comumente de limite 
bilateral, porque requer que os valores de ( )f x fiquem cada vez mais de L 
quando x tende a p por qualquer lado. Porém algumas funções apresentam 
comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto p . 
Em resumo, ao se procurar o limite de ( )f x quando x tende a p 
nunca se considera x p= . Na realidade, a função não precisa estar definida 
para x p= , como visto nos exemplos anteriores. O que importa é como f está 
definida nas proximidades do ponto p . 
 
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8
Em muitas situações a função pode apresentar comportamentos 
diferentes nas proximidades de um ponto p . Por exemplo, considere a função: 
( )
1 0
1 0
se xx
f x
se xx
>⎧
= =⎨− <⎩
 
no qual o gráfico é apresentado na figura 1.4. 
 
 
Figura 1.4 
 
Quando x se aproxima de 0 pela esquerda os valores de ( )f x 
tendem a 1− (na realidade são iguais a 1− para esses valores), e quando x se 
aproxima de 0 pela direita os valores de ( )f x tendem a 1 (na realidade são 
iguais a 1 para esses valores). 
 Descrevem-se essas afirmações dizendo que o limite de 
( )f x x x= é 1 quando x tende a 0 pela direita e que o limite de ( )f x x x= 
é 1− quando x tende a 0 pela esquerda. 
 
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Definição 1.1.2. Se os valores de ( )f x podem se tornar tão próximo de L 
quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém maior que p), 
ou seja: 
se ( )f x L→ quando x p+→ 
pode-se escrever: 
( )lim
x p
f x L
+→
= (1.2)
 
Definição 1.1.3. Se os valores de ( )f x podem se tornar tão próximo de L 
quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém menor que p), 
ou seja: 
se ( )f x L→ quando x p−→ 
pode-se escrever: 
( )lim
x p
f x L
−→
= (1.3)
 
Para a função ( ) xf x
x
= nas proximidades de 0 , tem-se: 
1
x
x
→− quando 0x −→ e 1
x
x
→ quando 0x +→ 
podendo escrever: 
0
lim 1
x
x
x−→
= − (limite lateral à esquerda) e 
0
lim 1
x
x
x+→
= (limite lateral à direita), 
logo se pode concluir que não existe o limite 
0
lim
x
x
x→
. 
 
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Teorema 1.1.1. O limite bilateral de uma função existe em umponto p se, e 
somente se existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo 
valor; isto é: 
( ) ( ) ( )lim lim lim
x p x p x p
f x L f x L f x
− +→ → →
= ⇔ = = (1.4)
 
Exemplo Resolvido 1.1.3. Faça o gráfico da função e determine os limites 
laterais em 1x= . Verifique se existe ( )
1
lim
x
f x
→
. 
( )
2 1 1
2 1 1
x se xf x
x se x
⎧ + <⎪=⎨
− >⎪⎩
 
 
Solução. A função é definida por partes, isto é, a função tem duas leis de 
formação. Para o intervalo ( ),1−∞ é função se comporta como uma função 
polinomial de expressão ( ) 2 1f x x= + e para o intervalo ( )1,+∞ a função se 
comporta como uma função linear de expressão ( ) 2 1f x x= − . Logo, o gráfico 
da função é apresentado na figura 1.5. 
 
 
Figura 1.5 
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De acordo com a figura 1.5, pode-se ver claramente que quando x 
se aproxima de 1 pela esquerda ( )f x é a parábola de equação 2 1x + e se 
aproxima de 2 , isto é: 
( ) 2f x → quando 1x −→ 
daí pode-se escrever: 
( )
1
lim 2
x
f x
−→
= (limite lateral à esquerda) 
Pode-se ver também que quando x se aproxima de 1 pela direita 
( )f x é a reta de equação 2 1x − e se aproxima de 1 , isto é: 
( ) 1f x → quando 1x +→ 
daí pode-se escrever: 
( )
1
lim 1
x
f x
+→
= (limite lateral à direita) 
Como os limites laterais são diferentes não existe o limite de f 
quando x tende a 1 , isto é: 
( ) ( ) ( )
11 1
lim 2 1 lim lim
xx x
f x f x f x
− + →→ →
= ≠ = ⇒ ∃ 
 
Em muitas situações os limites laterais não existem devido ao fato 
de os valores da função crescer ou decrescer indefinidamente. Por exemplo, 
analisando o comportamento da função ( ) 1f x
x
= nas proximidades de 0x= , 
pode-se construir a tabela 1.4. 
 
Tabela 1.4 
x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 
f(x) -10 -100 -1000 -10000 10000 1000 100 10 
 
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Figura 1.6 
 
Analisando os dados apresentados na tabela 1.4 e através da figura 
1.6 que mostra o gráfico da função fica evidente o seguinte: à medida que x 
fica mais próximo de 0 pela esquerda, os valores de ( ) 1f x
x
= são negativos e 
decrescem indefinidamente e à medida que x fica mais próximo de 0 pela 
direita, os valores de ( ) 1f x
x
= são positivos e crescem indefinidamente. 
 
Definição 1.1.4. Se os valores de ( )f x crescem indefinidamente quando x 
tende a p , pela direita ou pela esquerda; ou seja: 
( )f x →+∞ quando x p+→ ou ( )f x →+∞ quando x p−→ 
então pode-se escrever: 
( )lim
x p
f x
+→
=+∞ ou ( )lim
x p
f x
−→
=+∞ 
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Definição 1.1.5. Se os valores de ( )f x decrescem indefinidamente quando x 
tende a p , pela direita ou pela esquerda; ou seja: 
( )f x → −∞ quando x p+→ ou ( )f x → −∞ quando x p−→ 
então, escreve-se: 
( )lim
x p
f x
+→
=−∞ ou ( )lim
x p
f x
−→
=−∞ 
 
Logo o comportamento da função ( ) 1f x
x
= nas proximidades de 0 , 
pode ser resumido da seguinte forma: 
1
x
→−∞ quando 0x −→ e 1
x
→+∞ quando 0x +→ 
daí tem-se: 
1lim
x p x−→
=−∞ e 
1lim
x p x+→
=+∞ 
 
Exemplo Resolvido 1.1.4. De acordo com os gráficos apresentados na figuras 
1.7 e 1.8, descreva o limite em x p= na notação de limite apropriado. 
 
 
Figura 1.7 
 
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Figura 1.8 
 
Solução (a). A função decresce indefinidamente quando x tende a p pela 
esquerda e cresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então: 
1lim
x p x p−→
⎛ ⎞
=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e 
1lim
x p x p+→
⎛ ⎞
=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Solução (b). A função cresce indefinidamente quando x tende a p pela 
esquerda e decresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então: 
1lim
x p x p−→
⎛ ⎞−
=+∞⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e 
1lim
x p x p+→
⎛ ⎞−
=−∞⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Solução (c). A função cresce indefinidamente quando x tende a p tanto pela 
esquerda como pela direita. Então: 
( )2
1lim
x p x p−→
⎛ ⎞
⎜ ⎟=+ ∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e 
( )2
1lim
x p x p+→
⎛ ⎞
⎜ ⎟=+∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Neste caso pode-se escrever por comodidade: 
( )2
1lim
x p x p→
⎛ ⎞
⎜ ⎟=+∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
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Solução (d). A função decresce indefinidamente quando x tende a p tanto 
pela esquerda como pela direita. Então: 
( )2
1lim
x p x p−→
⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e 
( )2
1lim
x p x p+→
⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Neste caso pode-se escrever por comodidade: 
( )2
1lim
x p x p→
⎛ ⎞−⎜ ⎟=−∞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
Definição 1.1.6. Uma reta x p= é chamada de assíntota vertical do gráfico 
de uma função ( )f x se ( )f x tende a +∞ ou −∞ , quando x tende a p pela 
esquerda ou pela direita. 
 
Às vezes se está interessado em saber o comportamento da função 
não em torno de um ponto específico p , e sim quando a variável x cresce ou 
decresce indefinidamente. Isto é chamado de comportamento final da função, 
pois descreve como a função se comporta para valores de x que estão longe 
da origem. 
Novamente considera-se a função ( ) 1f x
x
= , mas agora para 
valores de x que estão bem distantes da origem. Fazendo x crescer e 
decrescer sem limitação, pode-se construir a tabela 1.5. 
 
Tabela 1.5 
x -10000 -1000 -100 -10 10 100 1000 10000 
f(x) -0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
 x decresce sem limitação x cresce sem limitação 
 
 
 
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É evidente a partir da tabela 1.5 e pelo gráfico da função (ver figura 
1.6), que à medida que os valores de x decrescem sem limitação, os valores 
de ( ) 1f x
x
= são negativos, mas aproximam-se muitíssimo de 0 ; 
analogamente, à medida que os valores de x crescem sem limitação, os 
valores de ( ) 1f x
x
= são positivos, mas aproximam-se muitíssimo de 0 . 
 
Definição 1.1.7. Se os valores de ( )f x subseqüentemente ficam cada vez 
mais próximos de um número L , à medida que x cresce sem limitação; ou 
seja: 
( )f x L→ quando x →+∞ 
então, escreve-se: ( )lim
x
f x L
→+∞
= . 
 
Definição 1.1.8. Se os valores de ( )f x subseqüentemente ficam cada vez 
mais próximos de um número L , à medida que x decresce sem limitação; ou 
seja: 
( )f x L→ quando x →−∞ 
então, escreve-se: ( )lim
x
f x L
→−∞
= . 
Logo, podem-se descrever os comportamentos limitantes da função 
( ) 1f x
x
= da seguinte forma: 
1lim 0
x x→−∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
 e 
1lim 0
x x→+∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Definição 1.1.9. Uma reta y L= é chamada de assíntota horizontal do gráfico 
de uma função ( )f x se ( )f x L→ , quando x →+∞ ou x →−∞ . 
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Exemplo Resolvido 1.1.5. De acordo com o gráfico da função ( )
1
xf x
x
=
−
 
apresentado na figura 1.9 determine os limites no infinito. 
 
 
Figura 1.9 
 
Solução. De acordo com o gráfico da função (ver figura 1.9) tem-se que à 
medida que x cresce sem limitação ( )f x se aproxima cada vez mais de 1 , 
isto é: 
1
1
x
x
→
−
 quando x→+∞ 
concluindo que: 
lim 1
1x
x
x→+∞
=
−
 
 
 
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18
Analogamente, tem-se que à medida que x decresce sem limitação 
( )f x se aproxima cada vez mais de 1 , isto é: 
1
1
x
x
→
−
 quando x→−∞ 
concluindo que: 
lim 1
1x
x
x→−∞
=
−
 
 A reta 1y= é a assíntota vertical do gráfico da função ( )
1
xf x
x
=
−
. 
 
Definição 1.1.10. Se os valores de ( )f x crescem sem limitação quando 
x →+∞ ou x →−∞ ; ou seja: 
( )f x → +∞ quando x →+∞ ou ( )f x → +∞ quando x →−∞ 
então, escreve-se: 
( )lim
x
f x
→+∞
=+∞ ou ( )lim
x
f x
→−∞
=+∞ 
 
Definição 1.1.11. Se os valores de ( )f x decrescem sem limitação quando 
x →+∞ ou x →−∞ ; ou seja: 
( )f x → −∞ quando x →+∞ ou ( )f x → −∞ quando x →−∞ 
então, escreve-se: 
( )lim
x
f x
→+∞
=−∞ ou ( )lim
x
f x
→−∞
=−∞ 
 
 
 
 
 
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1.2 Limites: Técnicas para calcular 
 
Inicialmente estabelecem-se os limites básicos para algumas 
funções simples e em seguida desenvolvem-se um repertório de teoremas que 
possibilitará usar estes limites como blocos de construção para encontrar 
limites de funções mais complicadas. 
 
Teorema 1.2.1 (Limites básicos). 
(1) ( )lim
x p
k k
→
= (2) ( )lim
x
k k
→+∞
= (3) ( )lim
x
k k
→−∞
= 
(4) ( )lim
x p
x p
→
= (5) ( )lim
x
x
→+∞
=+∞ (6) ( )lim
x
x
→−∞
=−∞ 
(7) 
0
1lim
x x+→
⎛ ⎞=+∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (8) 
0
1lim
x x−→
⎛ ⎞=−∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(9) 
1lim 0
x x→+∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (10) 
1lim 0
x x→−∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
Figura 1.10 
 
Esses limites dados pelo teorema 1.2.1 podem ser confirmados 
através do gráfico (ver figura 1.10) das funções y k= (função constante), y x= 
(função identidade) e 1y x= (função recíproca). 
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Teorema 1.2.2. Suponha que lim representa um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, lim
x p+→
, 
lim
x→+∞
 ou lim
x→−∞
. Se existirem ( )1 limL f x= e ( )2 limL g x= , então: 
(1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2lim lim limf x g x f x g x L L± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ . 
(2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2lim lim limf x g x f x g x L L⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ . 
(3) 
( )
( )
( )
( )
1
2
lim
lim
lim
f x f x L
g x g x L
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
 se 2 0L ≠ . 
(4) ( ) ( ) 1lim lim nn nf x f x L= = desde que 1 0L ≥ se n for par. 
(5) ( ) ( ) ( )1lim lim
n n nf x f x L= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 
 
Corolário 1.2.2.1. Suponha que lim representa um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, 
lim
x p+→
, lim
x→+∞
 ou lim
x→−∞
. Se existirem ( )1 1limL f x= , ( )2 2limL f x= ,..., 
( )limn nL f x= , então: 
(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2lim ... lim lim ... limn nf x f x f x f x f x f x± ± ± = ± ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 1 2 ... nL L L= ± ± ± 
(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2lim ... lim lim ... limn nf x f x f x f x f x f x⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 ( ) ( ) ( )1 2lim lim ... lim nf x f x f x= ⋅ ⋅ ⋅ 
 
Exemplo Resolvido 1.2.1. Sendo ( )
2
lim 3
x
f x
→
=− , ( )
2
lim 4
x
g x
→
= e ( )
2
lim 0
x
h x
→
= . 
Determine: 
(a) ( ) ( )
2
lim
x
g x f x
→
−⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 
( )
( ) ( )2
lim
x
g x
h x f x→ −⎡ ⎤⎣ ⎦
 
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21
(c) ( ) ( )2 2
2
lim
x
f x g x
→
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (d) ( ) ( ) ( )( )
2
2
lim
x
f x g x h x
→
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Solução (a). Aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
lim lim lim 4 3 4 3 7
x x x
g x f x g x f x
→ → →
− = − = − − = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Solução (b). Inicialmente aplica-se a propriedade (3) do teorema 1.2.2 e em 
seguida aplicam-se as propriedades (4) no numerador e (1) no denominador, 
do referido teorema. 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
2
2 2 2
limlim 4 2lim
lim lim lim 0 3 3
xx
x
x x x
g xg xg x
h x f x h x f x h x f x
→→
→
→ → →
= = = =
− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Solução (c). Inicialmente aplica-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em 
seguida aplicam-se a propriedade (1) e logo depois, a propriedades (5) do 
referido teorema. 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
lim lim
x x
f x g x f x g x
→ →
⎡ ⎤+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ) ( )2 2
2 2
lim lim
x x
f x g x
→ →
= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
lim lim 4 3 5
x x
f x g x
→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Solução (d). Inicialmente a aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2 e em 
seguida aplicam-se nas parcelas as propriedades (2) e (5), respectivamente, do 
referido teorema. 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 22
2 2 2
lim lim lim
x x x
f x g x h x f x g x h x
→ → →
⎡ ⎤+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )( ) ( )( ) ( ) 22 2 2lim lim limx x xf x g x h x→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 
( )( ) ( )24 3 0 12= − + =− 
 
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22
Exemplo Resolvido 1.2.2. Ache: 
(a) 
1lim nx x→+∞
 (b) 
1lim nx x→−∞
 
 
Solução (a). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se: 
1 1 1lim lim lim 0
n n
nx x xx xx→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Solução (b). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se: 
1 1 1lim lim lim 0
n n
nx x xx xx→−∞ →−∞ →−∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Do exemplo resolvido 1.2.2 podem-se escrever as seguintes 
fórmulas: 
1lim 0nx x→+∞
= (1.5)
1lim 0nx x→−∞
= (1.6)
 
Corolário 1.2.2.2. Suponha que lim representa um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, 
lim
x p+→
, lim
x→+∞
 ou lim
x→−∞
. Se existirem ( )limL f x= e k um número real, então: 
( ) ( ) ( )lim lim limk f x k f x k L⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
Ou seja, em outras palavras o que o corolário afirma é que: um fator 
constante pode ser movido através do símbolo de limite. 
 
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23
Exemplo Resolvido 1.2.3. Sendo k uma constante real, então, ache: 
(a) lim nx
k
x→+∞
 (b) lim nx
k
x→−∞
 
 
Solução (a). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre 
a constante k e a função 1 nx e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2. 
( )1 1lim lim lim 0 0n n nx x x
k k k k
x x x→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Solução (b). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre 
a constante k e a função 1 nx e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2. 
( )1 1lim lim lim 0 0n n nx x x
k k k k
x x x→−∞ →−∞ →−∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Dos exemplos resolvidos 1.2.2 e 1.2.3, podem-se escrever as 
seguintes fórmulas, sendo k uma constante real qualquer. 
lim 0nx
k
x→+∞
= (1.7)
lim 0nx
k
x→−∞
= (1.8)
 
Exemplo Resolvido 1.2.4. Ache o valor do limite ( )3 2
2
lim 3 2 3 9
x
x x x
→−
− − + − . 
 
Solução. Inicialmente, pode-se expressar este limite como a soma de limites, 
corolário 1.2.2.1. Em seguida aplica-se a propriedade do corolário 1.2.2.2 nas 
parcelas e depois a propriedade (5) do teorema 1.2.2. 
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24
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2
2 2 2 2 2
lim 3 2 3 9 lim 3 lim 2 lim 3 lim 9
x x x x x
x x x x x x
→− →− →− →− →−
− − + − =− − + − 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 2
2 2 2 2
3 lim 2 lim 3 lim lim 9
x x x x
x x x
→− →− →− →−
=− − + − 
( ) ( ) ( )3 22 2 23 lim 2 lim 3 lim 9x x xx x x→− →− →−=− − + − 
( ) ( ) ( )3 23 2 2 2 3 2 9 1=− − − − + − − = 
 
Exemplo Resolvido 1.2.5. Ache o valor do limite 
3 22
1lim
3 2 3 9x x x x→− − − + −
. 
 
Solução. Inicialmente usa-se a parte (3) do teorema 1.2.2 e em seguida a parte 
(4) do mesmo teorema. 
( )
( )
2
3 2 3 22
2
lim 11lim
3 2 3 9 lim 3 2 3 9
x
x
x
x x x x x x
→−
→−
→−
=
− − + − − − + −
( )3 2
2
1 1 1
1lim 3 2 3 9
x
x x x
→−
= = =
− − + −
 
 
Nos exemplos vistos anteriormente, pode-se ver que o cálculo de 
limites se resume à aplicação das propriedades vistas no teorema 1.2.2 e de 
seus corolários, 1.2.2.1 e 1.2.2.2, para reduzir este limite aos limites básicos 
dados no teorema 1.2.1. Porém em muitos casos este cálculo pode se tornar 
exaustivo e repetitivo, então, em seguida serão apresentado teoremas que 
tornam estes cálculos mais rápidos e diretos. 
 
 
 
 
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25
Teorema 1.2.3. Para qualquer polinômio: 
( ) 0 1 ... nnp x a a x a x= + + + (1.9)
e qualquer número real c , então: 
( ) ( ) ( )0 1lim lim ... nnx c x cp x a a x a x p c→ →= + + + = (1.10)
 
Prova. 
( ) ( )0 1lim lim ... nnx c x cp x a a x a x→ →= + + + 
0 1lim lim ... lim
n
nx c x c x c
a a x a x
→ → →
= + + + 
0 1lim lim ... lim
n
nx c x c x c
a a x a x
→ → →
= + + + 
( )0 1 ... nna a c a c p c= + + + = 
 
Em outras palavras, o teorema 1.2.3 diz que: o limite de um 
polinômio em um ponto de seu domínio é a própria imagem deste ponto. 
 
Exemplo Resolvido 1.2.6. Calcule ( )3 2
3
lim 3 2 4
x
x x x
→
− + − . 
 
Solução. Como o limite de um polinômio em um ponto de seu domínioé própria 
imagem deste ponto. Isto é o limite é encontrado através da substituição direta. 
( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
3
lim 3 2 4 3 3 3 2 3 4 27 27 6 4 2
x
x x x
→
− + − = − + − = − + − = 
 
 
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26
Exemplo Resolvido 1.2.7. Calcule 
2
3 21
2 3 4lim
4 1x
x x
x x→−
− −
+ +
. 
 
Solução. Inicialmente usa-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em seguida 
a propriedade (3) do mesmo teorema, e, finalmente, o teorema 1.2.3. 
( )
( )
22 2
1
3 2 3 2 3 21 1
1
lim 2 3 42 3 4 2 3 4 1 1lim lim
4 24 1 4 1 lim 4 1
x
x x
x
x xx x x x
x x x x x x
→−
→− →−
→−
− −− − − −
= = = =
+ + + + + +
 
 
O intuito agora é definir como se comporta a função polinomial da 
forma nx para 1n= , 2 , 3 , 4 , ... , quando x→+∞ e x→−∞ . A figura 1.11 
apresenta os gráficos para os casos particulares em que 2n= , 3 e 4 , 
respectivamente, e os seus limites no infinito. 
 
 
Figura 1.11 
 
 
 
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27
Os resultados apresentados na figura 1.11 são os casos particulares 
do seguinte caso geral: 
lim n
x
x
→+∞
=+∞ (1.11)
lim n
x
se n par
x
se n ímpar→−∞
+∞⎧
=⎨−∞⎩
 (1.12)
 
Exemplo Resolvido 1.2.8. Calcule os limites no infinito. 
(a) lim n
x
kx
→+∞
 (b) lim n
x
kx
→−∞
 
 
Solução (a). 
0
lim lim
0
n n
x x
se k
kx k x
se k→+∞ →+∞
+∞ >⎧
= =⎨−∞ <⎩
 
Solução (b). 
(i)
0
lim lim
0
n n
x x
se k
kx k x n par
se k→−∞ →−∞
+∞ >⎧
= =⎨−∞ <⎩
 
(ii) 
0
lim lim
0
n n
x x
se k
kx k x n ímpar
se k→−∞ →−∞
−∞ >⎧
= =⎨+∞ <⎩
 
 
Teorema 1.2.4. Um polinômio se comporta como seu termo de maior grau 
quando x →+∞ ou x →−∞ . 
( ) ( )0 1lim ... limn nn nx xa a x a x a x→+∞ →+∞+ + + = (1.13)
( ) ( )0 1lim ... limn nn nx xa a x a x a x→−∞ →−∞+ + + = (1.14)
 
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28
Exemplo Resolvido 1.2.9. Calcule os limites. 
(a) ( )3 2lim 5 4 12
x
x x x
→−∞
− + − (b) ( )3 4 5lim 3 3
x
x x x
→+∞
+ − 
 
Solução (a). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau, 
tem-se: 
( ) ( )3 2 3lim 5 4 12 lim 5
x x
x x x x
→−∞ →−∞
− + − = =−∞ 
Solução (b). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau, 
tem-se: 
3 4 5 51 3 3 3lim lim
2 5 7 7x x
x x x x
→+∞ →+∞
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = =−∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Uma função racional é uma razão entre dois polinômios, ou seja, é 
uma função do tipo 
( )
( )
f x
g x
 com ( ) 0≠g x . Neste caso, há três métodos para se 
calcular o limite 
( )
( )
lim
→x p
f x
g x
, dependendo se ( )lim
→x p
g x converge para zero ou 
não. 
 
Se ( )lim 0
→
≠
x p
g x , então, usa-se o fato de que o limite da razão é a 
razão dos limites, ou seja: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
→
→
→
= =x p
x p
x p
f xf x f p
g x g x g p
 (1.15)
Em outras palavras se ( )lim 0
→
≠
x p
g x , o limite ( )
( )
lim
→x p
f x
g x
 deve ser calculado por 
substituição direta. 
 
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29
Exemplo Resolvido 1.2.10. Ache 
3
22
2 7lim
3→
−
−x
x
x
. 
 
Solução. Como ( )2
2
lim 3 1 0
→
− = ≠
x
x , então o limite deve ser calculado por 
substituição direta, logo: 
( )
( )
33
2 22
2 2 72 7lim 9
3 2 3→
−−
= =
− −x
x
x
 
 
Exemplo Resolvido 1.2.11. Calcule 3
2
1lim
2 4x
x
x−→−
+
−
. 
 
Solução. Inicialmente tem que ser usado o fato de que o limite da raiz cúbica é 
a raiz cúbica do limite, ou seja: 
3 3
2 2
1 1lim lim
2 4 2 4x x
x x
x x− −→− →−
+ +
=
− −
 
Agora se calcula o limite da função racional e devido ao fato de que 
( )
2
lim 2 4 8 0
x
x
−→−
− =− ≠ , então: 
( )2
1 2 1 1lim
2 4 2 2 4 8x
x
x−→−
+ − +
= =
− − −
 
Logo, 
3 33
2 2
1 1 1 1lim lim
2 4 2 4 8 2x x
x x
x x− −→− →−
+ +
= = =
− −
 
 
 
 
 
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30
Se ( )lim 0
→
=
x p
g x e ( )lim 0
→
=
x p
f x , então o numerador e denominador 
terão um fator comum ( )−x p e o limite pode, freqüentemente, ser calculado 
cancelando-se primeiro os fatores comuns. Se ( )−x p é fator de ( )f x então 
( ) ( ) ( )= −f x x p F x e se ( )−x p é fator de ( )g x então ( ) ( ) ( )= −g x x p G x , 
daí: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
lim lim lim
→ → →
−
= =
−x p x p x p
f x x p F x F x
g x x p G x G x
 (1.16)
 
Exemplo Resolvido 1.2.12. Calcule 
2
3
9lim
3→
−
−x
x
x
. 
 
Solução. Como ( )
3
lim 3 0
→
− =
x
x e ( )2
3
lim 9 0
→
− =
x
x , então, há um fator comum 
( )3−x , logo, 
( )( ) ( )
2
3 3 3
3 39lim lim lim 3 6
3 3→ → →
− +−
= = + =
− −x x x
x xx x
x x
 
 
Exemplo Resolvido 1.2.13. Calcule 
3
21
1lim
2 1+→−
+
+ −x
x
x x
. 
 
Solução. Como ( )2
1
lim 2 1 0
+→−
+ − =
x
x x e ( )3
1
lim 1 0
x
x
+→−
+ = , então, há um fator 
comum ( )1x + , logo, 
( )( )
( )( )
23 2
21 1 1
1 11 1lim lim lim
1 2 1 2 12 1+ + +→− →− →−
+ − ++ − +
= =
+ − −+ −x x x
x x xx x x
x x xx x
 
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31
Tem-se uma nova função racional, então, deve-se verificar se o 
limite do denominador é igual à zero ou não. Como ( )
1
lim 2 1 3
x
x
+→−
− =− , então, o 
limite deve ser calculado por substituição direta. 
( ) ( )
( )
22
1
1 1 11 3lim 1
2 1 2 1 1 3+→−
− − −− +
= = =−
− − − −x
x x
x
 
 
Se ( )lim 0
→
=
x p
g x e ( )lim 0
→
≠
x p
f x , então ( )
( )
lim
→x p
f x
g x
 é +∞ ou −∞ , ou 
de um lado +∞ e do outro −∞ , ou vice versa. Neste caso, devem-se calcular 
os limites laterais e para isso deve-se analisar o sinal da expressão 
( )
( )
f x
g x
 nas 
proximidades do ponto =x p . 
 
Exemplo Resolvido 1.2.14. Calcule 
2
lim
2→− +x
x
x
. 
 
Solução. Como ( )
2
lim 2 0
→−
+ =
x
x e ( )
2
lim 2 0
→−
=− ≠
x
x , então, devem-se calcular os 
limites laterais. Sabe-se que os limites laterais são do tipo ∞ , então resta saber 
o sinal. 
(i) Quando x se aproxima de 2− pela esquerda, 2<−x o que implica que 
2 0+ <x e como nas proximidades de 2= −x tem-se 0<x , então, tem-se que 
0
2
x
x
>
+
. Daí pode-se concluir que: 
2
lim
2−→−
=+∞
+x
x
x
 
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32
(ii) Quando x se aproxima de 2− pela direita, 2>−x o que implica que 
2 0+ >x e como nas proximidades de 2= −x tem-se 0<x , então, tem-se que 
0
2
x
x
<
+
. Daí pode-se concluir que: 
2
lim
2x
x
x+→−
=−∞
+
 
Um modo mais prático de resolver estes limites é através da análise 
do sinal da expressão 
2+
x
x
, que é dado pela figura 1.12: 
 
Figura 1.12 
 
Logo, pode-se concluir que: 
2
lim
2−→−
=+∞
+x
x
x
 e 
2
lim
2−→−
=−∞
+x
x
x
. 
 
Em alguns casos de limites envolvendo funções com radicais, pode-
se usar um procedimento semelhante ao utilizado no cálculo para funções 
racionais. Neste caso deve-se simplificar a expressão do limite através da 
fatoração dos termos. 
 
 
 
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33
Exemplo Resolvido 1.2.15. Calcule 
20
3lim
1 2 1x
x
x x+→ + − +
. 
 
Solução. Como ( )2
0
lim 1 2 1 0
x
x x
+→
+ − + = e ( )
0
lim 3 0
x
x
+→
= , então para resolver 
este limite deve-se simplificar a expressão do limite. Ou seja: 
2
2 2 2
3 3 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
x x x x
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞ + + +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + + − + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠
 
( )
( ) ( )
( )2 2
2 222
3 1 2 1 3 1 2 1
1 2 11 2 1
x x x x x x
x xx x
+ + + + + +
= =
+ − −+ − +
 
( ) ( )
( )
2 2
2
3 1 2 1 3 1 2 1
22
x x x x x x
x xx x
+ + + + + +
= =
−−
 
( )23 1 2 1
2
x x
x
+ + +
=
−
 
Logo, tem-se: 
( )2
20 0
3 1 2 13lim lim
21 2 1x x
x xx
xx x+ +→ →
+ + +
=
−+ − +
 
Como ( )
0
lim 2 2 0
x
x
+→
− =− ≠ , pode-se calcular o limite através da 
substituição direta, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( )22
0
3 0 1 2 0 13 1 2 1 3 2
lim 3
2 0 2 2x
x x
x+→
⎛ ⎞+ + ++ + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =−
− − −
 
Daí tem-se: 
20
3lim 3
1 2 1x
x
x x+→
=−
+ − +
 
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34
Para se calcular os limites no infinito de uma função racional devem-
se dividir numerador e denominador pela potência mais alta de x que aparece 
no denominador, logo todas as potências de x tornam-se constantes ou 
potências de 
1
x
. 
 
Exemplo Resolvido 1.2.16. Calcule 3 5lim
4 6→−∞
−
−x
x
x
. 
 
Solução. Divide-se numerador e denominar por x , daí: 
55 lim 333 5 3 0 3 1lim lim 4 44 6 0 6 6 26 lim 6
x
x x
x
x xx
x
x x
→−∞
→−∞ →−∞
→−∞
⎛ ⎞−− ⎜ ⎟− −⎝ ⎠= = = = = −
− − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Exemplo Resolvido 1.2.17. Ache 
2
3 2
3 2 5lim
5 7 1→+∞
+ −
− − +x
x x
x x x
. 
 
Solução. Divide-se numerador e denominar por 3x , daí: 
2 2 3
3 2
2 3
3 2 5
3 2 5lim lim 7 1 15 7 1 5x x
x x x x x
x x x
x x x
→+∞ →+∞
+ −+ −
=
− − + − − +
 
2 3
2 3
3 2 5lim
0 0 0 0 0
7 1 1 5 0 0 0 5lim 5
x
x
x x x
x x x
→+∞
→+∞
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ + −⎝ ⎠= = = =
− − +⎛ ⎞− − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
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35
Outra maneira de se resolver estes limites é considerando o fato de 
que como uma função racional é uma razão entre dois polinômios e como o 
polinômio se comporta como seu termo de maior grau no infinito, logo se 
( ) ( )0 1 ... 0nn nf x a a x a x a= + + + ≠ e ( ) ( )0 1 ... 0mm mg x b b x b x b= + + + ≠ , então: 
( )
( )
0 1
0 1
...lim lim lim
...
n n
n n
m mx x xm m
f x a a x a x a x
g x b b x b x b x→−∞ →−∞ →−∞
+ + +
= =
+ + +
 (1.17)
e 
( )
( )
0 1
0 1
...lim lim lim
...
n n
n n
m mx x xm m
f x a a x a x a x
g x b b x b x b x→+∞ →+∞ →+∞
+ + +
= =
+ + +
 (1.18)
 
Ou seja, uma função racional comporta-se quando x →+∞ e 
x →−∞ , como a razão entre os termos de mais alto grau no numerador e no 
denominador. 
 
Exemplo Resolvido 1.2.18. Ache 
4 3 2
3 2
7 2 5lim
6 8 13→−∞
+ −
− + − +x
x x x
x x x
. 
 
Solução. Usando o fato anterior tem-se: 
( )
4 3 2 4
3 2 3
7 2 5 7lim lim lim 7
6 8 13→−∞ →−∞ →−∞
+ −
= = − =+∞
− + − + −x x x
x x x x x
x x x x
 
 
Exemplo Resolvido 1.2.19. Calcule: 
(a)
2
2 3lim
1→+∞
−
+x
x
x
 (b) 
2
2 3lim
1→−∞
−
+x
x
x
 
 
 
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36
Em ambos os itens, seria mais prático manipular a função de forma 
que as potências de x se tornem potências de 1 x . Podem-se conseguir isto 
em ambos os termos dividindo-se numerador e denominador por x e 
lembrando do fato que 2x x= . 
Solução (a). Dividindo, então, numerador e denominador por x , tem-se 
2 2
2 3
2 3lim lim
1 1→+∞ →+∞
−
−
=
+ +x x
x
xx
x x
x
 
 Como 2=x x e para 0>x tem-se =x x , daí: 
2
2 2 2
2 3 2 22 lim 3 lim 33 3lim lim 3
11 1 11 1 lim 1 lim 1
x x
x x
x x
x
x x xx
x
x x xx
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
Solução (b). Fazendo o mesmo procedimento adotado no item (a), então: 
2 2
2 3
2 3lim lim
1 1→−∞ →−∞
−
−
=
+ +x x
x
xx
x x
x
 
 Como 2=x x e para 0<x tem-se =−x x , daí: 
2
2 2 2
2 3 2 22 lim 3 lim 33 3lim lim 3
11 1 11 1 lim 1 lim 1
x x
x x
x x
x
x x xx
x
x x xx
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 
 
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37
No caso de limite de funções definidas por partes, devem-se calcular 
separadamente os limites laterais e verificar a existência do limite bilateral (ver 
teorema 1.1.1). 
 
Exemplo Resolvido 1.2.20. Seja ( ) 2
2 1 1
4 1
− >−⎧⎪=⎨
+ <−⎪⎩
x se x
f x
x x se x
, então calcule, 
caso exista, ( )
1
lim
→−x
f x . 
 
Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites 
laterais. Logo, 
( ) ( ) ( ) ( )22
1 1
lim lim 4 1 4 1 3
x x
f x x x
− −→− →−
= + = − + − =− 
e 
( ) ( ) ( )
1 1
lim lim 2 1 2 1 1 3
x x
f x x
+ +→− →−
= − = − − =− 
Como ( ) ( )
1 1
lim 3 lim
− +→− →−
= − =
x x
f x f x , implica que existe o limite e seu 
valor é dado por: ( )
1
lim 3
→−
= −
x
f x . 
 
Exemplo Resolvido 1.2.21. Seja ( )
3 23 1 2
0 2
2 2
⎧ − + <
⎪
= =⎨
⎪ + >⎩
x x se x
g x se x
x se x
, então calcule, 
caso exista, ( )
2
lim
→x
g x . 
 
Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites 
laterais. Logo, 
( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
2 2
lim lim 3 1 2 3 2 1 3
x x
g x x x
− −→ →
= − + = − + =− 
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38
e 
( ) ( ) ( )
2 2 2
lim lim 2 lim 2 2 2 2
x x x
g x x x
+ − −→ → →
= + = + = + = 
Como ( ) ( )
2 2
lim 3 2 lim
− +→ →
= − ≠ =
x x
g x g x , implica que não existe o limite 
( )
2
lim
→x
g x . 
 
Exemplo Resolvido 1.2.22. Seja a função ( ) 2
2
2 1 0
1 0 2
1 2
2
x se x
f x x se x
x se x
⎧
⎪ − <
⎪⎪= − < <⎨
⎪
⎪ + >
⎪⎩
. 
Determine, caso existam, ( )
0
lim
x
f x
→
 e ( )
2
lim
x
f x
→
. 
 
Solução. Inicialmente verifica-se a existência de ( )
0
lim
x
f x
→
 através do cálculo 
dos limites laterais. Isto é, 
( ) ( )
0 0
lim lim 2 1 1
x x
f x x
− −→ →
= − =− 
e 
( ) ( )2
0 0
lim lim 1 1
x x
f x x
+ +→ →
= − =− 
Como ( ) ( )
0 0
lim 1 lim
x x
f x f x
− +→ →
=− = , tem-se que ( )
0
lim 1
x
f x
→
=− . 
Faz-se o mesmo para verificar a existência de ( )
2
lim
x
f x
→
. Isto é, 
( ) ( )2
2 2
lim lim 1 3
x x
f x x
− −→ →
= − = 
e 
( )
2
2 2
lim lim 1 3
2x x
xf x
+ +→ →
⎛ ⎞
= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Como ( ) ( )
2 2
lim 3 lim
x x
f x f x
− +→ →
= = , tem-se que ( )
2
lim
x
f x
→
. 
 
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39
1.3 Limites: Uma definição matemática 
 
A definição de limite dada na seção 1.1 deste módulo foi baseada na 
intuição de como o significado dos valores de uma função fica cada vez mais 
próximo de um valor limitante. Porém, esta definição é muito imprecisa e 
inadequada para alguns propósitos, logo se torna necessário uma definição 
mais precisa de um ponto de vista matemático. 
Par isso considere a função { }: − →f R p R cujo gráfico é dado é 
apresentado na figura 1.13 e para o qual ( )f x L→ quando x p→ . 
 
 
Figura 1.13 
 
Escolhe-se um número positivo, ε , e traçam-se duas retas 
horizontais que passam pelos pontos L ε− e L ε+ , no eixo y , para a curva 
( )y f x= e, então, retas verticais daqueles pontos da curva para o eixo x (ver 
figura 1.14) e sejam 0x e 1x os pontos onde as retas verticais interseccionam o 
eixo x . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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40
 
Figura 1.14 
 
Fazendo x se aproximar cada vez mais de p , por qualquer um dos 
lados, tem-se que logo x estará no intervalo ( )0 1,x x ; quando isto ocorre, o 
valor de ( )f x estará entre L ε− e L ε+ (ver figura 1.15). Ou seja, se 
( )f x L→ quando x p→ , então para qualquer 0ε > tem-se um intervalo 
aberto ( )0 1,x x no eixo x , com ( )0 1,p x x∈ e com a propriedade que para cada 
( )0 1,x x x∈ , exceto possivelmente x p= , tem-se ( ) ( ),f x L Lε ε∈ − + . 
 
 
Figura 1.15 
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41
Definição 1.3.1 (1ª versão preliminar). Seja ( )f x uma função definida em 
todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível 
exceção de que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se: 
( )lim
x p
f x L
→
= (1.19)
se dado 0ε > , pode-se encontrar um intervalo aberto ( )0 1,x x que contenha p 
de modo que ( )f x satisfaça 
( )L f x Lε ε− < < + (1.20)
para cada ( )0 1,x x x∈ , com a possível exceção de x p= . 
 
Observa-se através da figura 1.15 que o intervalo ( )0 1,x x amplia-se 
mais à direita que à esquerda. Então, para muitos fins é preferível ter um 
intervalo com a mesma distância de p . Escolhe-se um número positivo δ 
menor do que 1x p− e 0p x− , e considere o intervalo ( ),p pδ δ− + que se 
ampliam à mesma distância de p , em ambos os lados. 
Uma vez que a condição ( )L f x Lε ε− < < + é válida para o 
intervalo ( )0 1,x x e como ( ) ( )0 1, ,p p x xδ δ− + ⊂ , então esta condiçãotambém 
é válida para o intervalo ( ),p pδ δ− + , como mostrado na figura 1.16. 
 
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42
 
Figura 1.16 
 
Definição 1.3.2 (2ª versão preliminar). Seja ( )f x uma função definida em 
todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível 
exceção de que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se: 
( )lim
x p
f x L
→
= (1.21)
se dado 0ε > , pode-se achar um número 0δ > tal que ( )f x satisfaça 
( )L f x Lε ε− < < + (1.22)
para cada ( ),x p pδ δ∈ − + , com a possível exceção de x p= . 
 
A condição ( )L f x Lε ε− < < + pode ser expressa como 
( )f x L ε− < 
e a condição que x está situado no intervalo ( ),p pδ δ− + , mas x p≠ , pode 
ser expressa como: 
0 x p δ< − < 
 
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43
Definição 1.3.3 (versão final). Seja ( )f x uma função definida em todo x de 
algum intervalo aberto que contenha o número p , com a possível exceção de 
que ( )f x não precisa ser definida em p . Escreve-se: 
( )lim
x p
f x L
→
= (1.23)
se dado 0ε > , pode-se achar um número 0δ > tal que 
( )f x L ε− < se 0 x p δ< − < (1.24)
 
Exemplo Resolvido 1.3.1. Prove que ( )
3
lim 2 5 1
x
x
→
− = . 
 
Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo ε , pode-se 
encontrar um número positivo δ tal que: 
( )2 5 1x ε− − < se 0 3x δ< − < 
simplificando tem-se: 
2 6x ε− < se 0 3x δ< − < 
( )2 2x ε− − < se 0 3x δ< − < 
2 3x ε− − < se 0 3x δ< − < 
2 3x ε− < se 0 3x δ< − < 
3
2
x ε− < se 0 3x δ< − < , logo fica evidente que 
2
εδ = . 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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44
Exemplo Resolvido 1.3.2. Prove que ( )
2
lim 4 3 2
x
x
→
− =− . 
 
Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo ε , pode-se 
encontrar um número positivo δ tal que: 
( ) ( )4 3 2x ε− − − < se 0 2x δ< − < 
6 3x ε− < se 0 2x δ< − < 
( )3 2x ε− − < se 0 2x δ< − < 
3 2x ε− − < se 0 2x δ< − < 
3 2x ε− < se 0 2x δ< − < 
2
3
x ε− < se 0 2x δ< − < , logo fica evidente que 
3
εδ = . 
 
Exemplo Resolvido 1.3.3. Prove que ( )
1
lim 7 12 5
x
x
→−
+ = . 
 
Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo ε , pode-se 
encontrar um número positivo δ tal que: 
( )7 12 5x ε+ − < se ( )0 1x δ< − − < 
7 7x ε+ < se 0 1x δ< + < 
( )7 1x ε+ < se 0 1x δ< + < 
7 1x ε+ < se 0 1x δ< + < 
2
7
x ε+ < se 0 1x δ< + < , logo fica evidente que 
7
εδ = . 
 
 
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45
O valor de δ não é único, ou seja, uma vez achado um valor de δ 
que preenche as condições da definição 1.3.3, então, qualquer 1 0δ > , menor 
que δ , também satisfaz estas condições. Isto é, se é verdade que: 
( )f x L ε− < se 0 x p δ< − < 
então também será verdade que 
( )f x L ε− < se 10 x p δ< − < 
 
Exemplo Resolvido 1.3.4. Prove que ( )2
1
lim 1 2
x
x
→
+ = . 
 
Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo ε , pode-se 
encontrar um número positivo δ tal que: 
( )2 1 2x ε+ − < se 0 1x δ< − < 
2 1x ε− < se 0 1x δ< − < 
Como ( )( )2 1 1 1x x x− = + − , então: 
1 1x x ε+ − < se 0 1x δ< − < 
ou 
1
1
− <
+
x
x
ε
 se 0 1x δ< − < 
Para garantir esta afirmação, necessita-se achar um δ que 
“controle” o tamanho de ambos os fatores do lado esquerdo, pois o lado direito 
dá um “controle” do tamanho de 1x − , mas não de 1x + . 
Para contornar isto, pode-se fazer uma restrição quando ao valor de 
δ , ou seja, escolhendo δ tal que 1δ ≤ , tem-se: 
1 1 1 1 1 0 2 1 1 3x x x x− < ⇒ − < − < ⇒ < < ⇒ < + < 
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46
o que implica: 
1 3x + < 
resultando 
1
3
x ε− < se 0 1x δ< − < 
Assim pode-se tomar 
3
εδ = (ou menos), sujeito à restrição 1δ ≤ . Ou 
seja, pode-se obter isto tomando δ como o mínimo entre 
3
εδ = e 1 , escrito 
como min ,1
3
εδ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Definição 1.3.4. Seja ( )f x definida em todo x que pertence a algum intervalo 
aberto infinito, o qual se estende na direção positiva do eixo x . Escreve-se: 
( )lim
x
f x L
→+∞
= (1.25)
se dado 0ε > , há um correspondente 0N > , tal que 
( )f x L ε− < se x N> (1.26)
 
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47
 
Figura 1.17 
 
Em outras palavras, se for permitido x crescer indefinidamente, 
então subseqüentemente x irá estar no intervalo ( ),N +∞ , marcado pela faixa 
escura da figura 1.17; quando isto ocorrer os valores de ( )f x estarão entre 
L ε− e L ε+ , marcado pela faixa clara da figura 1.17. 
 
Definição 1.3.5. Seja ( )f x definida em todo x que pertence a algum intervalo 
aberto infinito, o qual se estende na direção negativa do eixo x . Escreve-se: 
( )lim
x
f x L
→−∞
= (1.27)
se dado 0ε > , há um correspondente 0N < , tal que 
( )f x L ε− < se x N< (1.28)
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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48
 
Figura 1.18 
 
Em outras palavras, se for permitido x decrescer indefinidamente, 
então subseqüentemente x irá estar no intervalo ( ), N−∞ , marcado pela faixa 
escura da figura 1.18; quando isto ocorrer os valores de ( )f x estarão entre 
L ε− e L ε+ , marcado pela faixa clara da figura 1.18. 
 
Exemplo Resolvido 1.3.5. Prove 1lim 0
x x→+∞
= . 
 
Solução. Aplicando a definição tem-se: 
1 0
x
ε− < se x N> 
1
x
ε< se x N> 
Como x →+∞ então 0x> e podem-se eliminar os valores 
absolutos nas afirmações acima. Logo, tem-se: 
1
x
ε< se x N> 
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49
ou seja, 
1x
ε
> se x N> 
Daí é evidente que 
1N
ε
= . 
 
Definição 1.3.6. Seja ( )f x definida em todo x que pertence a algum intervalo 
aberto contendo p , exceto que ( )f x não precisa estar definida em p . 
Escreve-se: 
( )lim
x p
f x
→
=+∞ (1.29)
se dado 0M > , pode-se achar 0δ > , tal que: 
( )f x M> se 0 x p δ< − < (1.30)
 
 
Figura 1.19 
 
Em outras palavras, supondo que ( )f x → +∞ quando x p→ , e 
para 0M > seja 0δ > o número correspondente descrito na definição 1.3.6. 
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50
Logo, se x aproxima-se de p , por qualquer lado, 
subseqüentemente estará no intervalo ( ),p pδ δ− + , marcado pela faixa clara 
da figura 1.19; quando isto ocorrer, os valores de ( )f x serão maiores do que 
M , marcado pela faixa escura da figura 1.19. 
 
Definição 1.3.7. Seja ( )f x definida em todo x que pertence a algum intervalo 
aberto contendo p , exceto que ( )f x não precisa estar definida em p . 
Escreve-se: 
( )lim
x p
f x
→
=−∞ (1.31)
se dado 0M < , pode-se achar 0δ > , tal que: 
( )f x M< se 0 x p δ< − < (1.32)
 
 
Figura 1.20 
 
Em outras palavras, supondo que ( )f x →−∞ quando x p→ , e 
para 0M < seja 0δ > o número correspondente descrito na definição 1.3.7. 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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51
Logo, se x aproxima-se de p , por qualquer lado, 
subseqüentemente estará no intervalo ( ),p pδ δ− + , marcado pela faixa clara 
da figura 1.20; quando isto ocorrer, os valores de ( )f x serão menores do que 
M , marcado pela faixa escura da figura 1.20. 
 
Exemplo Resolvido 1.3.6. Prove que 20
1lim
x x→
=+∞ . 
 
Solução. Deve-se mostrar que dado um número 0M > , pode-se achar um 
0δ > tal que: 
2
1 M
x
> se 0 0x δ< − < 
ou simplificando 
2 1x
M
< se 0 x δ< < 
mas, 2
1 1x x
M M
< ⇒ < , logo 
1
M
δ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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52
1.4 Continuidade 
 
Para se falar em continuidade é necessário antes entender a 
significado de descontinuidade em um ponto. Por exemplo, sejam os seguintes 
gráficos apresentados na figura 1.21. 
 
 
Figura 1.21 
 
Em (a) tem-se que o gráfico da função apresenta uma 
descontinuidade em x p= , mesmo sendo definida neste ponto.Isto se deve ao 
fato dos limites laterais neste ponto serem diferentes, ou seja, 
( ) ( )lim lim
x p x p
f x L M f x
− +→ →
= ≠ = , o que implica que não existe ( )lim
x p
f x
→
. 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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53
Em (b) tem-se que o gráfico da função apresenta uma 
descontinuidade em x p= , mas neste caso existe ( )lim
x p
f x L
→
= . Isto se deve 
ao fato de a função não ser definida em x p= , ou seja, não existe ( )f p . 
Em (c) a função é definida em x p= e existe ( )lim
x p
f x L
→
= , porém a 
função apresenta uma descontinuidade neste ponto. Isto se deve ao fato da 
imagem de p ser diferente do limite de ( )f x quando x tende a p , ou seja, 
( ) ( )lim
x p
f x L f p
→
= ≠ . 
Em (d) a função apresenta uma descontinuidade em x p= , mesmo 
sendo definida neste ponto. Isto se deve ao fato da função crescer 
indefinidamente quando x se aproxima de p , por ambos os lados, ou seja, 
( )lim
x p
f x
→
=+∞ . Este caso é chamado de descontinuidade infinita. 
Da análise dos gráficos da figura 1.21 pode-se chegar à conclusão 
que para uma função não ser descontínua em x p= , é necessário que a 
função seja definida em x p= , ( )f p∃ , é necessário que o limite de f 
quando x tende a p exista, ( )lim
x p
f x
→
∃ , e que ( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= . 
Em outras palavras, para que uma função ( )f x seja contínua em 
um ponto x p= , ( )p D f∈ , é necessário que as seguintes condições sejam 
satisfeitas: 
1. Exista ( )f p . 
2. Exista ( )lim
x p
f x L
→
= . 
3. ( ) ( )lim
x p
f x L f p
→
= = 
A definição seguinte resume estas três condições em uma única, 
que englobas as demais. 
 
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54
Definição 1.4.1. Diz-se que uma função ( )f x é contínua em x p= , ( )p D f∈ , 
se, e somente se, 
( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= (1.33)
 
Exemplo Resolvido 1.4.1. Determine se as funções são contínuas em 1x=− . 
(a) ( )
3 1 1
1
1 1
x se xf x x
se x
⎧ +
≠−⎪=⎨ +
⎪ =−⎩
 (b) ( )
3 1 1
1
3 1
x se xg x x
se x
⎧ +
≠−⎪=⎨ +
⎪ =−⎩
 
 
Solução (a). Como a função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 1f − = , verifica-
se o valor do limite, 
( ) ( )
3
2
1 1 1
1lim lim lim 1 3
1x x x
xf x x x
x→− →− →−
+
= = − + =
+
 
e como ( ) ( )
1
lim 3 1 1
x
f x f
→−
= ≠ = − , tem-se que f é descontinua em 1x=− . 
Solução (b). Como a função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 3g − = , verifica-
se o valor do limite, 
( ) ( )
3
2
1 1 1
1lim lim lim 1 3
1x x x
xg x x x
x→− →− →−
+
= = − + =
+
 
e como ( ) ( )
1
lim 3 1
x
g x g
→−
= = − , tem-se que g é continua em 1x=− . 
 
Se uma função f é contínua em cada ponto de um intervalo aberto 
( ),a b , então f é contínua em ( ),a b . Isto se aplica aos intervalos abertos 
infinitos da forma ( ),a +∞ , ( ),b−∞ e ( ),−∞ +∞ . No caso da função ser contínua 
em ( ),−∞ +∞ , então é dito que f é contínua em toda parte, ou na reta toda. 
 
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55
Exemplo Resolvido 1.4.2. Determine se a função ( )
2 2 1
1 1
2 1
x x se x
h x
se x
x
⎧ + ≤−
⎪=⎨
>−⎪ +⎩
 é 
contínua em 1x=− . 
 
Solução. Tem-se que ( )1 1h − =− , logo se verifica a existência de ( )
1
lim
x
h x
→−
. 
Como a função é definida por partes, então, para que ( )
1
lim
x
h x
→−
 
exista é necessário que ( ) ( )
1 1
lim lim
x x
h x h x
− +→− →−
= . Daí, 
( ) ( )2
1 1
lim lim 2 1
x x
h x x x
− −→− →−
= + =− 
e 
( )
1 1
1lim lim 1
2 1x x
h x
x+ −→− →−
⎛ ⎞= =−⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
Como ( ) ( )
1 1
lim 1 lim
x x
h x h x
− +→− →−
=− = implica que ( )
1
lim 1
x
h x
→−
=− . Daí 
tem-se que ( ) ( )
1
lim 1 1
x
h x h
→−
=− = − , então, pode-se concluir que h é contínua 
em 1x=− . 
 
 Exemplo Resolvido 1.4.3. Mostre que as funções são descontínuas em p . 
(a) ( )
2
2 1 2
2 2 2
1 2
x se x
g x se x p
x x se x
⎧ − >
⎪
= = =⎨
⎪ − + <⎩
 
(b) ( )
3
2
1 1
1
1
x x se x
h x p
x x se x
⎧ − + ≤−⎪= =−⎨
+ >−⎪⎩
 
 
 
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56
Solução (a). A função é definida em 2x= , ou seja, ( )2 2g = . 
A função é definida por parte, o que torna necessário o cálculo dos 
limites laterais, para verificar a existência do limite bilateral. Então: 
( ) ( )2
2 2
lim lim 1 3
x x
g x x x
− −→ →
= − + = 
e 
( ) ( )
2 2
lim lim 2 1 3
x x
g x x
+ +→ →
= − = 
como ( ) ( ) ( )
22 2
lim 3 lim lim 3
xx x
g x g x g x
− + →→ →
= = ⇒ = . 
Por outro lado como ( ) ( )
2
lim 3 2 2
x
g x g
→
= ≠ = a função é descontínua 
em 2x= . 
Neste exemplo para tornar a função contínua em 2x= , basta 
assumir que a função assume o valor de 3 quando 2x= , ou seja, assume-se 
que ( )2 3g = . Quando o limite existe, pode-se remover esta descontinuidade, 
se houver necessidade, assumindo o valor da imagem do ponto como sendo o 
valor do limite neste ponto. Esta descontinuidade é chamada de 
descontinuidade removível. 
Solução (b). A função é definida em 1x=− , ou seja, ( )1 1h − = . 
Novamente a função é definida por partes, então, devem-se 
determinar os limites laterais, para verificar a existência do limite bilateral. Daí, 
( ) ( )3
1 2
lim lim 1 1
x x
h x x x
− −→− →
= − + = 
e 
( ) ( )2
1 1
lim lim 0
x x
h x x x
+ +→− →−
= + = 
como ( ) ( ) ( )
11 1
lim 1 0 lim lim
xx x
h x h x h x
− + →−→− →−
= ≠ = ⇒ ∃ . 
Logo a não existência do limite garante a descontinuidade em 
1x=− . 
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57
Neste exemplo não há o que ser feito para tornar a função contínua 
em 1x=− , ou seja, a função é sempre descontínua neste ponto. Este tipo de 
descontinuidade é chamada de descontinuidade essencial. 
 
Teorema 1.4.1. Os polinômios são contínuos em toda parte. 
 
Prova. Seja o polinômio 
( ) 0 1 ... nnp x a a x a x= + + + 
então, para cada ( ),c∈ −∞ +∞ , tem-se: 
( ) ( )lim
x c
p x p c
→
= 
que é a própria definição de continuidade em cada c real. Logo ( )p x é 
contínuo em ( ),−∞ +∞ , ou seja, em toda parte. 
 
Exemplo Resolvido 1.4.4. Mostre que x é contínua em toda parte. 
 
Solução. Pode-se escrever a função x como: 
0
0
x se x
x
x se x
− <⎧
=⎨ ≥⎩
 
Logo no intervalo ( ),0−∞ , x é o polinômio x− , então, pelo teorema 
1.4.1 a função modular é contínua em ( ),0−∞ , enquanto que no intervalo 
( )0,+∞ x é o polinômio x , então, pelo teorema 1.4.1 a função modular é 
contínua em ( )0,+∞ . Daí tem-se que a função x é contínua em 
( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ . 
Agora, basta verificar no ponto 0x= . Neste caso devem-se calcular 
os limites laterais. 
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58
( )
0 0
lim lim 0
x x
x x
− −→ →
= − = 
e 
( )
0 0
lim lim 0
x x
x x
+ +→ →
= = 
daí, tem-se que 
0
lim 0 0
x
x
→
= = , então, pode-se concluir que a função x é 
contínua em toda parte. 
 
Teorema 1.4.2. Se as funções f e g são contínuas em x p= , então: 
(a) f g± é contínua em x p= . 
(b) f g⋅ é contínua em x p= . 
(c) 
f
g
 é contínua em x p= se ( ) 0g p ≠ . 
 
Prova (a). Por hipótese f e g são contínuas em x p= , logo ( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= 
e ( ) ( )lim
x p
g x g p
→
= . 
(i) Define-se uma função ( ) ( ) ( )x f x g xψ = + , então, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim
x p x p x p x p
x f x g x f x g x f p g p pψ ψ
→ → → →
= + = + = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ 
logo, a função ψ é contínua em x p= . 
(ii) Define-se uma função ( ) ( ) ( )x f x g xψ = − , então, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim
x p x p x p x p
x f x g x f x g x f p g p pψ ψ
→ → → →
= − = − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ 
logo, a função ψ é contínua em x p= . 
Prova (b). Deve ser feita como exercício. 
Prova (c). Deve ser feita como exercício. 
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59
Corolário 1.4.2.1. Se as funções ( )1f x , ( )2f x ,...., ( )nf x são contínuas em 
x p= , então: 
(a) 1 2 ... nf f f± ± ± é contínua em x p= . 
(b) 1 2 ... nf f f⋅⋅ ⋅ é contínua em x p= . 
 
Prova (a). Deve ser feita como exercício. 
Prova (b). Se as funções ( )1f x , ( )2f x ,...., ( )nf x , então, respectivamente, 
tem-se ( ) ( )1 1limx p f x f p→ = , ( ) ( )2 2limx p f x f p→ = ,..., ( ) ( )lim n nx p f x f p→ = . 
Define-se ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nx f x f x f xψ = ⋅ ⋅ ⋅ , daí: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2lim lim ... nx p x px f x f x f xψ→ →= ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( )1 2lim lim ... lim nx p x p x pf x f x f x→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nf p f p f p pψ= ⋅ ⋅ ⋅ = 
Então, como ( ) ( )lim
x p
x pψ ψ
→
= , logo, a função 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nx f x f x f xψ = ⋅ ⋅ ⋅ é contínua em x p= . 
 
Corolário 1.4.2.2. Uma função racional é contínua em toda parte, exceto nos 
pontos onde o denominador for zero. 
 
Prova. Semelhante a prova da parte (c) do teorema 1.4.2. 
 
Exemplo Resolvido 1.4.5. Prove que a função ( )
2
4 27 1
x xf x
x x
+
=
+ +
 é contínua 
em toda parte. 
 
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60
Solução. De acordo com o corolário 1.4.2.2 uma função racional é contínua 
exceto nos pontos onde o denominador é zero. Logo para mostrar que a função 
f basta mostrar que o denominador nunca é zero, isto é que a equação não 
tem solução: 
4 27 1 0x x+ + = 
A equação acima é uma equação biquadrada, logo, fazendo 2z x= , 
tem-se a equação do 2º grau abaixo: 
2 7 1 0z z+ + = 
Daí, usando a Fórmula de Báskara: 
( ) ( ) ( )( )
( )
27 7 4 1 1 7 49 4 7 45
2 1 2 2
z
− ± − − ± − − ±
= = = 
dando: 
1
7 45
2
z − −= e 2
7 45
2
z − += 
Como 6 45 7< < , então, 1z e 2z são ambos negativos não há 
solução para: 
2
1
7 45
2
x − −= e 22
7 45
2
x − −= 
Pode-se concluir que a equação 4 27 1 0x x+ + = não tem solução 
real, o que implica que a expressão 
2
4 27 1
x x
x x
+
+ +
 não apresenta zeros no 
denominador, conseqüentemente a função f é contínua em toda parte. 
 
 
 
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61
Teorema 1.4.3. Suponha que lim simboliza um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, lim
x p+→
, 
lim
x→+∞
 e lim
x→−∞
. Se ( )lim g x L= e se a função f for contínua em L , então: 
( )( ) ( )lim f g x f L= (1.34)
Isto é, 
( )( ) ( )( )lim limf g x f g x= (1.35)
 
Em outras palavras o que o teorema 1.4.3 afirma é que um símbolo 
de limite pode passar pelo sinal da função desde que o limite da expressão 
dentro desse sinal exista e a função seja contínua neste limite. 
 
Corolário 1.4.3.1. 
(a) Se a função g for contínua em p e a função f for contínua em ( )g p , 
então fog é contínua em p . 
(b) Se a função g for contínua em toda parte e a função f , também, for 
contínua em toda parte, então fog é contínua em toda parte. 
 
Prova (a). Para provar que a função fog é contínua em p , basta provar que o 
valor de fog e o valor de seu limite em x p= são os mesmos. 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )lim lim lim
x p x p x p
fog x f g x f g x f g p fog p
→ → →
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Prova (b). Dever ser feita como exercício. 
 
 
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62
Definição 1.4.2. Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado 
[ ],a b , se as seguintes condições são satisfeitas: 
(a) f é contínua em ( ),a b . 
(b) f é contínua à direita em a , ou seja, ( ) ( )lim
x a
f x f a
+→
= . 
(c) f é contínua à direita em b , ou seja, ( ) ( )lim
x b
f x f b
−→
= . 
 
 
Figura 1.22 
 
Teorema 1.4.4 (Teorema do Valor Intermediário). Se f for contínua em um 
intervalo fechado [ ],a b e k é um número qualquer entre ( )f a e ( )f b , 
inclusive, então há, no mínimo, um número c no intervalo [ ],a b tal que 
( )f c k= . 
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63
 
Figura 1.23 
 
Teorema 1.4.5 (Teorema de Bolzano). Se f for contínua em [ ],a b , e se 
( )f a e ( )f b forem diferentes de zero e tiverem sinais opostos, então há, no 
mínimo, um número c no intervalo ( ),a b tal que ( ) 0f c = . 
 
 
Figura 1.24 
 
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64
Prova. Considere o caso em que ( ) 0f a > e ( ) 0f b < , como mostra a figura 
1.24. Então, por hipótese f é contínua em [ ],a b e 0 está entre ( )f a e ( )f b , 
logo pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um [ ],c a b∈ tal 
que ( ) 0f c = . Contudo como ( )f a e ( )f b são diferentes de zero, então, c 
está situado em ( ),a b , o que completa a prova. 
 
Exemplo Resolvido 1.4.6. Prove que a função ( ) 3 1f x x x= + + , tem pelo 
menos uma raiz real. 
 
Solução. Para provar que f possui ao menos uma raiz real, deve-se encontrar 
um intervalo fechado no qual se tenha as hipóteses do Teorema de Bolzano. 
Inicialmente considera-se o intervalo [ ]0,1 , daí tem-se: 
( ) ( ) ( )30 0 0 1 1 0f = + + = > 
( ) ( ) ( )31 1 1 1 3 0f = + + = > 
Como não satisfaz as condições do teorema de Bolzano, deve-se 
escolher um outro intervalo. Considerando agora o intervalo [ ]1,0− , então: 
( ) ( ) ( )31 1 1 1 1 0f − = − + − + =− < 
( ) ( ) ( )30 0 0 1 1 0f = + + = > 
Neste caso como a função ( ) 3 1f x x x= + + é contínua em [ ]1,0− e 
( )1f − é negativo e ( )0f é positivo, tem-se pelo Teorema de Bolzano que a 
função f apresenta pelo menos uma raiz real no intervalo ( )1,0− . 
 
 
 
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65
1.5 Limites e Continuidade das Funções Trigonométricas 
 
Teorema 1.5.1 (Teorema do Confronto). Sejam f , g e h funções que 
satisfazem à desigualdade: 
( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ (1.36)
para todo x de algum intervalo aberto que contenha o ponto p , com a possível 
exceção que a desigualdade não precisa ser válida em x p= . Se, 
( ) ( )lim lim
x p x p
g x L h x
→ →
= = (1.37)
então: 
( )lim
x p
f x L
→
= (1.38)
 
Na figura 1.25 tem-se uma interpretação geométrica para o teorema 
do confronto. 
 
 
Figura 1.25 
 
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66
Exemplo Resolvido 1.5.1. Suponha que 2 21 4 ( ) 4 9,x x F x x x+ − ≤ ≤ − + para 
2x ≠ . Encontre o valor de 
2
lim ( )
→x
F x . 
 
Solução. Para qualquer intervalo aberto contendo 2=x , tem-se 
( ) ( ) ( )≤ ≤g x F x h x , onde ( ) 21 4= + −g x x x e ( ) 2 4 9= − +h x x x . Logo, pode-se 
usar o teorema do confronto para encontrar o limite solicitado, isto é, 
( ) ( )2
2 2
lim lim 1 4 5
→ →
= + − =
x x
g x x x 
e 
( ) ( )2
2 2
lim lim 4 9 5
→ →
= − + =
x x
h x x x 
então, pelo teorema do confronto tem-se que: 
2
lim ( ) 5
→
=
x
F x 
 
Teorema 1.5.2. Se p é um número no domínio natural da função 
trigonométrica, então: 
(a) lim
x p
senx senp
→
= (b) lim cos cos
x p
x p
→
= 
(c) lim
x p
tgx tgp
→
= (d) lim
x p
cotgx cotgp
→
= 
(e) lim sec sec
x p
x p
→
= (f) lim cossec cossec
x p
x p
→
= 
 
Do teorema 1.5.2, pode-se concluir que as funções seno e cosseno 
são contínuas em toda parte e as demais funções trigonométricas são 
contínuas em todos os pontos em que elas são definidas. 
 
 
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67
Prova (a). Para se provar que lim
x p
senx senp
→
= , basta provar que 
( )lim 0
x p
senx senp
→
− = . 
Da trigonometria, tem-se: 
0 2 cos 2cos
2 2 2 2
x p x p x p x psenx senp sen sen− + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
mas como 
2 2
x p x psen − −⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
 e 2cos 2
2
x p−⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Logo, 
0 2 0
2
x psenx senp senx senp x p−≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ − 
Como, ( )lim 0 0
x p→
= e lim 0
x p
x p
→
− = , então pelo teorema do confronto 
tem-se que lim 0
x p
senx senp
→
− = e, portanto, ( )lim 0
x p
senx senp
→
− = o que 
completa a prova. 
Provas (b), (c), (d), (e) e (f). Ficam como exercício. 
 
Exemplo Resolvido 1.5.2. Ache os limites. 
(a) ( )2
4
lim sec
x
x
π +
→
 (b) ( )lim cos 1
x
x
π→
+ 
 
Solução (a). 
( ) ( )
22 22
4 4
lim sec lim sec sec 2 2
4
x x
x x
π π
π
+ +
→ →
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Solução (b). 
( ) ( ) ( )lim cos 1 lim cos lim 1 cos 1 1 1 0
x x x
x x
π π π
π
→ → →
+ = + = + =− + = 
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68
Exemplo Resolvido 1.5.3. Ache o limite 22
2lim
4x
xsen
x
π
→
−⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
. 
 
Solução. Como a função seno é contínua em toda parte, então: 
2 22 2 2
2 2 1 2lim lim lim
2 4 24 4x x x
x xsen sen sen sen
xx x
ππ π π
→ → →
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Obs.: 
( )( )2
2 2 1
2 2 24
x x
x x xx
− −
= =
− + +−
 
 
Exemplo Resolvido 1.5.4. Ache o limite 
3
3
sec 8lim
sec 2x
x
xπ→
−
−
. 
 
Solução. A expressão do limite pode ser simplificada, isto é: 
( )( )
( )
23
2
sec 2 sec 2sec 4sec 8 sec 2sec 4
sec 2 sec 2
x x xx x x
x x
− + +−
= = + +
− −
 
então: 
( ) ( )
3
2 2
3 3 3
sec 8lim lim sec 2sec 4 lim ec 2sec 4
sec 2x x x
x x x s x x
xπ π π→ → →
− ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦−
 
( ) ( ) ( )2
3 3 3
lim sec lim 2sec lim 4
x x x
x x
π π π
→ → →
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
2
2
3 3
lim sec 2 lim sec 4 sec 2 sec 4
3 3x x
x x
π π
π π
→ →
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )22 2 2 4 12⎡ ⎤= + + =⎣ ⎦ 
 
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69
Teorema 1.5.3 (Limites Fundamentais). 
(a) 
0
lim 1
x
senx
x→
= (b) 
0
1 coslim 0
x
x
x→
−
= 
 
Prova (a). Inicialmente, interpreta-se x como ângulo medido em radiano e que 
0
2
x π< < , como mostrado na figura 1.26. 
 
 
Figura 1.26 – Círculo Trigonométrico 
 
Consideram-se, então, as seguintes figuras planas: 
 
 
Figura 1.27 
 
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70
Da figura 1.27, pode-se concluir: 
• O triângulo OBC tem uma área igual: 
1
2
=OBCA senx . 
• O setor circular OBC tem uma área igual: 
1
2
=OBCA x . 
• O triângulo retângulo ODC tem uma área igual: 
1
2
=ODCA tgx . 
Logo se verifica a seguinte desigualdade: 
1 1 1
2 2 2
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤senx x tgx senx x tgx 
dividindo tudo por senx , obtém: 
11 1 cos
cos
≤ ≤ ⇒ ≥ ≥
x senx x
senx x x
 
Logo, como ( )
0
lim 1 1
→
=
x
 e ( )
0
lim cos 1
→
=
x
x , então, pelo teorema do 
confronto, pode-se chegar a conclusão que 
0
lim 1
→
=
x
senx
x
. 
Prova (b). Para esta prova usa-se o resultado da parte (a) do teorema 3, a 
continuidade da função seno e a identidade 2 21 cossen x x= − . Isto é, 
( )
2
0 0 0
1 cos 1 cos 1 coslim lim lim
1 cos 1 cosx x x
x x x sen x
x x x x x→ → →
⎡ ⎤− − +⎡ ⎤= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
( )( )
0 0 0
lim lim lim 1 0 0
1 cos 1 cosx x x
senx senx senx senx
x x x x→ → →
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 
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71
Exemplo Resolvido 1.5.5. Prove que 
0
lim 1
x
tgx
x→
= . 
 
Solução. Como 
cos
senxtgx
x
= , então: 
( )
0
0 0 0
0
lim
1lim lim lim 1
cos cos lim cos cos0
x
x x x
x
senx
tgx senx senx x x
x x x x x
→
→ → →
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠= = = = = 
 
Corolário 1.5.3.1. 
(a) 
( )
0
lim 1
→
=
x
sen x
x
α
α
 (b) 
( )
0
1 cos
lim 0
→
−
=
x
x
x
α
α
 
 
Prova (a). Para provar este limite, basta se fazer uma substituição da forma 
u xα= . Se 0x → implica que 0u → , logo: 
( )
0 0
lim lim 1
x u
sen x senu
x u
α
α→ →
= = 
Prova (b). Deve ser feita como exercício. 
 
Exemplo Resolvido 1.5.6. Calcule os limites. 
(a) 
( )
( )0
4
lim
3x
sen x
sen x→
 (b) ( )
0
lim cot 5
x
x g x
→
 
 
Solução (a). Para resolver este limite, multiplica-se denominador e numerador 
por 
1
x
. 
 
 
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72
Daí tem-se: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0 0 0
0
4 4 4
4 4 lim4 4 1 44 4lim lim lim
3 3 33 3 1 33 3lim
3 3
x
x x x
x
sen x sen x sen x
sen x x x x
sen x sen x sen xsen x
x x x
→
→ → →
→
= = = = = 
Solução (b). Neste caso, escreve-se: 
( ) ( )( )
( )
( )
1 cos 5cos 5 5cot 5
55
5
xx
x g x x
sen xsen x
x
= = 
então: 
( )
( )
( )
( )
( )
0
0 0
0
1 1 1cos 5 lim cos 5 15 5 5lim cot 5 lim
5 5 1 5
lim
5 5
x
x x
x
x x
x g x
sen x sen x
x x
→
→ →
→
⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦
= = = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 1.5.7. Determine o valor do limite lim
x
senx
xπ π→ −
. 
 
Solução. Como ( ) 0sen π = , então, tem-se uma forma indeterminada 0 0 . Neste 
caso deve-se fazer uma substituição de modo que se possa usar um dos 
limites fundamentais da trigonometria. 
Fazendo a substituição u x π= − , tem-se que x u π= + ,então: 
( ) { {
1 0
cos cossenx sen u senu sen u senuπ π π
−
= + = + =− 
e se x π→ implica que 0u → , resultando: 
0 0
lim lim lim 1
x u u
senx senu senu
x u uπ π→ → →
−
= =− =−
−
 
 
 
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73
Definição 1.5.1. Uma função f é dita limitada em um intervalo I se existir 
um número positivo M tal que: 
( )f x M≤ (1.39)
para todo x em I . Geometricamente, isto significa que o gráfico de f no 
intervalo I fica entre as retas y M= − e y M= . 
 
 
Figura 1.28 
 
A figura 1.28 mostra o gráfico de uma função limitada no intervalo 
fechado [ ],a b . Isto é o gráfico de ( )y f x= está compreendido entre as retas 
y M=− e y M= para todo [ ],x a b∈ . 
 
 
 
 
 
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74
Exemplo Resolvido 1.5.8. Prove que 
0
1lim 0
x
xsen
x→
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Solução. Para prova este limite deve-se recorrer ao teorema do confronto. 
Como a função seno é uma função limitada (ver definição 1.5.1), tem-se: 
11 1sen
x
⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Daí pode-se concluir que: 
1x xsen x
x
⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Como ( )
0
lim 0
x
x
→
− = e ( )
0
lim 0
x
x
→
= , então, pelo teorema do confronto 
pode-se concluir que: 
0
1lim 0
x
xsen
x→
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Teorema 1.5.4. Se ( )lim 0
x p
f x
→
= e se ( )g x M≤ para intervalo aberto no 
domínio de f , contendo p , e 0M > , então: 
( ) ( )lim 0
x p
f x g x
→
=⎡ ⎤⎣ ⎦ (1.40)
mesmo que não exista o limite ( )lim
x p
g x
→
. 
 
Exemplo Resolvido 1.5.9. Prove 
2
1lim 2 cos 0
2x
x
xπ
π
π→
⎛ ⎞− =⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 
 
 
 
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75
Solução. Inicialmente se prova que 
2
lim 2 0
x
x
π
π
→
− = , então como: 
2 2
2
2 2
x se x
x
x se x
π π
π
π π
− ≥⎧
− =⎨ − <⎩
 
Tem-se que: 
( )
2 2
lim 2 lim 2 0
x x
x x
π π
π π
− −
→ →
− = − = 
e 
( )
2 2
lim 2 lim 2 0
x x
x x
π π
π π
+ +
→ →
− = − = 
Então se pode concluir que 
2
lim 2 0
x
x
π
π
→
− = . Como 
1cos
2x π
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
 é 
limitada em qualquer intervalo aberto contendo 
2
π
, isto é 
11 cos 1
2x π
⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
então pelo teorema 1.5.4 tem que 
2
1lim 2 cos 0
2x
x
xπ
π
π→
⎛ ⎞− =⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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76
Exercícios Propostos (Capítulo 1) 
 
01) Marque a opção que indica o valor do limite 
3
3
2 7 1lim
4 5x
x x
x→
− +
+
. 
a) 2 b) 0 c) 1− d) ∃ e) 2− 
02) Calculando 
3
2
1lim
2 3x
x
x→
+
−
, tem-se como resposta: 
a) 0 b) ∃ c) 2− d) 3 e) 1 
03) O valor do limite 
2
3
2
4 9lim
2 3
x
x
x+
→
−
−
 é dado por: 
a) 5− b) 4 c) 2 d) 3− e) 6 
04) Calculando-se o valor do limite 
2
31
4 5lim
4 3x
x x
x x→
+ −
− +
, obtém-se com resultado: 
a) 6− b) 6 c) ∃ d) −∞ e) 7 
05) Ao calcular 21
3
3 1lim
3 10 3x
x
x x+→
−
− +
, obtém-se como resultado: 
a) 8− b) 3
8
− c) 
8
3
 d) 
1
3
− e) 1− 
06) Marque a opção que indica o valor do limite 
16
4lim
16x
x
x→
−
−
. 
a) 
1
4
− b) 
1
8
− c) 
1
4
 d) 
1
2
− e) 
1
16
 
07) O valor de 
2
1
2 3 2 1lim
1x
x x
x→−
+ − −
+
 é: 
a) 
1
2
 b) +∞ c) −∞ d) 3 e) 3− 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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08) O valor de 
2
2
1lim
2x
x
x→−
−
+
 é dado por: 
a) −∞ b) +∞ c) 0 d) 1− e) 1 
09) O valor de ( ) ( )3 3lim 1 1
x
x x
→+∞
⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦ é dado por: 
a) 1 b) +∞ c) 1− d) 0 e) −∞ 
10) Assinale a opção que indica o valor do limite 
2
2
2 3 6lim
3 5 17x
x x
x x→−∞
− −
+ −
. 
a) +∞ b) 4− c) −∞ d) 2− e) 4 
11) Marque o valor do limite 
( ) ( )2 22 2
3
2
lim
x
x x x
x x→−∞
− − +
−
. 
a) 6− b) 5 c) 3− d) 4− e) 2 
12) Qual é o valor de ( )2lim 1x x x x→−∞ + + + ? 
a) 
1
2
− b) 0 c) 1
2
 d) 1 e) −∞ 
13) O valor do limite 
( )
( )0
5
lim
3x
tg x
tg x→
 é dado por: 
a) 
2
3
 b) 
1
5
− c) 
5
3
 d) 
3
5
− e) 
1
3
− 
14) Qual o valor de 
cos 1lim
x
x
xπ π→
+
−
? 
a) 2π b) 0 c) 
2
π
 d) π− e) 
3
π
− 
15) Marque a opção que corresponde ao valor do limite 
2
1lim
2x
senx
xπ π→
−
−
 
a) π b) 1− c) 1 d) 0 e) π− 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 
 
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78
16) O valor do limite 
( )4
lim
x
sen x
xπ
π
π+→
⎡ − ⎤⎣ ⎦
−
 é dado por: 
a) 4 b) 0 c) π d) π− e) 4− 
17) Qual é o valor de 
2
0
lim
3x
x x
tg x
π
→
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
? 
a) 
3
π
 b) π− c) 2π d) π e) 
2
π
− 
18) O valor do limite 
( ) ( )
4
2 cos 2 1
lim
cosx
sen x x
senx xπ→
− −
−
 é dado por: 
a) 2 2 b) 2− c) 2
2
 d) 
2
2
− e) 2 
19) Seja ( )
2 3 2 3
2 8 3
x x se xg x
x se x
⎧ − − <⎪=⎨
− >⎪⎩
. Qual o valor de ( )
3
lim
x
g x
→
? 
a) ∃ b) 2− c) 2 d) 1 e) 1− 
20) Sabe-se que ( )
2
2 cos 0
1 cos 0
x se x
xh x
x se x
senx
π⎧ ⎛ ⎞
<⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠=⎨
−⎪ >⎪⎩
. Qual o valor do limite ( )
0
lim
x
h x
→
? 
a) 1− b) 1 c) 0 d) π− e) π 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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79
CAPÍTULO 2 – A DERIVADA 
 
2.1 A Reta Tangente e a Derivada 
 
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, como 
por exemplo, a velocidade de um foguete, a inflação da moeda, a 
contaminação de um rio, a temperatura da água do mar e assim adiante. Por 
isso, o conceito de derivada é tão importante, e que é a ferramenta matemática 
usada para estudar taxas na quais as grandezas físicas variam. 
Observa-se informalmente que, traçada uma reta secante por dois 
pontos distintos P e Q sobre uma curva ( )y f x= , e se for admitido que Q 
move-se ao longo da curva em direção a P , então, pode-se esperar uma 
rotação da reta secante em direção a uma posição limite, a qual pode ser 
considerada como a reta tangente à curva no ponto P (ver figura 2.1). 
 
 
Figura 2.1 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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80
Definição 2.1.1. Se ( )( ),P p f p é um ponto do gráfico de uma função f , 
então a reta tangente ao gráfico de f em P , também chamada de reta 
tangente ao gráfico de f em p , é definida como sendo a reta que passa por 
P com inclinação: 
( ) ( )limtg x p
f x f p
m
x p→
−
=
−
 (2.1) 
 
Exemplo Resolvido 2.1.1. Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico 
da função ( ) 2 2f x x x= − no ponto onde 1x=− . 
 
Solução. Usando a equação 2.1, pode-se determinar a inclinação da reta 
tangente ao gráfico da função, isto é, a inclinação é dada por: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
2 31 2 3lim lim lim
1 1 1tg x x x
x xf x f x xm
x x x→− →− →−
− −− − − −
= = =
− − − − +
 
( )( ) ( )
1 1
3 1
lim lim 3 4
1tg x x
x x
m x
x→− →−
− +
= = − =−
+
 
 
A fórmula dada pela equação 2.1 pode ser escrita de uma forma 
diferente, isto é se for introduzida uma nova variável h x p= − , então, tem-se 
que x p h= + e, conseqüentemente, 0h → quando x p→ . Logo a equação 
2.1 assume a seguinte forma: 
( ) ( )
0
limtg h
f p h f p
m
h→
+ −
= (2.2) 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
81
A partir da geometria analítica tem-se que a forma ponto-inclinação 
de uma reta que passa pelo ponto ( )0 0,P x y e tem inclinação m é dada por: 
( )0 0y y m x x− = − (2.3) 
 
Definição 2.1.2 Sendo ( )( ),P p f p um ponto do gráfico da função f , então 
equação da reta tangente ao gráfico de f em P é dada por: 
( ) ( )tgy f p m x p− = − (2.4) 
 
Exemplo Resolvido 2.1.2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da 
função ( ) 3 2 1f x x x= − + no ponto onde 2x= . 
 
Solução. Inicialmente determina-se a inclinação da reta tangente, pelas 
fórmulas dadas pela equação 2.1 ou equação 2.2. 
( ) ( )
0
2 2
limtg h
f h f
m
h→
+ −
= 
Como, ( ) ( ) ( )3 2 3 22 2 2 1 5 8 5f h h h h h h+ = + − + + = + + + e ( )2 5f = , 
então: 
( )
3 2 3 2
2
0 0 0
5 8 5 5 5 8lim lim lim 5 8 8tg h h h
h h h h h hm h h
h h→ → →
+ + + − + +
= = = + + = 
Logo, a equação da reta tangente será dada por: 
( ) ( )2 2tgy f m x− = − 
( )5 8 2 8 11y x y x− = − ⇒ = − 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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82
Em geral, a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva ( )y f x= 
dependerá do ponto x no qual a inclinação está sendo calculada; logo, a 
inclinação é uma função de x . 
 
Exemplo Resolvido 2.1.3. Seja ( ) 2 1f x x= − , então calcule a inclinação da 
reta tangente ao gráfico de f em um ponto x genérico. 
 
Solução. Para calcular esta inclinação, então, usa-se a fórmula da equação 2.2, 
trocando p por x ; isto é: 
( ) ( )
0
limtg h
f x h f x
m
h→
+ −
= 
Como ( ) ( )2 2 21 2 1f x h x h x xh h+ = + − = + + − , então: 
( )
2 2 2 2
0 0 0
2 1 1 2lim lim lim 2 2tg h h h
x xh h x xh hm x h x
h h→ → →
+ + − − + +
= = = + = 
Assim, poderá ser usada a fórmula geral 2tgm x= para calcular a 
inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva ( ) 2 1f x x= − . 
 
A inclinação da reta tangente a uma curva ( )y f x= , que passa pelo 
ponto ( )( ),p f p , dada pelo limite: 
( ) ( )limtg x p
f x f p
m
x p→
−
=
−
 (2.5) 
 em muitas situações tem uma importância maior que a própria reta tangente e 
usa-se a notação ( )'f p para indicá-la chamando-a de derivada de f 
aplicada em um ponto p . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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83
Definição 2.1.3. A derivada de uma função f aplicada em x p= , indicada por 
( )'f p , é dada pelo limite: 
( ) ( ) ( )' lim
x p
f x f p
f p
x p→
−
=
−
 (2.6) 
Se este limite existir, então a função é dita derivável ou diferenciável em 
x p= e p é dito ser um ponto de diferenciabilidade de f , por outro lado, se 
este limite não existe então se diz que p é um ponto de não 
diferenciabilidade de f . A derivada de f aplicada em x p= , também, pode 
ser escrita na forma alternativa: 
( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f p h f p
f p
h→
+ −
= (2.7) 
 
Definição 2.1.4. Sendo ( )( ),P p f p um ponto do gráfico da função f , então 
equação da reta tangente ao gráfico de f em P é dada por: 
( ) ( )( )'y f p f p x p− = − (2.8) 
Enquanto a reta normal ao gráfico de f em P é dada por: 
( ) ( ) ( )
1
'
y f p x p
f p
− =− − (2.9) 
 
Exemplo Resolvido 2.1.4. Encontre as equações das retas tangente e normal 
ao gráfico da função ( )f x senx= no ponto 0x= . 
 
Solução. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função aplicada 
em 0x= . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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84
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0' 0 lim lim lim 1
0x x x
f x f senx senxf
x x x→ → →
− −
= = = =
−
 
Daí, a equação da reta tangente é dada por: 
( ) ( )( ) ( )0 ' 0 0 ' 0y f f x y f x y x− = − ⇒ = ⇒ = 
e a equação da reta normal é dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )
1 10 0
' 0 ' 0
y f x y x y x
f f
−
− =− − ⇒ = ⇒ =− 
 
Definição 2.1.5. A função 'f definida pela fórmula: 
( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= (2.10)
é chamada de derivada de f em relação a x . O domínio de 'f consiste de 
todo x para o qual o limite existe. 
 
Exemplo Resolvido 2.1.5. Encontre a função derivada. 
(a) ( )g x x= (b) ( ) 1h x
x
= 
 
Solução (a). A derivada é dada pelo limite: 
( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
h h
g x h g x x h xg x
h h→ →
+ − + −
= = 
Para resolver este limiteé necessário simplificar a expressão: 
( )
1x h x x h x x h x x h x
h h x h x x h xh x h x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − + + + −
= = =⎜ ⎟⎜ ⎟
+ + + ++ +⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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85
Daí, 
0 0
1 1lim lim
2h h
x h x
h x h x x→ →
+ −
= =
+ +
 
Logo tem-se que ( ) 1'
2
g x
x
= . 
Solução (b). A derivada é dada pelo limite: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0
1 1
1 1' lim lim lim lim
h h h h
x x h
h x h h x x x hx h xh x
h h h x x h x→ → → →
− −
−+ − + −+= = = = =−
+
 
Logo tem-se que ( ) 2
1'h x
x
=− 
 
Se f é diferenciável em todos os pontos de um intervalo aberto 
( ),a b , então se diz que f é diferenciável em ( ),a b . Isto se aplica, também, a 
intervalos infinitos da forma ( ),a−∞ , ( ),b +∞ e ( ),−∞ +∞ . No caso de f ser 
diferenciável em ( ),−∞ +∞ , se diz que f é diferenciável em todo parte. 
Para que o limite 
( ) ( )lim
x p
f x f p
x p→
−
−
 exista é necessário que os 
limites laterais existam e sejam iguais, isto é, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim ' lim
x p x p x p
f x f p f x f p f x f p
f p
x p x p x p− +→ → →
− − −
∃ ⇔ = =
− − −
 
Daí pode-se concluir que: 
( ) ( ) ( )' lim
x p
f x f p
f p
x p−− →
−
=
−
 (derivada à esquerda de p ) 
( ) ( ) ( )' lim
x p
f x f p
f p
x p++ →
−
=
−
 (derivada à direita de p ) 
 
 
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86
A derivada de f em p existe se, e somente se, as derivadas à 
esquerda e á direita existirem e forem iguais, isto é: 
( ) ( ) ( )' ' 'f p f p f p− +∃ ⇔ = (2.11)
 
Exemplo Resolvido 2.1.6. Mostre que ( )f x x= não é diferenciável em 0x= . 
 
Solução. Para verificar a diferenciabilidade em 0x= , basta verificar a 
existência do limite: 
( ) ( ) ( )
0 0
0
' 0 lim lim
0x x
xf x f
f
x x→ →
−
= =
−
 
Como 
0
lim 1
x
x
x−→
=− e 
0
lim 1
x
x
x+→
= , então não existe 
0
lim
x
x
x→
 e 
conseqüentemente não existe ( )' 0f e a função não é diferenciável em 0x= . 
 
Teorema 2.1.1. Se f é diferenciável em um ponto p , então f é também 
contínua em p . 
 
Prova. Por hipótese se f é diferenciável em p , então existe: 
( ) ( ) ( )' lim
x p
f x f p
f p
x p→
−
=
−
 
Logo, para mostrar que f é contínua em p deve-se mostrar que 
( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= , ou de forma equivalente, ( ) ( )lim 0
x p
f x f p
→
− =⎡ ⎤⎣ ⎦ . 
 
 
 
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87
Daí, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim
x p x p
f x f p
f x f p x p
x p→ →
−⎡ ⎤
− = −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦
 
( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim ' 0 0
x p x p
f x f p
x p f x
x p→ →
−
= − = =
−
 
provando que ( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= , ou seja, que a função é contínua em p . 
 
O que o teorema 2.1.1 diz é que a diferenciabilidade implica na 
continuidade, mas o simples fato de a função ser contínua não garante que a 
função seja diferenciável. A função pode ser contínua em um ponto e não 
diferenciável neste ponto, por outro lado se a função não for contínua em um 
ponto ela não é diferenciável neste ponto. 
 
Exemplo Resolvido 2.1.7. Seja ( )
2
2 1 1
3 1
1 1
x se x
f x se x
x x se x
⎧ + <
⎪
= =⎨
⎪ + + >⎩
, então: 
(a) Verifique se f é contínua em 1x= . 
(b) Verifique se f é diferenciável em 1x= . 
 
Solução (a). 
( ) ( )
1 1
lim lim 2 1 3
x x
f x x
− −→ →
= + = 
( ) ( )2
1 1
lim lim 1 3
x x
f x x x
+ +→ →
= + + = 
daí, tem-se que ( )
1
lim 3
x
f x
→
= e como ( ) ( )
1
lim 3 1
x
f x f
→
= = , então a função é 
contínua em 1x= . 
 
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88
Solução (b). A função é diferenciável no ponto onde 1x= , se existe o limite 
( ) ( ) ( )
1
1
' 1 lim
1x
f x f
f
x→
−
=
−
, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 2 12 2' 1 lim lim lim lim 2 2
1 1 1x x x x
f x f xxf
x x x− − − −− → → → →
− −−
= = = = =
− − −
 
e 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
1 1 1 1
1 2 12' 1 lim lim lim lim 2 3
1 1 1x x x x
f x f x xx xf x
x x x+ + + ++ → → → →
− + −+ −
= = = = + =
− − −
 
Devido ao fato de que ( ) ( )' 1 2 3 ' 1f f− += ≠ = , então, pode-se concluir 
que não existe ( ) ( ) ( )
1
1
' 1 lim
1x
f x f
f
x→
−
=
−
 e a função é dita não diferenciável em 
1x= . 
 
Exemplo Resolvido 2.1.8. Seja ( )
2
1 2 1
3 1
2 1
x se x
f x se x
x se x
⎧ − <−
⎪
= =−⎨
⎪ + >−⎩
. Mostre que a função 
f é diferenciável em 1x= . 
 
Solução. A função é diferenciável no ponto onde 1x=− , se existe o limite 
( ) ( ) ( )
1
1
' 1 lim
1x
f x f
f
x→−
− −
− =
+
, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 3 2 1
' 1 lim lim lim 2 2
1 1x x x
x x
f
x x− − −− →− →− →−
− − − +
− = = = − =−
+ +
 
e 
( )
( ) ( )( ) ( )
2 2
1 1 1 1
2 3 1 11' 1 lim lim lim lim 1 2
1 1 1x x x x
x x xxf x
x x x+ + + ++ →− →− → →−
+ − + −−
− = = = = − =−
+ + +
 
Logo, pode-se concluir que ( )' 1 2f − =− e que a função é 
diferenciável em 1x=− . 
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89
2.2 Técnicas de Diferenciação 
 
Agora, desenvolvem-se alguns teoremas importantes, que 
possibilitará o cálculo de derivadas de uma forma mais eficientes, sem o uso da 
definição que em alguns casos pode ser muito exaustivo e trabalhoso. 
Se ( )y f x= , então, usam-se as seguintes notações alternativas 
indicar a derivada desta função: 
( )'dy f x
dx
= ou ( ) ( )' df x f x
dx
= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.12)
 
Teorema 2.2.1. A derivada de uma função constante é zero, isto é, se k for 
um número real qualquer, então: 
[ ] 0d k
dx
= (2.13)
 
 
 
Prova. Seja ( )f x k= , logo a partir da definição de derivada, 
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
' lim lim lim 0 0
h h h
f x h f xd k kk f x
dx h h→ → →
+ − −
= = = = = 
 
 
Exemplo Resolvido 2.2.1. Se ( ) 4f x = para todo x , então ( )' 0f x = para 
todo x , isto é, [ ]4 0d
dx
= . 
 
Teorema 2.2.2. A derivada de uma função identidade é um, isto é, 
[ ] 1d x
dx
= (2.14)
 
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90
Prova. Seja ( )f x x= , logo a partir da definição de derivada, 
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
' lim lim lim 1 1
h h h
f x h f xd x h xx f x
dx h h→ → →
+ − + −
= = = = = 
 
Teorema 2.2.3 (Regra da Potência). Se n for um número inteiro positivo, 
então: 
1n nd x nx
dx
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.15)
 
Prova. Se ( ) nf x x= , então a partir da definição de derivada, obtém-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
n
n
h h
f x h f x x h xd x f x
dx h h→ →
+ − + −⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ 
Tem-se que: ( )( )1 2 2 1...n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + + , então: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1...
n n
n n n n
n fatores
x h x
x h x h x x h x x
h
− − − −+ − = + + + + + + +
144444444424444444443
 
daí, 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1
0 0
lim lim ...
n
n nn n n n
h h
x h xd x x h x h x x h x x nx
dx h
− − − − −
→ →
+ − ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = + + + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 2.2.2. Calcule as funções derivadas. 
(a) ( ) 7f x x= (b) ( ) 12g x x= 
 
Solução (a). 
( ) 7 7 1 6' 7 7df x x x x
dx
−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ 
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Solução (b). 
( ) 12 12 1 11' 12 12dg x x x x
dx
−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ 
 
Teorema 2.2.4. Se f for diferenciável em x e k for um número real qualquer, 
então kf também é diferenciável em x e 
( ) ( )d dkf x k f x
dx dx
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.16)
 
Prova. Considera-se a função ( ) ( )g x kf x= , então pela definição de derivada 
tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
h h
g x h g x kf x h kf x
g x
h h→ →
+ − + −
= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
lim lim '
h h
k f x h f x f x h f x
k kf x
h h→ →
+ −⎡ ⎤ + −⎣ ⎦= = = 
 
Exemplo Resolvido 2.2.3. Calcule as derivadas. 
(a) ( ) 23p x x= (b) ( ) 91
3
q x x= 
 
Solução (a), 
( ) ( )2 2' 3 3 3 2 6d dp x x x x x
dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Solução (b). 
( ) ( )9 9 8 81 1 1' 9 33 3 3
d dq x x x x x
dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 
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Teorema 2.2.5. Se f e g forem diferenciáveis em x , então f g+ e f g− 
tambémo são e 
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
+ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.17)
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
− = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
(2.18)
 
Prova. Define-se uma função ( ) ( ) ( )= +x f x g xψ , então pela definição, tem-
se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
→ →
+ + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
h h
f x h g x h f x g xx h x
x
h h
ψ ψ
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
→
+ − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
h
f x h f x g x h g x
x
h
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim ' '
→ →
+ − + −
= + = +
h h
f x h f x g x h g x
x f x g x
h h
ψ 
 
Corolário 2.2.5.1. Se as funções 1f , 2f ,..., nf são diferenciáveis em x , então 
1 2 ...± ± ± nf f f também é, e: 
( ) ( ) ( ) ( )1 1... ...n n
d d df x f x f x f x
dx dx dx
+ + = ± ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.19)
 
Prova. Análoga ao teorema 2.2.5 e pode ser feita como exercício. 
 
Exemplo Resolvido 2.2.4. Determine as derivadas. 
(a) ( ) 3 22 4 12= − + −p x x x x (b) ( ) ( )22 3= −q x x 
 
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Solução (a). 
( ) [ ] [ ]3 2 3 2' 2 4 12 2 4 12⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d d d d dp x x x x x x x
dx dx dx dx dx
 
( ) 2' 6 8 1= − +p x x x 
Solução (b). Inicialmente desenvolve-se o produto notável: 
( ) ( )2 22 3 4 12 9= − = − +q x x x x 
então: 
( ) [ ] [ ]2 2' 4 12 9 4 12 9⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d d d dq x x x x x
dx dx dx dx
 
( )' 12 18=− +q x x 
 
Teorema 2.2.6 (Regra do Produto). Se f e g forem diferenciáveis em x , 
então ⋅f g também é diferenciável em x , e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d d df x g x f x g x f x g x
dx dx dx
 (2.20)
 
Prova. Define-se uma função ( ) ( ) ( )=x f x g xψ , então pela definição tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
→ →
+ − + + −
= =
h h
x h x f x h g x h f x g x
x
h h
ψ ψ
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
→
+ + −
=
+ + −+
h
f x g x h f xf x h g x hg x h f x g x
x
h
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
→
+ − + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
h
f x h f x g x h f x g x h g x
x
h
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
→ →
+ − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +
h h
f x h f x g x h f x g x h g x
x
h h
ψ 
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( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
' '
' lim lim lim
→ → →
+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + +
14444244443 14444244443h h h
f x g x
f x h f x g x h g x
x g x h f x
h h
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '= +x f x g x f x g xψ 
 
Exemplo Resolvido 2.2.5. Prove que [ ] cos=d senx x
dx
 e [ ]cos =−d x senx
dx
. 
Então, calcule 
[ ]cosd senx x
dx
. 
 
Solução. 
(i) Usando a definição, tem-se: 
[ ] ( )
0 0
cosh coslim lim
→ →
+ − + −
= =
h h
sen x h senxd senx xsenh senxsenx
dx h h
 
 
( )
0
cos 1 cosh
lim
→
− −
=
h
xsenh senx
h
 
 
( )
0 0
1 coshcoslim lim
→ →
− −
= +
h h
senxxsenh
h h
 
 
0 0
1 coshcos lim lim cos
→ →
−
= − =
h h
senhx senx x
h h
 
(ii) Usando a definição, tem-se: 
[ ] ( )
0 0
cos cos cos cosh coscos lim lim
→ →
+ − − −
= =
h h
x h xd x senxsenh xx
dx h h
 
 
( )
0
cos 1 cosh
lim
→
− − −
=
h
senxsenh x
h
 
 
( )
0 0
cos 1 cosh
lim lim
→ →
− −−
= +
h h
xsenxxsenh
h h
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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95
 
0 0
1 coshlim cos lim
→ →
−
=− − =−
h h
senhsenx x senxx
h h
 
(iii) Usando os fatos obtidos nas partes (i) e (ii), pode-se, então, calcular a 
derivada usando a regra do produto: 
[ ] [ ]( ) ( ) [ ]cos cos cos= +d d dsenx x senx x senx x
dx dx dx
 
 ( )( ) ( )( )cos cos= + −x x senx senx 
 2 2cos cos 2= − =x sen x x 
 
Exemplo Resolvido 2.2.6. Ache ( )( )2 32d x x x xdx ⎡ ⎤+ −⎣ ⎦ . 
 
Solução. Usando a regra do produto, então: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 32 2 2d d dx x x x x x x x x x x xdx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( )( ) ( )( )3 2 22 1 2 2 3x x x x x x= + − + + − 
2 4 3 2 4 34 2 2 2 3 2 3x x x x x x x x= − + − + − + − 
4 3 25 4 6 4x x x x=− − + + 
Este resultado poderia ter sido obtido se fosse realizado 
primeiramente o produto entre os polinômios, e logo em seguida derivando o 
resultado, isto é: 
( )( )2 3 5 4 3 22 2 2x x x x x x x x+ − =− − + + 
Daí, 
( )( )2 3 5 4 3 22 2 2d dx x x x x x x xdx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − − + +⎣ ⎦⎣ ⎦ 
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5 4 3 22 2d d d dx x x x
dx dx dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=− − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
4 3 25 4 6 4x x x x=− − + + 
 
Teorema 2.2.7 (Regra do Quociente). Se f e g forem diferenciáveis em x , 
e ( ) 0≠g x , então f
g
 também é diferenciável em x , e: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d df x g x f x g xf xd dx dx
dx g x g x
 (2.21)
 
Prova. Define-se uma função ( ) ( )( )
=
f x
x
g x
ψ , então pela definição tem-se: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0
' lim lim
→ →
+
−
+ − +
= =
h h
f x h f x
x h x g x h g x
x
h h
ψ ψ
ψ 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
' lim
→
+ − +
+
=
h
f x h g x f x g x h
g x h g x
x
h
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
' lim
→
+ − +
=
+⎡ ⎤⎣
+
⎦
−
h
f x g x ff x h g x f x g x h
x
h g x h g x
x g x
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
' lim
→
+ − − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
+⎡ ⎤⎣ ⎦h
f x h f x g x f x g x h g x
x
h g x h g x
ψ 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
' lim
→
+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦−
=
+⎡ ⎤⎣ ⎦h
f x h f x g x f x g x h g x
h hx
g x h g x
ψ 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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97
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
lim lim
'
lim
→ →
→
⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭=
+⎡ ⎤⎣ ⎦
h h
h
f x h f x g x f x g x h g x
h h
x
g x h g x
ψ 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
' '
0 0
0
lim lim
'
lim
→ →
→
+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
+⎡ ⎤⎣ ⎦
64444744448 64444744448
f x g x
h h
h
f x h f x g x h g x
g x f x
h h
x
g x h g x
ψ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
' '
'
−
=
⎡ ⎤⎣ ⎦
g x f x f x g x
x
g x
ψ 
 
Exemplo Resolvido 2.2.7. Seja a função ( )
2
2
1
1
−
=
+
xp x
x
, então, calcule pela 
definição ( )'p x . 
 
Solução. Pela regra do quociente: 
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 22 2
1 1 1 1 2 1 1 2
'
1 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
+ +
d dx x x x x x x xdx dxp x
x x
 
( )
( ) ( )
3 3
2 22 2
2 2 2 2 4'
1 1
− − − −
= =
+ +
x x x x xp x
x x
 
 
Exemplo Resolvido 2.2.8. Mostre que [ ] 2sec=d tgx x
dx
. 
 
Solução. Como 
cos
=
senxtgx
x
, então, pode-se calcular esta derivada pela regra do 
quociente e usando os resultados obtidos nas partes (i) e (ii) do exemplo 
resolvido 2.2.5, 
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98
[ ]
[ ]( ) ( ) [ ]
[ ]2
cos cos
cos cos
d dsenx x senx xd d senx dx dxtgx
dx dx x x
−⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )( ) ( )( ) 2 2
2 2
cos cos cos
cos cos
x x senx senx x sen x
x x
− − +
= = 
2
2
2
1 1 sec
coscos
x
xx
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Teorema 2.2.8 (Regra do Recíproco). Se g é diferenciáveis em x , e 
( ) 0≠g x , então 1
g
 também é diferenciável em x , e 
( )
( )
( ) 2
1 ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤
=−⎢ ⎥
⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d g xd dx
dx g x g x
 (2.22)
 
Prova. Como a função 
1
g
 é um quociente, utiliza-se o resultado do teorema 
2.2.7, isto é, 
( )
[ ] ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )2 2 2
1 1 0 1 ' '1 − ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ −
= = =−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d dg x g x g x g x g xd dx dx
dx g x g x g x g x
 
 
Exemplo Resolvido 2.2.9. Calcule 2
1
1
d
dx x
⎡ ⎤
⎢ ⎥+⎣ ⎦
. 
 
 
 
 
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99
Solução. Usando a regra do recíproco, então: 
( ) ( )
2
2 2 22 2
11 2
1 1 1
d xd xdx
dx x x x
⎡ ⎤− +⎣ ⎦ −⎡ ⎤ = =⎢ ⎥+⎣ ⎦ + +
 
 
Teorema 2.2.10 (Regra da Potência). Se n for um número racional qualquer, 
então: 
1n nd x nx
dx
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.23)
 
Exemplo Resolvido 2.2.10. Determine. 
(a) 
d x
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ (b) 4 3
1d
dx x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢⎥⎣ ⎦
 
 
Solução (a). A expressão x pode ser escrita na forma da seguinte forma de 
uma potência 1 2x , logo: 
1 1
1 2 1 22
1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
d dx x x x
dx dx x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎣ ⎦⎣ ⎦ 
Solução (b). A expressão 
4 3
1
x
 pode ser escrita na forma da seguinte forma de 
uma potência 3 4x− , logo: 
3 1
3 4 7 44
7 44 43 7
1 3 3 3 3
4 4 4 4
d d x x x
dx dx xx x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎡ ⎤= =− =− =− =−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
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100
Se a derivada 'f de uma função f for ela mesmo diferenciável, 
então a derivada de 'f será denotada por ''f , sendo chamada de derivada 
segunda de f . Isto é, pela definição: 
( ) ( ) ( )
0
' '
'' lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= (2.24)
À medida que se tem diferenciabilidade, pode-se continuar o 
processo de diferenciar derivadas para obter as derivadas terceira, quarta, 
quinta e mesmo derivadas mais altas de f . 
 
Exemplo Resolvido 2.2.11. Sendo ( ) 4 3 23 7 5 1f x x x x x= − + − + , então: 
( ) 3 2' 4 9 14 5f x x x x= − + − 
( ) 2'' 12 18 14f x x x= − + 
( )''' 24 18f x x= − 
( ) ( )4 24f x = 
( ) ( )5 0f x = 
... ... ... ... 
( ) ( ) ( )0 5nf x n= ≥ 
 
 
 
 
 
 
 
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101
2.3 Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
Definição 2.3.1. Chama-se de função seno a função real de variável real que 
associa a cada x real o número senx , isto é: 
( )f x senx= (2.25)
É necessário lembra do fato de que quando se fala sobre senx significa o seno 
do ângulo cuja medida em radianos é x . 
 
A função seno tem como domínio o conjunto dos reais e a imagem é 
o conjunto [ ]1,1− , isto é 1 1senx− ≤ ≤ . O gráfico da função seno é periódico e 
tem como período 2π , sendo chamado de senóide. Este gráfico é 
apresentado na figura 2.2. 
 
 
 
Figura 2.2 
 
 
 
 
 
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102
Definição 2.3.2. Chama-se de função cosseno a função real de variável real 
que associa a cada x real o número cos x , isto é: 
( ) cosf x x= (2.26)
É necessário lembra do fato de que quando se fala sobre cos x significa o 
cosseno do ângulo cuja medida em radianos é x . 
 
A função cosseno tem como domínio o conjunto dos reais e a 
imagem é o conjunto [ ]1,1− , isto é 1 cos 1x− ≤ ≤ . O gráfico da função cosseno é 
periódico e tem como período 2π , sendo chamado de cossenóide. Este 
gráfico é apresentado na figura 2.3. 
 
 
Figura 2.3 
 
Definição 2.3.3. As demais funções trigonométricas são definidas por: 
(a) Função Tangente: 
( )
cos
senxf x tgx
x
= = , ,
2
x k k Zπ π≠ + ∈ (2.27)
(b) Função Secante: 
( ) 1sec
cos
f x x
x
= = , ,
2
x k k Zπ π≠ + ∈ (2.28)
 
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103
(c) Função Cotangente: 
( ) coscot xf x gx
senx
= = , ,x k k Zπ≠ ∈ (2.29)
(d) Função Cossecante: 
( ) 1cossecf x x
senx
= = , ,x k k Zπ≠ ∈ (2.30)
 
Teorema 2.3.1. 
(a) [ ] cosd senx x
dx
= (b) [ ]cosd x senx
dx
=− 
(c) [ ] 2secd tgx x
dx
= (d) [ ]sec secd x xtgx
dx
= 
(e) [ ] 2cossecd cotgx x
dx
=− (f) [ ]cossec cossec cotd x x gx
dx
=− 
 
Prova (c). Para provar esta derivada deve-se recorrer a definição, isto é: 
[ ] ( ) ( )( )
2
0 0 0
11lim lim lim
1h h h
tgx tgh tgx tgh tg xtg x h tgxd tgxtghtgx
dx h h h tgxtgh→ → →
+
− ++ − −= = =
−
 
( )
( )
( )
( )
2 2
0 0 0
1 1
lim lim lim
1 1h h h
tg x tg xtgh tgh
h tgxtgh h tgxtgh→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )( )2 21 1 sectg x x= + = 
As demais provas do teorema 2.2.1 devem ser feitas como exercício. 
 
 
 
 
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104
Exemplo Resolvido 2.3.1. Calcule as funções derivadas. 
(a) ( ) ( )2 1 cotp x x gx= + (b) ( ) 1 cos
x senxq x
x
−
=
+
 
 
Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto. 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2' 1 cot 1 cot 1 cotd d dp x x gx x gx x gxdx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + + +⎣ ⎦⎣ ⎦ 
( )( ) ( )( )2 22 cot 1 cossecx gx x x= + + − 
2 2 22 cot cossec cossecx gx x x x= − − 
Solução (b). Neste caso usa-se a regra do quociente. 
( )
[ ]( ) ( ) [ ]
( )2
1 cos 1 cos
'
1 cos 1 cos
d dx senx x x senx xd x senx dx dxq x
dx x x
− + − − +−⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦ +
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x x x senx senx x xsenx sen x
x x
− + − − − − + −
= =
+ +
 
( )
( ) ( )
1
2 2
2 2
1 cos
1 cos 1 cos
x sen x xsenx xsenx
x x
− + +
= =
+ +
6447448
 
 
Exemplo Resolvido 2.3.2. Ache. 
(a) 2
d x tgx
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ (b) 
2cotd g x
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ 
 
Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto, isto é: 
( ) ( ) [ ]2 2 2 2 22 secd d dx tgx x tgx x tgx xtgx x xdx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
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105
Solução (b). Neste caso pode-se expressar o termo 2cot g x como o produto 
cot cotgx gx , logo, pode-s e usar a regra do produto. 
( )( ) [ ]( ) ( ) [ ]2cot cot cot cot cot cot cotd d d dg x gx gx gx gx gx gx
dx dx dx dx
⎡ ⎤ = = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ 
2 2 2cossec cot cot cossec 2cossec cotx gx gx x x gx=− − =− 
 
Exemplo Resolvido 2.3.3. Encontre as equações das retas tangente e normal 
ao gráfico da função ( ) ( )2f x sen x= no ponto ( )0,0 . 
 
Solução. Para encontrar as retas tangente e normal, é necessário encontrar, 
primeiramente, a derivada da função ( ) ( )2f x sen x= . 
Da trigonometria tem-se que ( )2 2 cossen x senx x= , daí, 
( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ]' 2 2 cos 2 cos cosd d d df x sen x senx x senx x senx x
dx dx dx x
⎧ ⎫= = = +⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭
 
( )( ) ( )( ){ } { } ( )2 22 cos cos 2 cos 2cos 2x x senx senx x sen x x= + − = − = 
As equações das retas tangente e normal ao gráfico da função para 
0x= , são dadas, respectivamente pelas equações (ver equações 2.8 e 2.9): 
( ) ( )0 ' 0y f f x− = e ( ) ( )
10
' 0
y f x
f
− =− 
Como ( )0 0f = e ( )' 0 2f = , então, pode-se concluir que as 
equações das retas tangente e normal são dadas, respectivamente, por: 
2y x= e 
2
xy=− 
Os gráficos da função ( ) ( )2f x sen x= e das retas 2y x= e 
2
xy=− 
são mostrados na figura 2.4. 
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106
 
Figura 2.4 
 
Exemplo Resolvido 2.3.4. Seja a função ( )
2 cos 0
0 0
x se x
p x x
se x
π⎧ ⎛ ⎞ ≠⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨
⎪ =⎩
. 
Verifique se p é diferenciável em 0x= . 
 
Solução. A definição de derivada é dada por: 
( ) ( ) ( )
2
0 0 0
cos0
' 0 lim lim lim cos
x x x
xp x p xf x
x x x
π
π
→ → →
⎛ ⎞
⎜ ⎟− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎝ ⎠= = = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
Como ( )
0
lim 0
x
x
→
= e 
0
lim cos
x x
π
→
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 não existe, mas cos
x
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 é 
limitada, isto é 1 cos 1
x
π⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Então, pode-se concluir do Teorema 1.5.4 
(Módulo 1) que: 
( )
0
' 0 lim cos 0
x
f x
x
π
→
⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
O que implica que a função p é diferenciável em 0x= . 
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107
2.4 Regra da Cadeia 
 
Teorema 2.4.1 (Regra da Cadeia). Se g for diferenciável em x e f for 
diferenciável em ( )g x , então ( )( )f g x é diferenciável em x e, 
( )( ) ( )( ) ( )' 'd f g x f g x g x
dx
⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ (2.31)
Ou ainda, se ( )( )y f g x= e ( )u g x= , então ( )y f u= e, 
dy dy du
dx du dx
= ⋅ (2.32)
 
Exemplo Resolvido 2.4.1. Se ( )2y tg x= , ache dydx . 
 
Solução. Seja 2u x= , assim 
y tgu= 
e pela regra da cadeia 
[ ] ( ) ( )2 2 2sec 2 2 secdy dy du d dtgu x u x x udx du dx du dx ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ 
mas como 2u x= , então: ( )2 22 secdy x xdx = . 
 
Exemplo Resolvido 2.4.2. Ache 2 1d x
dx
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
 
Solução. Fazendo 2 1u x= + e y u= , então: 
2 1d dyx
dx dx
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦
 
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108
Logo, pela regra da cadeia: 
( )2 11 2
2
dy dy du d d xu x x
dx du dx du dx u u
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + = ⋅ =⎜ ⎟⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝ ⎠
 
mas como 2 1u x= + , então: 2
2
1
1
d xx
dx x
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ +Uma forma alternativa para a regra da cadeia é dada por: 
( ) ( )'d duf u f u
dx dx
=⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.33)
 
Exemplo Resolvido 2.4.3. Determine ( )'f x para ( ) ( )113 4 17f x x x= − + . 
 
Solução. Fazendo 3 4 17u x x= − + , então ( ) 11f u u= . Logo: 
( ) ( )
( )
{
113 11 10
'
' 4 17 11
f u
d d duf x x x u u
dx dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ) ( ) ( ) ( )10 103 3 3 2' 11 4 17 4 17 11 4 17 3 4df x x x x x x x xdx ⎡ ⎤= − + − + = − + −⎣ ⎦ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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109
Fórmulas generalizadas de diferenciação 
1n nd duu nu
dx dx
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 
1
2
d duu
dx dxu
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 
[ ] cosd dusenu u
dx dx
= [ ]cosd duu senu
dx dx
=− 
[ ] 2secd dutgu u
dx dx
= [ ] 2cot cossecd dugu u
dx dx
=− 
[ ]sec secd duu u tgu
dx dx
= [ ]cossec cossecd duu u cotgu
dx dx
=− 
 
Exemplo Resolvido 2.4.4. Calcule: 
(a) ( )cos 2 1d x
dx
+⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 
3 cossecd x x
dx
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
(c) ( ) 72 3cot 1d x gxdx
−⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Solução (a). 
( ) ( ) [ ] ( )cos 2 1 2 1 2 1 2 2 1d dx sen x x sen x
dx dx
+ =− + + =− +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Solução (b). 
2
3 3
3 3
1 3 cossec cotcossec cossec
2 cossec 2 cossec
d d x x gxx x x x
dx dxx x x x
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ − −
 
Solução (c). 
( ) ( )7 62 2 23cot 1 7 3cot 1 3cot 1d dx gx x gx x gxdx dx
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =− + + + +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ) ( )
( )
2
72
62
7 2 3cossec
3cot 1
3cot 1
x xd x gx
dx x gx
− − −⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ + +
 
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110
2.5 Diferenciais e Aproximação Linear Local 
 
Até o presente momento 
dy
dx
 tem sido visto como uma simples 
notação para a derivada de ( )y f x= . Porém, pode-se interpretar dy
dx
 como um 
quociente entre dois acréscimos. Isto é, olhando para dx como um acréscimo 
em x , deve-se procurar interpretar o acréscimo dy em y . 
 
 
Figura 2.5 
 
Sabe-se que ( )'f x é o coeficiente angular da reta tangente t , no 
ponto ( )( ),x f x , ver figura 2.5, e que ( )'dy f x
dx
= . Olhando para dy como o 
acréscimo na ordenada da reta tangente t , correspondente ao acréscimo dx 
em x , tem-se: 
( )'dy f x dx= (2.34)
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111
Os acréscimos dx e dy são chamados de diferenciais das variáveis 
x e y , respectivamente. 
Sabendo que dx x=Δ , então, pode-se definir a variação da variável 
y , ou incremento da variável y , da seguinte forma: 
( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ − (2.35)
onde xΔ é chamado de incremento da variável x . 
Usando os incrementos xΔ e yΔ , pode-se escrever uma fórmula de 
diferencial usando a seguinte notação: 
( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
x x
f x x f xyf x
x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ
= =
Δ Δ
 (2.36)
 
Exemplo Resolvido 2.5.1. Seja a função ( ) 3 2f x x x= − , então, escreva a sua 
forma diferencial. 
 
Solução. Inicialmente determina-se a função derivada, 
( ) 2' 3 2f x x= − 
e como ( )'dy f x dx= , então: 
( )23 2dy x dx= − 
 
Exemplo Resolvido 2.5.2. Seja a função ( ) 2f x x= e sabendo que 
0,01dx x=Δ = , então, determine dy e yΔ para 2x= . 
 
Solução. Tem-se que: 
( ) ( )22 2 4f = = 
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112
( ) ( ) ( )22 2,01 2,01 4,0401f x f+ Δ = = = 
Daí, 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2,01 2 4,0401 4 0,0401y f x f f fΔ = + Δ − = − = − = 
Como ( )' 2f x x , então, o diferencial dy é dado pela equação: 
2dy xdx= 
( )( )2 2 0,01 0,04dy= = 
 
Exemplo Resolvido 2.5.3. O volume de uma esfera de raio R é dado pela 
equação: 
34
3
V Rπ= 
Determine à derivada do volume V em função do raio R e escreva na forma 
diferencial. 
 
Solução. Sendo o volume V uma função do raio R da esfera, então, a sua 
derivada é dada por: 
( )3 3 2 24 4 4 3 43 3 3
dV d dR R R R
dR dR dR
π π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Como o diferencial 
dVdV dR
dR
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
, então: 
24dV R dRπ= 
 
Considere uma função f diferenciável em um intervalo contendo o 
ponto p . Agora, pode-se definir uma reta tangente ao gráfico da função 
( )y f x= no ponto ( )( ),p f p , como mostrado na figura 2.6. 
 
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113
 
Figura 2.6 
 
Em muitas situações pode ser fácil calcular um valor ( )f p de uma 
função, mas é difícil (ou até mesmo impossível) calcular valores próximos de 
f . Neste caso pode-se usar a expressão que define a reta tangente para 
calcular estes valores próximos de f . 
Em outras palavras, usa-se a reta tangente t (ver figura 2.6) em 
( )( ),p f p como uma aproximação para a curva ( )y f x= quando x está 
próximo de p . A equação da reta tangente é dada por: 
( ) ( )( )'y f p f p x p= + − (2.37)
e a aproximação: 
( ) ( ) ( )( )'f x f p f p x p≈ + − (2.38)
é denominada aproximação linear local ou aproximação pela reta tangente 
de f em p . A função linear cujo gráfico é essa reta tangente, isto é, 
( ) ( ) ( )( )'L x f p f p x p= + − (2.39)
é chamada de linearização de f em p . 
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114
Exemplo Resolvido 2.5.4. Encontre uma aproximação linear local da função 
( )f x senx= em 0x= . 
 
Solução. A derivada da função ( )f x senx= é dada por: 
( )' cosf x x= 
então em 0x= , tem-se: 
( ) ( ) ( )( ) { {
0 1
0 ' 0 0 0 cos0L x f f x sen x x= + − = + = 
Pode-se concluir que a linearização é dada por: 
( )L x x= 
e a qual pode ser vista na figura 2.7. 
 
 
 
Figura 2.7 
 
Exemplo Resolvido 2.5.5. Seja a função ( ) 1f x x= + , então encontre a 
aproximação linear local em 3x= . Use esta aproximação para encontrar 
valores aproximados para os números 3,96 e 4,04 . 
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115
Solução. A derivada da função ( ) ( )1 21 1f x x x= + = + é dada por: 
( ) ( ) 1 21 1' 1
2 2 1
f x x
x
−= + =
+
 
e assim tem-se que ( )3 3 1 2f = + = e ( ) 1 1' 3
42 3 1
f = =
+
, então, a 
aproximação linear local é dada por: 
( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 53 ' 3 3 2 3
4 4 4
L x f f x x x= + − = + − = + 
Pode-se concluir que a linearização é dada por: 
( ) 1 5
4 4
L x x= + 
que pode ser vista na figura 2.8. 
 
 
Figura 2.8 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
116
Em outras palavras pode-se dizer que na vizinhança de 3x= , tem-
se a função ( ) 1f x x= + se comporta como a reta ( ) 1 5
4 4
L x x= + , isto é: 
1 51
4 4
x x+ ≈ + 
Daí para encontrar 3,96 e 4,04 usa-se a expressão linear, ou 
seja: 
( )1 5 7,963,96 2,96 1 2,96 1,99
4 4 4
= + ≈ + = = 
e 
( )1 5 8,044,04 3,04 1 3,04 2,01
4 4 4
= + ≈ + = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
117
Exercícios Propostos (Capítulo 2) 
 
01) A equação da reta tangente à curva 22 1y x= − , no ponto de abscissa 1 , é: 
a) 4 1y x= − b) 4 3y x= − c) 2 3y x= + 
d) 2 1y x=− + e) 3 2y x= + 
02) A equação da reta tangente à curva 3y x= , no ponto onde 1x=− , é dada 
por: 
a) 6 4y x= − b) 3y x= c) 3 3y x= − 
d) 3 2y x= + e) 6 5y x= + 
03) A reta normal ao gráfico da função ( ) 3 2f x x x= − em 1x= é dada por: 
a) 2 0x y+ = b) 2 3 0x y+ − = c) 2 3 0x y+ − = 
d) 2 0x y− = e) 2 1 0x y− − = 
04) As equações das retas tangentes à curva 
1
1
xy
x
−
=
+
 paralelas á reta de 
equação 2 2x y− = são dadas por: 
a) 2 1x y− =− e 2 3x y− =− b) 2 0x y+ = e 2 7x y+ = 
c) 2 1x y− = e 2 7x y− =− d) 2 5x y− =− e 2 6x y− =− 
e) 2 1x y+ =− e 2 1x y+ = 
 
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
118
05) As retas tangente e normal ao gráfico de ( )
1
xg x
x
=
+
 em 1x= são dadas, 
respectivamente, por: 
a) 
1 1
4 4
y x= + e 94
2
y x=− + b) 1
4
y x= e 4y x=− 
c) 
1 1
2 2
y x= − e 32
2
y x=− + d) 1 5
4 4
y x=− + e 74
2
y x= + 
e) 
1 5
2 2
y x=− + e 32
2
y x= − 
06) Quais são os valores de x que fazem o gráfico da função 
( )3 22 3 12 1f x x x x= + − + ter uma tangente horizontal? 
a) 1− e 2 b) 2− e 1 c) 0 e 3 
d) 2 e 4 e) 3− e 5 
07) Qual é a reta tangente ao gráfico da função ( )
2
2 1
xf x
x
=
+
 em 1x= ? 
a) 2 0x y− = b) 2 0x y− = c) 2 1x y− = 
d) 2 1x y+ = e) 2 0x y+ = 
08) O valor da derivada da função ( ) 7f x x= − no ponto onde 2x=− é dado 
por: 
a) 
1
2
− b) 
1
6
− c) 
1
6
 d) 2 e) 3 
09) Seja a função ( ) 2
2
2
x se x
h x
x x se x
α β+ <−⎧⎪=⎨
− ≥−⎪⎩
. Quais os valores das constantes 
α e β , respectivamente, que tornam a função h diferenciável em 2x=− ? 
a) 3 e 2 b) 3− e 2 c) 5 e 2− 
d) 5− e 4− e) 5 e 4 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
119
10) A função derivada de 2 3y x x= ⋅ é 'y igual a: 
a) 23 32x x x x⋅ + ⋅ b) 3 21
3
x c) 32
3
x 
d) 3
5
3
x e) 37
3
x x⋅ 
11) Qual é a derivada primeira da função ( ) 3 4 31
4
f x x x= + ? 
a) 3
4 1
3
x
x
+
 b) 
3 2
1
3
x
x
+
 c) 3
1
3
x
x
−
 
d) 
3 2
2 1
3
x
x
−
 e) 3
4 1
3
x
x
−
 
12) Se 2 1
xy
x
=
+
, então, a função derivada primeira 'y é dada por: 
a) 
( )
2
22 1
x
x +
 b) 
( )
2
22
1
1
x
x
−
+
 c) 
( )
2
22
1
1
x
x
−
+
 
d) 
( )22 1
x
x +
 e) 
( )22
1
1
x
x
−
+
 
13) A derivada de ( ) 2 4g x x= + é ( )'g x dada por: 
a) 
2
2
4
x
x +
 b) 
2 4
x
x +
 c) 
22 4
x
x +
 
d) ( )3 22 4x + e) ( )3 22 4x x⋅ + 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
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120
14) A função primeira de 
1
1
xy
x
−
=
+
 é: 
a) 
2
1
1x −
 b) 
( ) ( )3
1
1 1x x− +
 
c) 
( ) ( )3 3
1
1 1x x− +
 d) 
( )( )3
1
1 1x x− +
 
e) 
2
1
1 x−
 
15) Seja ( )
3
2
3xp x
x
+
= , então, a função ( )'p x é dada por: 
a) 2
6
x
 b) 3
6
x
 c) 4
6
x
 d) 2
6
x
− e) 3
6
x
− 
16) Qual é a derivada primeira da função ( )
cos 1
senxf x
x
=
−
? 
a) cos x b) cossenx x⋅ c) tgx 
d) 
1
1senx −
 e) 
1
1 cos x−
 
17) A derivada ( )'f x da função ( ) ( )2f x tg sen x= é dada por: 
a) ( )22cos 2 sec 2x sen x⋅ b) ( )22 2 2sen x tg sen x⋅ 
c) ( )22cos 2 2x tg sen x− ⋅ d) ( )22 2 sec 2sen x sen x− ⋅ 
e) ( )22cos 2 sec 2x sen x− ⋅ 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 2 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
121
18) Marque a opção que indica ( )cossec 2 1d x xdx ⎡ ⎤+⎣ ⎦ . 
a) 
( )2cot 2 1
2 1
g x
x
+
−
+
 b) 
( )2t 2 1
2 1
g x
x
+
−
+
 
c) 
( ) ( )sec 2 1 t 2 1
2 1
x g x
x
+ ⋅ +
−
+
 d) 
( ) ( )cossec 2 1 cot 2 1
2 1
x g x
x
+ ⋅ +
−
+
 
e) 
( )2sec 2 1
2 1
x
x
+
+
 
19) O resultado de ( )
2
3
2 2
d sen x
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ é dado por: 
a) ( ) ( )3 4 3cos 2 2x x x sen x⋅ − ⋅ b) ( ) ( )4 3 3cos 2 2x x x sen x⋅ + ⋅ 
c) ( ) ( )3 4 312 cos 2 36 2x x x sen x⋅ − ⋅ d) ( ) ( )3 4 34 cos 2 8 2x x x sen x⋅ + ⋅ 
e) ( ) ( )4 3 312 cos 2 36 2x x x sen x⋅ − ⋅ 
20) Se cosy x x= ⋅ , então, ( )''y x é igual a: 
a) x senx⋅ b) cosx x− ⋅ c) cosx senx x⋅ + 
d) cosx x senx⋅ − e) cosx x senx− ⋅ − 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
122
CAPÍTULO 3 – FUNÇOES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 
 
3.1 Funções Inversas 
 
A idéia de resolver uma equação do tipo ( )y f x= para x como uma 
função de y , isto é ( )x g y= , é uma das mais importantes idéias na 
matemática. Este processo é bastante simples em muitas situações; por 
exemplo, usando álgebra básica, a equação: 
3y x= 
pode ser resolvida para x como uma função de y da seguinte forma: 
3x y= 
A equação 3y x= pode ser usada para calcular um valor para y se 
x for conhecido, enquanto que a equação 3x y= pode ser usada para 
encontrar um valor para x se y for conhecido, veja a figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
123
O intuito nessa seção é identificar as relações que possam existir 
entre as funções f e g , quando uma função ( )y f x= pode ser expressa 
como ( )x g y= . Por exemplo, sendo as funções ( ) 3f x x= e ( ) 3g y y= , então, 
quando elas são compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra, 
isto é, 
( )( ) ( ) 3 33g f x f x x x= = = 
( )( ) ( )( ) ( )33 3f g y g y y y= = = 
 
Definição 3.1.1. Se a funções f e g satisfazem as duas condições: 
( )( )g f x x= para todo x no domínio de f 
( )( )f g y y= para todo y no domínio de g 
então, diz-se que f e g são funções inversas. 
 
Exemplo Resolvido 3.1.1. Mostre que as funções ( ) 2 1, 0f x x x= + ≥ e 
( ) 1, 1g y y y= − ≥ são inversas. 
 
Solução. Usando o fato apresentado na definição 3.1.1, tem-se: 
( )( ) ( ) 2 21 1 1g f x f x x x x= − = + − = = , para 0x≥ 
e 
( )( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1 1f g y g y y y y= + = − + = − + = , para 1y≥ 
A função inversa pode ser denotada por 1f − , isto é, a inversa da 
função ( ) 2 1, 0f x x x= + ≥ pode ser expressa por ( )1 1, 1f y y y− = − ≥ . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
124
Teorema 3.1.1 (Teorema da Unicidade da Inversa). Se uma função f admitir 
inversa, denotada por 1f − , ela é única. 
 
É muito importante entender que uma função está determinada pela 
relação estabelecida entre suas entradas e saídas e não pela letra usada para 
a variável independente. Ou seja, as fórmulas ( ) 2f x x= e ( ) 2f y y= usam 
variáveis independentes diferentes, porém, estas fórmulas definem a mesma 
função f , pois atribuem o mesmo valor para cada entrada, como por exemplo, 
em ambas as notações ( )3 9f = . 
Logo, a partir de agora se expressa tanto à função f quanto a sua 
inversa 1f − com a mesma variável independente x . Usando esta notação, 
então, a Definição 3.1.1. pode ser escrita da forma seguinte. 
 
Definição 3.1.2. Duas funções, f e 1f − , são ditas inversas se satisfazem as 
condições: 
( )( )1f f x x− = para todo x no domínio de f 
( )( )1f f x x− = para todo x no domínio de 1f − 
 
Exemplo Resolvido 3.1.2. Confirme cada um dos seguintes itens. 
(a) A inversa de ( ) 3f x x= é ( )1 1
3
f x x− = . 
(b) A inversa de ( ) 3 4f x x= − é ( )1 3 4f x x− = + . 
 
Solução (a). Tem-se que: 
( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 3
3 3
f f x f x x x− = = = 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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125
( )( ) ( )( )1 1 13 3 3f f x f x x x
− − ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Solução (b). Tem-se que: 
( )( ) ( ) 3 31 3 33 4 4 4f f x f x x x x− = + = − + = = 
( )( ) ( )( ) ( )331 1 34 4 4 4 4f f x f x x x x− −= − = + − = + − = 
 
Teorema 3.1.2. Se uma equação ( )y f x= pode ser resolvida para x como 
uma função de y , então f admite uma inversa e a equação resultante é 
( )1x f y−= . 
 
Exemplo Resolvido 3.1.3. Seja a função ( ) 4 1 5,
3 5 3
xf x x
x
−
= ≠−
+
, então, 
encontre a sua inversa. 
 
Solução. Sendo 
4 1 5,
3 5 3
xy x
x
−
= ≠−
+
, então, basta resolver x como uma função 
de y para encontrar a expressão da inversa. Logo, para todo 5
3
x≠− tem-se: 
4 1
3 5
xy
x
−
=
+
 
3 5 4 1xy y x+ = − 
3 4 1 5xy x y− =− − 
4 3 5 1x xy y− = + 
( ) 5 14 3 5 1
4 3
yx y y x
y
+
− = + ⇒ =
−
 
Logo a inversa é dada por ( )1 5 1 4,
4 3 3
xf x x
x
− += ≠
−
. 
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126
Exemplo Resolvido 3.1.4. Encontre a inversa da função ( ) 5 31 1= − +f x x . 
 
Solução. Para encontrar a inversa basta resolver x como uma função de y . 
Isto é, se: 
5 31 1= − +y x 
então: 
 5 31 1− = −x y 
( )531 1− = −x y 
( )53 1 1= − −x y 
( ) ( )5 53 31 1 1 1= − − ⇒ = − −x y x y 
Trocando as variáveis pode-se concluir que a função inversa é dada 
por: 
( ) ( )51 3 1 1− = − −f x x 
 
Definição 3.1.3. Uma função f é dita injetiva, ou um a um, se para quaisquer 
1x e 2x do domínio de f , com 1 2x x≠ , tem-se ( ) ( )1 2f x f x≠ . Em outras 
palavras, se ( ) ( )1 2f x f x= implica que 1 2x x= . 
 
Teorema 3.1.3. Se f é uma função injetiva, então existe uma e somente uma 
função 1f − com domínio igualà imagem de f que satisfaz a equação: 
( )( )1f f x x− = (3.1)
para todo x na imagem de f . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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127
Fica evidente que: 
Domínio de 1f − = Imagem de f e Imagem de 1f − = Domínio de f 
 
Exemplo Resolvido 3.1.5. Mostre que a função ( ) 2 1, 3
3
xf x x
x
−
= ≠−
+
 é 
injetiva em ( ) ( ), 3 3,−∞ − ∪ − +∞ . 
 
Solução. Para mostrar que a função é injetiva basta mostrar que se 
( ) ( )1 2f x f x= implica que 1 2x x= . Daí, 
Supondo que ( ) ( )1 2f x f x= , então, tem-se: 
1 2
1 2
2 1 2 1
3 3
x x
x x
− −
=
+ +
 
( )( ) ( )( )1 2 2 12 1 3 2 1 3x x x x− + = − + 
1 2 1 2 1 2 2 12 6 3 2 6 3x x x x x x x x+ − − = + − − 
1 2 2 16 6x x x x− = − 
1 2 1 27 7x x x x= ⇒ = 
De onde pode-se concluir que a função é injetiva. 
 
Corolário 3.1.3.1. Se uma função f é injetiva, então, f é invertível, isto é 
admite uma função inversa 1f − . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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128
 
Figura 3.2 
 
De acordo com a figura 3.2, pode-se ver claramente que o gráfico 
em (a) representa uma função não injetiva devido ao fato de que ( ) ( )1 2f x f x= 
para 1 2x x≠ . O gráfico em (b) representa uma função injetiva, pois 
( ) ( )1 2f x f x≠ para quaisquer 1 2x x≠ , e neste caso a função é invertível. 
Geometricamente para definir se uma função é invertível, pode-se aplicar o 
seguinte teste apresentado no Teorema 3.1.3. 
 
Teorema 3.1.3 (Teste da reta horizontal). Uma função f admite uma inversa 
se e somente se o gráfico de f for cortado, no máximo, uma única vez por 
qualquer reta horizontal. 
 
Aplicando este teste nos gráficos (a) e (b) apresentados na figura 
3.2, pode-se confirmar que a função em (a) não é invertível, enquanto que em 
(b) a função é invertível. 
 
Exemplo Resolvido 3.1.6. Esboce o gráfico da função ( ) 2f x x= em ( ),−∞ +∞ 
e aplique o teste da reta horizontal para determinar se a função é invertível. 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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129
Solução. O gráfico da função é a parábola que passa na origem, ( )0,0 , e que 
tem a concavidade voltada para cima, como mostra a figura 3.3: 
 
 
Figura 3.3 
 
Aplicando o Teste da reta horizontal, ver figura 3.3, pode-se ver 
claramente que a função ( ) 2f x x= em seu domínio não é invertível. 
 
Se ( ),a b for um ponto no gráfico de ( )y f x= invertível, então, 
pode-se concluir que ( )b f a= . Isto é equivalente a afirmar que ( )1a f b−= , a 
qual significa que ( ),b a é um ponto no gráfico de ( )1y f x−= . 
Para resumir, pode-se afirmar que invertendo as coordenadas de um 
ponto do gráfico de f encontra-se um ponto do gráfico de 1f − . Analogamente, 
invertendo as coordenadas de um ponto do gráfico de 1f − , encontra-se um 
ponto do gráfico de f . 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
130
Geometricamente, o efeito de inverter as coordenadas de um ponto 
( ),a b , é refletir este ponto sobre a reta y x= , como mostrado na figura 3.43. 
Pode-se concluir que os gráficos das funções ( )y f x= e ( )1y f x−= são 
reflexões um do outro em relação à reta y x= . 
 
 
Figura 3.4 
 
Ou seja, da figura 3.4 pode-se ver claramente que os pontos ( ),a b e 
( ),b a são reflexões sobre y x= . 
 
Teorema 3.1.4. Se f tiver uma inversa, então os gráficos de ( )y f x= e 
( )1y f x−= são reflexões um do outro em relação à reta y x= ; isto é, cada um 
é a imagem especular do outro com relação à y x= . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
131
 
Figura 3.5 
 
Então, do teorema 3.1.4 pode-se concluir que para obter o gráfico da 
função ( )1y f x−= , basta fazer uma rotação do gráfico de ( )y f x= em torno 
da reta y x= . 
 
Teorema 3.1.5. Se o domínio de f for um intervalo no qual a função seja 
estritamente crescente ou estritamente decrescente, então, a função f tem 
uma inversa. 
 
Em muitas situações, uma função que não admite inversa pode 
passar a admitir, apenas restringindo o seu domínio. Por exemplo, a função 
( ) 2f x x= em ( ),−∞ +∞ não é invertível (ver Exemplo Resolvido 3.1.6), porém 
as funções ( ) 2, 0g x x x= ≥ e ( ) 2, 0h x x x= ≤ , as quais resultam da restrição 
do domínio da função f admitem inversas. 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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132
Os gráficos das funções g e h são apresentados na figura 3.6. A 
função g é estritamente crescente em [ )0,+∞ e a função h é estritamente 
decrescente em ( ],0−∞ , logo de acordo com o teorema 3.1.5 elas passam a 
admitir inversas. As funções inversas são dadas, respectivamente, por 
( )1g x x− = e ( )1h x x− =− , cujos gráficos são apresentados na figura 3.7. 
 
 
Figura 3.6 
 
 
Figura 3.7 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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133
Teorema 3.1.6. Se uma função f for contínua e tiver uma inversa, então 1f − 
é também contínua. 
 
Teorema 3.1.7 (Diferenciabilidade da função inversa). Suponha que a 
função f seja invertível e diferenciável em um intervalo I . Então 1f − é 
diferenciável em qualquer ponto de x onde ( )( )1' 0f f x− ≠ e: 
( ) ( )
( )( )
1
1
1'
'
f x
f f x
−
−
= (3.2)
 
Exemplo Resolvido 3.1.7. Seja a função [ ] [ ]: , 1,1f π π− → − definida por 
( )f x senx= . Sua inversa é a função [ ] [ ]1 : 1,1 ,f π π− − → − definida por 
( )1f x arcsenx− = , então, encontre a sua derivada. 
 
Solução. De acordo com a equação 3.2 pode-se concluir que: 
 [ ] ( )
1
cos
d arcsenx
dx arcsenx
= 
Como cos 0x≥ em [ ],π π− , então, da trigonometria tem-se que: 
( ) ( ) ( )( )22cos 1 1arcsenx sen arcsenx sen arcsenx= − = − 
e como ( )sen arcsenx x= , pode-se concluir que: 
( ) 2cos 1arcsenx x= − 
Daí tem-se: 
[ ]
2
1
1
d arcsenx
dx x
=
−
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
 
134
3.2 Diferenciação Implícita 
 
As técnicas de diferenciação vistas até o exato momento foram 
desenvolvidas para funções que são expressas na forma ( )y f x= . Uma 
equação do tipo ( )y f x= define explicitamente y como uma função de x , 
devido ao fato da variável y aparecer sozinha de um lado da equação. 
Por exemplo, as equações: 
3y sen x= e 3y x x arctgx= − + 
definem cada uma explicitamente y como uma função de x . 
Em muitos casos as funções estão definidas com equações nas 
quais a variável y não está sozinha de um lado, neste caso, sempre que 
possível, deve-se resolver a equação como y em função de x ,isto é, isolar y 
em um lado da equação. 
Por exemplo, a equação: 
1xy y x+ + = 
não está na forma ( )y f x= , porém ela ainda define y como uma função de x , 
basta resolver isolar y em um lado da equação, isto é, 
1
1
xy
x
−
=
+
 
Assim, se diz que a equação 1xy y x+ + = define y implicitamente 
como uma função de x , sendo: 
( ) 1
1
xf x
x
−
=
+
 
 
 
 
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135
Exemplo Resolvido 3.2.1. Mostre que a equação 2 2 4x y+ = define mais do 
que uma função de x . 
 
Solução. Resolvendo a equação 2 2 4x y+ = para y como função de x , obtem-
se: 
24y x=± − 
Então a equação 2 2 4x y+ = define implicitamente pelo menos duas 
funções, isto é, para 0y≥ tem-se ( ) 21 4f x x= − e para 0y≤ tem-se 
( ) 22 4f x x=− − , como mostrado na figura 3.8. 
 
 
Figura 3.8 
 
Definição 3.2.1. Diz-se que uma dada equação nas variáveis x e y define a 
função f implicitamente se o gráfico de ( )y f x= coincidir com algum 
segmento do gráfico da equação. 
 
Em geral não é necessário, e muitas vezes não é possível, resolver 
uma equação de y em termos de x , neste caso usa-se a diferenciação 
implícita para encontrar dy
dx
. 
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136
A diferenciação implícita consiste em derivar os dois lados da 
equação em relação a variável x , sem a necessidade de resolvery como 
função de x , e em seguida deve-se expressar dy
dx
 como função das variáveis 
x e y . 
 
Exemplo Resolvido 3.2.2. Encontre dy
dx
 para a equação 2 2 4x y+ = , 0y≥ . 
 
Solução. Na diferenciação implícita derivam-se os dois lados da equação em 
relação à x , logo: 
[ ]2 2 4d dx y
dx dx
⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ 
( ) ( )2 2 0d dx ydx dx+ = 
2 2 0dyx y
dx
+ = 
dy x
dx y
=− 
Como para 0y≥ , tem-se 24y x= − , pode-se, então, concluir que: 
24
dy x
dx x
=−
−
 
Neste caso pode-se calcular 
dy
dx
 sem haver a necessidade de usar a 
diferenciação implícita, isto é resolvendo a equação 2 2 4x y+ = , para 0y≥ , 
obtém: 
24y x= − 
 
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137
Daí usando a regra da cadeia tem-se: 
( ) ( )2 22 2 2
1 14 4 2
2 4 2 4 4
dy d d xx x x
dx dx dxx x x
−⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −
 
ou seja: 
24
dy x
dx x
=−
−
 
 
Exemplo Resolvido 3.2.3. Encontre dy
dx
 para a equação 2 3x seny y x tgx+ = . 
 
Solução. Na diferenciação implícita derivam-se os dois lados da equação em 
relação à x , ou seja: 
[ ]2 3d d dx seny y x tgx
dx dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
[ ] [ ] [ ]2 2 3 3d d d d dx seny x seny y x y x tgx
dx dx dx dx dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
2 2 3 22 cos 3 secdy dyxseny x y y x y x
dx dx
+ + + = 
( )2 2 2 3cos 3 sec 2dyx y y x x xseny ydx+ = − − 
2 3
2 2
sec 2
cos 3
dy x xseny y
dx x y y x
− −
=
+
 
 
Exemplo Resolvido 3.2.4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico do 
Fólio de Descartes de equação 3 3 3x y xy+ = no ponto 3 3,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
 
 
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138
Solução. Diferenciando implicitamente os lados da equação do Fólio de 
Descartes, resulta: 
[ ]3 3 3d dx y xy
dx dx
⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ 
[ ] [ ]3 3 3d d d dx x x y x y
dx dx dx dx
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
 
2 23 3 3 3dy dyx y y x
dx dx
+ = + 
( )2 2dyy x y xdx− = − 
2
2
dy y x
dx y x
−
=
−
 
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função 
aplicada no ponto 
3 3,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ou seja: 
2
2
3 3
3 3 2 2, 1
2 2 3 3
2 2
tg
dym
dx
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = =−⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Daí a reta tangente é dada por: 
3 31
2 2
y x⎛ ⎞− =− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
3 3
2 2
y x− =− + 
3x y+ = 
 
 
 
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139
Exemplo Resolvido 3.2.5. Ache [ ]d arcsenx
dx
, 0,
2
x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
 
Solução. Uma outra forma de encontrar esta derivada é através da 
diferenciação implícita, como segue: 
y arcsenx seny x= ⇔ = 
então por diferenciação implícita tem-se: 
[ ] [ ]d dseny x
dx dx
= 
2
1 1cos 1
cos 1
dy dy dyy
dx dx y dx sen y
= ⇒ = ⇒ =
−
 
e como seny x= , pode-se concluir que: 
[ ]
2
1
1
d arcsenx
dx x
=
−
 
 
Exemplo Resolvido 3.2.6. Um balão esférico está se expandindo. Se o raio 
está aumentando a uma taxa de 5 centímetros por minutos, em que taxa o 
volume estará aumentando quando o raio for de 12 centímetros. 
 
Solução. O balão tem a forma de uma esfera de raio R , como mostrado na 
figura 3.9. O volume da esfera é dado por: 
34
3
V Rπ= 
 
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140
 
Figura 3.9 
 
Como o volume V e o raio R variam com o tempo, então, pode-se 
concluir que ( )V V t= e ( )R R t= , então diferenciando implicitamente a 
equação 3
4
3
V Rπ= em relação a variável tempo t , tem-se: 
[ ] 3 24 4
3
d d dV dRV R R
dt dt dt dt
π π⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Quando 12R= , tem-se 5dR
dt
= , então daí, 
( ) ( )24 12 5 2880dV
dt
π π= = 
Logo o volume está aumentando a uma taxa de 2880π centímetros 
cúbicos por minuto. 
 
Exemplo Resolvido 3.2.7. Um tanque cônico com água com o vértice para 
baixo tem um raio de 10 m no topo e uma altura de 24 m . Se a água fluir 
dentro do tanque a uma taxa de 320 / minm , com que taxa a profundidade da 
água estará crescendo quando ela tiver 12m de profundidade? 
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141
Solução. Seja o tangue como mostrado na figura 3.10, 
 
Figura 3.10 
 
No instante t qualquer, tem-se uma altura h e o raio r , como 
mostrado na figura 3.11, 
 
Figura 3.11 
 
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142
Logo, pode-se escrever o raio r em função da altura h , da seguinte 
forma: 
 
5
12
r h= 
Daí escreve-se o volume como função apenas da altura h : 
2 31 25
3 432
V r h V hπ π= ⇒ = 
logo, diferenciando implicitamente, tem-se: 
[ ] 3 325 25
432 432
d d dV h h
dh dh dh
π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
225
144
dV dhh
dt dt
π= 
de onde se pode concluir que: 
2
144
25
dh dV
dt dthπ
= 
Como 20dV
dt
= e 12h= , então: 
( )2
144 420
525 12
dh
dt ππ
= = 
Logo, pode concluir que a taxa de aumento da altura é de 
4 min
5
m
π
. 
 
 
 
 
 
 
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143
3.3 Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 
 
Definição 3.3.1. Dado um número real b , tal que 0 1b< ≠ , chama-se função 
exponencial de base b a função f de variável real e imagem real, que 
associa a cada x o número xb . Ou seja, 
( ) xf x b= (3.3) 
 
Teorema 3.3.1. Se 0b> e 1b≠ , então: 
(a) A função ( ) xf x b= está definida para todo valor real de x ; logo o domínio 
natural é o intervalo ( ),−∞ +∞ . 
(b) A função ( ) xf x b= é contínua no intervalo ( ),−∞ +∞ e a sua imagem é o 
intervalo ( )0,+∞ . 
 
Teorema 3.3.2 (Propriedades dos Expoentes). 
(a) x y x yb b b += (b) 
x
x y
y
b b
b
−= 
(c) ( )yx x yb b= (d) ( )1 yy x x x yb b b= = 
(e) ( )x x xab a b= (f) 
x x
x
a a
b b
⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
O gráfico da função exponencial é injetivo e pode ser estritamente 
crescente se 1b> e estritamente decrescente se 0 1b< < , como mostrado na 
figura 3.12. 
 
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144
 
Figura 3.12 
 
De acordo com a figura 3.12, podem-se concluir os seguintes limites: 
1) Para 0 1b< < : lim 0x
x
b
→+∞
= e lim x
x
b
→−∞
=+∞ 
2) Para 1b> : lim x
x
b
→+∞
=+∞ e lim 0x
x
b
→−∞
= 
 
Definição 3.3.2. Sendo a e b números reais positivos, com 1b≠ , chama-se 
logaritmo de a na base b o expoente que se deve dar à base b de modo que 
a potência obtida seja igual a b . Isto é, se a R∈ , b R∈ , 0 1b< ≠ e 0a> , então: 
log xb a x b a= ⇔ = (3.4) 
 
Definição 3.3.3. Chama-se de função logarítmica na base b , 0 1b< ≠ , a 
função que associa a cada 0x> , o número real logb x . Isto é, 
( ) logbf x x= (3.5) 
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145
As funções ( ) xf x b= e ( )1 logbf x x− = formam um par de inversas. 
Se o domínio de 1f − é o mesmo que a imagem de f obtem-se: 
( )log ,xb b x x R= ∈ 
log , 0b xb x x= > 
(3.6) 
 
Os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 
chamados de logaritmos decimais. Para estes logaritmos é comum suprimir a 
base, isto é eles são escritos da forma log x e não 10log x . Recentemente os 
logaritmos de base 2 desempenharam importante papel em ciência 
computacional, pois surgem naturalmente em sistemas numéricos binários. 
Os logaritmos mais utilizados nas aplicações são os logaritmos 
naturais, cuja base é o número irracional e , número de Euler, em homenagem 
ao matemático suíço Leonard Euler. Neste caso se escreve ln x e não loge x . 
Esta constante cujo valor aproximado em seis casas decimais é: 
2,718282≈e (3.7) 
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação: 
11⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
x
 (3.8) 
Pode-se concluir os seguintes limites no infinito: 
 
1lim 1
x
x
e
x→+∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.9) 
 
1lim 1
x
x
e
x→+∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.10)
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146
Logo, tem-se as funções logarítmica e exponencial na base e , 
respectivamente, ( ) xf x e= e ( )1 ln− =f x x que formam um par de inversas, tal 
que: 
( )ln ,xe x x R=∈ 
ln , 0xe x x= > 
(3.11)
Dos limites dados pelas equações 3.9 e 3.10, pode-se demonstrar o 
seguinte limite: 
 ( )1
0
lim 1 x
x
x e
→
+ = (3.12)
que será usado posteriormente para deduzir a função derivada do logaritmo. 
Os limites dados pelas equações 3.9, 3.10 e 3.12 podem ser 
provados através da regra de L’Hopital, que será vista posteriormente. 
O gráfico da função ( )1 lnf x x− = é obtido rotacionando o gráfico da 
função ( ) xf x e= em torno da reta y x= (figura 3.12). O mesmo pode ser feito 
para obter o gráfico da função ( )1 logbf x x− = a partir da função ( ) xf x b= . 
Dos gráficos representados na figura 3.13, podem-se concluir os 
seguintes limites: 
1) lim x
x
e
→+∞
=+∞ e lim 0x
x
e
→−∞
= 
2) lim ln
x
x
→+∞
=+∞ e 
0
lim ln
x
x
−→
=−∞ 
3) lim logbx
x
→+∞
=+∞ e 
0
lim logb
x
x
−→
=−∞ 
 
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147
 
Figura 3.13 
 
Teorema 3.3.3. Comparação entre funções exponenciais e logarítmicas para 
1b> . 
0 1b = log 1 0b = 
1b b= log 1b b= 
( ) ( )Im 0,xb = +∞ ( ) ( )log 0,bD x = +∞ 
( ) ( ),xD b = −∞ +∞ ( ) ( )log ,bD x = −∞ +∞ 
0 1xb< < se 0x< log 0b x< se 0 1x< < 
 
Teorema 3.3.4 (Propriedades algébricas dos Logaritmos). 
(a) ( )log log logb b bxy x y= + (b) log log logb b b
x x y
y
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
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148
(c) log logyb bx y x= (d) 
1log logy bb x xy
= 
(e) 
1log logb b xx
⎛ ⎞=−⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (f) 
log
log
log
y
b
y
x
x
b
= 
 
Teorema 3.3.5. Seja 0x> e 0 1b< ≠ , então: 
[ ] 1log
lnb
d x
dx x b
= (3.13)
 
Prova. Aplicando a definição, tem-se: 
[ ] ( )
0 0 0
loglog log 1log lim lim lim log 1
b
b b
b bh h h
x h
x h xd hxx
dx h h h x→ → →
+⎛ ⎞
⎜ ⎟+ − ⎡ ⎤⎛ ⎞⎝ ⎠= = = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
Fazendo a substituição 
hu
x
= , tem-se que h ux= e se 0h → , então 
0u → , logo: 
( ) ( )
0 0 0
1 1 1 1lim log 1 lim log 1 lim log 1b b bh u u
h u u
h x ux x u→ → →
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
( )1
0
1 lim log 1 ubu
u
x →
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
 
Como a função logb x é contínua em seu domínio, então: 
( ) ( )
}1
1 1
0 0
1 1 1 1 ln 1lim log 1 log lim 1 log
ln ln
u u
b b bu u
e
eu u e
x x x x b x b→ →
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤+ = + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
1442443
 
Daí chega-se a conclusão desejada: 
[ ] 1log
lnb
d x
dx x b
= 
 
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149
Exemplo Resolvido 3.3.1. Ache: 
(a) [ ]logd x
dx
 (b) [ ]2log
d x
dx
 
 
Solução (a). Neste caso a base do logaritmo é 10, então: 
[ ] 1log
ln10
=
d x
dx x
 
Solução (b). Neste caso a base é 2, então: 
[ ]2
1log
ln 2
=
d x
dx x
 
 
Teorema 3.3.6. Seja 0x> , então: 
[ ] 1lnd x
dx x
= (3.14)
 
Prova. Basta aplicar o teorema 3.3.5, isto é: 
[ ] [ ]
{
1
1 1ln log
lne
d dx x
dx dx x e x
= = = 
 
Exemplo Resolvido 3.3.2. Calcule, em cada caso, a função derivada. 
(a) ( ) 3logf x senx x= (b) ( )
ln
ln 1
xg x
x
=
+
 
 
Solução (a). Neste caso usa-se a regra do produto para encontrar a função 
derivada, isto é: 
( ) [ ] [ ]( ) ( ) [ ]3 3 3' log log log
d d df x senx x senx x senx x
dx dx dx
= = + 
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150
( ) 3
1' cos log
ln 3
f x x x senx
x
= + 
( ) 3' cos log ln3
senxf x x x
x
= + 
Solução (b). Neste outro caso usa-se a regra do quociente para se encontrar a 
função derivada, isto é: 
( )
[ ]( ) ( ) [ ]
( )2
ln ln 1 ln ln 1ln'
ln 1 ln 1
d dx x x xd x dx dxg x
dx x x
+ − +⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦ +
 
( )
( ) ( )
( ) ( )2 2
1 1 1 1 1ln 1 ln ln ln
'
ln 1 ln 1
x x x x
x x x x xg x
x x
+ − + −
= =
+ +
 
( )
( )2
1'
ln 1
g x
x x
=
+
 
 
Usando a notação da regra da cadeia as fórmulas em (3.13) e (3.14) 
ficam, respectivamente: 
[ ] 1log
lnb
d duu
dx u b dx
= (3.15)
[ ] 1lnd duu
dx u dx
= (3.16)
 
Exemplo Resolvido 3.3.3. Ache: 
(a) ( )3 2logd x xdx π⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ (b) ( )ln cot
d senx gx
dx
+⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
 
 
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151
Solução (a). Pela regra da cadeia tem-se: 
( ) ( ) ( )
2
3 2 3 2
3 2 3 2
1 3 2log
ln10 ln10
d d x xx x x x
dx dxx x x x
π π
π π
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = + + =⎣ ⎦⎣ ⎦ + + + +
 
Solução (b). Pela regra da cadeia tem-se: 
( ) [ ]
21 cos cossecln cot cot
cot cot
d d x xsenx gx senx gx
dx senx gx dx senx gx
−
+ = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ + +
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.4. Determine 
( )( )
4 2
53
1ln
1 2 1
d sen x x
dx x x
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦
. 
 
Solução. Se for usada diretamente a fórmula generalizada com a regra da 
cadeia, tem-se: 
( )( )
( )( )
( )( )
4 2 4 2
5 53 34 2
53
1 1 1ln
1 2 1 1 2 11
1 2 1
d sen x x d sen x x
dx dxx x x xsen x x
x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥=
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + + ++⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
+ +
 
Ou seja, a derivada 
( )( )
4 2
53
1
1 2 1
d sen x x
dx x x
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
 é muito trabalhosa, logo 
deve ser evitada. Então, usam-se as propriedades dos logaritmos para 
simplificar a expressão e facilitar o cálculo da derivada, isto é: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 1 24 1 3 52
53
1ln ln 1 ln 1 2 1
1 2 1
sen x x senx x x x
x x
⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + − + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠
 
( ) ( ) ( ) ( )1 24 1 3 52ln ln 1 ln 1 ln 2 1= + + − + − +senx x x x 
( ) ( ) ( ) ( )21 14ln ln 1 ln 1 5ln 2 12 3= + + − + − +senx x x x 
 
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152
Daí, 
( )( ) ( ) ( )
( ) [ ]
4 2
2
53
1 1ln 4 ln ln 1
21 2 1
1 ln 1 5 2 1
3
d sen x x d dsenx x
dx dx dxx x
d dx x
dx dx
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦
− + − +⎡ ⎤⎣ ⎦
 
( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1 1 14 cos 2 1 5 2
2 3 1 2 11
= + − −
+ ++
dx x
senx x xx
 
( )2
1 104cot
3 1 2 11
= + − −
+ ++
xgx
x xx
 
Logo se pode concluir que: 
( )( ) ( )
4 2
5 23
1 1 10ln 4cot
3 1 2 111 2 1
d sen x x xgx
dx x xxx x
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ = + − −
⎢ ⎥⎜ ⎟ + +++ +⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.5. Determine a função derivada da função 
( ) ( ) ( )2 4
3 2log 2 7
x x
g x x x x
+
= − + . 
 
Solução. Como neste caso tanto o logaritmando como a base são funções, 
então, não existe nenhuma regra para se calcular a derivada da função g 
diretamente. Logo, deve-se usar a regra da mudança de base para expressar a 
função como uma razão entre dois logaritmos de base constante e depois usar 
a regra do quociente para calcular a derivada. 
( )
( )
( )
3 2
2 4
ln 2 7
ln
x x x
g x
x x
− +
=
+
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 4 3 2 2 4
22 4
ln 2 7 ln ln 2 7 ln
'
ln
d dx x x x x x x x x x
dx dxg x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
⎡ ⎤+⎣ ⎦
 
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153
( )
( ) ( )
( )
2 3
2 4 3 2
3 2 2 4
22 4
3 4 7 2 3ln ln 2 7
2 7'
ln
x x x xx x x x x
x x x x xg x
x x
− + +
+ − − +
− + +=
⎡ ⎤+⎣ ⎦
 
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2 4 3 2 2
3 2 3
22 4
3 4 7 ln ln 2 7 2 3
2 7'
ln
x x x x x x x x
x x x x xg x
x x
− + + − + +
−
− + +=
⎡ ⎤+⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.6. Calcule 
( )
( )
223
335
8 2x tg xd
dx senx x
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎣ ⎦
. 
 
Solução. Pela regra do quociente tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 2 32 3 2 33 5 3 5
2
335
8 2 8 2d dx tg x senx x x tg x senx x
dx dx
senx x
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
− − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
que é uma expressão muito complicada, então pode-se recorrer a 
diferenciação logarítmica. 
Neste caso para a simplificação usa-se a diferenciação logarítmica 
que consiste em se aplicar o logaritmo em ambos os lados de uma equação 
( )y f x= formando uma expressão do tipo ( )ln lny f x= . Em seguida se aplica 
as propriedades dos logaritmos para simplifica a expressão ( )ln f x e facilitar 
os cálculos das derivadas. 
Ou seja, 
( )
( )
( )
( )
2 22 23 3
3 33 35 5
8 2 8 2
ln ln
x tg x x tg x
y y
senx x senx x
⎡ ⎤
− −⎢ ⎥
= ⇒ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎣ ⎦
 
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154
( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 52 3 2 32 3ln ln 82 ln ln 8 2 ln3 5y x tg x senx x x tg x senx x= − − − = − − − 
[ ] ( ) ( )2 32 3ln ln 8 2 ln3 5
d d dy x tg x senx x
dx dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( ) ( )2 22 31 2 1 3 116 2sec 2 cos 33 58 2
dy x x x x
y dx x tg x senx x
= − − −
− −
 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 3
2 16 2sec 2 3 cos 3
3 8 2 5
x x x xdy y
dx x tg x senx x
⎡ ⎤− −
⎢ ⎥= −
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
222 2 3
2 3 335
8 22 16 2sec 2 3 cos 3
3 8 2 5
x tg xx x x xdy
dx x tg x senx x senx x
⎡ ⎤⎡ ⎤ −− − ⎢ ⎥⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.7. Seja 
( )
3 9
3 45 3
cot
3 4
x tgx gx
y
x x x
−
=
− −
, então calcule 
dy
dx
. 
 
Solução. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da expressão, tem-
se: 
( )
3 9
3 45 3
cot
ln ln
3 4
x tgx gx
y
x x x
⎡ ⎤
−⎢ ⎥= ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ) ( )3 41 93 5 3ln ln ln cot ln 3 4y x tgx g x x x= + − − − − 
( ) ( )5 31 3ln 3ln ln cot ln 3 49 4y x tgx g x x x= + − − − − 
[ ] ( ) ( )5 31 3ln 3ln ln cot ln 3 49 4
d dy x tgx g x x x
dx dx
⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( ) ( )2 2 4 25 31 1 1 1 3 13 sec cossec 15 12 19 cot 4 3 4
dy x x x x
y dx x tgx gx x x x
= + + − − −
− − −
 
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155
( )
( )
( )
4 22 2
5 3
3 15 12 11 3 sec cossec
9 cot 4 3 4
x xdy x x
y dx x tgx gx x x x
− −+
= + −
− − −
 
( )
( )
( )
4 22 2
5 3
3 15 12 13 sec cossec
9 cot 4 3 4
x xdy x x y
dx x tgx gx x x x
⎡ ⎤− −+⎢ ⎥= + −
−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
( )
( )
( ) ( )
4 2 32 2 9
3 45 3 5 3
3 15 12 1 cot3 sec cossec
9 cot 4 3 4 3 4
x x x tgx gxdy x x
dx x tgx gx x x x x x x
⎡ ⎤⎡ ⎤− − −+ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + − ⎢ ⎥−⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.8. Ache: 
xd x
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ 
 
Solução. Aplicando em ambos os lados o logaritmo natural tem-se: 
ln ln lnx xy x y x x x= ⇒ = = 
[ ] [ ]ln lnd dy x x
dx dx
= 
[ ] [ ]1 ln ln ln 1dy d dx x x x x
y dx dx dx
= + = + 
( )ln 1dy x y
dx
= + 
( )ln 1 xdy x x
dx
= + 
Daí tem-se que: 
( )ln 1x xd x x x
dx
⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ 
 
 
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156
Teorema 3.3.7. Seja 0 1b< ≠ , então: 
lnx xd b b b
dx
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.17)
 
Prova. Para provar este resultado usa-se a diferenciação implícita; isto é: 
logx by b y x= ⇔ = 
então: 
[ ] [ ] 1log 1 ln ln
ln
x
b
d d dy dyy x y b b b
dx dx y b dx dx
= ⇒ = ⇒ = = 
 
Exemplo Resolvido 3.3.9. Ache: 
(a) 2⎡ ⎤⎣ ⎦
xd
dx
 (b) 6⎡ ⎤⎣ ⎦
xd
dx
 
 
Solução (a). Como a base é 2, tem-se: 
2 2 ln 2⎡ ⎤ =⎣ ⎦
x xd
dx
 
Solução (b). Como a base é 6, tem-se: 
6 6 ln 6⎡ ⎤ =⎣ ⎦
x xd
dx
 
 
Teorema 3.3.8. Se b e= , então: 
x xd e e
dx
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.18)
 
 
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157
Prova. Usando o resultado do teorema 3.3.7, tem-se: 
{
1
lnx x xd e e e e
dx
⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ 
 
Exemplo Resolvido 3.3.10. Ache a derivada primeira da função dada. 
(a) ( ) xp x e senx= (b) ( ) 310xq x x= 
 
Solução (a). 
( ) ( ) ( ) [ ]' cosx x x x xd d dp x e senx e senx e senx e senx e xdx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
Solução (b). 
( ) ( ) ( )3 3 3 2 3' 10 10 10 3 10 10 ln10x x x x xd d dq x x x x x xdx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
Usando a notação da regra da cadeia as fórmulas em (3.17) e (3.18) 
ficam, respectivamente: 
lnu ud dub b b
dx dx
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.19)
u ud due e
dx dx
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3.20)
 
Exemplo Resolvido 3.3.11. Ache. 
(a) ( )cottgx gx
d e
dx
−⎡ ⎤
⎣ ⎦ (b) 2
xd
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦
 
 
 
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158
Solução (a). 
( ) ( ) [ ] ( ) ( )cot cot cot2 2cot sec cossectgx gx tgx gx tgx gxd de e tgx gx x x edx dx
− − −⎡ ⎤ = − = +⎣ ⎦ 
Solução (b). 
1 ln 22 2 ln 2 2 ln 2 2x x x xd d x
dx dx x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.3.12. Resolva ( )cosln 2 3⎡ ⎤−⎣ ⎦senx x
d
dx
. 
 
Solução. Usando a regra da cadeia: 
( )cos coscos1ln 2 3 2 32 3
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎝ ⎠
senx x senx x
senx x
d d
dx dx
 
( ) ( )coscos
1 2 3 cos
2 3
senx x
senx x
d dsenx x
dx dx
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
 
( ) ( )( )coscos1 2 cos 32 3
senx x
senx x x senx
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Daí pode-se concluir que: 
( )
cos
cos
cos
cos 2 3ln 2 3
2 3
senx x
senx x
senx x
d x senx
dx
+⎡ ⎤− =⎣ ⎦ −
 
 
 
 
 
 
 
 
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159
3.4 Derivada das funções Inversas Trigonométricas e a Regra de L´Hopital 
 
Definição 3.4.1. A função inversa do seno, denotada por arcsenx , está 
definida como a inversa da função seno restrita: 
, 2 2senx xπ π− ≤ ≤ 
 
Em seguida, na figura 3.14, tem-se o gráfico da função =y senx com 
a restrição 2 2π π− ≤ ≤x , e o gráfico da sua inversa 1− =y arcsenx . 
 
 
Figura 3.14 
 
Da figura 3.14 pode-se concluir que: 
(1) ( ) [ ]2, 2D senx π π= − e ( ) [ ]Im 1,1senx = − 
(2) ( ) [ ]1,1D arcsenx = − e ( ) [ ]Im 2, 2arcsenx π π= − 
Devido ao fato das funções y senx= e y arcsenx= serem inversas 
tem-se: 
para todo [ ] ( )1,1 ,x sen arcsenx x∈ − = 
e 
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160
para todo [ ] ( )2, 2 ,x arcsen senx xπ π∈ − = 
 
Teorema 3.4.1. Seja 1 1x− ≤ ≤ , então: 
[ ]
2
1
1
d arcsenx
dx x
=
−
 (3.21)
 
Prova. 
y arcsenx seny x= ⇔ = 
[ ] [ ]
2 2
1 1 1cos 1
cos 1 1
d d dy dyseny x y
dx dx dx dx y sen y x
= ⇒ = ⇒ = = =
− −
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.1. Determine: 
(a) ( )lnd arcsenx
dx
⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 
2d x arcsenx
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ 
 
Solução (a). Pela regra da cadeia tem-se: 
( ) [ ]
2 2
1 1 1 1ln
1 1
d darcsenx arcsenx
dx arcsenx dx arctgx x arctgx x
= = =⎡ ⎤⎣ ⎦
− −
 
Solução (b). Usando a regra do produto, então: 
[ ]
2
2 2 2
2
2
1
d d d xx arcsenx x arcsenx x arsenx xarcsenx
dx dx dx x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
 
 
Definição 3.4.2. A função inversa da tangente, denotada por arctgx , está 
definida como a inversa da função tangente restrita: 
, 2 2tgx xπ π− ≤ ≤ 
 
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161
Em seguida, na figura 3.15, tem-se o gráfico da função =y tgx com 
a restrição 2 2π π− < <x , e o gráfico da sua inversa 1− =y arctgx . 
 
 
Figura 3.15 
 
Da figura 3.15 pode-se concluir que: 
(1) ( ) ( )2, 2D tgx π π= − e ( ) ( )Im ,tgx = −∞ +∞ 
(2) ( ) ( ),D arctgx = −∞ +∞ e ( ) ( )Im 2, 2arctgx π π= − 
Devido ao fato das funções y tgx= e y arctgx= serem inversas tem-
se: 
para todo ( ) ( ), ,x tg arctgx x∈ −∞ +∞ = 
e 
para todo ( ) ( )2, 2 ,x arctg tgx xπ π∈ − = 
 
Teorema 3.4.2. Seja x−∞≤ ≤+∞ , então: 
[ ] 2
1
1
d arctgx
dx x
=
+
 (3.22)
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162
Prova. 
y arctgx tgy x= ⇔ = 
[ ] [ ] 2 2 2 2
1 1 1sec 1
sec 1 1
d d dy dytgy x y
dx dx dx dx y tg y x
= ⇒ = ⇒ = = =
+ +
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.2. Determine: 
(a) arctgx
d e
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ (b) 
xd e arctgx
dx
−⎡ ⎤
⎣ ⎦ 
 
Solução (a). Neste caso, tem-se, pela regra da cadeia: 
[ ] 2 2
1
1 1
arctgx
arctgx arctgx arctgxd d ee e arctgx e
dx dx x x
⎛ ⎞⎡ ⎤ = = =⎜ ⎟⎣ ⎦ + +⎝ ⎠
 
Solução (b). Pela regra do produto, tem-se: 
( ) ( ) [ ]x x xd d de arctgx e arctgx e arctgxdx dx dx
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( )( ) ( ) 211
x xe arctgx e
x
− − ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
2
1 ar
1
xe ctgx
x
− ⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
 
Definição 3.4.3. A função inversa da secante, denotada por secarc x , está 
definida como a inversa da função secante restrita: 
sec , 0 2x x com xπ π≤ ≤ ≠ 
 
Em seguida, na figura 3.16, tem-se o gráfico da função sec=y x com 
a restrição 0 2π π≤ ≤ ≠x com x , e o gráfico da sua inversa 1 sec− =y arc x . 
 
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163
 
 
Figura 3.16 
 
Teorema 3.4.3. Seja 1x≥ ou 1x≤− , então: 
[ ]
2
1sec
1
d arc x
dx x x
=
−
 (3.23)
 
Prova. 
sec secy ar x y x= ⇔ = 
[ ] [ ]sec sec 1d d dyy x y tgy
dx dx dx
= ⇒ = 
2 2
1 1 1
sec sec sec 1 1
dy
dx y tgy y y x x
= = =
− −
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.3. Encontre: 
(a) secd arc x
dx
⎡ ⎤
⎣ ⎦ (b) ( )sec
d tg arx x
dx⎡ ⎤⎣ ⎦ 
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164
Solução (a). Neste caso, tem-se: 
[ ]
2
1 1sec sec
sec 1 sec
d darc x arc x
dx dxarc x x x arc x
⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ −
 
Solução (b). Neste caso, tem-se: 
( ) ( ) [ ] ( )2 2
2
1sec sec sec sec sec sec
1
d dtg arc x arc x arc x arc x
dx dx x x
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
−
 
Como 
( ) ( )
2
2 2sec sec sec sec
x
arc x arc x x
⎡ ⎤
⎢ ⎥= =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1442443
 
então: 
( ) 2
2 2
1sec
1 1
xd tg arc x x
dx x x x
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
− −
 
 
Fórmulas de derivação 
(1) [ ]
2
1
1
d duarcsenu
dx dxu
=
−
 (2) [ ]
2
1arccos
1
d duu
dx dxu
−
=
−
 
(3) [ ] 2
1
1
d duarctgu
dx dxu
=
+
 (4) [ ] 2
1
1
d duarcotgu
dx dxu
−
=
+
 
(5) [ ]
2
1sec
1
d duarc u
dx dxu u
=
−
 (6) [ ]
2
1cossec
1
d duar u
dx dxu u
−
=
−
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.4. Calcule: 
(a) ( )sec 2xd arcdx ⎡ ⎤⎣ ⎦ (b) 
3d arcsen x
dx
⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
 
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165
Solução (a). 
( )
( )
( )2 2 2
1 1 ln 2sec 2 2 2 ln 2
2 2 1 2 12 2 1
x x x
x x xx x
d darc
dx dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦ − −−
 
Solução (b). 
( ) [ ]
2
33 2
2
33
1
d d d arcsen xarcsen x arcsenx arcsen x arcsenx
dx dx dx x
⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
 
 
Teorema 3.4.4 (Regra de L’Hopital para a forma 0 0 ). Suponha que lim 
representa um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, lim
x p+→
, lim
x→−∞
 ou lim
x→+∞
, e que 
( )lim 0f x = e ( )lim 0g x = . Se ( )( )
'
lim
'
f x
g x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 tem um valor finito L , ou se este 
limite for +∞ ou −∞ , então: 
( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'
f x f x
g x g x
= (3.24)
 
Exemplo Resolvido 3.4.5. Ache os limites. 
(a) 
0
cos 1lim
x
x
senx→
−
 (b) 
0
2lim
1 xx
x
e→ −
 
 
Solução (a). 
[ ]
[ ]
( )
0 0 0 0
cos 1cos 1lim lim lim lim 0
cosx x x x
d xx senxdx tgxdsenx xsenx
dx
→ → → →
−− −
= = = − = 
 
 
 
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166
Solução (b). 
[ ]
( ) 0
0 0 0 0
22 2lim lim lim lim 2 2 2
1 1
x
x xx x x xx
d xx dx e ede ee
dx
−
→ → → →
= = = − =− =−
− −⎡ ⎤−⎣ ⎦
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.6. Ache 
( )
4
1lim
4x
tgx
sen xπ→
−
. 
 
Solução. Como o limite é uma forma indeterminada 0 0 , então, aplica-se 
L´Hopital. 
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
2
2
4
4 4 4
4
lim sec
11 seclim lim lim
4 4cos 4 lim 4cos 44
x
x x x
x
xd tgxtgx xdx
dsen x x xsen x
dx
π
π π π
π
→
→ → →
→
⎡ ⎤⎣ ⎦−−
= = =
⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦
 
( )
2 1sec
14 2
4cos 4 8
π
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =−
−
 
 
Exemplo Resolvido 3.4.7. Calcule o limite 
5
41
2 1lim
1x
x x
x→
− +
−
. 
 
Solução. Pode-se resolver este limite por fatoração do quociente, mas como 
esta fatoração é muito complicada, usa-se a regra de L´Hopital. 
5
5 5 4
4 31 1 14
1 1 12 1 12 1 15 5lim lim lim
4 51 41x x x
d x x xx x xdx
dx xx
dx
→ → →
−⎡ ⎤− + −⎣ ⎦− +
= = = =−
− ⎡ ⎤−⎣ ⎦
 
 
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167
Teorema 3.4.5 (Regra de L’Hopital para a forma ∞ ∞ ). Suponha que lim 
representa um dos limites lim
x p→
, lim
x p−→
, lim
x p+→
, lim
x→−∞
 ou lim
x→+∞
, e que 
( )lim f x =∞ e ( )lim g x =∞ . Se ( )( )
'
lim
'
f x
g x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 tem um valor finito L , ou se este 
limite for +∞ ou −∞ , então: 
( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'
f x f x
g x g x
= (3.25)
 
Exemplo Resolvido 3.4.8. Calcule os limites. 
(a) 
1lim
x
x
e
x→+∞
−
 (b) 
2
lim xx
x x
e→+∞
−
 
 
Solução (a). 
[ ]
( )
11lim lim lim
x
x
x
x x x
d ee dx edx x
dx
→+∞ →+∞ →+∞
⎡ ⎤−⎣ ⎦−
= = =+∞ 
Se o limite 
( )
( )
'
lim
'
f x
g x
 também for uma forma indeterminada 0 0 ou 
∞ ∞ , então, pode-se aplicar novamente a regra de L’Hopital, 
( )
( )
( )
( )
' ''
lim lim
' ''
f x f x
g x g x
= 
e se for necessário, 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
' '' '''
lim lim lim ... lim ...
' '' '''
n
n
f x f x f x f x
g x g x g x g x
= = = = = 
 
 
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168
Solução (b). 
[ ]22 2 12 1 2lim lim lim lim lim 0x x xx x x x xx x
d dx x xx x xdx dx
d de e ee e
dx dx
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
⎡ ⎤− −⎣ ⎦− −
= = = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
Para resolver limites do tipo 
( ) ( )lim g x
x p
f x
→
 (3.26)
primeiramente, considere a expressão 
( ) ( )g xy f x= (3.27)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln lng xy f x y g x f x⎡ ⎤= ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( ) ( )ln lnln g x f x g x f xye e y e⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ = 
então: 
( ) ( ) ( ) ( )lnlim limg x g x f x
x p x p
f x e ⎡ ⎤⎣ ⎦
→ →
= 
e como a função exponencial é contínua, logo: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }lim lnlnlim lim x p
g x f x
g x g x f x
x p x p
f x e e →
⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦
→ →
= = (3.28)
 
Exemplo Resolvido 3.4.9. Prove. 
(a) ( )
0
lim 1x
x
x
+→
= (b) ( )1
0
lim 1 x
x
x e
→
+ = 
 
 
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169
Solução (a). Como lnx x xx e= , então: 
( ) ( ) ( )ln
0 0 0
lim lim exp lim lnx x x
x x x
x e x x
+ + +→ → →
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( ) ( )
0 0
lnlim ln lim 1x x
xx x
x
+ +→ →
= ∞ ∞Forma Indeterminada 
[ ]
( )
0 0 0 0
2
1lnlnlim lim lim lim 01 11x x x x
d xx dx x x
d
x xdx x
+ + + +→ → → →
= = = − =
⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Daí, 
( ) 0
0
lim 1x
x
x e
+→
= = 
Solução (b). Como ( ) ( ) ( )1 1 ln 11 x x xx e ++ = , então: 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln 1
0 0 0
ln 1
lim 1 lim exp limx x x
x x x
x
x e
x
+
→ → →
+⎛ ⎞
+ = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( ) ( )
0
ln 1
lim 0 0
x
x
x+→
+
Forma Indeterminada 
( ) ( )
[ ]0 0 0 0
1ln 1ln 1 11lim lim lim lim 1
1 1x x x x
d xx dx x
dx xx
dx
+ + + +→ → → →
+⎡ ⎤⎣ ⎦+ += = = =
+
 
Daí, 
( )1 1
0
lim 1 x
x
x e e
→
+ = = 
 
 
 
 
 
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170
Exercícios Propostos (Capítulo 3) 
 
01) A derivada primeira de ( )ln x xy e e−= − é dada por: 
a) 
1
x xe e−+
 b) 
1
x xe e−−
 c) 
1
x xe e−
−
+
 
d) 
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+
 e) 
x x
x x
e e
e e
−
−
+
−
 
02) A função derivada ( )'g x da função ( )
2
2
1ln
1
xg x
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
 é dada por: 
a) 4 1
x
x −
 b) 4
2
1
x
x−
 c) 4
4
1
x
x−
 
d) 4
4
1
x
x −
 e) n.d.a. 
03) Qual é a derivada 'y da função ( )2ln 1y x x= + − ? 
a) 
2 1
x
x −
 b) 
21
x
x−
 c) 
2
1
1x −
 
d) 
2
1
1x
−
−
 e) 
2
1
1 x
−
−
 
04) Qual a derivada da função 
1ln
1
senxy
senx
−
=
+
? 
a) sec x− b) tgx− c) cossec x− 
d) cos x− e) senx− 
 
 
 
 
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171
05) Seja ( ) ( )xf x arctg e−= , então, a função ( )'f x é dada por: 
a) 21
x
x
e
e
−
−+
 b) 21
x
x
e
e
−
−−
 c) 21
x
x
e
e
−
−− −
 
d) 
2
21
x
x
e
e
−
−+
 e) 21
x
x
e
e
−
−− +
 
06) Qual é a função ( )'g x para ( ) ( )1g x arcsen x= − ? 
a) 
1
1x x−
 b) 
1
2 1x x
−
−
 c) 
1
2 1x x−
 
d) 
2
1
x
x
−
−
 e) 
1
x
x
−
−
 
07) A função derivada segunda de ( ) tgxH x e= é dada por: 
a) ( )4sec 2 1tgxx e tgx⋅ + b) ( )2sec 2 1tgxx e tgx⋅ + 
c) ( )2 2sec 2 sectgxx e tgx x⋅ + d) ( )2 4sec 2 sectgxx e tgx x⋅ + 
e) ( )4 2sec 2 sectgxx e tgx x⋅ + 
08) A função ( )''f x , derivada segunda da função ( ) ( )log 1f x senx= + , é dada 
por: 
a) 
( )
1
1 ln10senx
−
+
 b) 
( )
1
1 cos ln10x+
 c) 
( )
1
1 cos ln10x
−
+
 
d) 
( )
1
1 ln10senx
−
−
 e) 
( )
1
1 ln10senx+
 
09) A equação da reta normal ao gráfico de 2 2x xy e e−= − em 0x= é dada por: 
a) 
1
4
x− b) 1
2
x− c) 1 1
2 4
x− − 
d) 
1 1
4 4
x− + e) 1 1
2 2
x− − 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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172
10) A curva de equação 2 4 25y x x= − é chamada kampyle de Eudoxus. Qual 
é a equação da reta tangente a esta curva no ponto ( )1,2 ? 
a) 
1 5
2 2
y x= + b) 1 5
2 2
y x=− + c) 9 5
2 2
y x= − 
d) 
9 5
2 2
y x=− − e) 5
2
y x= 
11) Seja a equação 2 2 2y senx x tgy π+ = , então, dy
dx
 é dado por: 
a) 
2
2 2
2
2 cos
y senx xtgy
y x x tg y
+−
+
 b) 
2
2 2
cos 2 cot
2
y x x gy
ysenx x tg y
−
−
 
c) 
2
2 2
cos 2
2 cos sec
y x xtgy
y x x y
−
−
 d) 
2
2 2
2 cot
2 cossec
y senx x gy
ysenx x y
−
+
 
e) 
2
2 2
cos 2
2 sec
y x xtgy
ysenx x y
+
−
+
 
12) Seja a equação cosxye y senx− − = , então, dy
dx
 é dado por: 
a) 
cos
xy
xy
senx ye
y xe
−
−
+
−
 b) 
cos xy
xy
x ye
seny xe
−
−
+
−
 
c) 
cos
xy
xy
xe seny
ye x
−
−
−
+
 d) 
cosxy
xy
xe x
ye seny
−
−
+
−
 
e) 
cos
xy
xy
seny ye
xe x
−
−
−
−
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 
 
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173
13) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a 
manter constante o volume V . Num determinado instante 3h cm= e 1r cm= , 
e neste instante a altura está variando a uma taxa de 0 6, cm s . A que taxa 
está variando o raio neste instante? 
a) 0 1, cm s− b) 0 2, cm s− c) 0 5, cm s 
d) 0 2, cm s e) 0 1, cm s 
14) Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à taxa constante de 
31 44, m min . As forças de atrito na areia são tais que a altura do monte é 
sempre igual ao diâmetro de sua base. Com que velocidade a altura do monte 
aumenta quando ele tem 0,6 m de altura? 
a) 
4 m min
π
 b) 
16 m min
π
 c) 
2 m min
π
 
d) 
1 m min
π
 e) 
8 m min
π
 
15) Um garoto anda ao longo de uma calçada reta a uma velocidade de 4 ft s 
(pés por segundo). Um holofote localizado no chão a 20 ft do caminho focaliza 
o garoto. A que taxa o holofote está girando quando o garoto está à 15 ft do 
ponto do caminho mais próximo da luz? 
a) 
16
125
rad s b) 8
125
rad s c) 16
25
rad s 
d) 
32
125
rad s e) 32
25
rad s 
 
 
 
 
 
 
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174
16) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume 
cresce a uma taxa de 3100 cm s . Quão rápido o raio do balão está crescendo 
quando o diâmetro é 50 cm ? 
a) 
1
5
cm s
π
 b) 
2
5
cm s
π
 c) 
1
25
cm s
π
 
d) 
2
25
cm s
π
 e) 
4
25
cm s
π
 
 17) Qual o valor do limite 
1
lnlim
1x
x
x→ −
? 
a) e b) 1− c) 2e d) 1 e) 1e− 
18) O valor de 
( )
( )0
cos
lim
2
x
x
e x
sen x
π π
→
−
 é dado por: 
a) 
2
π
− b) π− c) 1− d) 
2
π
 e) 1 
19) Qual o valor de 
32lim 1
x
x x→+∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
? 
a) e b) 2e c) 3
1
e
 d) 4
1
e
 e) 6e 
20) O valor do limite ( )1
0
lim 1 x
x
senx
→
+ é: 
a) 0 b) e c) 1
e
 d) 2e e) 1 
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175
CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
4.1 Crescimento, decrescimento e concavidade 
 
Neste módulo usam-se métodos do cálculo diferencial para analisar 
as funções e seus gráficos, identificando intervalos em que o gráfico da função 
seja crescente ou decrescente, identificando onde ocorrem seus pontos mais 
altos e mais baixos, de que forma os gráficos se inclinam e qual o 
comportamento-limite em pontos específicos. 
Inicialmente deve-se entender que os termos crescente, decrescente 
e constante são usados para descrever o comportamento do gráfico de uma 
função em um intervalo, à medida que este é percorrido da esquerda para a 
direita. Por exemplo, a função descrita na figura 4.1, pode ser descrita como 
crescente nos intervalos ( )0 1,x x e ( )2 3,x x , decrescente no intervalo ( )1 2,x x e 
constante no intervalo ( )3 4,x x . 
 
 
Figura 4.1 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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176
Definição 4.1.1. Seja f uma função definida em um intervalo e sejam 1x e 2x 
pontos deste intervalo, então: 
(a) f é crescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x< para 1 2x x< . 
(b) f é decrescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x> para 1 2x x< . 
(c) f é constante no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x= para todo 1x e 2x . 
 
 
Figura 4.2 
 
De acordo com a figura 4.3 se uma função diferenciável f tem o 
gráfico crescente em algum intervalo aberto, então, pode-se chegar à 
conclusão de que qualquer reta tangente ao gráfico de f tem uma inclinação 
positiva, isto é, ' 0f > . De modo análogo, se f diferenciável tem um gráfico 
decrescente em algum intervalo aberto, então, ' 0f < e se f diferenciável for 
constante em algum intervalo aberto, então, ' 0f = . 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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177
 
Figura 4.3 
 
Teorema 4.1.1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [ ],a b e 
diferenciável no intervalo aberto ( ),a b . 
(a) Se ( )' 0f x > para todo ( ),x a b∈ , então f é crescente em [ ],a b . 
(b) Se ( )' 0f x < para todo ( ),x a b∈ , então f é decrescente em [ ],a b . 
(c) Se ( )' 0f x = para todo ( ),x a b∈ , então f é constante em [ ],a b . 
 
Exemplo Resolvido 4.1.1. Ache os intervalos abertos nos quais as funções 
sejam crescentes ou decrescentes. 
(a) ( ) 2 8 1f x x x= − + (b) ( ) 3 22 3f x x x= + 
 
Solução (a). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se 
analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira da função é dada por: 
 ( )' 2 8f x x= − 
A distribuição de sinal da função 'f é dada por: 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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178
Logo pode-se concluir que: 
f é decrescente em ( ),4−∞ 
f é crescente em ( )4,+∞ 
Solução (b). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se 
analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira é dada por: 
 ( ) 26 6f x x x= + 
A distribuição de sinal da função 'f é dada por: 
 
Logo, pode-se concluir que: 
f é decrescente em ( )1,0− 
f é crescente em ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ +∞ 
 
Exemplo Resolvido 4.1.2. Seja ( ) xg x xe= , então, ache intervalos abertos no 
qual a função seja crescente ou decrescente. 
 
Solução. Para encontra intervalos abertos deve-se estudar o sinal da derivada 
primeira. 
( ) ( )' 1 xg x x e= + 
Como 0xe > para todo x R∈ , então, a distribuição de sinal da 
derivada é igual ao da expressão 1x + , que é dada por: 
 
Logo, g é decrescente em ( ), 1−∞ − e g é crescente em ( )1,− +∞ . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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179
Exemplo Resolvido 4.1.3. Seja a função ( ) 3 35 2h x x x= + , então, estude o 
sinal de sua derivada primeira e encontre intervalos de crescimento e 
decrescimento. 
 
Solução. Para facilitar o calculo de sua derivada, pode-se escrever a função da 
seguinte forma: 
( ) 5 3 2 3h x x x= + 
A função derivada é dada por: 
( ) 32 3 1 3 2 3
5 2 5 2'
3 3 3 3
h x x x x
x
−= + = + 
Para estudar o sinal da função 'h , pode-se escrever esta função 
como um quociente, da seguinte forma: 
( ) 3
5 2'
3
xh x
x
+
= 
de onde se pode concluir que a distribuição de sinal é dada por: 
 
Daí tem-se: 
h é crescente em ( )2, 0,
5
⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
e 
h é decrescente em 2 ,0
5
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Definição 4.1.2. Se f for diferenciável em um intervalo aberto I , então o 
gráfico de f é classificado como sendo convexo se 'f for crescente em I , e 
côncavo se 'f for decrescente em I . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
180
 
Figura 4.4 
 
Como o crescimento e decrescimento de uma função são 
determinados pelo sinal da função derivada. Logo, pode-se concluir que 'f é 
crescente se '' 0f > , e, analogamente, 'f é decrescente se '' 0f < , o que é 
confirmado pelo teorema 4.1.2. 
 
Teorema 4.1.2. Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I , 
então: 
(a) Se ( )'' 0f x > em I , então f tem o gráfico convexo em I . 
(b) Se ( )'' 0f x < em I , então f tem o gráfico côncavo em I . 
 
Definição 4.1.3. Uma função f é dita convexa ou côncava em um intervalo 
I , quando o gráfico de f é convexo ou côncavo em I , respectivamente. 
 
Exemplo Resolvido 4.1.4. Encontre intervalos abertos no qual a função tenha 
o gráfico convexo e côncavo. 
(a) ( ) 3 23q x x x= − (b) ( ) ( )2ln 1p x x= + 
 
Curso de CálculoI – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
181
Solução (a). Para encontrar os intervalos no qual o gráfico da função seja 
convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda. 
As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por: 
( ) 2' 3 6q x x x= − 
e 
( )'' 6 6q x x= − 
A distribuição de sinais da 2ª derivada é dada por: 
 
Daí, q é côncava em ( ),1−∞ e q é convexa em ( )1,+∞ . 
Solução (b). Para encontrar os intervalos no qual o gráfico da função seja 
convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda. 
As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por: 
( ) 2
2'
1
xp x
x
=
+
 
e 
( )
( )
( )
2
22
2 1
''
1
x
p x
x
−
=
+
 
Como a expressão ( )221 0x+ > , a distribuição de sinais da 2ª 
derivada é dada pela distribuição de sinais da expressão ( )22 1 x− , que é dado 
por: 
 
Daí, p é côncava em ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ e p é convexa em ( )1,1− . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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182
Definição 4.1.4. Se f for contínua em um intervalo aberto contendo 0x e se o 
gráfico de f muda de convexo para côncavo, e vise-versa, em 0x , diz-se, 
então, que f tem um ponto de inflexão em 0x e chama-se o par ( )( )0 0,x f x 
do gráfico de f um ponto de inflexão de f . 
 
 
Figura 4.5 
 
Exemplo Resolvido 4.1.5. Considere a função ( ) 2
1
4
F x
x
=
+
, então, verifique 
se a função apresenta pontos de inflexão. 
 
Solução. Tem-se que a função é definida para todo x R∈ . As derivadas 
primeira e segunda são dadas, respectivamente por: 
( )
( )22
2'
4
xF x
x
−
=
+
 
e 
( )
( )
2
32
6 8''
4
xF x
x
−
=
+
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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183
Os pontos de inflexão são encontrados através do estudo do sinal da 
função ''F . Como a expressão ( )324 0x+ > , então o sinal de ''F é igual ao 
sinal da expressão 26 8x − , que é dado por: 
 
Como ocorre a mudança de sinal de ''F em 2 3
3
x=− e em 
2 3
3
x= , tem-se que a função F apresenta os seguintes pontos de inflexão: 
2 3 3,
3 16
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
 e 
2 3 3,
3 16
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Exemplo Resolvido 4.1.6. Seja a função ( )
2−= xh x e , então, determine 
intervalos abertos nos quais: 
(a) h é crescente e decrescente. 
(b) h é côncava para cima e côncava para baixo. 
 
Solução (a). A função derivada primeira é dada por: 
( )
2
' 2 −=− xh x xe 
Devido ao fato de 
2
0xe− > e, então o sinal da função 'h é igual ao 
sinal da expressão 2x− , que é dado por: 
 
Daí tem-se que a função h é crescente no intervalo ( ),0−∞ e é 
decrescente no intervalo ( )0,+∞ . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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184
Solução (b). A função derivada segunda é dada por: 
( ) ( ) 22'' 4 2 xh x x e−= − 
Devido ao fato de 
2
0xe− > e, então o sinal da função ''h é igual ao 
sinal da expressão 24 2x − , que é dado por: 
 
Daí a função h é côncava no intervalo 1 1,
2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
 e convexa no 
intervalo 
1 1, ,
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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185
4.2 Extremos relativos 
 
Definição 4.2.1. Uma função f se diz ter um máximo relativo em 0x se 
houver um intervalo aberto contendo 0x , no qual ( )0f x é o maior valor, isto é, 
( ) ( )0f x f x≥ para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um 
mínimo relativo em 0x se houver um intervalo aberto contendo 0x , no qual 
( )0f x é o menor valor, isto é, ( ) ( )0f x f x≤ para todo x no intervalo. Quando 
f tiver um máximo ou um mínimo relativo em 0x , se diz que f tem um 
extremo relativo em 0x . 
 
 
Figura 4.6 
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186
Os gráficos (a) e (b) da figura 4.6 apresentam um máximo relativo 
em 0x , porém, em (a), como é um ponto de pico, tem-se que ( )0'f x∃ e em (b) 
tem-se que ( )0' 0f x = . De modo análogo, os gráficos (c) e (d) da figura 4.6 
apresentam um mínimo relativo em 0x , porém, em (c), como é um ponto de 
pico, tem-se que ( )0'f x∃ e em (d) tem-se que ( )0' 0f x = . 
 
Teorema 4.2.1. Se uma função f tiver extremos relativos, então eles ocorrem 
ou em pontos onde ( )' 0f x = ou em pontos de não-diferenciabilidade. 
 
Os pontos onde a derivada primeira é nula, ou seja, ( )' 0f x = , e os 
pontos onde não existe a derivada primeira, são chamados de pontos críticos 
de f . Os pontos no quais ( )' 0f x = podem, ainda, ser chamados de pontos 
críticos estacionários. 
 
Corolário 4.2.1.1. Os extremos relativos de uma função se houver, ocorrem 
em pontos críticos. 
 
O teorema 4.2.1 diz que se uma função tiver extremos relativos eles 
precisam ocorrer em pontos críticos e não que se ela tiver pontos críticos, estes 
são extremos relativos. Então, todo extremo relativo é ponto crítico e não o 
contrário. 
 
Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Primeira). Suponha f contínua em um 
ponto crítico 0x . 
(a) Se ( )' 0f x > em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de 0x e 
( )' 0f x < em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então f tem 
um máximo relativo em 0x . 
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187
(b) Se ( )' 0f x < em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de 0x e 
( )' 0f x > em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então f tem 
um mínimo relativo em 0x . 
(c) Se ( )'f x tiver o mesmo sinal em um intervalo aberto ampliando-se à 
esquerda de 0x e, em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x , então 
f não tem extremos relativos em 0x . 
 
Exemplo Resolvido 4.2.1. Encontre os extremos relativos. 
(a) ( ) 2 2 3= − −p x x x (b) ( ) 3 23 9 11= − − +q x x x x 
 
Solução (a). A derivada primeira é dada por: 
( )' 2 2p x x= − 
Como a função é polinomial, então, não há pontos de não 
diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo a 
equação ( )' 0p x = . Isto é, resolvendo: 
2 2 0x − = 
tem-se 1x= . Então a função p apresenta um ponto crítico estacionário em 
1x= . 
A distribuição de sinais da função derivada é dada por: 
 
Aplicando o teste da derivada primeira, tem-se que, como o sinal da 
derivada primeira muda de negativo para positivo em 1x= , a função p 
apresenta um mínimo relativo em 1x= . Ou seja, a função apresenta um valor 
mínimo dado por ( )1 4p = . 
 
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188
Solução (b). A derivada primeira é dada por: 
( ) 2' 3 6 9q x x x= − − 
Como a função é polinomial, então, não há pontos de não 
diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo a 
equação ( )' 0q x = . Isto é, resolvendo: 
23 6 9 0x x− − = 
tem-se 1 1x =− e 2 3x = . Então a função q apresenta pontos críticos 
estacionários em 1 1x =− e 2 3x = . 
A distribuição de sinais da função derivada é dada por: 
 
O sinal da derivada primeira muda de positivo para negativo em 
1 1x =− , logo a função q apresenta um máximo relativo em 1 1x =− , dado por 
( )1 16q − = . Analogamente, como o sinal da derivada primeira muda de 
negativo para positivo em 2 3x = , então q tem um mínimo relativo em 2 3x = , 
dado por ( )3 16q =− . 
 
Exemplo Resolvido 4.2.2. Encontre os pontos críticos da função 
( ) 4 34 1f x x x= + − e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou 
nenhum dos dois. 
 
Solução. Como a função é polinomial, então os pontos críticos são dados pelos 
zeros da derivada primeira. Isto é deve-se resolver a equação ( )' 0f x = . 
Tem-se que a derivada primeira é dada por: 
( ) 3 2' 4 12f x x x= + 
 
 
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189
Resolvendo a equação ( )' 0f x = , então: 
3 24 12 0x x+ = 
que pode ser simplificada para a forma: 
( )24 3 0x x + = 
As raízes desta equação são 1 0x = , com multiplicidade dois, e 
2 3x =− . Como 
24 0x > , então, a distribuiçãode sinais da derivada primeira é 
igual ao da expressão 3x + que é dado por: 
 
Como o sinal de 'f muda de negativo para positivo em 3x=− , tem-
se que f apresenta um mínimo relativo em 3x=− que é dado por 
( )3 28f − =− . Em 0x= não ocorre uma mudança de sinal, logo, pode-se 
concluir que a função f não apresenta extremo relativo neste ponto. 
 
Exemplo Resolvido 4.2.3. Seja a função ( ) 3 4312 3g x x x= − , então, 
determine os pontos críticos e classifique-os em máximo relativo, mínimo 
relativo ou nenhum dos dois. 
 
Solução. Inicialmente, encontram-se os pontos críticos. A função pode ser 
escrita da forma: 
( ) 1 3 4 312 3g x x x= − 
cuja derivada é dada por: 
( ) ( )2 3 1 3 2 3
4 1
' 4 4
x
g x x x
x
− −= − = 
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190
A função g apresenta dois pontos críticos; em 1x= , um ponto 
crítico estacionário, pois ( )' 1 0g = , e em 0x= , um ponto crítico de não 
diferenciabilidade, pois ( )' 0g∃ . 
A distribuição de sinal da função 'g é dada por: 
 
Como o sinal de 'g muda de positivo para negativo em 1x= , então 
g apresenta máximo relativo em neste ponto, dado por ( )1 9g = . Em 0x= 
como o sinal de 'g não muda, então não há extremos relativo neste ponto. 
 
 
Figura 4.7 
 
Se a função apresenta um mínimo relativo em um ponto crítico 
estacionário 0x , então o gráfico da função é convexo, como mostrado na figura 
4.7 (a), então, pode-se concluir que em um intervalo aberto contendo 0x , tem-
se ( )'' 0f x < e conseqüente ( )0'' 0f x < . 
 
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191
Analogamente, se a função apresenta um máximo relativo em um 
ponto crítico estacionário 0x , então o gráfico da função é côncavo, como 
mostrado na figura 4.7 (b), então, pode-se concluir que em um intervalo aberto 
contendo 0x , tem-se ( )'' 0f x > e conseqüente ( )0'' 0f x > . 
Da análise da figura 4.7 pode-se concluir que para determinar se um 
ponto crítico estacionário é um extremo relativo, basta analisar o sinal da 
derivada segunda neste ponto, como mostra o teorema 4.2.2. 
 
Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Segunda). Suponha que f seja duas 
vezes diferenciável em um ponto crítico estacionário 0x . 
(a) Se ( )0'' 0f x > , então f tem em 0x um mínimo relativo. 
(b) Se ( )0'' 0f x < , então f tem em 0x um máximo relativo. 
(c) Se ( )0'' 0f x = , então o teste é inconclusivo. 
 
O que o teorema 4.2.2 parte (c) afirma é que se ( )0'' 0f x = , então, o 
ponto 0x pode ser um máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. 
Se ocorrer este caso deve-se, então, utilizar o teorema 4.2.1 para determinar 
se o ponto é ou não um extremo relativo. 
 
Exemplo Resolvido 4.2.4. Seja a função ( )
22 xh x x e−= , então, encontre os 
pontos críticos e classifique-os. 
Solução. A função derivada primeira é dada por: 
( ) ( ) 23' 2 2 xh x x x e−= − 
Resolvendo a equação 
( ) ( ) 22' 2 1 0xh x x x e−= − = 
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192
obtem-se as seguintes soluções: 1 1x =− , 2 0x = e 3 1x = , que são os pontos 
críticos da função h . 
A função derivada segunda é dada por: 
( ) ( ) 24 2'' 4 12 2 xh x x x e−= − + 
Aplicando o teste da derivada, 
i) para 1x=− , tem-se ( ) 6'' 1 0h
e
− =− < . Daí pode-se concluir que h tem um 
máximo relativo em 1x=− , dado por ( ) 11h
e
− = . 
ii) para 0x= , tem-se ( )'' 0 2 0h = > . Daí pode-se concluir que h tem um mínimo 
relativo em 0x= , dado por ( )0 0h = . 
iii) para 1x= , tem-se ( ) 6'' 1 0h
e
=− < . Daí pode-se concluir que h tem um 
máximo relativo em 1x= , dado por ( ) 11h
e
= . 
 
Exemplo Resolvido 4.2.5. Encontre os extremos relativos para a função 
:g R R→ dada por ( ) 4 21 1 1
4 2 4
g x x x= − + . 
 
Solução. A derivada primeira é dada por: 
( ) 3'g x x x= − 
Resolvendo a equação: 
( ) 3' 0g x x x= − = 
obtem-se a seguintes soluções: 1 1x =− , 2 0x = e 3 1x = , que são os pontos 
críticos da função g . 
 
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193
A derivada segunda é dada por: 
( ) 2'' 3 1g x x= − 
Agora, aplica-se o teste da derivada segunda nos pontos críticos, 
i) para 1x=− , tem-se ( )'' 1 2 0g − = > . Daí pode-se concluir que g tem um 
mínimo relativo em 1x=− , dado por ( )1 0g − = . 
ii) para 0x= , tem-se ( )'' 0 1 0g =− < . Daí pode-se concluir que g tem um 
máximo relativo em 0x= , dado por ( )0 0g = . 
iii) para 1x= , tem-se ( )'' 1 2 0g = > . Daí pode-se concluir que g tem um mínimo 
relativo em 1x= , dado por ( )1 0g = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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194
4.3 Extremos absolutos e gráficos 
 
Definição 4.3.1. Diz-se que uma função f tem um máximo absoluto em 0x 
de um intervalo I , se ( )0f x for o maior valor de f em I ; isto é, 
( ) ( )0f x f x≥ para todo x em I . Analogamente, se diz que uma função f tem 
um mínimo absoluto em 0x de um intervalo I , se ( )0f x for o menor valor de 
f em I ; isto é, ( ) ( )0f x f x≤ para todo x em I . Se f tiver em 0x qualquer 
um dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto, diz-se que f tem em 
0x I∈ um extremo absoluto. 
 
Teorema 4.3.1 (Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass). 
Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito [ ],a b , então f 
tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em [ ],a b . 
 
Exemplo Resolvido 4.3.1. Seja a função [ ]: 1,3f R→ dada por ( ) 3 4f x x= − , 
então, determine os extremos absolutos. 
 
Solução. A função é polinomial, então, ela obedece às hipóteses do teorema 
4.3.1. Daí pode-se concluir que há um máximo e um mínimo absolutos em 
[ ]1,3 . 
A função f é estritamente crescente, pois, ( ) 2' 3 0f x x= ≥ . Logo, os 
extremos absolutos devem ocorrer nos extremos do intervalo [ ]1,3 . Então, 
calculando as imagens dos extremos tem-se: 
( )1 3f =− 
e 
( )3 23f = 
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195
Daí pode-se concluir que f assume um mínimo absoluto em 1x= , 
dado por ( )1 3f =− , e assume um máximo absoluto em 1x= , dado 
por ( )3 23f = . 
Pode-se confirmar este resultado através do gráfico da função 
apresentado na figura 4.8. Isto é para este domínio fechado [ ]1,3 , a imagem é 
o intervalo fechado [ ]3,23− . 
 
 
Figura 4.8 
 
Teorema 4.3.2. Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto ( ),a b , 
então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de f . 
 
Exemplo Resolvido 4.3.2. Encontre os extremos absolutos da função 
( ) 3 23 1g x x x= − + no intervalo [ ]2,5− . 
 
Solução. Inicialmente deve-se verificar se neste intervalo há extremos relativos. 
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196
( ) 2' 3 6g x x x= − 
Resolvendo 
 23 6 0x x− = 
obtém-se os pontos críticos, 0x= e 2x= . 
Agora se estuda o sinal da função 'g para classificar os pontos 
críticos. 
 
Então, pode-se concluir que a função g assume um valor máximo 
relativo em 0x= e um valor mínimo relativo em 2x= . Agora como a função é 
crescente em [ ] [ ]2,0 2,5− ∪ e decrescente em [ ]0,2 , determinam-se as 
imagens dos extremos do intervalo, além dos pontos críticos. 
Tem-se que ( )2 19g − =− , ( )0 1g = , ( )2 3g =− e ( )5 51g = . 
Analisando as imagens dos pontos, pode-se concluir que o máximo absoluto 
ocorre em 5x= e é dado por ( )5 51g = e o mínimo absoluto ocorre em 2x =− 
e é dado por ( )2 19g − =− . 
 
Teorema 4.3.3. Seja f uma função contínua em ( ),−∞ +∞ . 
(a) Se ( )lim
x
f x
→−∞
=+∞ e ( )lim
x
f x
→+∞
=+∞ , então f tem um mínimo absoluto, 
porém nenhum máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . 
(b) Se ( )lim
x
f x
→−∞
=−∞ e ( )lim
x
f x
→+∞
=−∞ , então f tem um máximo absoluto, 
porém nenhum mínimo absoluto em ( ),−∞ +∞ . 
(c) Se ( )lim
x
f x
→−∞
=−∞ e ( )lim
x
f x
→+∞
=+∞ , então f não tem nem mínimo 
absoluto, nem máximo absoluto em ( ),−∞+∞ . 
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197
(d) Se ( )lim
x
f x
→−∞
=+∞ e ( )lim
x
f x
→+∞
=−∞ , então f não tem nem mínimo 
absoluto, nem máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . 
 
 
Figura 4.9 
 
 
Figura 4.10 
 
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198
Exemplo Resolvido 4.3.3. Prove que a função ( ) 2 41 1
2 4
h x x x= − possui 
máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . Onde ocorre esse máximo? 
 
Solução. Para verifica se a função apresenta extremos absolutos, basta 
determinarem os limites infinitos, isto é: 
( ) 2 41 1lim lim
2 4x x
h x x x
→−∞ →−∞
⎛ ⎞= − =−∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
e 
( ) 2 41 1lim lim
2 4x x
h x x x
→+∞ →+∞
⎛ ⎞= − =−∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Logo, como ( )lim
x
h x
→−∞
=−∞ e ( )lim
x
h x
→+∞
=−∞ , então h apresenta 
um máximo absoluto em ( ),−∞ +∞ . Este máximo absoluto precisa ocorrer em 
um ponto crítico de h . 
Os pontos críticos são determinados pelos zeros da função derivada, 
isto é: 
( ) 3' 0h x x x= − = 
obtendo 1x=− , 0x= e 1x= , como pontos críticos. 
A derivada segunda é dada por: 
( ) 2'' 1 3h x x= − 
então, aplicando o teste da 2ª derivada, tem-se: 
i) para 1x=− tem-se ( )'' 1 2 0h − =− < , então, ocorre um máximo relativo em 
1x=− dado por ( ) 11
4
h − = . 
ii) para 0x= tem-se ( )'' 0 1 0h = > , então, ocorre um mínimo relativo em 0x= 
dado por ( )0 0h = . 
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199
iii) para 1x = tem-se ( )'' 1 2 0h =− < , então, ocorre um máximo relativo em 1x= 
dado por ( ) 11
4
h = . 
Daí pode-se concluir que o valor máximo que a função assume é 
1
4
 
e ocorre nos pontos onde 1x=− e 1x= . 
 
Teorema 4.3.4. Seja f uma função contínua em um intervalo aberto ( ),a b . 
(a) Se ( )lim
x a
f x
+→
=+∞ e ( )lim
x b
f x
−→
=+∞ , então f tem um mínimo absoluto, 
porém nenhum máximo absoluto em ( ),a b . 
(b) Se ( )lim
x a
f x
+→
=−∞ e ( )lim
x b
f x
−→
=−∞ , então f tem um máximo absoluto, 
porém nenhum mínimo absoluto em ( ),a b . 
(c) Se ( )lim
x a
f x
+→
=−∞ e ( )lim
x b
f x
−→
=+∞ , então f não tem nem mínimo 
absoluto, nem máximo absoluto em ( ),a b . 
(d) Se ( )lim
x a
f x
+→
=+∞ e ( )lim
x b
f x
−→
=−∞ , então f não tem nem mínimo 
absoluto, nem máximo absoluto em ( ),a b . 
 
Nas figuras 4.11 e 4.12 pode-se ver claramente as quatro situações 
apresentadas no teorema 4.3.4. Nestes quatro casos as retas x a= e x b= são 
as assíntotas verticais do gráfico da função ( )y f x= . 
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200
 
Figura 4.11 
 
 
Figura 4.12 
 
 
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201
Teorema 4.3.5. Suponha f contínua e tem exatamente um extremo relativo 
em um intervalo I , digamos em 0x . 
(a) Se f tiver um mínimo relativo em 0x , então ( )0f x é o mínimo absoluto de 
f em I . 
(b) Se f tiver um máximo relativo em 0x , então ( )0f x é o máximo absoluto 
de f em I . 
 
Para se esboçar o gráfico de uma função devem-se seguir os 
seguintes passos listados abaixo: 
1) Determinar o domínio da função; 
2) Intervalos de crescimento e decrescimento; 
3) Intervalos de concavidade e convexidade; 
4) Pontos críticos e de inflexão; 
5) Extremos relativos; 
6) Limites infinitos e assíntotas verticais; 
7) Limites no infinito e assíntotas horizontais; 
8) Fazer um esboço do gráfico. 
 
Exemplo Resolvido 4.3.4. Seja :F R R→ dada por ( ) 3 23 9 6F x x x x= − − + , 
então, esboce o seu gráfico. 
 
Solução. O domínio da função é dado por: ( )D F R= . Em seguida determinam-
se determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os intervalos 
onde a função seja côncava e convexa. 
As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por: 
( ) 2' 3 6 9F x x x= − − 
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202
e 
( )'' 6 6F x x= − 
Os sinais das derivadas, primeira e segunda, são dados, 
respectivamente, por: 
 
e 
 
Os pontos críticos da função ocorrem em 1x= − e 3x= , enquanto 
que ocorre um ponto de inflexão em 1x= . De acordo com as informações 
dadas pelos sinais das derivadas, primeira e segunda, pode-se construir a 
tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1 
 
 
 
x ( )F x ( )'F x ( )''F x Conclusão 
1x<− + − F é crescente e côncava 
1x=− 11 0 12− Máximo relativo 
1 1x− < < − − F é decrescente e côncava 
1x= 5− 0 Ponto de inflexão 
1 3x< < − + F é decrescente e convexa 
3x= 21− 0 12 Mínimo relativo 
3x> + + F é crescente e convexa 
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203
Como a função é polinomial não há assíntotas verticais e 
horizontais. Deve-se, no entanto, determinar os limites no infinito. Logo, 
( ) ( )3 2lim lim 3 9 6
x x
F x x x x
→+∞ →+∞
= − − + =+∞ 
e 
( ) ( )3 2lim lim 3 9 6
x x
F x x x x
→−∞ →−∞
= − − + =−∞ 
de onde pode-se concluir que não há nenhum extremo absoluto. 
O gráfico da função é apresentado na figura 4.13. 
 
 
 
Figura 4.13 
 
Exemplo Resolvido 4.3.5. Seja :f R R→ dada por ( )
2
2 1
xf x
x
=
−
, então, 
esboce o seu gráfico. 
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204
Solução. O domínio da função é dado por: ( ) { }/ 1D f x R x= ∈ ≠ ± . Como a 
função é racional, então, inicialmente devem-se determinar os pontos que 
zeram o denominador. Isto significa resolver a equação 2 1 0x − = , que tem 
como soluções 1 1x =− e 2 1x = . Neste caso, estes pontos são dito pontos de 
descontinuidades infinitas. 
As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por: 
( )
( )22
2'
1
xf x
x
−
=
−
 
e 
( )
( )
2
32
6 2''
1
xf x
x
+
=
−
 
Os sinais das derivadas, primeira e segunda, são dados, 
respectivamente, por: 
 
e 
 
 
De onde se pode concluir que a função apresenta apenas um ponto 
crítico, em 0x= , porém não apresenta pontos de inflexão. 
Os limites infinitos ocorrem nas proximidades para 1x=− e 1x= , e 
são dados por: 
( )
2
21 1
lim lim
1x x
xf x
x− −→− →−
= =+∞
−
 e ( )
2
21 1
lim lim
1x x
xf x
x+ +→− →−
= =−∞
−
 
e 
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205
( )
2
21 1
lim lim
1x x
xf x
x− −→ →
= =−∞
−
 e ( )
2
21 1
lim lim
1x x
xf x
x+ +→ →
= =+∞
−
 
onde as retas 1x=− e 1x= são chamadas de assíntotas verticais do gráfico. 
Os limites no infinito são dados por: 
( )
2
2lim lim 11x x
xf x
x→−∞ →−∞
= =
−
 
e 
( )
2
2lim lim 11x x
xf x
x→+∞ →+∞
= =
−
 
de onde pode-se concluir que a reta 1y= é a assíntota horizontal do gráfico. 
De acordo com as informações dadas pelas derivadas, primeira e 
segunda, pode-se construir a tabela 4.2. 
 
 
 
Tabela 4.2 
 
 
 
 
x ( )f x ( )'f x ( )''f x Conclusão 
1x<− + + f é crescente e convexa 
1x=− ∃ ∃ ∃ Descontinuidade infinita 
1 0x− < < + − f é crescente e côncava 
0x= 0 0 2− Máximo relativo 
1 3x< < − − f é decrescente e côncava 
1x= ∃ ∃ ∃ Descontinuidade infinita 
3x> _ + f é decrescente e convexa 
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206
O gráfico é, então, apresentado na figura 4.14. 
 
 
Figura 4.14 
Exemplo Resolvido 4.3.6. Esboce o gráfico da função ( ) xg x xe= . 
 
Solução. A função é um produto entre as funções x e xe , que são definidas em 
toda parte, logo, pode-se concluir que o domínio da função é dada por: 
( )D g R= . 
As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por: 
( ) ( )' 1 xg x x e= + 
e 
( ) ( )'' 2 xg x x e= + 
Os sinais das derivadas, primeira e segunda, são dados, 
respectivamente, por: 
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207
 
e 
 
 
A função apresenta um ponto crítico em 1x= − e apresenta um 
ponto de inflexão em 2x=− . De acordo com as informações dadas pelos 
sinais das derivadas, primeira e segunda, pode-se construir a tabela 4.3. 
 
 
Tabela 4.3 
 
A funçãoé um produto entre uma função polinomial e uma função 
exponencial, logo não há assíntotas verticais. Em seguida devem-se 
determinar os limites no infinito, 
( )lim lim lim limx x
x x x x
g x xe x e
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+∞ +∞
⎛ ⎞⎛ ⎞= = =+∞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠1424314243
 
e 
( )
0
lim lim lim limx x
x x x x
g x xe x e
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
−∞
⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠1424314243
 
x ( )g x ( )'g x ( )''g x Conclusão 
1x<− − − g é decrescente e côncava 
2x=− 22 e− 0 Ponto de inflexão 
2 1x− < <− − + f é decrescente e convexa 
1x=− 1 e− 0 1 e Mínimo relativo 
1x >− + + f é crescente e convexa 
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208
neste caso deve-se escrever este limite da forma indeterminada ∞ ∞ : 
[ ] 1lim lim lim lim 0xx xx x x xx
d xx dx ede ee
dx
− −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞−
= = =− =
−⎡ ⎤
⎣ ⎦
 
Neste caso, tem-se que a reta 0y= é uma assíntota horizontal do 
gráfico da função. Em seguida tem-se o gráfico da função apresentado na 
figura 4.15. 
 
 
Figura 4.15 
 
Ao analisar o gráfico apresentado na figura 4.15 pode-se chegar a 
conclusão que a função apresenta um valor mínimo absoluto de 
1
e
− que ocorre 
em 1x=− . 
 
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209
Teorema 4.3.6 (Teorema de Rolle). Seja f diferenciável em ( ),a b e contínua 
em [ ],a b . Se ( ) ( )f a f b= , então há pelo menos um ponto c em ( ),a b , tal que 
( )' 0f c = . 
 
Figura 4.16 
 
Este teorema afirma que se o gráfico de uma função cruza qualquer 
reta horizontal em dois pontos, a e b , então necessariamente deve existir 
entre eles pelo menos um ponto no qual a reta tangente é horizontal, como 
mostrado na figura 4.16. 
 
Teorema 4.3.7 (Teorema do Valor Médio). Seja f diferenciável em ( ),a b e 
contínua em [ ],a b , então existe pelo menos um ponto c em ( ),a b , tal que: 
( ) ( ) ( )' f b f af c
b a
−
=
−
 (4.1) 
 
 
 
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210
O teorema do valor médio afirma, geometricamente, que se uma 
função f for contínua em [ ],a b e diferenciável em ( ),a b , então existe pelo 
menos um c em ( ),a b tal que a reta tangente à curva ( )y f x= em x c= é 
paralela à reta secante que passa pelos pontos ( )( ),a f a e ( )( ),b f b , como 
mostra a figura 4.17. 
. 
 
Figura 4.17 
 
De acordo com a figura 4.17 a reta t é paralela à reta s, logo tem a 
mesma inclinação, isto é t sm m= . Como ( )'tm f c= e 
( ) ( )
s
f b f a
m
b a
−
=
−
, então, 
pode-se chegar à conclusão que ( ) ( ) ( )' f b f af c
b a
−
=
−
. 
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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211
4.4 Problemas de Otimização 
 
 Os métodos estudados nos tópicos 4.1, 4.2 e 4.3 para encontrar 
valores extremos têm muitas aplicações práticas em várias áreas do dia-a-dia. 
Um empresário quer minimizar os custos e maximizar os lucros. Um dono de 
uma transportadora quer minimizar o tempo de transporte de um produto. O 
princípio de Fermat na óptica estabelece que um feixe de luz segue o caminho 
que leva o menor tempo. Nesta seção resolvem-se os problemas tais como 
maximizar as áreas, os volumes e os lucros e minimizar as distâncias, o tempo 
e os custos. 
Nestes problemas práticos, tem-se como maior desafio a conversão 
do problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo uma 
função que deve ser maximizada ou minimizada. 
Os problemas aplicados de otimização incidem nas seguintes 
categorias: 
1) Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função 
contínua, em um intervalo finito fechado. 
2) Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função 
contínua, em um intervalo infinito ou finito, mas não fechado. 
O Teorema do Valor Extremo (Teorema 4.3.1) garante que o 
problema do tipo 1 tem solução e esta solução pode ser obtida através da 
análise dos valores da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo. 
Por outro lado os problemas do tipo 2 podem ou não ter solução. Logo parte do 
trabalho em problemas de otimização é determinar se, realmente, estes 
problemas têm solução. Se a função for contínua e tiver exatamente um 
extremo relativo no intervalo, então o Teorema 4.3.5 garante a existência de 
uma solução e fornece um método para calculá-la. 
 
Exemplo Resolvido 4.4.1. Ache as dimensões de um retângulo de perímetro 
de 1000 m , cuja área é a maior possível. 
 
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212
Solução. Sejam: 
x = comprimento do retângulo (m) 
y = largura do retângulo (m) 
A = área do retângulo (m2) 
como mostrado na figura 4.18. 
 
 
Figura 4.18 
 
Então: 
( ),A x y xy= 
Como o perímetro do retângulo é 1000 m , as variáveis x e y estão 
relacionadas pela equação: 
2 2 1000x y+ = 
ou 
500y x= − 
Logo a função área pode ser escrita em função apenas da variável 
x , da seguinte forma: 
( ) ( ) 2500 500A x x x x x= − = − 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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213
Devido ao fato de x representar um comprimento, este não pode ser 
negativo e como os dois lados de comprimento x não podem ter um 
comprimento que ultrapasse o perímetro de 1000 m , então a variável x está 
restrita ao intervalo: 
0 500x≤ ≤ 
Como ( )A x é uma função contínua em [ ]0,500 , então, o máximo 
ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário. 
500 2dA x
dx
= − 
Equacionando-se 0dA
dx
= , obtem-se: 
500 2 0x− = 
ou 
250x= 
que é um ponto crítico estacionário. 
Para analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da 
derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada. A 
distribuição de sinais de 
dA
dx
 é dada por: 
 
de onde pode-se concluir que 250x= é um máximo relativo e 
consequentemente um máximo absoluto. 
Se 250x= implica que 250y= . Então, o retângulo de perímetro 
1000 m com maior área é um quadrado de lado 250 m . 
 
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214
Exemplo Resolvido 4.4.2. Encontre dois números positivos cuja soma seja 60 
e o produto entre o quadrado do primeiro com o segundo seja o máximo 
possível. 
 
Solução. Sejam dois números positivos x e y cuja soma é 60 , então: 
60x y+ = 
O produto do quadrado do primeiro, x , com o segundo, y , pode ser 
escrito como uma função: 
( ) 2,P x y x y= 
 As variáveis x e y se relacionam da seguinte forma: 
60y x= − 
Daí a função P pode ser escrita em função apenas da variável x , 
( ) ( )2 2 360 60P x x x x x= − = − 
Devido ao fato de x representar um número real positivo, este não 
pode ser negativo e a soma entre eles não pode ultrapassar 60 , logo a variável 
x está restrita ao intervalo: 
0 60x≤ ≤ 
Como ( )P x é uma função contínua em [ ]0,60 , então, o máximo 
ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário. 
2120 3dP x x
dx
= − 
Equacionando-se 0dP
dx
= , obtem-se: 
2120 3 0x x− = 
ou 
1 0x = e 2 40x = 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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215
que são os pontos críticos da função. 
Para analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da 
derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada. A 
distribuição de sinais de 
dP
dx
 é dada por: 
 
de onde pode-se concluir que 40x= é um máximo relativo e 
consequentemente um máximo absoluto. 
Então os números reais cujo produto entre o quadrado de um com 
outro são dados por: 40x= e 20y= . 
 
Exemplo Resolvido 4.4.3. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de 
óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fabricar a 
lata. 
 
Solução. Sejam: 
r = raio da base e da tampa do cilindro (cm) 
h = altura do cilindro (cm) 
como mostrado na figura 4.19. 
Então, a área da superfície é dada por: 
( ) 2, 2 2SA r h r rhπ π= + 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues216
 
Figura 4.19 
 
Como o volume do cilindro é 1 litro, que é igual a 31000 cm , as 
variáveis r e h estão relacionadas pela equação: 
2 1000r hπ = 
ou 
2
1000h
rπ
= 
Daí a função área de superfície pode ser escrita em função apenas 
da variável r , da seguinte forma: 
( ) 2 22
1000 20002 2 2SA r r r r rr
π π π
π
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Devido ao fato de r representar a medida do raio, este não pode ser 
negativo e nem zero, então, tem-se: 
0r > 
Como ( )SA r é uma função contínua para 0r > , então, o mínimo 
ocorre em um ponto estacionário. Daí, 
( )
3
2 2
2000 4 20004SdA rr r
dr r r
ππ −= − = 
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217
Equacionando-se 0SdA
dr
= , obtem-se: 
2
20004 0r
r
π − = 
ou 
3 500r
π
= 
que é um ponto crítico estacionário. 
Para se analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da 
derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada. A 
distribuição se sinais de S
dA
dr
 é dada por: 
 
de onde pode-se concluir que 3
500r
π
= é um mínimo relativo e 
consequentemente um mínimo absoluto. 
Se 3
500r
π
= implica que 3
5002 2h r
π
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Então, o cilindro que 
minimizara a área superficial tem raio da base e da tampa igual a 3
500
π
 e uma 
altura igual a 3
5002
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Exemplo resolvido 4.4.4. Ache um ponto na curva 2y x= o qual esteja mais 
próximo do ponto ( )0,18 . 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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218
Solução. A distância L entre ( )0,18 e um ponto ( ),x y arbitrário na curva 
2y x= , como mostrado na figura 4.20, é dada por: 
( ) ( )2 20 18L x y= − + − 
Como ( ),x y está na curva, x e y satisfazem 2y x= , assim, 
( )24 18L y y= + − 
Não há restrições para y , logo este exemplo se reduz a encontrar 
um valor de y em ( ),−∞ +∞ para o qual a distância L seja mínima, desde que 
este valor exista. 
 
 
Figura 4.20 
 
Para problemas de distância L tem-se que o seu máximo ou mínimo 
ocorre no mesmo ponto em que ocorre no seu quadrado 2L . Logo o valor 
mínimo de L e o valor mínimo de: 
( )22 4 18P L y y= = + − 
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219
ocorrem no mesmo valor de y . 
A função ( )24 18P y y= + − é contínua para todo y real, logo o 
mínimo absoluto deve ocorrer em um ponto crítico estacionário. 
( )3 34 2 18 4 2 36dP y y y y
dy
= + − = + − 
Equacionando-se 0dP
dy
= tem-se: 
34 2 36 0y y+ − = 
ou de uma forma equivalente 
32 18 0y y+ − = 
A expressão acima pode ser escrita como: 
( )( )22 2 4 9 0y y y− + + = 
 e como as soluções da equação 
22 4 9 0y y+ + = 
são números complexos, então, a única solução real é 2y= . Deste modo 
2y= é um ponto crítico da função P . 
Em termos de simplificação deve-se usar o teste da derivada 
segunda para verificar a natureza deste ponto crítico. A derivada segunda é 
dada por: 
2
2
2 12 2
d P y
dy
= + 
daí, 
( ) ( )
2
2
2 2 12 2 2 50 0
d P
dy
= + = > 
o que mostra que em 2y= ocorre um mínimo relativo para P e 
consequentemente para L . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
220
Como só ocorre um extremo relativo em ( ),−∞ +∞ , então pelo 
teorema 4.3.5, este mínimo relativo é um mínimo absoluto de L . 
Deste modo pode-se afirma que o ponto sobre a curva 2y x= mais 
próximo de ( )0,18 é o ponto( ) ( ), 4,2x y = . 
 
Exemplo Resolvido 4.4.5. Mostre que o quadrado tem a maior área dentre 
todos os retângulos inscritos numa dada circunferência 2 2 2x y r+ = . 
 
Solução. Seja (ver figura 4.21) 
2x = comprimento do retângulo inscrito na circunferência 
2y = largura do retângulo inscrito na circunferência 
então a área é dada por: 
( ) ( )( ), 2 2 4A x y x y xy= = 
 
Figura 4.21 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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221
As variáveis x e y relacionam-se da seguinte forma: 
2 2 2x y r+ = 
ou 
2 2y r x=± − 
Em termos de simplificação considera-se 0x> e 0y> , logo, 
2 2y r x= − 
e a área do retângulo pode ser escrita como: 
( ) 2 24A x x r x= − 
onde 0 x r< ≤ . 
Tem-se: 
2 2 2
2 2
2 2 2 2
4 4 84dA x r xr x
dx r x r x
−
= − − =
− −
 
Equacionando-se 0dA
dx
= , obtém-se: 
2 2
2 2
4 8 0r x
r x
−
=
−
 
ou 
2 24 8 0r x− = 
cujas soluções são dadas por: 1
2
2
x r=− e 2
2
2
x r= . 
Como 0x> , descarta-se a solução negativa, então se considera 
apenas o ponto crítico 2
2
2
x r= . 
Para se analisar a natureza deste ponto crítico aplica-se o teste da 
derivada primeira, onde é necessário se estudar o sinal desta derivada. 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
222
A distribuição de sinais de 
dA
dx
 é dada por: 
 
de onde pode-se concluir que 
2
2
x r= é um máximo relativo e 
consequentemente um máximo absoluto. 
Se 
2
2
x r= então: 
2 2 2
2 22 2 2
2 2 2 22 2
r r ry r r r r
⎛ ⎞
= − = − = = ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
de onde pode-se concluir que o retângulo com maior área inscrito na 
circunferência é um quadrado. 
 
Estes problemas de otimização também podem ser aplicados na 
economia ou na indústria. Neste caso as três funções de importância são: 
• ( )C x = função custo, isto é, o custo total da produção de x unidades 
de um produto, durante certo período de tempo; 
• ( )R x = função rendimento, isto é, o rendimento total da venda de x 
unidades de um produto, durante certo período de tempo; 
• ( )L x = função lucro, isto é, o lucro total na venda de x unidades de 
um produto, durante certo período de tempo. 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
223
Tem-se que se todas as unidades produzidas forem vendidas, então, 
estas funções relacionam-se da seguinte forma: 
 ( ) ( ) ( )L x R x C x= − (4.1)
isto é, o lucro é igual ao rendimento menos o custo. 
A função custo ( )C x da produção de x unidades de um produto 
pode ser expresso como uma soma: 
( ) ( )C x a M x= + (4.2)
onde é a uma constante chamada de despesas gerais e a função ( )M x é 
chamada de custo de manufatura. 
As despesas gerais, como aluguel e seguro, não dependem de x e 
mesmo que não haja produção devem ser pagas. Porém, o custo de 
manufatura, como o custo da matéria prima e o custo do trabalho, depende da 
quantidade de artigos manufaturados. Através de hipóteses simplificadoras 
pode-se escrever ( )M x como: 
( ) 2M x bx cx= + (4.3)
onde b e c são constante. Substituindo a equação 4.3 na equação 4.2 obtém-
se: 
( ) 2C x a bx cx= + + (4.4)
Se uma fábrica conseguir vender toda a sua produção a p unidades 
monetárias cada, então, a função rendimento ( )R x pode ser escrita como: 
( )R x px= (4.5)
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
224
Substituindo as equações 4.4 e 4.5 na equação 4.1, então, pode-se 
escrever a função lucro ( )L x da seguinte forma: 
( ) ( )2L x px a bx cx= − + + (4.5)
A variável x na equação 4.5, dependendo de alguns fatores tais 
como a quantidade de empregados, maquinário disponível, condições 
econômicas e competição, irá satisfazer: 
0 x φ≤ ≤ (4.5)
onde φ é uma limitação superior sobre a quantidade de artigos que um 
fabricante é capaz de produzir e vender. 
 
Exemplo Resolvido 4.4.6. Um produto farmacêutico é fabricado por uma firma 
farmacêutica e vendido a um preço de $100,00R a unidade. O custo total para 
a produção de x unidades é de: 
( ) 2100.000 40 0,0025C x x x= + + 
e a produção máxima for de 40.000 unidades durante um período de tempo 
especificado. Quantas unidades devem ser fabricadas e vendidas neste 
período de tempo para se obter o lucro máximo? 
 
Solução. Como o rendimento total na venda de x unidades é ( ) 100R x x= , 
então, o lucro ( )L x sobre x unidades será: 
( ) ( ) ( ) ( )2100 100.000 40 0,0025L x R x C x x x x= − = − + + 
( ) 2100.000 60 0,0025L x x x=− + − 
Como a produção máxima é de 40.000 unidades, x deve estar no 
intervalo[ ]0,40.000 . 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
225
Como ( )A x é uma função contínua em [ ]0,40.000 , então, o máximo 
ocorre ou nos extremos deste intervalo ou em um ponto crítico estacionário. 
Daí tem-se: 
60 0,005dL x
dx
= − 
Equacionando-se 0dL
dx
= , obtém-se: 
60 0,005 0x− = 
ou 
24.000x= 
que é um ponto crítico estacionário da função ( )L x . 
Para analisar a natureza deste ponto crítico pode-se usar o teste da 
derivada primeira através do sinal desta derivada. O sinal de 
dL
dx
 é dado por: 
 
de onde pode-se concluir que em 24.000x= ocorre um máximo relativo, e é 
também um máximo absoluto. 
Então, para a firma obter um lucro máximo deve ser produzida e 
vendida 24.000 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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226
Exercícios Propostos (Capítulo 4) 
 
01) A função ( )2 6y x x= − é crescente no intervalo: 
a) ( )0,4 b) ( ) ( ),0 2,−∞ ∪ +∞ c) ( )0,2 
d) ( ) ( ),0 4,−∞ ∪ +∞ e) ( )2,4 
02) A função real de variável real definida por 3 22 9 24 6y x x x= + − + é 
decrescente em: 
a) 0x> b) 1 4x− < < c) 4 1x− < < 
d) 4x<− e) 1x> 
03) A função ( ) 4 21 2 7
4
f x x x= − + é decrescente no intervalo: 
a) ( ) ( ), 2 0,2−∞ − ∪ b) ( ) ( )2,0 2,− ∪ +∞ c) ( ),−∞ +∞ 
d) ( ) ( ),0 2,−∞ ∪ +∞ e) ( )2,2− 
04) A função 2 xy x e−= é crescente no intervalo: 
a) ( )2,− +∞ b) ( ),0−∞ c) ( )0,2 
d) ( )2,0− e) ( )2,+∞ 
05) Seja a função ( ) 4 21 1 3 7
12 6 2
g x x x x= − + + , então, g é convexa no 
intervalo: 
a) ( )0,1 b) ( )1,+∞ c) ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪ 
d) ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ +∞ e) ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
Prof. Marcus V. S. Rodrigues 
227
06) Seja a função ( ) 2 1
xf x
x
=
+
, então, o intervalo em que a função é convexa 
é dado por: 
a) ( )3, 3− b) ( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ c) ( ) ( ), 3 0, 3−∞ − ∪ 
d) ( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ e) ( ) ( ), 3 3,−∞ − ∪ +∞ 
07) A abscissa do ponto de máximo relativo de ( ) 3 23 9 2f x x x x= − − + é: 
a) 1− b) 3− c) 0 d) 3 e) 1 
08) A função 3 35 2
1 1
5 2
y x x= − tem um mínimo relativo no ponto de abscissa: 
a) 1− b) 2 c) 1 d) 0 e) 2− 
09) A função ( )
22 xP x x e−= apresenta um valor mínimo absoluto no ponto de 
abscissa igual a: 
a) 1− b) 1 c) e d) 0 e) e− 
10) Seja a função ( ) 1f x x
x
= + para 0x> . Qual o valor mínimo que ela 
assume? 
a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3 
11) Qual o valor mínimo da função 
3 3
4
x xe ey
−+
= ? 
a) 1− b) 1
4
 c) 0 d) 3
4
 e) 
1
2
 
12) Qual o número pertencente ao intervalo 
1 3,
2 2
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
 tal que a sua soma com o 
seu recíproco é a menor possível? 
a) 1− b) 1 c) 1
2
 d) 0 e) 3
4
 
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228
13) Se ( ),x y satisfaz a equação 3 4 12x y+ = , então o valor mínimo da 
expressão 2 2x y+ é: 
a) 12 b) 3 c) 4
5
 d) 4 e) 12
5
 
14) Qual é a abscissa do ponto sobre a reta 4 7y x= + que está mais próximo 
da origem? 
a) 
28
17
− b) 
14
17
− c) 
56
17
− 
d) 
7
34
− e) 
15
34
− 
15) Qual é a abscissa do ponto sobre a reta 6 9x y+ = que está mais próximo 
do ponto ( )3,1− ? 
a) 
15
37
 b) 
5
37
 c) 
45
37
 
d) 
35
37
 e) 
1
37
 
16) Um terreno retangular deve ser cercado de duas maneiras distintas. Dois 
lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa $3,00R o metro, 
enquanto que os dois lados restantes recebem uma cerca que custa $2,00R o 
metro. Quais as dimensões do terreno com área máxima que pode ser cercada 
com $6.000,00R . 
a) 500 500m m× b) 250 750m m× c) 500 250m m× 
d) 750 750m m× e) 500 750m m× 
 
 
Curso de Cálculo I – Capítulo 4 
 
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229
17) O recipiente com a forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter 
um volume de 32.000 cm . O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos 
lados. As dimensões que minimizarão o custo são dadas por: 
a) 5 5 80cm cm cm× × b) 20 20 5cm cm cm× × c) 10 10 20cm cm cm× × 
d) 4 4 125m m m× × e) 8 8 31,25m m m× × 
18) Se 21.200 cm de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com 
uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. 
a) 31.000 cm b) 35.000 cm c) 310.000 cm 
d) 34.000 cm e) 32.000 cm 
19) Uma indústria química vende certo tipo de ácido a granel a um preço de 
$100,00R por unidade. O custo de produção em reais para x unidades é dado 
por ( ) 2100.000 50 0,001C x x x= + + . Quantas unidades deste ácido devem ser 
produzidas e vendidas para se obter o lucro máximo? 
a) 20.000 b) 25.000 c) 30.000 
d) 35.000 e) 40.000 
 20) Em uma firma tem-se que x unidades de seu produto são vendidas 
diariamente a p reais a unidade, onde 1.000x p= − . Sabendo que o custo 
total de produção é ( ) 3.000 20C x x= + , então, qual é o preço unitário a ser 
cobrado para obter o lucro máximo? 
a) $490,00R b) $1.000,00R c) $510,00R 
d) $500,00R e) $700,00R 
 
 
 
 
 
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230
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Exercícios Propostos (Capítulo 1) 
01) a 02) d 03) e 04) a 05) b 
06) b 07) d 08) a 09) b 10) d 
11) e 12) c 13) c 14) b 15) d 
16) e 17) a 18) a 19) b 20) c 
 
Exercícios Propostos (Capítulo 2) 
01) b 02) d 03) e 04) c 05) a 
06) b 07) a 08) b 09) e 10) e 
11) b 12) c 13) b 14) d 15) e 
16) e 17) a 18) d 19) c 20) a 
 
Exercícios Propostos (Capítulo 3) 
01) e 02) d 03) c 04) a 05) e 
06) b 07) c 08) a 09) a 10) c 
11) e 12) b 13) a 14) b 15) a 
16) c 17) d 18) d 19) e 20) b 
 
Exercícios Propostos (Capítulo 4) 
01) d 02) c 03) a 04) c 05) e 
06) b 07) a 08) c 09) d 10) b 
11) e 12) b 13) e 14) a 15) c 
16) e 17) c 18) e 19) b 20) c 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, volume 1, Editora Bookman, 
2000. 
[2] DEMIDOVITCH, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 
McGraw-Hill, 1993. 
[3] GUIDORIZZI, H.L., Um curso de cálculo, volume 1, Editora LTC, 2007. 
[4] IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J., Fundamentos de 
matemática elementar, Editora Atual, 2005. 
[5] SALAS, S. L., Calculo, volume 1, L.T.C., 2005. 
[6] STEWART, J., Cálculo, volume 1, Editora Thomson Pioneira, 2005. 
 
 
 
 
 
	Capítulo 1 (Curso de Cálculo I).pdf
	Capítulo 2 (Curso de Cálculo I).pdf
	Capítulo 3 (Curso de Cálculo I).pdf
	Capítulo 4 (Curso de Cálculo I).pdf