exp função logarítmica

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2 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
1. Definição 
 
baxb xa log 
 
 Onde 





logaritmo :
dologaritman :
base :
x
b
a
 
Exercício de Aula 
 
01) Calcule os seguintes logaritmos: 
a) 8log2 
b) 81log3 
c) 5log
5
 
d) 32log
2
1 
2. Condições de existência 
 
Para que o balog exista é necessário que: 





0
1 e 0
b
aa
 
 
Exercício de Aula 
 
02) Determine o domínio das seguintes funções: 
 
a)    3log2  xxf 
b)   10log 5 xxf 
c)    12log 3   xxf x 
 
3. Conseqüências da definição 
 
• 01log a 
• 1log aa 
• nana log 
• ba
ba 
log
 
• cbcb aa  loglog 
 
Exercício de Aula 
 
03) Calcule o valor das seguintes expressões: 
 
a) 
5log.10log 252 
b) 
3log1 22

 
 
4. Propriedades operatórias 
 
•   cbcb aaa loglog.log  
• cb
c
b
aaa logloglog 





 
• bnb a
n
a log.log  
• b
n
b aan log.
1
log  
• 
a
b
b
a
log
1
log  
 
Exercícios de Aula 
 
04) Desenvolva o logaritmo simplificando as operações em 








3
log
c
ba
. 
 
05) Considerando 31,02log  e 48,03log  . Calcule: 
 
a) 6log 
b) 72log 
 
06) Considerando 30,02log  e 48,03log  , resolva as 
seguintes equações exponenciais: 
 
a) 26 1 x 
b) 53 x 
 
5. Mudança de base 
 
Podemos efetuar uma mudança na base do logaritmo da 
seguinte forma: 
 
a
b
b
c
c
a
log
log
log  
 
Exercício de Aula 
 
07) Calcule o valor das expressões: 
 
a) 81log.5log 253 
b) 
289log
17log
81
27 
 
6. Equações logarítmicas 
 
 São equações que envolvem logaritmos. Existem 
dois tipos básicos; aqueles que são resolvidas aplicando-se a 
definição e aquelas que são resolvidas igualando-se as bases 
e, consequentemente, os logaritmandos. 
 Em ambos os casos, devemos verificar se as 
soluções encontradas satisfazem as condições de existência 
do logaritmo em questão. 
 São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando 
ou na base do logaritmo. 
 
 
3 
Exercícios de Aula 
 
08) Resolva as seguintes equações logarítmicas: 
a)    54log32log 33  xx 
b)    xxx 22log103log 51251  
 
8. Inequações logarítmicas 
 
Existem dois casos básicos de inequação logarítmica: 
1º caso) A base a em questão é tal que 1a . 
Assim teremos que: 





2121
2121
loglog
loglog
xxxx
xxxx
aa
aa
 
 Isso se deve ao fato de que, se 1a a função é 
crescente, logo, aumentando o valor de x , também se 
aumenta o valor de xalog ; e diminuindo o valor de x , 
também se diminui o valor de xalog . 
“Se 1a , conservamos o sinal da desigualdade na 
inequação logarítmica.” 
2º caso) A base a em questão é tal que 10  a . Assim 
teremos que: 





2121
2121
loglog
loglog
xxxx
xxxx
aa
aa
 
 Isso se deve ao fato de que, se 10  a a função é 
decrescente, logo, aumentando o valor de x , o valor de 
xalog diminuirá; e diminuindo o valor de x , o valor de 
xalog aumentará. 
“Se 10  a , invertemos o sinal da desigualdade na 
inequação logarítmica.” 
 
Exercício de Aula 
 
09) Resolva as seguintes inequações logarítmicas: 
a)   6log12log 22 x 
b)   5log4log 31231  xx 
 
9. Função logarítmica 
 Existem dois tipos para o gráfico de xy alog : 
 1a  Função crescente 
 
 
 
   *RD f 
   RIm f 
 10  a  Função decrescente 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
01-Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação 
tal que, após t meses, o montante relativo ao capital 
aplicado é dado por M(t) = C 2
0,04 t
, onde C > 0. O menor 
tempo possível para quadruplicar uma certa quantia 
aplicada nesse tipo de aplicação é 
a) 5 meses. 
b) 2 anos e 6 meses. 
c) 4 anos e 2 meses. 
d) 6 anos e 4 meses. 
e) 8 anos e 5 meses. 
 
02-Uma substância que se desintegra ao longo do tempo 
tem sua quantidade existente, após “t” anos, dada por 
1000
t
0 )4,1(M)t(M

 , onde M0 representa a quantidade inicial. 
A porcentagem da quantidade existente após 1000 anos em 
relação à quantidade inicial M0 é, aproximadamente, 
a) 14% 
b) 28% 
c) 40% 
d) 56% 
e) 71% 
 
03-A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita 
pela lei t5,02
8
7
8
1  onde t é o tempo em segundos. No 
mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2
–t
. 
Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tAB. O 
valor de tAB, em segundos, é um divisor de: 
a) 28. 
b) 26. 
c) 24. 
d) 22. 
e) 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
04-Um programa computacional, cada vez que é executado, 
reduz à metade o número de linhas verticais e de linhas 
horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem 
com 2048 linhas verticais e 1024 linhas horizontais sofreu 
uma redução para 256 linhas verticais e 128 linhas 
horizontais. Para que essa redução ocorresse, o programa 
foi executado k vezes. O valor de k é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
05-A função 
kt3200)t(c  , com 1/12 k  , dá o 
crescimento do número C, de bactérias, no instante t em 
horas.O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa 
cultura, 1.800 bactérias, está no intervalo: 
a) [0, 4]. 
b) [4, 12]. 
c) [12, 36]. 
d) [36, 72]. 
e) [72, 108]. 
 
06-No final da década de 1830, o fisiologista francês Jean 
Poiseuille descobriu que o volume V de sangue que corre em 
uma artéria por unidade de tempo, sob pressão constante, é 
igual à quarta potência do raio r da artéria multiplicado por 
uma constante, 4k(r) V  . Para um aumento percentual de 
10% no raio da artéria, o aumento percentual no volume de 
sangue é de 
a) 46,41% 
b) 10,50% 
c) 20,21% 
d) 140% 
e) 44% 
 
07-Após beber um tanto de cachaça um motorista passa a 
ter 4 gramas de álcool por litro de sangue. Se isso ocorrer na 
hora zero, após t horas o motorista terá 4 . (0,5)t gramas de 
álcool por litro de sangue. Nessas condições, a quantidade 
de álcool em seu sangue será 
a) inferior a 0,5 g/L se t  3. 
b) superior a 0,5 g/L se t  5. 
c) igual a 0,25 g/L se t  8. 
d) inferior a 0,25 g/L se t  2. 
e) superior a 0,25 g/L se t  8. 
 
08-Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, 
respectivamente, às funçôes y = a
x
, y = b
x
 e y = c
x
. Então, está 
correto afirmar que: 
I
y
II
III
0 x
 
a) 0 < a < b < c. 
b) 0 < b < c < a. 
c) a < 0 < b < c. 
d) 0 < a < c < b. 
e) a < 0 < c < b. 
 
09-Suponha que, após t dias de observação, a população de 
uma cultura de bactérias é dada pela expressão 
P t Po
t
( ) .
,
 2
0 05
, na qual Po é a população inicial da 
cultura (instante t = 0). Quantos dias serão necessários para 
que a população dessa cultura seja o quádruplo da inicial? 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 60 
 
10-Uma rampa para manobras de “skate” é representada 
pelo esquema: 
1
,0
m
1,0m 1,0m 1,0m
0
,5
m
0
,5
m
x
h(x)
 
Se a parte curva pudesse ser associada a uma função, esta 
função seria: 
a) 3
2
1
h(x)
x






 . 
b) 
2
5
2
1
h(x)
1x








. 
c) 
2x
2
1
)x(h







 
d) 2
2
1
h(x)
1x–






 . 
e) 1
2
1
h(x)
1x–






 . 
 
 
5 
11-Uma empresa acompanha a produção diária de um 
funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(D). , 
cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a 
empresa espera que ele produza em cada dia (D) , a partir da 
data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, 
que representa a função y = e
x
. 
x
y
-2 -1
0,13
0,37
2,72
y=e
x
 
Utilizando f(D) = 100 -100.e
-0,2d
 e o gráfico acima, a empresa 
pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 
peças num mesmo dia, quando d for igual a : 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
 
12-Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que 
o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do 
seguinte modo: R = Ro e
-kt , em que Ro é o risco de infecção 
no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de 
declínio. 
O risco de infecção atualem Salvador foi estimado em 2%. 
Suponha que, com a implantação de um programa nesta 
cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, 
isto é, k = 10%. 
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: 
e
x
 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2 
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne 
igual a 0,2% , é de: 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
 
13-Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa 
região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, 
contado em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) 
= P(0).2
-0,25t
. Sendo P(o) uma constante que representa a 
população inicial dessa região e P(t) a população “t” anos 
após, determine quantos anos se passarão para que essa 
população fique reduzida à quarta parte da que era 
inicialmente. 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
 14-O número de indivíduos de um certo grupo é dado por 







x10
1
10)x(f , sendo x o tempo medido em dias. Desse 
modo, entre o 2º e o 3º dia, o número de indivíduos do 
grupo 
a) aumentará em exatamente 10 unidades. 
b) aumentará em exatamente 90 unidades. 
c) diminuirá em exatamente 9 unidades. 
d) aumentará em exatamente 9 unidades. 
e) diminuirá em exatamente 90 unidades. 
 
15-O valor de certo tipo de automóvel decresce com o 
passar do tempo de acordo com a função   3
t2
2.AtV

 , 
sendo t o tempo medido em anos, V o valor do carro no 
instante t e A o preço inicial do veículo. O tempo necessário 
para que esse automóvel passe a custar 
8
1
 de seu valor 
inicial, em anos, é: 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
 
16-A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades 
de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até 
o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um 
observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t 
– t.2
0,2.t
, com t em segundos, h(t) em metros e 0  t  T . O 
tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água 
durante este salto foi 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 10. 
 
17-O esboço ao lado representa a fachada de uma capela 
projetada por um arquiteto, na qual, as duas curvas 
principais são gráficos de funções exponenciais. 
Considerando, ainda, os dados rabiscados no esboço, pode-
se concluir que a altura “h“ da capela deve valer, 
aproximadamente: 
 
a) 8m. 
b) 11m. 
c) 19m. 
d) 21m. 
e) 27m. 
 
 
 
6 
18-O número N de bactérias de uma cultura é dado, em 
função do tempo t, em horas, por N(t) = 10
5
2
4t
. Supondo 
log2 = 0,3 , o tempo necessário para que o número inicial de 
bactérias fique multiplicado por 100 é: 
a) 2 horas e 2 minutos 
b) 2 horas e 12 minutos 
c) 1 hora e 40 minutos 
d) 1 hora e 15 minutos 
e) 2 horas e 20 minutos 
 
19-Um computador desvaloriza-se exponencialmente em 
função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, 
será 
xkAy  , em que A e k são constantes positivas. Se 
hoje o computador vale R$5 000,00 e valerá a metade desse 
valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: 
a) R$ 625,00 
b) R$ 550,00 
c) R$ 575,00 
d) R$ 600,00 
e) R$ 650,00 
 
20-Um médico, ao tratar uma infecção grave de um 
paciente, necessita administrar doses de um antibiótico. A 
eliminação da droga pelo organismo ocorre segundo uma 
função exponencial. Sabe-se que, após 12 horas, a 
concentração do medicamento no organismo do paciente é 
de 20% da dose administrada, entretanto é necessário 
manter uma concentração mínima de 40% da dose 
administrada inicialmente. Considerando a tabela de 
logaritmos fornecida abaixo, o máximo intervalo de horas, 
após o qual deve ser administrada uma nova dose do 
antibiótico, de modo a manter a concentração da droga em 
um nível sempre superior ou igual a 40% da dose 
administrada, é de aproximadamente 
 
 
 
a) 5 horas e 38 minutos. 
b) 6 horas. 
c) 6 horas e 12 minutos. 
d) 6 horas e 51 minutos. 
e) 7 horas e 25 minutos. 
 
21-Um médico, após estudar o crescimento médio das 
crianças de uma determinada cidade, com idades que 
variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula h = log (100,7 . i ), 
onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). pela 
fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá de altura: 
a) 170 cm 
b) 123 cm 
c) 125 cm 
d) 128 cm 
e) 130 cm 
 
 
 
 
 
 
 
22-Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter 
desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - 
conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar 
a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se 
a energia liberada nesse movimento é representada por E e 
a magnitude medida em grau Richter é representada por M, 
a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela 
seguinte equação logarítmica: 
log
10
E = 1,44 + 1,5 M 
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no 
Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o 
terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, 
que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no 
terremoto do Chile é aproximadamente 
a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos 
EUA. 
b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos 
EUA. 
c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos 
EUA. 
d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos 
EUA. 
 
23-A intensidade dos terremotos é medida por sismógrafos 
que utilizam a Escala Richter. A magnitude M de um 
terremoto é dada pela equação 






referênciaP
PlogM , onde P 
é a potência do terremoto e Preferência é uma potência de 
referência (constante para todos os casos estudados). 
Recentemente, no Oceano Índico, ocorreram maremotos 
que geraram ondas gigantes, afetando vários países da 
região. O mais forte atingiu, aproximadamente, a magnitude 
de 9,0 graus na Escala Richter; um outro, posterior, atingiu 
6,0 na mesma escala. 
Em função do exposto acima, pode-se afirmar que: 
a) A potência atingida pelo primeiro terremoto é 100 vezes 
menor que a potência do segundo terremoto. 
b) A potência atingida pelo segundo terremoto é 10 vezes 
maior que a potência do primeiro terremoto. 
c) A potência atingida pelo primeiro terremoto é 1000 
vezes maior que a potência do segundo terremoto. 
d) A potência atingida pelo segundo terremoto é 1000 
vezes maior que a potência do primeiro terremoto. 
 
24-O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão: 
pH = -log[H
+
], em que [H
+
] indica a concentração, em mol/L, 
de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 
10. 
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador 
verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio 
era [H
+
] = 5,4 . 10
-8
mol/l. 
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores 
aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48, para log 3. 
Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa 
solução foi 
a) 7,26 
 b) 7,32 
c) 7,58 
d) 7,74 
 
 
 
 
7 
25-De acordo com pesquisa feita na última década do século 
XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, 
pela função    491tlog15012tE  , sendo t o ano de 
nascimento da pessoa. Considerando-se 32,32000log  , 
uma pessoa dessa região, que tenha nascido no ano 2000, 
tem expectativa de viver: 
a) 68 anos 
b) 76 anos 
c) 84 anos 
d) 92 anos 
 
26-Uma população de insetos diminui em conseqüência da 
aplicação de um inseticida segundo a função t(10) 300 P(t) 
, em que P(t) é o número de insetos no tempo t, medido em 
semanas, sendo 0 t  o tempo em que o inseticida foi 
aplicado. 
O tempo para que a população atinja 20% do tamanho 
inicial é de, aproximadamente, 
(Dado: log105  0,7) 
a) 15 dias 
b) 1 mês 
c) 5 dias 
d) 1 dia 
e) 20 dias 
 
27-Suponha que, numa colônia de fungos, a massa biológica 
de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), 
seja dada pela expressão 11
t
10
2
)t(m  gramas. 
[Considere que 3,0)2(log10  ] 
De acordo com o ritmo de crescimento populacional 
estabelecido por essa expressão, a massa da população de 
fungos, em 50 horas, é da ordem de 
a) 100g.b) 10g. 
c) 10000g. 
d) 1000g. 
 
28-A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que 
se destina à produção de madeira, evolui, desde que é 
plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 
+ log3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas 
árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de 
altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da 
plantação até o do corte foi de: 
a) 9. 
b) 8. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29-O valor de um automóvel (em unidades monetárias) 
sofre um depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor 
atual de um carro é de 40.000 unidades monetátiras, depois 
de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidades 
monetárias? Use o valor 0,3 para log 2 e o valor 0,48 para 
log 3. 
a) 3 
b) 6 
c) 10 
d) 15 
e) 23 
 
30-Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da 
população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que 
soube do acontecimento t horas após é dado por: 
ktCe1
B)t(f

 
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da 
população soube do acidente 3 horas após então o tempo 
que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi 
de: 
a) 4 horas 
b) 5 horas 
c) 6 horas 
d) 5 horas e 24 min 
e) 5 horas e 30 min 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01-C 07-A 13-B 19-A 25-C 
02-E 08-D 14-D 20-D 26-C 
03-C 09-C 15-D 21-A 27-C 
04-A 10-C 16-E 22-D 28-B 
05-C 11-B 17-C 23-C 29-E 
06-A 12-C 18-C 24-A 30-A