1ª Atividade Sala - Santa Rita - Cálc Vetorial - 24 e 25-10-20 - ALMIRENA FLORITA TETHS LOPES DE SOUZA

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UEMA – PROGRAMA ENSINAR 
POLO: SANTA RITA
DISCIPLINA: Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial
PROF. José de Ribamar R. Siqueira 
ALUNO: ALMIRENA FLORITA TETHS LOPES DE SOUZA
CÓDIGO: 2018125377 
1ª ATIVIDADE SALA ( Data: 24 e 25/10/20)
1ª Questão:
Dados os pontos A( - 1, 2) , B(3, - 1) e C( - 2, 4) , determinar o ponto D de modo que = . Ilustrar graficamente.
Seja D (x, y). Então, 
= D – C = (x, y) – (- 2, 4) = (x + 2, y – 4)
 = B – A = (3, -1) – (- 1, 2) = (4, - 3)
Logo,
(x + 2, y – 4) = (4, -3) 
(x + 2, y – 4) = (2, ) 
Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se
Sistema cuja solução é x = 0 e y = 
Portanto, D (0, ).
2ª Questão:
Achar o vetor determinado pelos pontos A (- 1, - 3) e B (2, - 1). Fazer o desenho do seu representante na origem. Fazer a ilustração gráfica.
Solução
 = B – A
3ª Questão:
Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor = (2, - 5), sabendo que sua origem é o ponto A (- 1, 3). Ilustrar graficamente.
Solução 
Logo, 
(2, - 5) = B – (- 1, 3)
(2, - 5) = (x, y) – (-1, 3)
(2, - 5) = (x + 1, y – 3)
 e 
Portanto, o ponto da extremidade é igual a: B (1, - 2).
4ª Questão:
 Fazer a representação gráfica de um paralelepípedo retangular formado pelos pontos P (x, y, z) do espaço tais que 1 x 3, 3 y 5 e 0 z 4. Quais as coordenadas dos oito vértices desse paralelepípedo ? (Use adequadamente uma régua para fazer a representação gráfica de um paralelepípedo retangular).
Solução
Pontos: 
A (1, 3, 0)
B (3, 3, 0)
C (3, 5, 0)
D (1, 5, 0)
E (1, 3, 4)
F (3, 3, 4)
G (3, 5, 4)
H (1, 5, 4)
5ª Questão:
 Considere os vetores = (1, 2) e = (4, 2). Escrever o vetor = (4, 5) como combinação linear de e . Faça a ilustração gráfica dessa decomposição do vetor = (4, 5).
Solução 
= a11 + a22
(4, 5) = a1 (1, 2) + a2 (4, 2)
(4, 5) = (a1, 2a1) + (4a2, 2a2)
(4, 5) = (a1 + 4a2, 2a1 + 2a2)
 → multiplicamos por (- 2) a primeira equação
Então, 
Substituído b na equação (, encontramos a
2 + 2. = 5
2+ = 5
2 + 1 = 5
2 = 4 = 
Se a combinação linear é = 1 + a22
Então,
 + (4, 2)
6ª Questão:
 Considere os vetores = (1, 2, 3), = (0, 1, 2) e = (0, 0, 1) 
todos do espaço. Resolva os itens:
a) Mostre que estes 3 vetores geram o espaço 
Solução 
= a11 + a22 + a33
a1 (1, 2, 3) + a2 (0, 1, 2) + a3 (0, 0,1)
x = a1 . 1 + a2 . 0 + a3 . 0 x = a1
y = a1 . 2 + a2 . 1 + a3 . 0 y = 2 a1 + a2 
z = a1 . 3 + a2 . 2 + a3 . 1 z = 3 a1 + 2 a2 + a3
I → a1 = x
II → 2 a1 + a2 = y a2 = y – 2x
III → 3a1 + 2 a2 + a3 = z a3 = z – 3a1 – 2 a2
a3 = z – 3x – 2 (y – 2x)
a3 = z – 3x – 2y + 4x
a3 = z + x – 2y
Se = a11 + a22 + a33, então:
x. (1, 2, 3) + (y – 2x). (0, 1, 2) +( z + x – 2y). (0, 0,1)
b) Mostre que estes 3 vetores são L I;
Para que o conjunto seja linearmente independente, temos que ter α1 = α2= α3 = 0. Sendo x, y, z = 0. Então:
a11 + a22 + a33 = (x, y, z)
a1 (1, 2, 3) + a2 (0, 1, 2) + a3 (0, 0,1) = (0, 0, 0)
I → a1 = x a1 = 0
II → a2 = y – 2x a2 = 0 – 2. 0 = 0
III → a3 = z + x – 2y a3 = 0 +0 – 2. 0 = 0
Portanto, esses 3 vetores são linearmente independentes.
c) Com os resultados obtidos em a) e b), conclua que o conjunto
 { , , } constitui uma base par o espaço.
Como demonstrado acima, conclui-se que esses três vetores constituem uma base no espaço, pois a11, a22, a33 são linearmente independentes.
7ª Questão:
 Calcular o ângulo entre os vetores do R2 indicados a seguir, e ilustrar graficamente:	
 = i + j e = i + j 
Solução 
De acordo com a igualdade . = │││, vem
Representação gráfica
Cos = 30°
8ª Questão:
Sabendo que o vetor = (2, 1, - 1) forma um ângulo de 60º com o vetor , onde A (3, 1, - 2) e B (4, 0, m). Calcular o valor de m.
De acordo com a igualdade . = │││, vem
Tem-se 
Como cos60° = e = B – A = (1, -1, m + 2), vem 
6m2 + 24m + 36 = 4 + 8m +4 m2
2m2 + 16m + 32 = 0
m2 + 8m +16 = 0
Logo, m = - 4 (raiz dupla).