Lista 6

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Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Departamento de Ciências Exatas
LCE0212 - Estatística Aplicada às Ciências dos Alimentos
Prof.: Izabela Regina C. de Oliveira
6a Lista de exercícios - Distribuições de probabilidade discretas
1) Considere ninhadas de n = 3 filhotes de coelhos. Construir o espaço amostral considerando
os nascimentos de fêmeas e machos utilizando um diagrama de árvore e considerar os eventos
nascer macho e nascer fêmea como equiprováveis.
a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X;
b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição de probabilidade
construída:
i. nascimento de exatamente duas fêmeas.
ii. nascimento de pelo menos um macho.
iii. nascimento de pelo menos duas fêmeas.
iv. nascimento de no máximo uma fêmea.
c. Encontre a esperança e a variância dessa variável aleatória;
d. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 3 filhotes. Em quantos, em
média, você espera encontrar com exatamente 1 fêmea?
2) Considere nascimentos de n = 4 filhotes de coelhos de um determinada raça. Nesta raça há
um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas
e utilizando a distribuição binomial obter:
a. a distribuição de probabilidade de X;
b. a média e variância da variável aleatória X com distribuição binomial;
c. o número esperado de ninhadas em uma amostra de 1.000 ninhadas de tamanho n = 4 para
cada valor da variável aleatória X.
3) Numa lâmina verificou-se que existiam em média 4 bactérias/cm2. A lâmina foi subdividida
em 600 quadrados de 1 cm2. Qual é o modelo probabilístico adequado para modelar a ocorrên-
cia de bactérias por cm2, supondo que a distribuição espacial segue um padrão aleatório? Em
quantos dos 600 quadrados, em média, você espera encontrar no máximo 1 bactéria? Qual é a
probabilidade de se encontrar mais de 2 bactérias por centímetro quadrado? Qual é a probabili-
dade de não encontrar bactérias em um quadrado tomado aleatoriamente destes 600 quadrados?
4) Uma plantação de tomate possui em média 2 galhas de M. incógnita por planta. Qual é
a probabilidade de que uma planta amostrada desta população não possua galha? Suponha
que o modelo Poisson é apropriado para modelar a ocorrência de galhas de nematóide. Qual é
a probabilidade de que em uma amostra de tamanho n = 5 plantas, as 5 não apresentem galhas?
5) Num certo ano o Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis
(IBAMA) registrou, numa área de reserva do litoral catarinense, 18 mortes de golfinhos.
a. Qual é a probabilidade de, num determinado mês do próximo ano, ocorrerem menos de duas
mortes?
b. Qual é a probabilidade de, num determinado semestre do próximo ano, ocorrerem duas
mortes?
6) O modelo de Poisson pode ser considerado como limite da distribuição binomial, isto é, para
valores de n grande e p pequeno, verifica-se a seguinte aproximação:(
n
x
)
px(1− p)n−x ∼=
e−λ × λx
x!
,
com x = 0, 1, 2, . . . , n e parâmetro λ = np, a média da distribuição binomial. Para saber se a
aproximação é boa, uma recomendação prática é verificar se a desigualdade np ≤ 10 é válida.
Baseando nessa aproximação, considere o problema a seguir.
Uma fábrica de conservas produz, continua e cadenciadamente, cerca de 2330 latas de sar-
dinha em molho de tomate por período de 8 horas de laboração e em média cerca de 7 latas são
defeituosas. Qual a probabilidade de encontrarmos 3 latas defeituosas num lote de n = 1000
latas adquiridas daquela fábrica? Qual a probabilidade de ocorrerem até duas latas defeituosas
nesse lote de 1000 latas?
7) Uma empresa comercializa garrafas de vinho de 1 litro. Supõe-se, no entanto, que 40%
dessas garrafas contém realmente uma menor quantidade de líquido do que o volume indicado
no rótulo. Tendo adquirido 6 dessas garrafas, qual a probabilidade de:
a. Duas delas conterem menos de um litro?
b. No máximo 2 conterem menos de um litro?
c. Pelo menos 2 conterem menos de um litro?
d. Todas conterem menos de um litro?
e. Todas conterem o volume indicado no rótulo?
f. Represente a distribuição de probabilidades da variável em questão.
8) Uma fábrica de embalagens, utilizadas para determinado produto alimentar, sabe que em
cada 1000 produz 20 defeituosas. a. Qual é a probabilidade de um cliente ao comprar 100 em-
balagens receber todas sem defeito? b. Qual a probabilidade de receber, nessa mesma compra,
pelo menos 3 embalagens defeituosas?
Gabarito
1. Ω = {(FFF ), (FFM), (FMF ), (FMM), (MFF ), (MFM), (MMF ), (MMM)}
a.
x 0 1 2 3
P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8
b.i. P (X = 2) = 0, 3750
b.ii P (X ≤ 2) = 0, 8750
b.iii P (X ≥ 2) = 0, 50
b.iv P (X ≤ 1) = 0, 50
c. E(X) = 1, 5 e V ar(X) = 0, 75
d. Em, aproximadamente, 188 ninhadas.
2. a.
x 0 1 2 3 4
P (X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526
b. 0,9375
c. Os números esperados (NE) de ninhadas para cada situação são apresentados na tabela a
seguir.
x 0 1 2 3 4
P (X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526
NE 20 132 330 366 153
3. O modelo probabilístico adequado é o modelo Poisson, assim X ∼ Poisson(λ = 4). O
número esperado de quadrados com no máximo 1 bactéria é ≈ 55; P (X > 2) = 0, 7619;
P (X = 0) = 0, 0183 (1,83%).
4. 0,1353 e 0,000045 (0,0045%)
5. a. 0,5578 b. 0,0050
6. a. 0,2240 b. 0,4232
7. a. 0,3104
b. 0,54432
c. 0,76672
d. 0,004096
e. 0,046656
f.
x 0 1 2 3 4 5 6
P (X = x) 0,046656 0,186624 0,31104 0,27648 0,13824 0,036864 0,004096
8. a.0,1326 b. 0,3233