ATIVIDADE A4 - CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS

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Pergunta 1
Pergunta 2
1 em 1 pontos
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de
alguma grandeza podem ser modelados matematicamente
por meio do seguinte problema de valor inicial:
 ,
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser
positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
 Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa
de crescimento é proporcional ao número de bactérias
presentes, assinale a alternativa que corresponde à
expressão da função crescimento dessa população.
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. O
problema pode ser descrito pela seguinte equação
diferencial , onde é a função quantidade de
bactérias que depende do tempo . Além disso, temos
os seguintes dados: para temos .
Resolvendo a equação diferencial, temos
 
, onde e são constantes e . Como 
 temos 
. Portanto, a
função que descreve o crescimento dessa população
de bactérias é .
1 em 1 pontos
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo
com a sua linearidade em equação diferencial
linear e equação diferencial não linear . As equações
Pergunta 3
diferenciais lineares são caracterizadas por duas
propriedades: Considere que a variável independente é e
a variável dependente é , temos que: (i) A variável
dependente e todas as suas derivadas são do primeiro
grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende
apenas da variável independente .
 
 Considere a variável uma função da variável , isto é, 
 . Analise as afirmativas a seguir.
 
 I. A equação diferencial é linear.
 II. A equação diferencial é linear.
 III. A equação diferencial é linear.
 IV. A equação diferencial é linear.
 
 Assinale a alternativa correta.
 
Resposta Selecionada: I, III e IV, apenas.
Resposta Correta: I, III e IV, apenas.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo
com as condições de linearidade de uma equação
diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão
corretas, pois em todas elas temos que a variável
dependente e todas as suas derivadas possuem grau
1, e cada coeficiente depende apenas da variável
independente .
1 em 1 pontos
As equações diferenciais lineares e homogêneas de
segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte
forma: , onde e são funções
contínuas. Para resolvermos equações desse tipo,
precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma
equação de segundo grau.
 
 Com relação à solução de equações diferenciais lineares e
homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a
seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s)
Pergunta 4
Falsa(s).
 
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais
distintas.
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda
ordem é expressa por .
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e 
 apresenta como solução a função .
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
Resposta Selecionada: V, F, F, F.
Resposta Correta: V, F, F, F.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base
na teoria das equações diferenciais lineares e
homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as
afirmativas apresentadas, apenas a afirmativa I é
verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a
sequência correta é V, F, F, F.
1 em 1 pontos
As equações diferenciais não possuem exatamente uma
regra de resolução. O método de resolução de uma
equação diferencial depende de algumas características
apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações
diferenciais escritas na forma são
ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando
a integração em ambos os membros da igualdade.
 
 Com base no método de resolução de equações
diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
 I. A solução da equação é .
 II. A solução da equação é .
 
III. A solução da equação é .
 
IV. A solução da equação é .
 
 
Pergunta 5
É correto o que se afirma em:
 
 
Resposta Selecionada: I e III, apenas.
Resposta Correta: I e III, apenas.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando
adequadamente o método de solução nas equações
diferenciais separáveis, temos que:
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: 
. Integrando a
equação: 
, onde .
 Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: 
. Integrando a equação: 
, onde 
.
1 em 1 pontos
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de
comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um
comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N.
Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de
0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial
nula. O movimento realizado obedece à equação
diferencial: , onde é uma função do tempo 
 que indica a posição da massa e é a constante
elástica.
 
 Com base na situação descrita, assinale a alternativa
correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
Resposta
Selecionada:
 
A posição da massa em qualquer momento é expressa
por 
Resposta
Correta:
 
A posição da massa em qualquer momento é expressa por 
Pergunta 6
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. O
enunciado fornece as seguintes condições: (a
mola no tempo está esticada em 0,8 m sendo seu
comprimento natural de 0,5 m; portanto, está
deformada em 0,3 m) e (a velocidade inicial da
mola é nula; lembre que a função velocidade é a
derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é: 
. Tomando e 
 na EDO , obtemos a EDO .
Resolvendo o PVI: , e 
 temos que a solução geral da EDO é 
 , portanto, a solução do PVI é 
. Portanto,
1 em 1 pontos
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de
uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar
em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais
estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse
tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação
diferencial: , onde representa a quantidade de
átomos presente na substância e é uma função do tempo .
Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial 
 reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
 Com relação a essa informação, analise as afirmativas a
seguir:
 
 I. O valor da constante de proporcionalidade é 
 .
 II. A função que representa o problema descrito é 
 .
 III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512
anos.
 IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é
de .
 
 É correto o que se afirma em:
Pergunta 7
 
 
Resposta Selecionada: I e II, apenas.
Resposta Correta: I e II, apenas.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta.
Resolvendo a equação diferencial separável ,
temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois
 
, onde .
 Para , concluímos que e, para 
 concluímos .
Portanto, a função que representa o problema descrito
é .
1 em 1 pontos
Um problema de valor inicial (PVI), para equações
diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem,
consiste em determinar uma solução que satisfaça às
condições iniciais da forma e . Por meio
dessas condições, é possível determinar o valor das
constantes obtidas na solução geral.
 
 Considere o seguinte PVI: , e .
Analise as afirmativas a seguir:
 
 I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
 II. A solução do PVI é .
 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
 
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
 É correto o que se afirma em:
 
 
Resposta Selecionada: I e II, apenas.
Resposta Correta: I e II, apenas.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. São
verdadeiras as afirmativas I e II, pois:
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa
Pergunta 8
por , cujas raízes são (duas raízes
reais e distintas).
 Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui
raízesreais e distintas, a saber , a solução
geral é expressa por . A partir das
condições iniciais, obtemos o seguinte sistema:
 (i) 
 (ii) 
 Resolvendo o sistema, obtemos e .
Portanto, a solução do PVI é .
1 em 1 pontos
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento
harmônico simples , o qual pode ser descrito pela equação 
 , onde é uma função do tempo que indica a
posição da massa, é a massa da mola e é a constante
elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m
e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para
mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola
for solta com velocidade nula ao ser esticada em um
comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após 
 segundos?
 
 Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
Resposta Selecionada: .
Resposta Correta: .
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. O
enunciado fornece as seguintes condições: 
 (a mola no tempo está esticada em 1,1 m sendo
seu comprimento natural de 0,75 m; portanto, está
deformada em 0,35 m) e (a velocidade inicial
da mola é nula; lembre que a função velocidade é a
derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é: 
. Tomando e 
 na EDO , obtemos a EDO 
Pergunta 9
. Resolvendo o PVI: , 
 e , temos que a solução geral da
EDO é e, portanto, a
solução do PVI é 
1 em 1 pontos
Uma função é considerada solução de uma equação
diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na
equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira.
Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções
como solução, caso nenhuma condição seja especificada.
Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução
particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s)
e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para temos que é solução da
equação diferencial dada.
 II. ( ) Para temos que é solução da
equação diferencial dada.
 III. ( ) Para , temos que é solução da
equação diferencial dada.
 IV. ( ) Para , temos que é solução da
equação diferencial dada.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
Resposta Selecionada: V, V, V, F.
Resposta Correta: V, V, V, F.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta.
Resolvendo a equação diferencial, temos que sua
solução geral é: 
. Assim:
 Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto, é
Pergunta 10
solução da equação diferencial dada.
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto, é
solução da equação diferencial dada.
 Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que 
. Portanto, 
 é solução da equação diferencial dada.
1 em 1 pontos
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo
com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma
equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No
caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida
pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação,
e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da
derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a
alternativa correta:
 
 
Resposta
Selecionada:
 
A equação diferencial é de ordem 1 e
grau 1.
Resposta Correta:
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo
com as definições de classificação por ordem e grau,
temos que a ordem da equação é definida pela “maior
derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a
de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada
pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1,
pois .