AP1 MetDet1 2019 1 Gabarito Online

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AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 24/03/2019
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Na u´nica bolsa de valores do pa´ıs Pequen´ıssimo Setentrional, sa˜o negociadas ac¸o˜es de diversas
empresas, sabendo-se que:
i. Cada empresa podem ter ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, do governo, ou de ambos.
Obviamente, e´ necessa´rio que cada empresa possua ac¸o˜es nas ma˜os de investidores privados ou
do governo.
ii. 3/4 das empresas que possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, na˜o possuem ac¸o˜es na
ma˜o do governo.
iii. 1/4 do total das empresas da bolsa de valores na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo.
iv. 33 empresas desta bolsa possuem ac¸o˜es so´ na ma˜o do governo ou so´ na ma˜o da iniciativa privada,
na˜o possuindo os dois tipos de investidores.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Chame de p o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas na ma˜o de
investidores privados. Escreva, em func¸a˜o de p, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas
na ma˜o do governo.
Resposta: Vamos representar a situac¸a˜o por meio de dois conjuntos, P e G, das empresas que
possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados e com o governo, respectivamente. Na˜o e´ necessa´rio
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
representar um conjunto U que os contenha, visto que na˜o ha´ elementos fora da unia˜o de P e G,
pois cada empresa possui ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados ou do governo.
O conjunto das empresas que possuem ac¸o˜es apenas na ma˜o da iniciativa privada e´ o destacado
abaixo e, como pedido, chamaremos de p seu nu´mero de elementos.
O conjunto das empresas que possuem ac¸o˜es so´ na ma˜o do governo ou so´ na ma˜o da iniciativa
privada, na˜o possuindo os dois tipos de investidores, e´ o destacado abaixo (a unia˜o dos conjuntos
menos a intersec¸a˜o).
Pela informac¸a˜o iv acima, o total das empresas destacadas acima e´ 33. Como ja´ temos p apenas na
ma˜o de iniciativa provada, teremos 33− p apenas na ma˜o do governo.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 2 (1.0 pt) Lembrando que 3/4 que possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados na˜o
possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo, escreva, em func¸a˜o de p, o nu´mero de empresas que possuem
ac¸o˜es tanto com o governo, quanto com investidores privados.
Resposta: Vamos chamar de x o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto na ma˜o do governo
quanto da iniciativa privada.
Assim, o nu´mero total de empresas com ac¸o˜es na iniciativa privada e´ dado por p + x. Destas, 3/4
possuem ac¸o˜es apenas na iniciativa privada, logo
p = 34(p+ x).
Com isso,
p = 34p+
3
4x ∴ p−
3p
4 =
3
4x ∴
4p− 3p
4 =
3x
4 ∴ p = 3x ∴ x =
p
3 .
Assim,
p
3 empresas possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com investidores privados.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Lembrando agora que 1/4 das empresas da bolsa na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o
do governo, utilizando os itens anteriores, determine quantas empresas sa˜o negociadas nesta bolsa
de valores.
Resposta: Observando a quantidade em cada pedac¸o do diagrama de Venn,
vemos que sa˜o p empresas na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo, de um total de
(33− p) + p3 + p = 33 +
p
3 empresas. Assim,
p = 14
(
33 + p3
)
,
logo
p = 334 +
p
12 ∴ p−
p
12 =
33
4 ∴
12p− p
12 =
3 · 33
12 ∴
11p
12 =
99
12 ∴ 11p = 99 ∴ p = 9.
Assim, sa˜o negociadas 33 + p3 = 33 +
9
3 = 33 + 3 = 36 empresas nesta bolsa.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 e 5 e a seguir.)
O prec¸o de venda V de um determinado produto e´ composto pela soma do custo C com o lucro L
do vendedor e com os impostos I. Para este produto, o vendedor deseja obter uma margem de lucro
de 10% sobre o custo C.
Questa˜o 4 (1.5 pt) Determine, em func¸a˜o de C, o prec¸o de venda V caso o imposto I seja 20%
do lucro L.
Resposta: Primeiramente, observe que o lucro L deve ser 10% de C, logo
L = 10% · C = 10100 C =
C
10 .
Como o imposto e´ de 20% do lucro L, temosI = 20% · L = 20100 ·
C
10 =
1
5 ·
C
10 =
C
50 .
Com isso,
V = C + L+ I = C + C10 +
C
50 =
50C + 5C + C
50 =
56C
50 .
Questa˜o 5 (1.5 pt) Determine, em func¸a˜o de C, o prec¸o de venda V caso o imposto I seja 20%
da diferenc¸a entre o prec¸o de venda e o de compra (isto e´, 20% de V − C).
Resposta: Como na questa˜o anterior, L = C10 .
Se o imposto for de 20% da diferenc¸a V − C, teremos
I = 20100(V − C),
logo, como V = C + L+ I = C + C10 + I, temos
I = 20100
(
C + C10 + I − C
)
∴ I = 15
(
C
10 + I
)
∴ I = C50 +
I
5 ∴ I −
I
5 =
C
50 ∴
4I
5 =
C
50 .
Com isso,
I = 54 ·
C
50 =
C
40 ,
logo
V = C + L+ I = C + C10 +
C
40 =
40C + 4C + C
40 =
45C
40 =
9C
8 .
Questa˜o 6 (2.0 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x+ 3) .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Resposta:
2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x+ 3) ⇔ 2
(
x2 + 2 · 12 · x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 32
⇔ 2
(
x2 + x+ 14
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 32
⇔ 2x2 + 2x+ 12 − 3x < 2x
2 − x+ 3x− 32
⇔ 2x2 − x+ 12 < 2x
2 + 2x− 32
⇔ 2x2 − x+ 12 − 2x
2 − 2x+ 32 < 0
⇔ −3x+ 2 < 0
⇔ −3x < −2
⇔ x > 23 .
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x + 3),
sa˜o x ∈
(2
3 ,∞
)
.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Diz a lei que todos os pontos de venda de uma loja devem emitir nota fiscal
em todas as vendas.
Deˆ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que a lei na˜o esteja sendo cumprida.
Resposta: A lei na˜o estara´ sendo cumprida se, e somente se, algum ponto de venda da loja deixar
de emitir nota fiscal em alguma venda. Isto e´, se existir algum ponto de venda no qual exista alguma
venda que na˜o teve nota fiscal emitida.
Ou seja, basta uma venda, em um ponto de venda, sem nota fiscal e a loja estara´ descumprindo a
lei! E´ bom tomar cuidado!!!
Isto pode ser verificado reescrevendo a frase da lei com a simbologia da lo´gica de proposic¸o˜es:
q : ∀p ∈ P, ∀v ∈ V, vteve nota emitida,
onde P e´ o conjunto dos pontos de venda e V o conjunto das vendas realizadas. Assim,
∼ q :∼ (∀p ∈ P, ∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∼ (∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
ou ainda
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | ∼ (v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | v na˜o teve nota emitida.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva a negac¸a˜o da sentenc¸a
∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y.
Resposta: Chamando
p : ∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y,
como na questa˜o acima teremos
∼ p :∼ (∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y) ,
logo
∼ p : ∃x ∈ A | ∼ (∀y ∈ B, x > y) ,
ou ainda,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B | ∼ (x > y) .
Portanto,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B |x 6 y.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.