Apostila 3 Pré-Cálculo

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PRÉ-CÁLCULO 
PRÉ-CÁLCULO 
Me. Rebecca Manesco Paixão 
1. Exponencial 
2. Função exponencial 
3. Logaritmos 
4. Função logarítmica 
5. Um pouco mais sobre equações e inequações 
exponenciais 
6. Crescimento exponencial e logarítmico 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
PRÉ-CÁLCULO 
Propriedades para Expoentes 
Se a > 0 e b > 0 , as propriedades a seguir se aplicam a todos 
os números reais x e y . 
1. 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 
2.
𝑎𝑥
𝑎𝑦
= 𝑎𝑥−𝑦 
3. 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑎𝑥∙𝑦 
4. (𝑎𝑏)𝑥= 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 
5.
𝑎
𝑏
𝑥
=
𝑎𝑥
𝑏𝑥
 
 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EXPONENCIAL 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Para a resolução de equações exponenciais em que a 
incógnita é o expoente, precisamos reduzir os membros da 
equação a potências de mesma base. 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EXPONENCIAL 
Exemplo 2: resolva a equação 2𝑥 ∙ 27 = 3𝑥 ∙ 8 
2𝑥
3𝑥
=
8
27
 
2
3
𝑥
=
2
3
3
 
Portanto, 𝑥 = 3. E o conjunto solução é 𝑆 = 3 . 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EXPONENCIAL 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Exemplo 3: resolva a inequação 3𝑥+1 − 3𝑥 + 3𝑥−1 ≥ 21 
3𝑥 ∙ 31 − 3𝑥 + 3𝑥 ∙ 3−1 ≥ 21 
3𝑥 31 − 1 + 3−1 ≥ 21 
3𝑥 3 − 1 +
1
3
≥ 21 
3𝑥
7
3
≥ 21 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EXPONENCIAL 
3𝑥 ≥ 21
3
7
 
3𝑥 ≥
63
7
 
3𝑥 ≥ 9 
3𝑥 ≥ 32 
Portanto, 𝑥 ≥ 2. E o conjunto solução é 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ 2 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EXPONENCIAL 
Definição: toda função f :ℝ → ℝ na forma f (x) = 𝑎𝑥, em que a 
é uma constante positiva e x é o expoente variável, é uma 
função exponencial. 
 
Os gráficos da função exponencial podem apresentar três 
formas possíveis. Se a > 1, o valor de 𝑎𝑥 cresce com x 
crescente; se 0 < a < 1, o valor de 𝑎𝑥 decresce com x 
crescente; e se a = 1, o valor de 𝑎𝑥 é constante. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
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Se a > 0 , temos que f (x) = 𝑎𝑥 está bem definida, e tem um 
valor real para cada valor real de x . Logo o domínio será D( f ) 
= ℝ . Por sua vez, a imagem será Im( f ) = (0,+∞) , visto que o 
gráfico decresce em direção a zero (sem nunca atingi-lo) e 
cresce sem parar a medida que o percorremos em um 
sentido. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Exemplo 11: em 2010, Maria depositou R$1.000,00 em uma 
conta poupança, sendo o valor remunerado com juros 
cumulativos pagos anualmente a uma taxa de 6%. 
Considerando que nenhum outro valor tenha sido depositado 
ou sacado da conta, determine a fórmula para a função que 
descreve a quantia Q na conta após t anos. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Se 𝑃0 = 1.000 , ao final do primeiro ano, a quantia na conta é 
igual a quantia original somada aos juros recebidos: 
𝑃0 +
6
100
𝑃0 = 𝑃0(1 + 0,06) 
= 1,06 ∙ 𝑃0 
= 1,06 ∙ 1000 
= 1060,00 
Continuando esse processo para t anos, o valor da conta será: 
𝑄 𝑡 = 1000 ∙ (1,06)𝑡 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Dentre as bases das funções exponenciais, a base e tem um 
papel muito importante no Cálculo. É um número irracional, 
cujo valor até a quinta casa decimal é dado por: e ≈ 2,71828. 
A função f (x) = 𝑒𝑥 é denominada função exponencial natural, 
cuja representação gráfica situa-se entre os gráficos de f (x) = 
2𝑥 e f (x) = 3𝑥. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL 
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Funções exponenciais do tipo f (x) = 𝑒𝑘𝑥, em que k é uma 
constante e k ≠ 0 , frequentemente são utilizadas como 
modelos de crescimento exponencial, quando k > 0 , ou como 
modelos de decaimento exponencial, quando k < 0 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAL 
Exemplo 13: normalmente, o modelo y = 𝑃0𝑒
𝑟𝑡 é utilizado 
para calcular o crescimento de um investimento. Sabendo 
disso, utilize o modelo para acompanhar o crescimento de um 
investimento de R$1.000,00 no ano de 2010 a uma taxa de 
juros anual de 6%. 
Temos que 𝑃0 = 1.000 (investimento inicial), r = 0,06 (taxa de 
juros anual) e t é o tempo em anos. Supondo que queiramos 
saber o rendimento no prazo de 5 anos, então temos que t = 
5: 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAL 
𝑃 5 = 1000𝑒0,06∙5 
= 1000𝑒0,3 
= 1349,85 
Isso significa que, após 5 anos, o rendimento será de 
R$349,85 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAL 
Exemplo 14: o modelo 𝑦 = 𝑦0𝑒
−𝑟𝑡 é empregado no cálculo do 
decaimento radioativo. 𝑦0 é o número de núcleos radioativos 
presentes no instante zero, r é a taxa de decaimento da 
substância radioativa e t o tempo do decaimento. 
Calcule a porcentagem de carbono-14 presente depois de 866 
anos, sabendo que sua taxa de decaimento, determinada 
experimentalmente, é de r = 1,2×10−4. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAL 
𝑦 = 𝑦0𝑒
(−1,2×10−4)(866) 
𝑦 = 𝑦0𝑒
(−0,00012)(866) 
𝑦 = 𝑦0𝑒
(−0,10392) 
≈ (0,901)𝑦0 
Isso quer dizer que, após 866 anos, 10% dos núcleos originais 
terão decido. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAL 
O logaritmo de um número positivo x na base a , com a > 0 e a 
≠1, é o expoente da potência a qual se deve elevar a afim de 
se obter x . 
Dessa forma: log𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎
𝑦 = 𝑥 
Em que: 
• a é a base do logaritmo. 
• x é o logaritmando. 
• y é o logaritmo de x na base a . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
LOGARITMOS 
Propriedades básicas de logaritmos: 
1. log𝑎 1 = 0 
2. log𝑎 𝑎= 1 
3. log𝑎 𝑎
𝑚 = 𝑚 
4. 𝑎log𝑎 𝑏= b 
5. log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
LOGARITMOS 
Propriedades algébricas dos logaritmos: 
1. log𝑎 𝑏 ∙ 𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
2. log𝑎
𝑏
𝑐
= log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 
3. log𝑎(𝑏
𝑚) = 𝑚 ∙ log𝑎 𝑏 
4. log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
, com c≠ 1 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
LOGARITMOS 
Exemplo 16: sabendo que log10 2 = 0,30, calcule log10 16. 
log10 16 = log10 2
4 
= 4 ∙ log10 2 
= 4 ∙ 0,30 
= 1,20 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
LOGARITMOS 
Exemplo 19: resolva log 𝑥2 = 2 
log 𝑥2 = log 102 
𝑥2 = 102 
𝑥2 = 100 
Portanto, 
𝑥 = 10
𝑥 = −10
 
E o conjunto solução é 𝑆 = −10,10 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
Exemplo 20: resolva log2 𝑥 < log2 3 
𝑥 < 3 
De acordo com a condição de existência, 𝑥 > 0, o conjunto 
solução é 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 0 < 𝑥 < 3 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
Definição: toda função f : ℝ → ℝ na forma f (x) = log𝑎 𝑥 , em 
que a é uma constante positiva e a ≠1, é uma função 
logarítmica. 
 
Se a > 0 e a ≠ 1, temos que a função f (x) = log𝑎 𝑥 é a inversa 
da função exponencial, pois, de acordo com a definição de 
logaritmos, temos que 
log𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎
𝑦 = 𝑥 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
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Assim como para a função exponencial, o logaritmo mais 
importante é o de base e , conhecido como logaritmo natural. 
Comumente, log𝑒 𝑥 é escrito como ln x ; que se lê função 
logaritmo natural. 
 
Definição: toda função exponencial é uma potência da função 
exponencial natural. 
𝑎𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑎 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Logaritmos com base 10 são muito usados na ciência da 
computação. Comumente, log10 𝑥 é escrito como log x , que 
se lê função logaritmo comum. 
Essa função é inversa dafunção exponencial f (x) = 10𝑥 . 
 
Exemplo 23: transforme a equação log x = 3 para a forma 
exponencial. 
Temos que a inversa de log x = 3 é x = 103 = 1.000 . 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Definição: toda função logarítmica é um múltiplo constante 
do logaritmo natural. 
log𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 
Com a > 0 e a ≠1. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Exemplo 24: podemos desenvolver log3 16 da seguinte 
forma: 
y = log3 16 
3𝑦 =16 
𝑙𝑛 3𝑦 = 𝑙𝑛 16 
𝑦 𝑙𝑛 3 = 𝑙𝑛 16 
𝑦 =
ln 16
ln 3
 
Assim, log3 16 =
ln 16
ln 3
≈ 2,52 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Exemplo 27: suponha que há uma cultura de 100 bactérias 
em um objeto, de modo que o número de bactérias dobra a 
cada hora. Em quanto tempo teremos 350.000 unidades de 
bactérias? 
Temos que, após uma hora, a quantidade de bactérias será 
200, ou seja: 
𝑃 1 = 100 ∙ 2 = 200 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Logo, em t horas, o total de bactérias será: 𝑃 𝑡 = 100 ∙ 2𝑡 
Se precisamos saber em quantas horas teremos 350.000 
bactérias, então: 
350000 = 100 ∙ 2𝑡 
3500 = 2𝑡 
log2 3500 = log2 2
𝑡 
𝑡 ≈ 11,774 
Assim, após aproximadamente 11,774 horas (ou 11 horas e 46 
minutos), a população de bactérias será de 350.000 unidades. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Agora que já estudamos sobre logaritmos, podemos 
aprofundar nossos conhecimentos sobre equações e 
inequações exponenciais que não podem ser reduzidas a 
expoentes de mesma base. 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
UM POUCO MAIS SOBRE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS 
Exemplo 28: resolva 5𝑥+1 − 5𝑥 = 2𝑥+3 − 2𝑥. 
5𝑥(5 − 1) = 2𝑥(8 − 1) 
5𝑥(4) = 2𝑥(7) 
5
2
𝑥
=
7
4
 
log5/2
5
2
𝑥
= log5/2
7
4
 
𝑥 = log5/2
7
4
 
Portanto, o conjunto solução é 𝑆 = log5/2
7
4
. 
 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
UM POUCO MAIS SOBRE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS 
Para finalizarmos, é importante estudarmos os padrões de 
crescimento de 𝑒𝑥 e ln x , uma vez que ambas crescem 
quando x cresce, mas apresentam comportamentos 
diferentes. 
 
Quando f (x) = 𝑒𝑥 , notamos que a função cresce sem cota 
com x crescente; logo, a imagem é Im( f ) = (0,+∞) . Por sua 
vez, quando f (x) = ln x , a função cresce lentamente com x 
crescente; logo, a imagem e Im( f ) = (−∞, +∞) . 
 
Unidade 3 – FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
CRESCIMENTO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICO 
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