doc_matematica__1972735904

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Ensino Superior
Matemática Básica
Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso
Logaritmos
Logaritmos
Leonhard EulerJohn Napier
Logaritmos
Logaritmos
yxb log
Base do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
0x 01  b
Condição de Existência
Copiar
yxb log  xb y 
Logaritmos
yxb log
Base do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
Copiar
Logaritmos
y8log2  82 y
3y
8log2
38log2 
yxb log
Base do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Copiar
Logaritmos
Logaritmos
Consequência da definição
01log1  bP
1log2  bP b
nbP nb  log3
cacaP bb  loglog4
abP ab  log5
Logaritmos
Propriedades Operátórias
  babaP ccc logloglog1 
ba
b
a
P ccc logloglog2 





  anaP bnb loglog3 
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Mudança de Base
b
a
a
c
c
b log
log
log 
ba
b
a
a cc
c
c
b logloglog
log
log 
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
(UDESC 2006-1) Se , e , 
pode-se afirmar que:
3log ba 4log ca xc
b
a log
x
c
b
a log cbc
b
aaa logloglog 
43log 
c
b
a
1log 
c
b
a
c
b
a 1
b
c
a 
Logaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
solução da equação 11x – 130 = 0 é:
130
11x log
11
130x log
130
11
log
x 
130
11
x log    
 
11 130x log
a)
b)
c)
d)
e)
b
clog a c b a  
11 130x 
130
11
a
b
c x



11
130log x
11
130x log
Função Logarítmica
Definição
RRf 
*:   xxf blog
*
RDomínio
  Rf Im
Imagem R
  * RfD
Função Logarítmica
Representação Gráfica
  xxf 2log
1 x
y
1
2
1
2
1
0
Função Logarítmica
  xxg
2
1log
1
2
x
y
1
1
0
Representação Gráfica
Função Logarítmica
  xxg
2
1log
1
2
x
y
1
1
1 x
y
1
2
1
2
1
0 0
  xxf 2log
1b
Crescente
10  b
eDecrescent
Representação Gráfica
Função Exponencial
x
y
1
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a  1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x
Função Logarítmica
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a  1
y = log2 x
y = log1/2 x
Função Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
a > 1
Crescente
1
Função Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
0 < a  1
Decrescente
Exercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
inversa da função    
3
1f x log x  é:
 1 3 1xf x  
 1 3 1xf x  
 1 3 1f x x  
   1 3 1 xf x  
 
 1
1 3
x
f x log

 
a)
b)
c)
d)
e)
 
3
1y log x 
3 1
3 1
3 1
y
x
x
x
y
y
 
 
 
 1 3 1xf x  
Equação Logarítmica
       xgxfxgxf bb  loglog
  53log2 x
325  x
x332
35x
03x
3x
  35 S
Equação Logarítmica
       xgxfxgxf bb  loglog
   295log 1  xx
  951 2  xx
95122  xxx
095 x
5
9
 x
01x 1 x
11x 2 x
01072  xx
21 x 51 x
 5S
Equação Logarítmica
       xgxfxgxf bb  loglog
    8log4log3log 555  xx
03x 3 x
04 x 4 x
41 x
3 x
 4S
    8log43log 55  xx
8122  xx
0202  xx 52 x
0202  xx
Exercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
  25log 2
4
1 x
 2
2
5
4
1







x
05 x
9x
verdadeira é:
  25log 2
4
1 x
251016 2  xx
9102  xx
11 x 92 x
5x
C.E
Exercício
(UDESC 2006-1) Se , então o valor de 
x é: 3
5
2loglog 88  xx
23
5
28 x
3
5
2loglog 88  xx   3
5
2log8  xx
  23
5
3 22 x
25 22 x
216 x
2232 x
4x
0x
C.E
4x
Inequação Logarítmica
   xgxf bb loglog 
1b
   xgxf 
10  b
   xgxf 
  5log3log 22 x
53x
8x
03x
C.E
3x
 3/  xRxS
  ,3S
Inequação Logarítmica
   xgxf bb loglog 
1b
   xgxf 
10  b
   xgxf 
   2log82log
3
2
3
2  xx
282  xx
6x
082 x
C.E
4x
02 x
2x
I II
4 xIII
Inequação Logarítmica
    34log3log 22  xx
8122  xx
    322 2log43log  xx
    322 2log43log  xx
0202  xx
51 x
42 x
x5 – – – – – –
+ + +
4
+ + +
45  x
Inequação Logarítmica
    34log3log 22  xx
x5 – – – – – –
+ + +
4
+ + +
45  x
03x
C.E
3x
04 x
4x
3x
 43/  xRxS
0202  xx
Inversa
Funções inversas
 De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,
veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.
 A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é
a reflexão de y = ax com relação a reta y = x.
 Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é
uma função de crescimento muito lento.
Exemplo
Uma aplicação da função logarítmica
 A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas
que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o
logaritmo decimal;
 Os valores desta escala são chamados de magnitudes;
 Durante um terremoto um sismógrafo registra essa
magnitude durante um certo intervalo de tempo;
Exemplo
 Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
 Onde:
Ms: magnitude na escala Richter;
A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);
f: freqüência da onda (medida em hertz).
30,3).(log10  fAMs
Exemplo
 Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude
A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse
terremoto é:
 Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a
destruição total das construções de uma grande cidade.
 Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10
vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a
cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
 O valor acima é considerado moderado.
33,5
30,32
30,3100log
30,3)1,0.1000(log
30,3).(log
10
10
10





s
s
s
s
s
M
M
M
M
fAM
Exemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no
século XX.
Exemplo
Funções inversas
 A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que 
a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 
anos.
 Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg. 
Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, 
então:
)24.(2)24.(
2
1
....)(
)24(
2
1
)24(
2
1
.
2
1
)50(
2
1
)75(
)24(
2
1
)24(
2
1
.
2
1
)25(
2
1
)50(
)24(
2
1
)0(
2
1
)25(
24)0(
25
25
32
2
t
ttm
mm
mm
mm
m






Exemplo
Funções inversas
 Portanto, a função para este caso é:
 Como a função logarítmica inversa dessa função é:
 Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5 
mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:
252.24)(
t
tm


)ln24(ln
2ln
25
)(1 mmf 
anosf
f
mmf
6,56
693,0
225,39
693,0
)609,1178,3.(25
)5(
)5ln24(ln
2ln
25
)5(
)ln24(ln
2ln
25
)(
1
1
1








Funções Logaritmos Neperianos
Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o
logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo
o eixo y como assíntota vertical.
1) Construir o gráfico de y = lnx;
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
Funções Logaritmos Neperianos
2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico 
y = ln(x-2);
Funções Logaritmos Neperianos
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter 
y = ln(x - 2) -1;
Métodos de Cálculo I
Assíntotas
 Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se 
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax


)(lim xf
axMétodos de Cálculo I
Exemplos


)(lim xf
ax
x
y
x=a
Métodos de Cálculo I
 Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical 
é a função logaritmo natural y=lnx.
 O eixo y funciona como uma assíntota.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4


)(lim
0
xf
x
Métodos de Cálculo I
 Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como 
assíntota horizontal.
 Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando 
x  0-, t - , portanto:
0lim 

x
x
e
0lim 

x
x
e
0limlim
1
0

 
t
t
x
x
ee
Exercícios
Responda
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E
decrescente?
b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?
c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função
logarítmica?
d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?
Respostas
Decrescente se Crescente se
2y - 1
Exercícios
 O número de bactérias de uma cultura, t horas 
após o início de certo experimento, é dado pela 
expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições, 
quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá 38400 bactérias?
Exercícios
 Numa certa cultura, há 1000 bactérias num 
determinado instante. Após 10 min, existem 4000. 
Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que 
elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em 
que P é o número de bactérias, t é o tempo em 
horas e k é a taxa de crescimento?
Exercícios
 Estima-se que a população de uma certa cidade 
cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento 
estimado para um período de 24 anos?
Exercícios
 Resolva a equação 3x = 5. 
 Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva 
a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
Exercícios
Sabemos que o número de bactérias numa cultura, 
depois de um tempo t, é dado por 
N = N0 . er.t, 
em que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r a 
taxa de crescimento relativo. 
Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se 
a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?
Exercícios
Em quantos anos 500g de uma substância 
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao 
ano, se reduzirão a 100g? 
Use Q = Q0 . e-r.t, em que Q é a massa da substância, 
r é a taxa e t é o tempo em anos.
Exercícios
 Segundo o Banco Mundial, a previsão do 
crescimento demográfico na América Latina, no 
período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, 
aproximadamente. Em quantos anos a população 
da América Latina vai dobrar se a taxa de 
crescimento continuar a mesma?
Exercícios
 Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de 
aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em 
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 
1.300,00? Use uma calculadora para fazer os 
cálculos.
Exercícios
 O dono de uma concessionária de veículos usa a 
expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em 
reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t 
anos de uso. Para o cálculo do valor de um 
automóvel de outra marca, é usada a expressão 
V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine 
após quanto tempo os veículos terão o mesmo 
valor de mercado.