Aula Virtual 02 - Análise Combinatória - Lógica Matemática - 20202 - PDF

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Lógica Matemática
Webconferência II
Professor(a):Mabel Lopes
Análise Combinatória
Análise combinatória é o ramo da matemática que visa agrupar objetos, 
conforme regras definidas, e obter através de cálculos, o número de 
agrupamentos possíveis.
Análise Combinatória
Temos dois tipos de problemas: com hierarquia (ordem) e sem 
hierarquia.
•1º exemplo (com hierarquia): Quatro times de futebol estão 
disputando um campeonato. Quantas são as possibilidades de pódio?
•2º exemplo (sem hierarquia): Quantos grupos de três alunos podemos 
formar com quatro alunos da turma?
Análise Combinatória
Definição ( Princípio Fundamental da Contagem) : Se um evento A pode 
ocorrer de m maneiras distintas e, se para cada uma dessas m maneiras 
possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras 
distintas, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do 
evento B é mxn.
Exemplo : Quantos resultados obtemos, ao lançar uma moeda 3 vezes e 
observarmos a face de cima?
Pelo Princípio F. Da contagem o número 
total de possibilidades do exemplo é 
2x2x2=8.
Análise Combinatória
Definição de Fatorial: o fatorial de n (denotado por n!) é o produto dos n 
primeiros números inteiros positivos. n!=n.(n-1).(n-2)....3.2.1
Ex.: 4!=4.3.2.1=24
▪ Permutações simples: é o número de agrupamentos possíveis de n objetos 
distintos ordenados em fila, denotado por Pn. 
Pn=n!
Ex.:1- De quantas formas podemos organizar estes livros em uma prateleira? 
6!= 6.5.4.3.2.1= 720
Ex.: 2- Quantos anagramas podemos formar com a 
palavra livro? _ _ _ _ _ =5! = 5.4.3.2.1=120
Análise Combinatória
▪ Permutações com repetições: é o número de agrupamentos possíveis 
quando temos um conjunto de n elementos que possui k elementos 
repetidos. 𝑷𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒌!
Ex.: 1- Quantos anagramas a palavra BANANA possui? 
Ex.:2- De quantas maneiras podemos organizar seis vestidos no guarda 
roupa, onde 3 deles são iguais? 𝑃5
3 =
5!
3!
=
5.4.3!
3!
=20
𝑃6
3,2=
6!
3! 2!
=
6.5.4.3.2.1
12
= 𝟔𝟎
Análise Combinatória
Arranjos, são permutações de apenas uma parte dos elementos dados, onde 
a ordem dos mesmos também influencia na disposição dos elementos.
Arranjos simples: são todos os agrupamentos de k elementos distintos, 
escolhidos de um grupo de n elementos (k≤n), que diferem entre si pela 
ordem e natureza dos k elementos. A quantidade destes agrupamentos é 
dado por 𝑨𝒏,𝒌 = 𝑨𝒏
𝒌=
𝒏!
𝒏−𝒌 !
Ex.: De quantas maneiras seis pessoas podem
sentar-se na primeira fileira deste cinema? 
𝑨𝟗,𝟔 =
𝟗!
𝟗−𝟔 !
=
𝟗.𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒.𝟑!
𝟑!
=60480
Análise Combinatória
Arranjos com repetições: são todos os agrupamentos de k elementos, 
escolhidos de um grupo de n elementos (k≤n),que podem aparecer repetidos 
em um mesmo agrupamento. A quantidade destes agrupamentos é dado 
por 𝑨𝒏,𝒌 = 𝒏
𝒌.
Ex.: Quantos números, superiores a 100 e inferiores a 1.000, podemos 
formar com os algarismos 2,4,6,8?
Análise Combinatória
▪ Combinações Simples: Denominamos de combinações simples de n 
elementos distintos tomados k a k, aos subconjuntos formados por k 
elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. 
▪ Duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, ou 
seja, a ordem dos elementos não importa. 
𝑪𝒏,𝒌 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
Ex.: De quantas maneiras podemos fazer uma salada contendo 3 frutas 
distintas, com as frutas, manga, banana, abacaxi, mamão e laranja? 
𝑪𝒏,𝒌=
𝟓!
𝟑! 𝟓 − 𝟑 !
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
= 𝟏𝟎
Análise Combinatória
▪ Combinações Completas (com repetições): Denominamos de combinações 
completas de n elementos distintos tomados k a k, as combinações de k 
elementos não necessariamente distintos escolhidos entre os n elementos 
dados. 
▪ A ordem dos elementos não importa. 
𝑪𝒓(𝒏,𝒌) =
(𝒏 − 𝟏 + 𝒌)!
𝒌! 𝒏 − 𝟏 !
Ex.: Quantas são as peças de um dominó comum?
A={0,1,2,3,4,5,6} conj. dos valores contido nas peças. 
E cada peça tem dois valores.
𝑪𝒓(𝟕,𝟐) =
𝟕 + 𝟐 − 𝟏!
𝟐! 𝟕 − 𝟏 !
=
𝟖!
𝟐! 𝟔!
=
𝟖. 𝟕. 𝟔!
𝟐! 𝟔!
= 𝟐𝟖
Lógica Proposicional 
▪ Definição : Proposição é toda sentença (conj. De palavras ou símbolos) que 
expresse um pensamento completo, que pode ser qualificado como 
verdadeiro ou falso.
Ex.: O sol é amarelo. 
sen 180º=1
Uma proposição é necessariamente dada por uma fase declarativa.
Lógica Proposicional 
Tipos de Proposições:
▪ Proposição simples: É aquela que não contém nenhuma outra proposição 
como parte integrante de si mesma. 
Ex.: p: As estrelas brilham. 
q: O homem é mortal.
▪ Proposição Composta: É aquela formada pela composição de duas ou mais 
proposições.
Ex.: p: O flamengo ganha ou o flamengo perde. 
q: Se eu estudar então passarei no concurso.
Lógica Proposicional 
Conectivos: são as palavras que usamos para formar novas proposições 
a partir de outras. Os principais conectivos são:
Exs.: 
O conectivo “não” apesar de 
não unir proposições, altera 
o valor de uma proposição. 
p: O número 4 é par e o número 5 é ímpar.
q: Se sabe matemática então faça engenharia.
r: Um triângulo é retângulo, se e somente se, satisfaz o 
Teorema de Pitágoras.
Lógica Proposicional 
As tabelas –verdade possibilitam visualizarmos todas as possibilidades dos 
valores lógicos de uma proposição. 
Valores que uma proposição simples “p” pode assumir:
2 possibilidades
Valores que duas proposições simples podem assumir numa proposição 
composta: 
4 possibilidades
Generalizando, uma proposição composta por “n” proposições simples 
temos um total de 𝟐𝒏 possibilidades.
Lógica Proposicional 
Operações Lógicas:
Nas operações lógicas os operadores são os conectivos, enquanto os 
operandos são as proposições .
Lógica Proposicional 
Negação: A negação de uma proposição p é a proposição “não p”, que 
representaremos por “~p”, cujo valor lógico é o oposto ao da proposição p. 
Exs.: 
p: A capital do Brasil é Salvador. (F)
~p: A capital do Brasil não é Salvador. (V)
q: Cos 0 º=1 (V)
~q: Cos 0º≠ 1 (F)
Lógica Proposicional 
Conjunção: A conjunção de duas proposições p e q é a proposição “p e 
q” , que é representada por “p^q” cujo valor lógico será verdade se 
ambas as proposições são verdadeiras e será falso nos outros casos.
Exs.: 
p: 3 é ímpar (V) r: Um triângulo tem 3 lados.(V)
q: 3<4(V) s: 5 é par (F) 
p^q: 3 é ímpar e 3<4. (V) r^s: O triângulo têm 3 lados e 5 é par (F)
Lógica Proposicional 
Disjunção: A disjunção de duas proposições p e q é a proposição “p ou q” , 
que é representada por “p⋁q” cujo valor lógico será verdade (V) se pelo 
menos uma das proposições p e q são verdadeiras e será falso (F) se ambas 
forem falso.
Exs.: p: Hoje está quente. (V) r: 4 é um número primo (F)
q: Teresina é uma cidade Fria. (F) s: 5 é par (F)
p ⋁ q: Hoje está quente ou r ⋁s: 4 é um número primo ou 5 é par(F)
Teresina é uma cidade fria. (V)
Lógica Proposicional 
Disjunção Exclusiva: A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a 
proposição “ ou p ou q” , que é representada por “p q”, cujo valor lógico é 
falso (F) quando p e q tem o mesmo valor lógico e verdade (V) quando p e q 
tem valores lógicos diferentes.
Exs.: p: O tomate é uma fruta(V) r: 4 é par (V)
q:O tomate é uma verdura. (F) s: 5 é ímpar (V)
p V q: (V) rVs: Ou 4 é par ou 5 é ímpar(F)
Lógica Proposicional 
Condicional : A condicional de duas proposições p e q é a proposição “se p 
então q”, que é representada por “p→q”, cujo valor lógico será falso (F) 
quando p for verdadeiro e q for falso e verdade(V) nos demais casos.
Exs.: p: Pitágoras é um filósofo. (V) 
q: Angelina Jolie é cantora(F)
p → q: Se Pitágoras é filósofo então 
Angelina Jolie é cantora.(F)
Lógica Proposicional 
Bicondicional : A bicondicional de duas proposições p e q é a proposição “p 
se e somente se q”, que é representadapor “p↔q”, cujo valor lógico é 
verdade (V) quando p e q tem o mesmo valor lógico e falso nos demais casos.
Exs.: p:. O futebol é uma paixão brasileira.(V) 
q:. Recife é a capital de Pernambuco.(V)
p ↔ q: O futebol é uma paixão brasileira se, e somente se, Recife é a capital 
de Pernambuco. (V)
Exemplo
Ex.: Para que o valor lógico da proposição “Se Pedro é cantor, então ele não 
joga todo dia” seja verdade, é:
a)Suficiente que o valor lógico da proposição “João é cantor” seja falso.
b) Suficiente que o valor lógico da proposição “ele não joga todo dia” seja falso.
c)Necessário que o valor lógico da proposição “João é cantor” seja verdade.
d)Suficiente que o valor lógico da proposição “João é cantor” seja verdade.
e)Necessário que o valor lógico da proposição “João é cantor” seja verdade e o 
valor lógico da proposição “ele não joga todo dia” seja falso.