AP Equações diferenciais nota 9,5

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CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER 
ESCOLA SUPERIOR POLITÉCNICA 
BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE PRÁTICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: 
PROFESSORA: DAYANE PEREZ BRAVO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO ALEGRE - RS 
2020 
 
 
1 
 
1 QUESTÃO 1 
Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda Lei de Kirchhoff 
estabelece que a soma das quedas de tensão no indutor (L) e no resistor (R) é igual à tensão 
aplicada no circuito 𝐸(𝑡), conforme ilustrado na figura: 
 
Figura 1:Circuito RL base 
Obtemos assim, a equação diferencial linear para a corrente 𝑖(𝑡): 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) 
Com base nessas informações, suponha que uma bateria de 12volts seja conectada a um circuito 
em série no qual a indutância é 0,5H e a resistência de 10Ω. Determine a corrente i(t) se a 
corrente inicial for 0 (zero). 
 
Figura 2:Circuito RL para o cálculo 
Resolução: 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) ➔ 0.5
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 10. 𝑖 = 12 ➔ 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 20𝑖 = 24 
 
µ = 𝑒∫ 20𝑑𝑡 ➔ µ = 𝑒20𝑡 ➔ 𝑖𝑒20𝑡 = ∫ 24𝑒20𝑡𝑑𝑡 
 
 
𝑖 = 𝑒−20𝑡[∫ 𝑒20𝑡. 24𝑑𝑥 + 𝑐] ➔ 𝑖 = 𝑒−20𝑡(
24
20
𝑒20𝑡 + 𝑐) ➔ 𝑖 =
6
5
+ 𝑒−20𝑡. 𝑐 
 
 
 
 
 
 
Para 𝑖 = 0 em 𝑡 = 0 
 
0 =
6
5
+ 𝑒0. 𝑐 ➔ c=−
6
5
 ➔ 𝑖 =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑡 
 
Resposta: 𝑖𝑡 =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑡 
 
 
 
2 QUESTÃO 2 
A queda de tensão em um capacitor com capacitância C é dada por 
𝑞(𝑡)
𝐶𝑖
, onde 𝑞 é a carga no 
capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura abaixo, a segunda lei de 
kirchhoff nos dá: 
 
𝑅𝑖 +
1
𝑐
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
 
 
Figura 3:Circuito RC base 
Mas a corrente 𝑖 e a carga 𝑞 estão relacionadas por 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑞𝑡
 , dessa forma, a equação acima trans-
forma-se na equação diferencial: 
 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
Com base nessas informações, suponha que um capacitor de 1 farads mantenha uma carga ini-
cial de Q coulombs. Para alterar a carga, uma fonte de tensão constante de 100 volts é aplicada 
por uma resistência de 2Ω. Qual a carga do capacitor para 𝑡 > 0? 
 
 
 
 
 
Figura 4:Circuito RC para o cálculo 
Resolução: 
 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝑞 = 𝐸(𝑡) ➔ 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑞 =
𝐸
𝑅
 
 
 
µ = 𝑒∫
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡
 ➔ µ = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 ➔ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
1
𝑅𝐶
 𝑞 = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 
 
 
∫
𝑑
𝑑𝑡
 [𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶] = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 ➔ ∫
𝑑
𝑑𝑡
 [𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶] 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 𝑑𝑡 
 
𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶 =
𝐸
𝑅
 ∫ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 𝑑𝑡 ➔ 𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶 =
𝐸
𝑅
 𝑅𝐶 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 + 𝐶 ➔ 𝑞 = 𝐸𝐶 + 𝐶𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 
 
Para: 
E= 100v 
C=1F 
R=2Ohms 
 
𝑞 = 100 ∗ 1 + 𝐶𝑒−
𝑡
2∗1 ➔ 𝑞 = 100 + 𝐶𝑒−
𝑡
2 
 
Resposta: 𝑞𝑡 = 100 + 𝐶𝑒
−
𝑡
2 
 
 
 
3 QUESTÃO 3 
A queda de tensão em um capacitor com capacitância C é dada por 𝑞(𝑡)/𝐶𝑖, onde 𝑞 é a carga no 
capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura abaixo, a segunda lei de 
kirchhoff nos dá: 
 
 
 
 
𝑅𝑖 +
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
 
Figura 5:Circuito RC base 
Mas a corrente 𝑖 e a carga 𝑞 estão relacionadas por 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑞𝑡
 , dessa forma, a equação acima trans-
forma-se na equação diferencial: 
 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
 
Com base nessas informações, suponha que um capacitor de 1 farads mantenha uma carga ini-
cial de Q coulombs. Para alterar a carga, uma fonte de tensão constante de 200 volts é aplicada 
por uma resistência de 4Ω. Qual a carga do capacitor para t>0? 
 
 
Figura 6:Circuito RC para o cálculo 
Resolução: 
 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝑞 = 𝐸(𝑡) ➔ 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑞 =
𝐸
𝑅
 
 
 
 
 
 
 
µ = 𝑒∫
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡
 ➔ µ = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 ➔ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
1
𝑅𝐶
 𝑞 = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 
 
 
∫
𝑑
𝑑𝑡
 [𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶] = 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 ➔ ∫
𝑑
𝑑𝑡
 [𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶] 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
𝐸
𝑅
 𝑑𝑡 
 
𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶 =
𝐸
𝑅
 ∫ 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 𝑑𝑡 ➔ 𝑞𝑒
𝑡
𝑅𝐶 =
𝐸
𝑅
 𝑅𝐶 𝑒
𝑡
𝑅𝐶 + 𝑘 ➔ 𝑞 = 𝐸𝐶 + 𝐶𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 
 
Para: 
E= 200v 
C=1F 
R=4Ohms 
 
𝑞 = 200 ∗ 1 + 𝐶𝑒−
𝑡
4∗1 ➔ 𝑞 = 200 + 𝐶𝑒−
𝑡
4 
 
Resposta: 𝑞𝑡 = 200 + 𝐶𝑒
−
𝑡
4 
 
 
 
4 QUESTÃO 4 
Obtenha a carga 𝑞(𝑡) sobre um capacitor em um circuito elétrico em série RLC quando 𝐿 = 1, 
𝑅 = 6, 𝐶 = 
1
9
 . Utilize a EDO obtida pela 2ª lei de Kirchhoff dada por: 
 
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
 
 
Figura 7:Circuito RLC para o cálculo 
Tipos de solução geral para o Método dos Coeficientes Constantes: 
Duas raízes reais: 𝑦(𝑡) = 𝐾1𝑒
𝑟1𝑡 + 𝐾2𝑒
𝑟2𝑡 
Uma raiz real de multiplicidade 2: 𝑦(𝑡) = 𝐾1𝑒
𝑟𝑡 + 𝐾2𝑡𝑒
𝑟𝑡 
Duas raízes imaginárias: 𝑦(𝑡) = 𝐾1𝑒
𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡) + 𝐾2𝑒
𝑎𝑡 sen(𝑏𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
𝑑2
𝑑𝑡2
 𝑞𝑡 + 6
𝑑
𝑑𝑡
𝑞𝑡 + 9𝑞𝑡 = 0 
 
Polinômio característico ➔ 𝜆2 + 6𝜆 + 9 = 0 
 
 𝜆2 + 6𝜆 + 9 = 0 
 
𝑞(𝑡) = 𝑘1. 𝑒
𝑟𝑡 + 𝑘2. 𝑡𝑒
𝑟𝑡 
 
𝑞(𝑡) = 𝑘1. 𝑒
−3𝑡 + 𝑘2. 𝑡𝑒
−3𝑡 
 
𝑞(𝑡) = 𝑒−3𝑡(𝑘1 + 𝑘2𝑡) 
 
𝑞(0) = 𝑘1 
 
𝑘1 = 𝑞0 
 
 
𝑖(𝑡) = 𝑒−3𝑡(𝑘2(1 − 3𝑡) − 3 𝑘1) 
 
𝑖(𝑡) = 𝑒−3𝑡(𝑘2 − 3𝑡𝑘2 − 3𝑞0) 
 
𝑖(0) = 𝑘2 − 3𝑞0 = 0 
 
𝑘2 = 3𝑞0 
 
 
Carga: 
𝑞(𝑡) = 𝑒−3(𝑞0 + 3𝑞0𝑡) ➔ 𝑞(𝑡) = 𝑞0. 𝑒
−3𝑡(1 + 3𝑡) 
 
Corrente: 
𝑖(𝑡) = 𝑒−3𝑡(3𝑞0(1 − 3𝑡) − 3𝑞0) ➔ 𝑖(𝑡) = 𝑒
−3𝑡(3𝑞0 − 9𝑞0𝑡 − 3𝑞0) ➔ 𝑖(𝑡) = −9𝑞0𝑡𝑒
−3𝑡