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Soluções do Livro: Estat́ıstica Fácil
(Antônio Arnot Crespo)
nibblediego@gmail.com
Atualizado dia 03/02/2019
Questões resolvidas do livro Estat́ıstica
Fácil do Antônio Arnot Crespo. Um bom livro
para quem nunca teve contato com a estat́ıstica
descritiva ou inferencial.
Neste documento consta apenas os enun-
ciados e soluções dos problemas propostos, mas
o livro pode ser encontrado para download no
Scribd ou em vários blogs pela internet gratuita-
mente.
Caso algum erro de resolução seja detec-
tado escreva para nibblediego@gmail.com para
que o mesmo seja corrigido.
Att. Diego Oliveira
Sumário
1 A NATUREZA DA ESTAT́ISTICA 3
1.1 Exerćıcios (página 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 POPULAÇÃO E AMOSTRA 6
2.1 Resolva (página 13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Exerćıcio (página 15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 SÉRIES ESTATÍSTICAS 11
3.1 Resolva (página 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Resolva (página 27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Exerćıcio (página 28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 20
4.1 Resolva (página 54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Resolva (página 59) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Exerćıcios (página 59) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Exerćıcios (página 69) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 MEDIDAS DE POSIÇÃO 37
5.1 Resolva (página 77) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Resolva (página 79) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Resolva (página 82) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Resolva (página 86) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Resolva (página 90) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6 Resolva (página 93) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.7 Resolva (página 97) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.8 Resolva (página 98) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.9 Exerćıcios (página 100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
6 PROBABILIDADE 54
6.1 Exerćıcios (página 135) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL 65
7.1 Exerćıcios (página 142) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Exerćıcios (página 147) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
1 A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
1.1 Exerćıcios (página 6)
1. Complete:
O método experimental é o mais usado por ciências como...
Solução:
O método experimental é o mais usado por ciências como f́ısica, qúımica, etc..
2. As ciências humanas e sociais, para obterem os dados que buscam, lançam mão de que método?
Solução:
Método estat́ıstico.
3. O que é Estat́ıstica?
Solução:
A estat́ıstica é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização,
descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
4. Cite as fases do método estat́ıstico.
Solução:
Coleta de dados;
Critica dos dados;
Apuração dos dados;
Exposição ou apresentação dos dados;
Análise dos resultados.
5. Para você o que é coletar dados.
Solução:
Resposta pessoal.
6. Para que serve a critica dos dados?
Solução:
É nesta fase que os dados são avaliados à procura de posśıveis falhas e imperfeições que poderiam
incorrer em erros grosseiros de nossos resultados.
7. O que é apurar dados?
3
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a distribuição mediante critérios
de classificação.
8. Como podem ser apresentados ou expostos os dados?
Solução:
A forma mais adequada ocorre por meio de tabelas ou gráficos.
9. As conclusões, as inferências pertencem a que parte da Estat́ıstica?
Solução:
A estat́ıstica descritiva e inferencial respectivamente.
10. Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial em que a Estat́ıstica se faz necessária.
Solução:
Avaliação de qualidade de um produto;
Seleção e organização de estratégia a ser adotada no empreendimento;
Seleção de grupos de funcionários por eficiência.
11. O método estat́ıstico têm como um de seus fins:
a. estudar os fenômenos estat́ıstico;
b. estudar qualidades concretas dos indiv́ıduos que formam grupos;
c. determinar qualidades abstratas dos indiv́ıduos que formam grupos;
d. determinar qualidades abstratas de grupos de indiv́ıduos;
e. estudar fenômenos numéricos.
Solução:
Letra “a”.
4
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso
a vários outros exerćıcios resolvidos de matemática, acesse: https://number890.wordpress.com/
E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para
que possa ser feito a devida correção.
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Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2 POPULAÇÃO E AMOSTRA
2.1 Resolva (página 13)
3. Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1◦ serie, 32 na 2◦, 30 na 3◦, 28 na 4◦, 35 na
5◦, 32 na 6◦, 31 na 7◦ e 27 na 8◦.
Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha o quadro da página seguinte.
Total
8◦
7◦
6◦
5◦
4◦
3◦
2◦
1◦
SÉRIES
250
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
28
· · ·
· · ·
35
POPULAÇÃO
· · ·
· · ·
31× 40
250
= · · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
35× 40
250
= 5, 6
CALCULO PROPORCIONAL
40
· · ·
· · ·
· · ·
6
· · ·
· · ·
· · ·
6
AMOSTRA
Solução:
6
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Total
8◦
7◦
6◦
5◦
4◦
3◦
2◦
1◦
SÉRIES
250
27
31
32
35
28
30
32
35
POPULAÇÃO
−
27× 40
250
= 4, 32
31× 40
250
= 4, 96
32× 40
250
= 5, 12
35× 40
250
= 5, 6
28× 40
250
= 4, 48
30× 40
250
= 4, 8
32× 40
250
= 5, 12
35× 40
250
= 5, 6
CALCULO PROPORCIONAL
40
4
5
5
6
4
5
5
6
AMOSTRA
2.2 Exerćıcio (página 15)
1. Uma escola de 1◦ grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondendo
a 15% da população.
Solução:
Como 15% de 124 é 18,6
124 · 15% = 124 · 15
100
= 18.6
temos de tomar o menor inteiro mais próximo de 18,6 que é 19. Ou seja, devemos escolher uma
amostra composta de 19 pessoas escolhidas aleatoriamente.
Obs: Os valores fornecidos como solução pelo livro são resultado do uso da tabela de números
aleatórios no final do mesmo.
4. O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 meninas, desejoso de
conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos e não dispondo de tempo para entrevistar
todas as faḿılias, resolveu fazer um levantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha,
para esse diretor, os elementos componentes da amostra.
Solução:Ao todo temos 600 alunos e queremos uma amostra de 10%. Assim basta obter 10% do número
de meninos e 10% do número de meninas que obteŕıamos 10% do total. Veja:
280
x
=
100%
10%
⇒ x = 28 (número de meninos a compor a amostra)
7
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
320
x
=
100%
10%
⇒ x = 32 (número de meninas a compor a amostra)
Ou seja, do grupo de 280 meninos devem ser escolhidos aleatoriamente 28 alunos e do grupo de
320 meninas devem ser escolhidas 32 alunas.
5. Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1◦ grau:
ESCOLAS
N◦ DE ESTUDANTES
: MASCULINO FEMININO
A 80 95
B 102 120
C 110 92
D 134 228
E 150 130
F 300 290
Total 876 955
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.
Solução:
O total de indiv́ıduos da população é de 1834 (879 + 955). Sendo assim uma amostra de 120
indiv́ıduos representa cerca de 6,54% da população.
1834
120
=
100%
x
⇒ x ≈ 6, 54%
Assim, basta retirar de cada grupo essa percentagem.
Do grupo de 80 meninos (representado por x80) da turma A deverão ser retirados:
x(80) = 80
(
6, 54
100
)
≈ 5 alunos.
e para os demais grupos:
x102 = 102
(
6, 54
100
)
≈ 7 alunos.
x110 = 110
(
6, 54
100
)
≈ 7 alunos.
x134 = 134
(
6, 54
100
)
≈ 8 alunos.
x150 = 150
(
6, 54
100
)
≈ 10 alunos.
x300 = 300
(
6, 54
100
)
≈ 20 alunos.
x95 = 95
(
6, 54
100
)
≈ 6 alunos.
x120 = 120
(
6, 54
100
)
≈ 8 alunos.
x92 = 92
(
6, 54
100
)
≈ 6 alunos.
x228 = 228
(
6, 54
100
)
≈ 15 alunos.
x130 = 130
(
6, 54
100
)
≈ 9 alunos.
x290 = 290
(
6, 54
100
)
≈ 19 alunos.
De posse desses valores o diretor deve fazer a escolha dos alunos de forma aleatória.
8
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
6. Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, n1 = 40,
n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional,
nove elementos da amostra foram retirados do 3◦ estrato, determine o número total de elementos da
amostra.
Solução:
A população total é a soma dos três estratos (n1, n2, n3), isto é: 200. Sabemos que do terceiro
extrato (n3) foram utilizados apenas 9 elementos, então com base nesses dados temos a seguinte
proporção:
200
60
=
Amostra
9
que implica numa amostra igual a:
Amostra =
200 · 9
60
= 30
Ou seja, a amostra é de 30 indiv́ıduos.
7. Mostre como seria posśıvel retirar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada
formada por 2.432 elementos. Na ordenação real, qual dos elementos abaixo seria escolhido para
pertencer a amostra, sabendo-se que o elemento de ordem 1.420 e ela pertence? 1.648◦ , 290◦, 725◦,
2.025◦; 1.120◦.
Solução:
Isso poderia ser feito com base numa tabela de números aleatórios. E se o elemento de numero
1420 compor essa amostra então é provável que o próximo elemento seja maior que ele. Considerando
os valores fornecidos então o próximo elemento deve ser o de número 1648.
9
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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3 SÉRIES ESTATÍSTICAS
3.1 Resolva (página 25)
Complete a tabela abaixo.
ESCOLAS N◦ DE ALUNOS DADOS RELATIVOS
POR 1 POR 100
A 175 0,098 9,8
B 222 · · · · · ·
C 202 · · · · · ·
D 362 · · · · · ·
E 280 · · · · · ·
F 540 · · · · · ·
TOTAL 1.781 1,000 100,0
Cálculos:
A→ 175× 1
1.781
= 0, 098
Solução:
B → 222× 1
1.781
= 0, 125
C → 202× 1
1.781
= 0, 113
D → 362× 1
1.781
= 0, 203
E → 280× 1
1.781
= 0, 157
F → 540× 1
1.781
= 0, 303
ESCOLAS N◦ DE ALUNOS DADOS RELATIVOS
POR 1 POR 100
A 175 0,098 9,8
B 222 0,125 12,5
C 202 0,113 11,3
D 362 0,203 20,3
E 280 0,157 15,7
F 540 0,303 30,3
TOTAL 1.781 1,000 100,0
11
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3.2 Resolva (página 27)
1. Uma escola registrou em março na 1◦ série, a matricula de 40 alunos e a matŕıcula efetiva, em
dezembro, de 35 alunos. A taxa de evasão foi de:
TEE =
n◦ de evadidos
n◦ matricula inicial
× 100 = 40− 35
40
× 100 = · · ·
· · ·
× 100 = 12, 5%
Solução:
TEE =
n◦ de evadidos
n◦ matricula inicial
× 100 = 40− 35
40
× 100 = 5
4
× 100 = 12, 5%
2. Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos, sabendo que obtiveram
aprovação 36 alunos.
TAE =
n◦ de aprovação
n◦ matriculas final
× 100 = · · ·
· · ·
× · · · = 80%
Solução:
TAE =
n◦ de aprovação
n◦ matriculas final
× 100 = 36
45
× · · · = 80%
3.3 Exerćıcio (página 28)
1. Considere a série estat́ıstica:
SÉRIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546
2a 328
3a 280
4a 120
Total 1.274
Complete-a determinando as percentagens com uma casa decimal e fazendo a compensação, se
necessário.
Solução:
Usando regra de três simples chega-se ao valor da primeira célula vazia.
1.274
546
=
100%
x
⇒ x = 100 · 546
1.274
≈ 42, 9%
SÉRIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546 42,9
2a 328
3a 280
4a 120
Total 1.274
12
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Analogamente se calcula os demais valores chegando a tabela a seguir.
SÉRIES ALUNOS MATRICULADOS %
1a 546 42,9
2a 328 25,7
3a 280 22,0
4a 120 9,4
Total 1.274 100
2. Uma escola apresentava no final do ano o seguinte quadro:
SÉRIES
MATŔICULAS
: MARÇO NOVEMBRO
1a 480 475
2a 458 456
3a 436 430
4a 420 420
Total 1.794 1.781
a. Calcule a taxa de evasão por série.
b. Calcule a taxa de evasão da escola.
Solução de A:
Seja TEn a taxa de evasão da enésima série, então:
TE1 =
Número de alunos evadidos
número inicial de alunos
× 100
⇒ TE1 =
480− 475
480
× 100 ≈ 1%
⇒ TE1 ≈ 1%
Analogamente se determina: TE2 = 0.4%; TE3 = 1, 4%; TE4 = 0%.
Solução de B:
Seja TE a taxa de evasão da escola, então:
TE =
Número de alunos evadidos
número inicial de alunos
× 100
⇒ TE =
1.794− 1.781
1.794
× 100 ≈ 0.7%
⇒ TE ≈ 0.7%
3. Considere a tabela abaixo:
13
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
EVOLUÇÃO DAS RECEITAS DO
CAFÉ INDUSTRIALIZADO
JAN/ABR – 1994
MESES VALOR (US$ milhões)
Janeiro 33,3
Fevereiro 54,1
Março 44,5
Abril 52,9
Total 184,8
a. Complete-a com uma coluna de taxas percentuais.
b. Como se distribuem as receitas em relação ao total?
c. Qual o desenvolvimento das receitas de um mês para o outro?
d. Qual o desenvolvimento das receitas em relação ao mês de janeiro?
Solução de A:
Usando regra de três simples determina-se o primeiro valor da coluna requerida.
184, 8
33, 3
=
100%
x
⇒ x ≈ 18%
MESES VALOR (US$ milhões) %
Janeiro 33,3 18
Fevereiro 54,1
Março 44,5
Abril 52,9
Total 184,8
Analogamente se determina os demais valores.
MESES VALOR (US$ milhões) %
Janeiro 33,3 18
Fevereiro 54,1 29,3
Março 44,5 24,1
Abril 52,9 28,6
Total 184,8 100
Solução de B:
Olhando para a tabela acima encontramos: 18,0; 29,3; 24,1 e 28,6.
Solução de C:
A taxa de desenvolvimento de um mês em relação a outro pode ser determinado por:
Receita do mês 2
Receita do mês 1
× 100
Sendo assim, o desenvolvimento de fevereiro em relação a janeiro será:
54,1
33, 3
× 100 ≈ 162, 5
De março em relação a fevereiro.
14
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
44,5
54, 1
× 100 ≈ 82, 3
De abril em relação a março.
52,9
44, 5
× 100 ≈ 118,9
Solução de D:
Analogamente a solução anterior se chega à:
100, 162, 133,6 e 158,9.
4. São paulo tinha, em 1992, uma população de 32.182,7 mil habitantes. Sabendo que sua área
terrestre é de 248,256 km2, calcule a sua densidade demonográfica.
Solução:
DD =
n◦ de habitantes
Área em km2
=
32.182, 7
248, 256
≈ 129, 6 hab/km2
5. Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos pelo IBGE):
• população: 15.957,6 mil habitantes;
• superf́ıcie: 586,624 km2;
• nascimentos: 292,036;
• óbitos: 99,281.
Calcule:
a. o ı́ndice de densidade demográfica;
b. a taxa de natalidade;
c. a taxa de mortalidade.
Solução:
DD =
n◦ de habitantes
superficie
× 100 = 15.957, 6
586, 624
≈ 27, 2 hab/km2
TN =
n◦ de nascimentos
n◦ total de habitantes
× = 292, 036
15.957, 6
× 1000 ≈ 18, 3%◦
TM =
n◦ de mortes
n◦ total de habitantes
× = 99, 281
15.957, 6
× 1000 ≈ 0, 62%◦
6. Uma frota de 40 caminhões, transportando, cada um, 8 toneladas, dirige-se a duas cidades A e
B. Na cidade A são descarregados 65% desses caminhões, por 7 homens, trabalhando 7 horas. Os cam-
inhões restantes seguem para a cidade B, onde 4 homens gastam 5 horas para o seu descarregamento.
Em que cidade se obteve melhor produtividade?
15
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
Na cidade A foram descarregados 26 caminhões (26 é 65% de 40) em 7 horas. E na cidade B 14
caminhões (40 - 26) são descarregados por 4 homens em 5 horas.
Usando regra de três composta vamos calcular em quantas horas a cidade A levaria para realizar o
trabalho de B com apenas 5 de seus homens.
26 caminhões
16 caminhões
× 7 horas
x
× 5 pessoas
7 pessoas
⇒ x ≈ 6, 031
Como B realizaria o trabalho em 5 horas, 1,031 horas a menos que A, então B é a cidade mais
produtiva.
7. Um professor preencheu um quadro, enviado pelo D.E., com os seguintes dados:
SÉRIE E
TURMA
N◦ DE
ALUNOS
30.03
N◦ DE
ALUNOS
30.11
PROMOVIDOS SEM
RECUPERAÇÃO
RETIDOS
EM
RECUPE-
RAÇÃO
EM
RECUPE-
RAÇÃO
RECU- PER-
ADOS
NÃO RECU-
PERADOS
TOTAL
PROMOVIDOS RETIRADOS
1◦ B 49 44 35 03 06 05 01 40 04
1◦ C 49 42 42 00 00 00 00 42 00
1◦ E 47 35 27 00 08 03 05 30 05
1◦ F 47 40 33 06 01 00 01 33 07
Total 192 161 137 09 15 08 07 145 16
Calcule:
a. a taxa de evasão, por classe;
b. a taxa de evasão total;
c. a taxa de aprovação, por classe;
d. a taxa de aprovação geral;
e. a taxa de recuperação, por classe;
f. a taxa de recuperação geral;
g. a taxa de reprovação na recuperação geral;
h. a taxa de aprovação, sem a recuperação;
i. a taxa de retidos, sem a recuperação.
Solução de A:
A taxa de evasão escolar (TE) é a razão entre o número de evadidos pelo número total de alunos
multiplicado por uma potência de dez..
TEB =
(
49− 44
49
)
100 = 10, 2
TEC =
(
49− 42
49
)
100 = 14, 3
TEE =
(
47− 35
47
)
100 = 25, 5
TEF =
(
47− 40
47
)
100 = 14, 9
16
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Solução de B:
TE=
(
192− 161
192
)
100 = 16, 1
Solução de C:
A taxa de aprovação (TA) é igual ao número de alunos aprovado dividido pelo número total de
alunos (aprovados + retidos) multiplicado por uma potência de dez.
TAB =
(
40
40 + 4
)
100 = 90, 9
TAC =
(
42
42 + 0
)
100 = 100
TAE =
(
30
30 + 5
)
100 = 85, 7
TAF =
(
33
33 + 7
)
100 = 82, 5
Solução de D:
TA=
(
145
145 + 16
)
100 = 90, 1
Solução de E:
A taxa de recuperação (TR) é a razão, multiplicada por uma potência de 10, entre o número de
alunos recuperados e do número de alunos que foram para a recuperação.
TRB =
(
5
6
)
100 = 82, 5
TRC =
(
0
0
)
100 =∞
TRE =
(
8
3
)
100 = 37, 5
TRF =
(
5
6
)
100 = 0
Solução de F:
TR=
(
8
15
)
100 = 53, 3
Solução de G:
A taxa de reprovação na recuperação geral (TRG) é a razão entre o número de alunos reprovados
pelo número de alunos que foram para a recuperação multiplicado por um múltiplo de dez.
TRG =
(
7
15
)
100 = 46, 7
17
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Solução de H:
A taxa de aprovação, sem a recuperação, (TA) é a razão entre o número de alunos aprovados (sem
a recuperação) dividido pelo número total de alunos (que permaneceram) multiplicado por um múltiplo
de dez.
TA =
(
137
161
)
100 = 85, 1
Solução de I:
A taxa de retidos, sem a recuperação, (T) é a razão entre o número de alunos retidos (sem a
recuperação) dividido pelo número total de alunos (que permaneceram) multiplicado por um múltiplo
de dez.
T =
(
9
161
)
100 = 5, 6
18
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19
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4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
4.1 Resolva (página 54)
1. As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9
a. Complete a distribuição de frequência abaixo:
i NOTAS xi fi
1 0 ` 2 1 1
2 2 ` 4 · · · · · ·
3 4 ` 6 · · · · · ·
4 6 ` 8 · · · · · ·
5 8 ` 10 · · · · · ·∑
fi = 50
b. Agora, responda:
1. Qual a amplitude amostral?
2. Qual a amplitude de distribuição?
3. Qual o número de classes da distribuição?
4. Qual o limite inferior da quarta classe?
5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?
6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?
c. Complete:
1. h3 = · · ·
2. n = · · ·
3. l1 = · · ·
4. L3 = · · ·
5. x2 = · · ·
6. f5 = · · ·
Solução de A:
i NOTAS xi fi
1 0 ` 2 1 1
2 2 ` 4 3 11
3 4 ` 6 5 13
4 6 ` 8 7 16
5 8 ` 10 9 9∑
fi = 50
Solução de B:
1. AA = Valor máximo da amostra - valor ḿınimo da amostra
⇒ AA = 9− 1
⇒ AA = 8
20
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2. AT = Valor máximo da ultima classe - valor ḿınimo da primeira classe
⇒ AT = 10− 0
⇒ AT = 10
3. Cinco classes. São elas: 0 ` 2, 2 ` 4, 4 ` 6, 6 ` 8, 8 ` 10.
4. A quarta classe é o intervalo 6 ` 8 cujo limite inferior é 6.
5. A classe de ordem 2 é o intervalo 2 ` 4 cujo limite superior é 4.
6. A classe de ordem 2 é o intervalo 2 ` 4 então:
h2 = L2 − l2
⇒ h2 = 4− 2
⇒ h2 = 2
Solução de C:
1. h3 = L3 − l3 = 6− 4 = 2
2. n = 50 (número total de dados)
3. l1 = 0
4. L3 = 3
5. x2 = 3
6. f5 = 9
4.2 Resolva (página 59)
1. Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências simples:
i xi fi Fi
1 2 · · · 2
2 3 · · · 9
3 4 · · · 21
4 5 · · · 29
5 6 · · · 34∑
= 34
Solução:
i xi fi Fi
1 2 2− 0 = 2 2
2 3 9− 2 = 7 9
3 4 21− 9 = 12 21
4 5 29− 21 = 8 29
5 6 34− 29 = 5 34∑
= 34
21
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4.3 Exerćıcios (página 59)
1. Conhecida as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de frequências, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para
intervalo de classe.
Solução:
NOTAS
fi
30 ` 40 ` 50 ` 60 ` 70 ` 80 ` 90 ` 100
4 6 9 11 9 7 4
2. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5
1 6 3 3 5 1 3 6 3 4
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6
2 2 5 2 5 1 3 6 5 1
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
forme uma distribuição de frequência sem intervalo declasse.
Solução:
xi 1 2 3 4 5 6
fi 6 8 9 7 10 10
3. Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos:
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 101 85 98 75 73 90 86
86 84 86 76 76 83 103 86 84 85
76 80 92 102 73 87 70 85 79 93
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89
71 73 63 105 74 98 78 78 83 96
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76
94 75 67 95 108 98 71 92 72 73
forme uma distribuição de frequência.
Solução:
NOTAS 62 ` 68 ` 74 ` 80 ` 86 ` 92 ` 98 ` 104` 110
fi 5 14 16 24 16 13 10 2
4. A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um
mês, por uma firma comercial
22
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14 12 11 13 14 13
12 14 13 14 11 12
12 14 10 13 15 11
15 13 16 17 14 14
Forme uma distribuição de frequências sem intervalos de classe.
Solução:
xi 10 11 12 13 14 15 16 17
fi 1 3 4 5 7 2 1 1
5. Complete a tabela abaixo:
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 · · · · · · · · ·
2 8 ` 16 10 · · · · · · · · ·
3 16 ` 24 14 · · · · · · · · ·
4 24 ` 32 9 · · · · · · · · ·
5 32 ` 40 3 · · · · · · · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
Solução:
Sabendo que fri =
fi∑
fi
então:
fr1 =
f1∑
fi
=
4
40
= 0, 1
fr2 =
f2∑
fi
=
10
40
= 0, 25
fr3 =
f3∑
f1
=
14
40
= 0, 35
...
Sendo assim:
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 · · · · · ·
2 8 ` 16 10 0,25 · · · · · ·
3 16 ` 24 14 0,35 · · · · · ·
4 24 ` 32 9 0,225 · · · · · ·
5 32 ` 40 3 0,075 · · · · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
A terceira coluna Fi pode ser completada usando a fórmula:
Fi =
i∑
n=1
fi
Assim:
23
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F1 =
1∑
n=1
fi ⇒ F1 = f1 = 4
F2 =
2∑
n=1
fi ⇒ F2 = f1 + f2 = 14
F3 =
3∑
n=1
fi ⇒ F3 = f1 + f2 + f3 = 28
...
portanto
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 4 · · ·
2 8 ` 16 10 0,25 14 · · ·
3 16 ` 24 14 0,35 28 · · ·
4 24 ` 32 9 0,225 37 · · ·
5 32 ` 40 3 0,075 40 · · ·∑
= 40
∑
= 1, 00
Analogamente usando a fórmula da página 64 completamos a terceira coluna.
i CLASSES fi fri Fi Fri
1 0 ` 8 4 0,1 4 0,1
2 8 ` 16 10 0,25 14 0,35
3 16 ` 24 14 0,35 28 0,7
4 24 ` 32 9 0,225 37 0,925
5 32 ` 40 3 0,075 40 1∑
= 40
∑
= 1, 00
6. Dada a distribuição de frequência:
xi 3 4 5 6 7 8
fi 2 5 12 10 8 3
Determine
a.
∑
fi:
b. as frequências relativas;
c. frequências acumuladas;
d. as frequências relativas acumuladas.;
Solução:
a. 40
b. 0,05; 0,125; 0,3; 0,25; 0,2; 0,075
c. 2; 7; 19; 29; 37; 40
d. 0,05; 0,175; 0,475; 0,725; 0,925; 1
24
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Dica: Veja o exerćıcio anterior.
7. A tabela a abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes:
ÁREAS
m2
N◦ DE
LOTES
300 ` 400 ` 500 ` 600 ` 700 ` 800 ` 900 ` 1.000 ` 1.100 ` 1.200
14 46 58 76 68 62 48 22 6
Com referencia a essa tabela, determine:
a. a amplitude total;
b. o limite superior da quinta classe;
c. o limite inferior da oitava classe
d. o ponto médio da sétima classe;
e. a amplitude do intervalo da segunda classe;
f. a frequência da quarta classe;
g. a frequência relativa da sexta classe
h. a frequência acumulada da quinta classe;
i. o número de lotes cuja área não atinge 700m2
j. o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2
l. a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600m2
m. a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900m2
n. a percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no ḿınimo, mas inferior a 1.000 m2;
o. a classe do 72◦ lote;
p. até que classe estão inclúıdos 60% dos lotes.
Solução:
a. 900;
b. 800;
c. 1.000;
d. 950;
e. 100; f. 76;
g. 0,155;
h 262;
i. 194; j 138;
l. 29, 5%;
m. 19%;
n. 78%;
o. i = 3;
p. i = 5;
8. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa
de ônibus.
N◦ de ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7
N◦ MOTORISTAS 20 10 16 9 6 5 3 1
Determine:
a. o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b. o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acintes
c. o número de motorista que sofreram menos de 3 acidentes;
d. o número de motoristas que sofreram no minimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e. a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
25
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Solução:
a. 20 b. 15 c. 46 d. 20 e. 65,7%
9. Complete os dados que faltam na distribuição de frequência:
a.
i xi fi fri Fi
1 0 1 0,05 · · ·
2 1 · · · 0,15 4
3 2 4 · · · · · ·
4 3 · · · 0,25 13
5 4 3 0,15 · · ·
6 5 2 · · · 18
7 6 · · · · · · 19
8 7 1 · · · · · ·∑
= 20
∑
= 1, 00
b.
i CLASSES xi fi Fi fri
1 0 2 1 4 · · · 0,04
2 2 4 · · · 8 · · · · · ·
3 4 6 5 · · · 30 0,18
4 · · · 7 27 · · · 0,27
5 8 10 · · · 15 72 · · ·
6 10 12 · · · · · · 83 · · ·
7 · · · 13 10 93 0,10
8 14 16 · · · · · · · · · 0,07∑
= · · ·
∑
= · · ·
Solução:
Resposta no fim do livro.
4.4 Exerćıcios (página 69)
1. Considere as distribuições de frequência seguintes, confeccione, para cada uma:
a. o histograma;
b. o poĺıgono de frequência;
c. o poĺıgono de frequência acumulada;
26
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i.
i PESOS (kg) fi
1 40 ` 44 2
2 44 ` 48 5
3 48 ` 52 9
4 52 ` 56 6
5 56 ` 60 4∑
= 26
ii.
i ESTATURAS (cm) fi
1 150 ` 156 1
2 156 ` 162 5
3 162 ` 168 8
4 168 ` 174 13
5 174 ` 180 3∑
= 30
iii.
i SALÁRIOS (R$) fi
1 500 ` 700 8
2 700 ` 900 20
3 900 ` 1.100 7
4 1.100 ` 1.300 5
5 1.300 ` 1.500 2
6 1.500 ` 1.700 1
7 1.700 ` 1.900 3∑
= 44
Solução de a:
Apesar de não ser a proposta do livro vamos resolver esse exerćıcio usando o Excel 2013. Então,
abra o Excel e crie uma nova planilha. Com uma tabela como na imagem a seguir.
Vale lembrar que, nos histogramas, os dados de intervalos correspondem a coordenada x (horizontal)
e os dados de frequência correspondem a coordenada y (vertical).
Após ter feito a tabela acima, selecione todos os dados das colunas B e C como na imagem a seguir
27
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
clique na guia inserir e depois no botão Colunas escolhendo o primeiro item da categoria “Coluna
2D”.
Você obterá algo semelhante com a imagem a seguir.
Note que as barras aparecerem automaticamente, mas o espaçamento delas ainda é grande demais,
fazendo com que nosso histograma pareça um gráfico de barra normal.
Para finalizar, clique com o botão direito do mouse em cima de qualquer uma das barras e selecione
a opção “Formatar Séries de Dados”. Na janela que se abre, defina “Largura do Espaçamento” como
0% e dê “Ok”. Agora você terá algo parecido com a imagem abaixo.
Solução de b
Para inserir o poĺıgono de frequência selecionamos os dados da coluna “C” como na imagem abaixo.
28
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Clicando com o botão direito do mouse sobre o gráfico escolha a opção “Selecionar Dados”.
A seguinte janela deve aparecer.
29
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Nela, clique no botão “Adicionar”. Isso fará com que uma nova janela surja.
Dentro dela, no campo “Valores da série” apague tudo e digite: =Plan1!$C$2:$C$6
Em seguida clique em “ok”.
Voltando a planilha clique em uma das barras que acabaram de surgir dentro do gráfico (neste caso
uma das barras laranjas).
Agora na guia Design clique em “Alterar Tipo de Gráfico”.
Na janela que abrir escolha a opção “combinação” do lado esquerdo, clique no botão “coluna
clusterizada” e em seguida dê Ok.
30
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
O resultado deve ser o seguinte.
Solução de c
Para construir o poĺıgono de frequência acumulada constrúımos mais duas colunas na tabela.
31
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Note que a primeira (ls) é o valor superior de cada intervalo, ao passo que a segunda (fc) é a soma
das frequências.
Agora selecione as células D2 até D7 e E2 até E7 como mostrado a seguir.
Na guiaInserir clique em inserir gráfico de dispersão. Escolha a opção Dispersão com
linhas retas e marcadores.
O resultado deve ser o seguinte.
O restante da questão fica a cargo do leitor.
2. Confeccione o gráfico da distribuição:
32
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
ÁREAS
N◦ DE
(m2)
LOTES
300 ` 400 ` 500 ` 600 ` 700 ` 800 ` 900 ` 1.000 ` 1.100 ` 1.200
14 46 58 76 68 62 48 22 6
Solução:
Solução no fim do livro.
3. Confeccione a curva polida relativa a distribuição de frequência:
i CLASSES fi
1 4 ` 8 2
2 8 ` 12 5
3 12 ` 16 9
4 16 ` 20 6
5 20 ` 24 2
6 24 ` 28 1∑
= 25
Solução:
i CLASSES fi fci
1 4 ` 8 2 (0 + 2 · 2 + 5)/4 = 2.25
2 8 ` 12 5 (2 + 2 · 5 + 9)/4 = 5.25
3 12 ` 16 9 (5 + 2 · 9 + 6)/4 = 7.25
4 16 ` 20 6 (9 + 2 · 6 + 2)/4 = 5.75
5 20 ` 24 2 (6 + 2 · 2 + 1)/4 = 2.75
6 24 ` 28 1 (2 + 2 · 1 + 0)/4 = 1∑
= 25
O gráfico então é a curva que passa pelos pontos da tabela a seguir.
x y
(4 + 8)/2 2.25
(8 + 12)/2 5.25
(12 + 16)/2 7.25
(16 + 20)/2 5.75
(20 + 24)/2 2.75
(24 + 28)/2 1
⇒
x y
6 2.25
(10 5.25
14 7.25
18 5.75
22 2.75
26 1
4. Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de
inteligencia a um grupo de alunos, responda:
a. Qual é o intervalo de classe que tem maior frequência?
b. Qual a amplitude total de distribuição;
c. Qual o número total de alunos?
d. Qual a frequência do intervalo de classe 110 ` 120?
e. Quais os dois intervalos de classe tais que a frequência de um é o dobro da frequência do outro?
33
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
f. Quais são os dois intervalos de classe tais que a frequência de um é o dobro da frequência do
outro?
g. Quantos alunos receberam notas de testes entre 90 (inclusive) e 110?
h. Quantos alunos receberam notas não-inferiores a 100?
20 40 60 80 100 120 140 160
5
10
15
20
25
Solução:
Solução no final do livro.
5. Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuição a seguir:
a. Número de mulheres de 15 a 30 alunos, em uma dada população, casadas, classificadas segundo
o número de vezes que hajam contráıdo matrimonio.
b. Notas de alunos que cursam a ultima série do 2◦ grau, em uma dada população.
c. Coeficientes de mortalidade por acidente, por grupo de idade.
d. Tempo de estacionamento de véıculos motorizados em uma área de congestionamento.
e. Número de homens capacitados, por grupo de idade, que estão desempregados em uma deter-
minada época.
Solução:
Solução ao final do livro.
6. Conhecida as notas de 50 alunos
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
determine
a. a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude
igual a 10;
b. as frequências acumuladas;
34
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
c. as frequências relativas;
d. o histograma e o poĺıgono de frequência.
Solução:
Solução no fim do livro.
7. A tabela abaixo apresenta os coeficientes de liquidez obtidos com a análise de balanço em 50
industrias:
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0
a. Forme com essas dados uma distribuição com intervalos de classe iguais a 3, tais que os limites
inferiores sejam múltiplos de 3.
b. Confeccione o histogramas e o poĺıgono de frequência correspondentes.
Solução:
Solução no fim do livro.
8. Um grau de nebulosidade registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo:
NEBUL.
fi
0 ` 0,5 ` 1,5 ` 2,5 ` 3,5 ` 4,5 ` 5,5 ` 6,5 ` 7,5 ` 8,5 ` 9,5 ` 10,0
320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 675
Construa o histograma correspondente.
Solução:
Solução no fim do livro.
35
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36
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Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5 MEDIDAS DE POSIÇÃO
5.1 Resolva (página 77)
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
xi 1 2 3 4 5 6
fi 2 4 6 8 3 1
Temos:
xi fi xifi
1 2 2
2 4 ...
3 6 ...
4 8 ...
5 3 ...
6 1 ...∑
= ...
∑
= ...
Como
∑
fi = ....,
∑
xifi = ...
e
x =
∑
xifi∑
fi
temos:
x =
...
...
⇒ x = 3, 4
Solução:
Primeiro completamos a tabela.
xi fi xifi
1 2 2
2 4 8
3 6 18
4 8 32
5 3 15
6 1 6∑
= 24
∑
= 81
Como
∑
fi = 24,
∑
xifi = 81
e
x =
∑
xifi∑
fi
=
81
24
= 3, 375
temos que a média é de exatamente 3,375.
37
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5.2 Resolva (página 79)
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
450 550 650 750 850 950 1.050 1.150` ` ` ` ` ` `
8 10 11 16 13 5 1
CUSTO
R$
fi
Temos:
i xi fi xifi
1 500 8 4.000
2 ... 10 ...
3 ... 11 ...
4 ... 16 ...
5 ... 13 ...
6 ... 5 ...
7 1.100 1 ...∑
= ...
∑
= ...
Logo:
x =
...
...
= ...,
donde
x = R$ 755
Solução:
Primeiro completamos a tabela.
i xi fi xifi
1 500 8 4.000
2 (550 + 650)/2 = 600 10 6.000
3 (650 + 750)/2 = 700 11 7.700
4 (750 + 850)/2 = 800 16 12.800
5 (850 + 950)/2 = 900 13 11.700
6 (950 + 1.050)/2 = 1.000 5 5.000
7 1.100 1 1.100∑
= 64
∑
= 48.300
Finalmente calculamos a média.
x =
∑
xifi∑
fi
=
48.300
64
= 754, 6875
38
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5.3 Resolva (página 82)
1. Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
CUSTOS (R$ ) 30 ` 50 ` 70 ` 90 ` 110 ` 130
fi 2 8 12 10 5
Temos:
i xi fi yi xifi
1 40 ... ... ...
2 ... ... ... ...
3 ... 12 ... ...
4 ... ... ... ...
5 ... ... 2 ... ...
x0
∑
= ...
∑
= ...
Como:
h = ...
vem: x = ...+
...× ...
...
= ...+ ...⇒ x = 84, 3
Solução:
O primeiro passo é determinar a coluna do x.
i xi fi yi yifi
1 40 ... ... ...
2 (50+70)/2 = 60 ... ... ...
3 (70+90)/2=80 12 ... ...
4 (90+110)/2=100 ... ... ...
5 (110+130)/2=120 ... 2 ... ...
x0
∑
= ...
∑
= ...
A terceira coluna fi pode ser preenchida olhando a tabela.
i xi fi yi yifi
1 40 2 ... ...
2 60 8 ... ...
3 80 12 ... ...
4 100 10 ... ...
5 120 5 2 ... ...
x0
∑
= 37
∑
= ...
Como a variação das classes ocorrem de 20 em 20 (de 30 para 50, de 50 para 70 e etc.) então h = 20.
Como y5 = 2 então:
yi =
xi − x0
h
⇒ y5 =
x5 − x0
h
= 2⇒ x5 − x0
20
⇒ x0 = 80
Assim, x0 = 80.
De posse desses valores determinamos a 4a coluna.
y1 =
x1 − x0
h
=
40− 80
20
= −2
39
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
y2 =
x2 − x0
h
=
60− 80
20
= −1
y3 =
x3 − x0
h
=
80− 80
20
= 0
y4 =
x4 − x0
h
=
100− 80
20
= 1
y5 =
x5 − x0
h
=
120− 80
20
= 2
i xi fi yi yifi
1 40 2 -2 ...
2 60 8 -1 ...
3 80 12 0 ...
4 100 10 1 ...
5 120 5 2 ... ...
x0
∑
= 37
∑
= ...
E também a 5a coluna.
i xi fi yi yifi
1 40 2 -2 -4
2 60 8 -1 -8
3 80 12 0 0
4 100 10 1 10
5 120 5 2 10
x0
∑
= 37
∑
= 8
como: x = x0 +
∑
yifi × h∑
fi
então para o caso em particular temos x = 80 +
8× 20
37
⇒ x ' 84, 3.
5.4 Resolva (página 86)
1. Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de frequência:
i CUSTO (R$) fi
1 450 ` 550 8
2 550 ` 650 10
3 650 ` 750 11
4 750 ` 850 16
5 850 ` 950 13
6 950 ` 1.0507 1.050 ` 1.150 1∑
= 64
A classe modal é a de ordem...
Logo:
l∗ = ... e L∗ = ...
Temos, pois:
Mo =
...+ ...
2
=
...
2
= ...,
isto é:
40
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Mo = R$ 800
Solução:
A classe modal é a de ordem i igual a 4, já que este é o intervalo de maior frequência.
Logo:
l∗ = 750 e L∗ = 850
Temos, pois:
Mo =
750 + 850
2
=
1.600
2
= 800,
isto é:
Mo = R$ 800
5.5 Resolva (página 90)
1. Complete o esquema para o cálculo da mediana das distribuições:
2 4 6 8 10
3 7 12 8 4
Temos:
xi fi Fi
2 3 ...
4 7 10
6 12 ...
8 8 30
10 4 ...∑
= ...
Como:
∑
fi
2
=
...
2
= ... vem: Md = ...
b.
xi fi Fi
0 2 2
... ... ...
... 9 ...
... ... ...
4 ... ...
... ... ...∑
= ...
Como:
∑
fi
2
=
...
2
= ... vem: Md =
...
...
isto é: Md = ...
41
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
Temos:
xi fi Fi
2 3 3
4 7 10 (3+7)
6 12 22 (10+12)
8 8 30 (22+8)
10 4 34 (30+4)∑
= 34
Como:
∑
fi
2
=
34
2
= 12 vem: Md = 6
b.
xi fi Fi
0 2 2
1 5 7
2 9 16
3 7 23
4 6 29
5 3 32∑
= 2
Como:
∑
fi
2
=
32
2
= 16 vem: Md =
2 + 3
2
isto é: Md = 2, 5
5.6 Resolva (página 93)
1. Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de frequência:
CUSTOS (R$) 450 ` 550 ` 650 ` 750 ` 850 ` 920 ` 1.050 ` 1.150
fi 8 10 11 16 13 5 1
Temos:
i CUSTOS (R$) fi Fi
1 450 ` 550 8 8
2 550 ` 650 ... 18
3 650 ` 750 ... ...
4 750 ` 850 ... ...
5 850 ` 950 ... ...
6 950 ` 1.050 ... ...
7 1.050 ` 1.150 ... ...∑
= ...∑
fi
2
=
...
2
= ...
l∗ = ...F (ant) = f∗ = ... e h∗ = ...
Logo:
Md = ...+
(...− ...)...
...
= ...+
...
...
= ...+ ... = ...
42
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
isto é:
Md = R$ 769
Solução:
Temos:
i CUSTOS (R$) fi Fi
1 450 ` 550 8 8
2 550 ` 650 10 18
3 650 ` 750 11 29
4 750 ` 850 16 45
5 850 ` 950 13 58
6 950 ` 1.050 5 63
7 1.050 ` 1.150 1 64∑
= 64∑
fi
2
=
64
2
= 32
l∗ = 750 F (ant) = 29 f∗ = 16 e h∗ = 100
Logo:
Md = 750 +
(32− 29)100
16
= 750 +
300
16
= 750 + 18.75 = 768.75
isto é:
Md = R$ 769
Nota: O arredondamento de 768,75 para 769 deve-se pelo fato de que 300/16 não é um número
inteiro. Assim, o autor deve ter considerado o valor de 19 para ela uma vez que é o valor inteiro mais
próximo. Entretanto, como a tabela se trata de custos (que pode apresentar números não inteiros) essa
substituição pode ser desprezada assim como foi feito aqui.
5.7 Resolva (página 97)
1. Complete os esquemas para o cálculo do primeiro e do terceiro quartis da distribuição de frequência:
CUSTOS (R$) 450 ` 550 ` 650 ` 750 ` 850 ` 920 ` 1.050 ` 1.150
fi 8 10 11 16 13 5 1
Temos:
i CUSTOS (R$) fi Fi
1 450 ` 550 8 8
2 550 ` 650 10 18 (Q1)
3 650 ` 750 11 29
4 750 ` 850 16 45
5 850 ` 950 13 58 (Q2)
6 950 ` 1.050 5 63
7 1.050 ` 1.150 1 64∑
= 64
43
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Primeiro quartil
k = 1 ⇒
∑
fi
4
=
...
4
= ...
l∗ = ... F (ant) = ..., f∗ = ..., h∗ = ...
Q1 = ...+
(...− ...)...
...
=
= ...+
...× ...
...
=
= ...+ ... = ...
Q1 = R$ 630
Terceiro quartil
k = 3 ⇒ 3
∑
fi
4
=
3× ...
4
=
...
4
= ...
l∗ = ... F (ant) = ..., f∗ = ..., h∗ = ...
Q3 = ...+
(...− ...)...
...
=
= ...+
...× ...
...
=
= ...+ ... = ...
Q3 = R$ 873
Solução:
Primeiro quartil
k = 1 ⇒
∑
fi
4
=
64
4
= 16
l∗ = 550 F (ant) = 8, f∗ = 10, h∗ = 100
Q1 = 550 +
(16− 8)100
10
=
= 550 +
8× 100
10
=
= 550− 80 = 5
Q1 = R$630
Terceiro quartil
k = 3 ⇒ 3
∑
fi
4
=
3× 64
4
=
192
4
= 48
l∗ = 850 F (ant) = 45, f∗ = 13, h∗ = 100
Q3 = 850 +
(48− 45)100
13
=
= 850 +
3× 100
13
=
= 850 + 23, 076923 = 873, 076923
Q3 = R$873
44
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5.8 Resolva (página 98)
1. Complete os esquemas para o cálculo do vigésimo percentil da distribuição:
CUSTOS (R$) 450 ` 550 ` 650 ` 750 ` 850 ` 920 ` 1.050 ` 1.150
fi 8 10 11 16 13 5 1
Temos:
i CUSTOS (R$) fi Fi
1 450 ` 550 8 8
2 550 ` 650 10 18 (P20)
3 650 ` 750 11 29
4 750 ` 850 16 45
5 850 ` 950 13 58 (Q2)
6 950 ` 1.050 5 63
7 1.050 ` 1.150 1 64∑
= 64
k = 20 ⇒ 20
∑
fi
100
=
20× ...
100
=
...
100
= ...
l∗ = ... F (ant) = ..., f∗ = ..., h∗ = ...
P20 = ...+
(...− ...)...
...
=
= ...+
...× ...
...
=
= ...+ ... = ...
Isto é:
P20 = R$ 598
Solução:
k = 20 ⇒ 20
∑
fi
100
=
20× 64
100
=
1280
100
= 12, 8
l∗ = 550 F (ant) = 8, f∗ = 10, h∗ = 100
P20 = 550 +
(12, 8− 8)100
10
=
= 550 +
4, 8× 100
10
=
= 550 + 48 = 598
Isto é:
P20 = R$ 598
45
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5.9 Exerćıcios (página 100)
1. Considerando os conjuntos de dados:
a. 3,5,2,6,5,9,5,2,8,6
b. 20,9,7,2,12,7,20,15,7
c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
d. 15, 18, 20, 13, 10, 1, 14
Calcule:
I. a média;
II. a mediana
III. a moda
Solução:
Md =
3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 9 + 5 + 2 + 8 + 6
10
= 5, 1
Para determinar a mediana primeiro temos de colocar os valores do conjunto em ordem (decrescente
ou crescente tanto faz).
2,2,3,5,5,5,6,6,8,9 (ordem crescente)
Depois tiramos a média dos dois valores (a direita e esquerda) da posição ao centro do conjunto.
5 + 5
2
= 5
Ou seja, a mediana aqui é igual a 5.
Já a moda do conjunto é o termo mais frequente. Assim, a moda é 5.
Analogamente se determina a média, mediana e moda para os demais conjuntos.
2. Os salários-hora de cinco funcionários de uma campanha são: R$ 75, R$ 90, R$ 83, R$ 142 e
R$ 88. Determine:
a. a média dos salários-hora
b. o salário-hora mediano.
Solução:
a. x = (75 + 90 + 83 + 142 + 88)/5 = 95,6 R$ (Aproximadamente 96 reais)
b. Primeiro colocamos os salários em ordem (crescente ou decrescente).
75, 83, 88, 90, 142
Como o conjunto de valores possui um número impar de elementos a mediana é o termo central,
isto é, R$ 88.
3. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine:
a. a nota média;
b. a nota mediana;
c. a nota modal.
46
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
a. x = (8,4 + 9,1 + 7,2 + 6,8 + 8,7 + 7,2)/6 = 7,9
b. Md = (7,2 + 6,8)/2 = 7,8
c. A nota modal é aquela que aparece de forma mais frequente no conjunto, no caso, 7,2.
4. Considere a distribuição abaixo:
3 4 5 6 7 8
4 8 11 10 8 3
calcule:
a. a média;
b. a mediana;
c. a moda.
Solução:
a.
4 · 3 + 8 · 4 + 11 · 5 + 10 · 6 + 8 · 7 + 3 · 8
3 + 8 + 11 + 10 + 8 + 3
= 5, 4318 (Aproximadamente 5,4).
b. A quantidade de elementos do conjunto é a soma das frequências, assim temos 34 elementos
(4+8+11+10+8+3). Como o número de elementos é par, então a moda será a média dos dois termos
mais centrais ao rol (conjunto ordenado) do conjunto.
Md =
18◦ elemento + 19◦ elemento
2
Md =
5 + 5
2
c. Note que o valor 5 aparece 11 vezes. Logo é a moda.
5. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N. DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1
calcule:
a. a nota média;
b. a nota mediana;
c. a nota modal.
Solução:
Análogo ao exerćıcio anterior.
6. Determine a média aritmética de:
a.
50 60 80 90
8 5 4 3
b.
50 58 6
20 50 30
47
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Solução:
a. x =
8 · 50 + 5 · 60 + 4 · 80 + 3 · 90
8 + 5 + 4 + 3
= 64, 5
b. Análogo a letra a.
7. Determine os desvios em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 4, 15. Qual a
soma dos desvios?
Solução:
Primeiro retiramos a média.
x =
6 + 8 + 5 + 12 + 11 + 7 + 4 + 15
8
= 8, 5
Em seguida fazemos a diferença de cada valor do conjunto pela média obtida.
6 - 8,5 = -2,5
8 - 8,5 = -0,5
5 - 8,5 = -3,5
12 - 8,5 = 3,5
11 - 8,5 = 2,5
7 - 8,5 = -1,5
4 - 8,5 = -4,5
15 - 8,5 = 6,5
E a soma dos desvios é SEMPRE igual a zero.
8. Calcule a média aritmética das distribuições de frequência abaixo:
a.
NOTAS fi
0 ` 2 5
2 ` 4 8
4 ` 6 14
6 ` 8 10
8 ` 10 7∑
= 44
b.
ESTATURAS (cm) fi
150 ` 158 5
158 ` 166 12
166 ` 174 18
174 ` 182 27
182 ` 190 8∑
= 70
c.
SALÁRIOS (R$) fi500 ` 700 18
700 ` 1000 31
1000 ` 1100 15
1100 ` 1300 3
1300 ` 1500 1
1500 ` 1700 1
1700 ` 1900 1∑
= 70
d.
PESOS (kg) fi
145 ` 751 10
151 ` 157 9
157 ` 163 8
163 ` 169 6
169 ` 175 3
175 ` 181 3
181 ` 187 1∑
= 40
48
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
a.
Para esse tipo de representação de dados usamos a seguinte fórmula para o cálculo da média.
x =
∑
xifi∑
fi
onde:
xi é o ponto médio de cada classe;
fi é a frequência.
x =
1 · 5 + 3 · 8 + 5 · 14 + 7 · 10 + 9 · 7∑
44
x = 5, 27 (Aproximadamente 5,3)
Analogamente se determina a letra ”b” e ”c”.
9. Calcule a mediana de cada uma das distribuições do exerćıcio 8.
Solução:
a.
Primeiro determinamos
∑
fi
2
.∑
fi
2
=
44
2
= 22
Agora tomamos o menor valor, da frequência absoluta, maior que 22. Note que esse valor é 27.
NOTAS fi Fi
0 ` 2 5 5
2 ` 4 8 13
4 ` 6 14 27
6 ` 8 10 37
8 ` 10 7 44∑
= 44
Esse valor marca a classe mediana. Dela sabemos que l∗ = 4, F(ant) = 13, f∗ = 14 e h∗ = 2.
Logo
Md = l
∗ +
[∑
fi
2
− F (ant)
]
h∗
f∗
Md = 4 +
[
44
2
− 13
]
2
14
Md = 5, 28 (Aproximadamente 5,3)
49
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
b. Neste caso a solução é mais simples. Primeiro façamos uma coluna para a frequência absoluta.
ESTATURAS (cm) fi Fi
150 ` 158 5 5
158 ` 166 12 17
166 ` 174 18 35
174 ` 182 27 62
182 ` 190 8 70∑
= 70
Note que quando fazemos
∑
fi
2
chegamos a 35. Que é exatamente o valor de uma das frequências
absolutas. Quando isso ocorre a mediana é simplesmente o maior valor do intervalo da classe em que
ocorre o valor determinado, neste caso 174.∑
fi
2
=
70
2
= 35.
Logo:
Md = L
∗ ⇒Md = 174.
Analogamente se determina os demais resultados.
10. Calcule a moda de cada uma das distribuições do exerćıcio 8.
Solução:
a. Observe a tabela a seguir.
NOTAS fi
0 ` 2 5
2 ` 4 8
4 ` 6 14
6 ` 8 10
8 ` 10 7∑
= 44
Note que o intervalo entre 4 e 6 ocorre 14 vezes. Assim, a moda é a média entre esses valores.
4 + 6
2
= 5
Analogamente se determina os demais resultados.
11. Calcule o primeiro e o terceiro quartis das distribuições do exerćıcio 8.
Solução:
a. Primeiro temos de determinar a classe do quartil.∑
fi
4
=
44
4
= 10
50
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3
∑
fi
4
=
3 · 44
4
= 33
Assim a classe do primeiro quartil é a segunda e do terceiro quartil é a quarta.
NOTAS fi Fi
0 ` 2 5 5
2 ` 4 8 13 (Q1)
4 ` 6 14 27
6 ` 8 10 37 (Q4)
8 ` 10 7 44∑
= 44
Q1 = l
∗ +
[∑
fi
4
− F (ant)
]
h∗
f∗
Q1 = 2 +
[
44
4
− 5
]
2
8
Q1 = 3, 5
Já para o terceiro quartil
Q3 = l
∗ +
[
3
∑
fi
4
− F (ant)
]
h∗
f∗
Q3 = 6 +
[
3 · 44
4
− 27
]
2
10
Q3 = 7, 2
Analogamente se determina os demais casos.
12. Calcule o 10◦, o 1◦, o 23◦, o 15◦ e o 90◦ percentis da distribuição b do exerćıcio 8.
Solução:
P10 = 159, 3cm, P1 = 151, 1cm, P20 = 165, 4cm, P15 = 161, 7cm, P90 = 183 cm
13. A curva de frequência acumulada serve para determinar:
a. a lei do acaso.
b. a média.
c. a mediana.
d. a moda
e. o desvio padrão.
51
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
Letra c.
14. Uma curva simétrica se caracteriza pelo seguinte atributo:
a. É assimétrica à esquerda.
b. A moda é maior que a mediana e a média.
c. A moda, a mediana e a média são iguais.
d. O desvio padrão é maior que a mediana e a moda.
e. Os decis são equivalentes à média.
Solução:
Letra c.
52
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6 PROBABILIDADE
6.1 Exerćıcios (página 135)
1. determinar a probabilidade de cada evento:
a. um número par aparece no lançamento de um dado.
b. uma figura aparece ao se extrair uma carta de baralho de 52 cartas.
c. uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de baralho de 52 cartas.
d. uma só coroa aparece no lançamento de 3 moedas.
Solução:
a. Seja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 4, 6} então:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
6
=
1
2
b. Existem 12 cartas com figuras no baralho tradicional de 52 cartas então:
p =
12
52
=
3
13
c. Existem 13 cartas com figuras no baralho tradicional de 52 cartas então:
p =
13
52
=
1
4
d. Seja Ω = {(c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (c, k, k), (k, c, c), (k, c, k), (k, k, c), (k, k, k)} e E = {(c, k, k), (k, c, k), (k, k, c)}
então:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
8
2. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre 1, 2, 3... 49, 50. Determine a probabilidade
de:
a. o número ser diviśıvel por 5
b. o número terminar em 3
c. um número ser diviśıvel por 6 ou por 8;
d. um número ser diviśıvel por 4 e por 6;
Solução:
a. Seja Ω = {1, 2, ..., 50} e E = {5, 10, 15, ..., 50} então:
p =
n(E)
n(Ω)
=
10
50
=
1
5
b. Nesse caso temos, Ω = {1, 2, ..., 50} e E = {3, 13, 23, 33, 43} então:
p =
n(E)
n(Ω)
=
5
50
=
1
10
c. Esse problema pode exigir conhecimento de sequência. Mas o diagrama a seguir mostra a relação
de divisibilidade do espaço amostral entre 6 e 8.
54
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
4 2 6
N◦ diviśıvel por 8
N◦ diviśıl por 6
Seja então n(Ω) = 50, n(8) = 6, n(6) = 8, n(8 ∩ 6) = 2, a probabilidade será:
p(8 ∪ 6) = p(8) + p(6)− p(8 ∩ 6)
⇒ p(8 ∪ 6) = 6
50
+
8
50
− 2
50
⇒ p(8 ∪ 6) = 6
25
d. um número é diviśıvel por 4 e por 6 apenas se for diviśıvel pelo mmc de 4 e 6, isto é, 12. Usando
o conhecimento de sequência descobrimos que existem 4 números entre 1 e 50 diviśıvel por 12. Sendo
assim:
p =
4
50
=
2
25
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a. a soma ser menor que 4;
b. a soma ser 9;
c. o primeiro resultado ser maior que o segundo;
d. a soma ser menor ou igual a 5;
Solução:
a. Veja a tabela de possibilidades a seguir.
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
55
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Nesse caso teŕıamos n(Ω) = 36 e E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Logo:
p =
n(E)
n(Ω)
=
3
36
b. Nesse caso teŕıamos E = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} o que implicaria em:
p =
4
36
c. p =
15
36
=
5
12
d. p =
5
18
4. Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. não ocorrer cara nenhuma vez;
b. obter-se cara na primeira ou na segunda jogada.
Solução:
a. O espaço amostral para o lançamento de duas moedas é Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}. E
sendo E = {(k, k)} então:
p =
n(E)
n(Ω)
=
1
4
b. Nesse caso temos E = {(c, k), (k, c)} então:
p =
n(Ω)
=
2
4
5. Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.
a. qual a probabilidade de que este número seja ı́mpar?
b. qual a probabilidade de que este número seja ı́mpar e diviśıvel por 3?
Solução:
a. Nesse caso Ω = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e E = {1, 3, 7, 9} e então
p =
n(E)
n(Ω)
3
7
b. O único número impar diviśıvel por 3 é o próprio 3 e o 9, sendo assim:
p =
2
7
6. Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que a carta
retirada seja uma dama ou uma cartade copas?
Solução:
Existem 4 damas no baralho e 14 cartas de copas.
56
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3 1 13
Damas
Copas
Logo existe 16 cartas que satisfazem a condição dada, assim:
p =
16
52
=
4
13
7. No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter um par de pontos iguais?
Solução:
Olhando a tabela de possibilidades da questão 3 então n(Ω) = 36 e n(E) = 6 de modo que:
p =
n(E)
n(Ω)
=
6
36
=
1
6
8. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:
a. a probabilidade de ambas serem defeituosas;
b. a probabilidade de ambas não serem defeituosas;
c. a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Solução:
a. Nesse caso, devemos usar a fórmula de contagem.
Cn,p =
n!
p!(n− 1)p!
Assim:
p =
C4,2
C12,2
=
1
11
Também podeŕıamos pensar assim:
A probabilidade da 1o peça ser defeituosa é de
4
12
. Considerando que a peça não foi colocada de
volta na produção, então a probabilidade da segunda ser defeituosa (dada que a primeira foi defeituosa
também) seria de
3
11
.
57
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Considerando a escolha como eventos independentes
p =
4
12
· 3
11
=
12
132
=
1
11
p =
C
C
· 3
11
=
12
132
=
1
11
c.
p =
C4,1 × C8,1
C12,2
=
4× 8
66
9. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ı́mpar?
Solução:
A probabilidade de sair um 6 é de:
p1 =
1
6
já de sair um ı́mpar é de
p2 =
3
6
logo a probabilidade de sair um ı́mpar ou um 6 é de:
p = p1 + p2 =
1
6
+
3
6
=
2
3
10. Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se
obterem:
a. dois valetes;
b. um valete e uma dama.
Solução:
a. p =
C4,2
C52,2
=
1
21
b. O número de pares ordenados que podem ser feitos com um valete e uma dama é 16 (4 × 4).
Logo:
p =
16
C52,2
=
8
663
Considerando, no entanto, que não haja reposição, então:
p =
4
52
× 4
51
=
4
663
58
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
11. Um casal planeja ter 3 filhos. Determine a probabilidade de nascerem?
a. três homens;
b. dois homens e uma mulher.
Solução:
a. A probabilidade do 1o filho ser homem é de 1/2. O mesmo ocorre para o 2o e 3o filho. Sendo
assim:
p =
1
2
× 1
2
× 1
2
=
1
8
b. Observando o diagrama conclúı-se que p =
3
8
.
H M
H M H M
H M H M H M H M
12. Uma moeda é lançada três vezes.determine a probabilidade de se obtermos:
a. três caras;
b. duas caras e uma coroa;
c. uma cara somente;
d. nenhuma cara;
e. pelo menos uma cara;
f. no máximo uma cara.
Solução:
O espaço amostral para o lançamento de duas moedas é Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} então:
a. p =
1
8
b. p =
3
8
c. p =
3
8
d. p =
1
8
e. p =
7
8
f. p =
4
8
=
1
2
59
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
13. Um dado é lançado duas vezes.Calcule a probabilidade de?
a. sair um 6 no primeiro lançamento;
b. sair um 6 no segundo lançamento;
c. não sair 6 em nenhum lançamento;
d. sair um 6 pelo menos.
Solução:
a. p1 =
1
6
b. p2 =
1
6
c. p3 =
5
6
× 5
6
=
25
36
d. p(A ∪B) = 1
6
+
1
6
− 1
36
=
11
36
14. Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a 50, determine a prob-
abilidade de, em uma extração ao acaso?
a. obtermos a bola de número 27;
b. obtermos uma bola de número par;
c. obtermos uma bola de número maior que 20;
d. obtermos uma bola de número menor ou igual a 20.
Solução:
a. Só existe uma bola com número 27 em meio a cinquenta bolas idênticas, então a probabilidade
é:
p =
1
50
b. Existem 25 bolas pares, então a probabilidade é:
p =
25
50
=
1
2
c. São 30 bolas com número maior que 20 em 50 bolas idênticas, então a probabilidade é:
p =
30
50
=
3
5
d. São 20 bolas com número menor ou igual a 20 em 50 bolas idênticas, então a probabilidade é:
p =
20
50
=
2
5
15. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.
a. Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?
b. Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?
c. Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma
defeituosa?
60
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
a. p =
4
12
=
1
3
b. A probabilidade de escolher a 1◦ geladeira e esta ser defeituosa é de:
p1 =
4
12
=
1
3
Já a probabilidade de se escolher a 2a geladeira defeituosa (levando sem conta que já retiramos
uma) é de:
p2 =
3
11
Sendo assim, a probabilidade de levar duas defeituosas é de:
p = p1 × p2 =
1
3
× 3
11
=
1
11
c. Nesse caso somamos a probabilidade de levar uma defeituosa com a probabilidade de levar duas
defeituosas:
p =
1
3
+
1
11
=
14
33
16. Um par de dados é atirado. Encontre a probabilidade de que a soma seja 10 ou maior que 10 se:
a. um 5 aparece no primeiro dado;
b. um 5 aparece pelo menos em um dos dados.
Solução:
a. Observando o diagrama da questão 3 chegamos a conclusão de que:
p =
1
3
b. p =
1
12
17. Lança-se um par de dados. Aparecendo dois números diferentes, encontre a probabilidade de
que:
a. a soma seja 6;
b. o 1 apareça;
c. a Soma seja 4 ou menos que 4.
Solução:
O espaço amostral do lançamento de dois dados é constitúıdo de 36 possibilidades (6× 6).
Como esta condicionado que os números são diferentes, o espaço amostral fica reduzido a 30
possibilidades. Sendo assim:
a. p =
4
30
b. p =
10
30
ou
1
3
61
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
c. Nesse caso E = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)} e portanto:
p =
4
30
18. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é
escolhida ao acaso. Calcule a Probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves;
b) ela não tenha defeitos;
c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Solução:
a) O número de peças que não tenham defeitos graves é 14 (10 + 4). Então a probabilidade é:
p
14
16
=
7
8
b. O número de peças que não tenham defeitos é 10. Então a probabilidade é:
p =
10
16
=
5
8
c. O número de peças que são boas ou que tenham defeitos graves é 12 (10 + 2). Logo a
probabilidade é:
p =
12
16
=
3
4
19. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabili-
dade de que:
a. ambas sejam perfeitas?
b. pelo menos uma seja perfeita;
c. nenhuma tenha defeitos graves;
d. nenhuma seja perfeita.
Solução:
a. A probabilidade de se retirar a primeira peça boa é de 10/16. Uma vez tendo retirado essa peça
a probabilidade de retirar uma segunda, também boa, é de (10-1)/(16-1) ou 9/15. Sendo assim:
p =
10
16
× 9
15
=
3
8
b. A probabilidade de que a primeira peça retirada seja boa e que a segunda seja ruim é de:
p1 =
10
16
× (4 + 5)
15
=
1
4
A probabilidade de que a segunda peça retirada seja boa e a primeira ruim é:
p2 =
(4 + 5)
15
× 10
16
=
1
4
Já a probabilidade das duas peças serem boas, calculado no item a, é de:
p3 =
3
8
62
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Sendo assim, a probabilidade de ao menos uma ser boa é de:
p = p1 + p2 + p3 =
1
4
+
1
4
+
3
8
⇒ p = 7
8
c. A probabilidade de que a primeira peça não tenha defeitos graves é de:
p1 =
14
16
já probabilidade de que a segunda peça não tenha defeitos graves, dado que foi retirada a primeira
na mesma condição, é de:
p2 =
13
15
Sendo assim:
p = p1 × p2 =
14
16
× 13
15
=
182
240
=
91
120
d. A probabilidade de que a primeira peça não seja perfeita é de:
p1 =
6
16
já probabilidade de que a segunda peça não seja perfeita, dada que foi retirada a primeira na mesma
condição, é de:
p2 =
5
15
Sendo assim:
p = p1 × p2 =
6
16
× 5
15
=
30
240
=
1
8
63
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7 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL
7.1 Exerćıcios (página 142)
1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.
Solução:
O número de lançamentos n é 6.
Já a probabilidade de se obter uma cara em um lançamento p é de
1
2
.
O número de sucessos k que estamos considerando é 3.
Por fim a probabilidade de insucesso q é de
1
2
.
q = 1− p⇒ q = 1− 1
2
=
1
2
Logo:
P (X = 3) =
(
6
3
)
×
(
1
2
)3
×
(
1
2
)6−3
=
5
16
2. Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade se de obter um múltiplo de 3 duas
vezes.
Solução:
O número de lançamentos n é 3.
Já a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 em um único lançamento p é de
1
3
.
O número de sucessos k, em se obter um múltiplo de 3, que estamos considerando é 2.
Por fim a probabilidade de insucesso q é de
2
3
.
q = 1− p⇒ q = 1− 1
3
=
2
3
Logo:
P (X = 2) =
(
3
2
)
×
(
1
3
)2
×
(
2
3
)3−2
=
2
9
3. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A:
a. ganhar dois ou três jogos;
b. ganhar pelo menos um jogo.
Solução de A:
Pela propriedade de soma das probabilidades sabemos que:
P (2 ou 3) = P (2) + P (3)
Onde:
65
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
P (2) =
(
6
2
)
×
(
1
3
)2
×
(
2
3
)6−2
=
240
729
e
P (3) =
(
6
3
)
×
(
1
3
)3
×
(
2
3
)6−3
=
160
729
O que implica em:
P (2 ou 3) =
240
729
+
160
729
=
400
729
Solução de B:
Nesse caso vamos determinar a probabilidade de A não ganhar nenhuma partida e depois encontrar
a probabilidade do evento complementar. Que é a probabilidade do time A ganhar ao menos uma
partida.
P (0) =
(
6
0
)
×
(
1
3
)0
×
(
2
3
)6
⇒ P (0) = 64
729
Como o que queremos é o complementar, então:
P(A ganhar pelo menos um jogo) = 1− 64
729
P(A ganhar pelo menos um jogo) =
665
729
.
4. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é
2
3
. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de
acertar exatamente 2 tiros?
Solução:
P (2) =
(
5
2
)
×
(
2
3
)2
×
(
1− 2
3
)5−2
⇒ P (2) = 5
2
× 4
9
× 1
27
⇒ P (2) = 40
243
5. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de
peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?
Solução:
P (2) =
(
6
2
)
× (0, 1)2 × (1− 0, 1)6−2
⇒ P (2) =
(
6
2
)
× (0, 1)2 × (0, 9)4
66
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒ P (2) = 0, 098415 ou 9,8415%.
67
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
7.2 Exerćıcios (página 147)
As soluções desta página foram retiradas da lista do professor Mauricio Lutz do Instituto Federal
farroupilha de Alegrete - RS.
Dispońıvel em:
http://iffmauricio.pbworks.com/f/Distribui%C3%A7%C3%A3o+Normal.pdf
1. Sendo z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:?
a. P (0 < Z < 1, 44) e. P (Z > −2, 03)
b. P (−0, 85 < Z < 0) f. P (Z > 1, 08)
c. P (−1, 48 < Z < 2, 05) g. P (Z > −0.66)
d. P (0, 72 < Z < 1, 89) h. P (Z < 0, 60)
Solução:
a. Procurando o valor de z = 1,44 na tabela é chega-se 0,4251 ou 42,51%.
b. Por simetria da distribuição normal P (−0, 85 < Z < 0) = P (0 < Z < 0.85) = 0.3023
c. P (−1, 48 < Z < 2, 05) = P (−1, 48 < Z < 0) + P (0 < 2, 05)
= P (0 < Z < 1, 48) + P (0 < Z < 2, 05) = 0, 4306 + 0, 4798
= 0, 9104 ou 91, 04%.
d. P (0, 72 < Z < 1, 89) = P (0 < Z < 1, 89)− P (0 < Z < 0, 72)
= 0, 4706− 0, 2642 = 0, 2064 ou 20, 64%
e. P (Z < −2, 03) = P (−2, 03 < Z < 0) + P (Z > 0)
= P (0 < Z < 2, 03) + P (Z > 0) = 0, 4788 + 0, 5
= 0, 9788.
f. P (Z > 1, 08) = P (Z > 0)− P (Z > 1, 08)
= 0, 5− 0, 3599
= 0, 1401 ou 14, 01%
g. P (Z < −0, 66) = P (Z > 0)− P (−0, 66 < Z < 0)
= P (Z > 0)− P (0 < Z < 0, 66)
= 0, 5− 0, 2454 = 0, 2546 ou 25, 46%
h. P (Z < 0, 60) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 0, 60)
= 0, 5 + 0, 2257
= 0, 7257 ou 72, 57%
2. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão
10. Determine a probabilidade de um indiv́ıduo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120. c) entre 85 e 115.
b) maior que 80. d) maior que 100.
Solução de A:
68
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Z =
x− µ
σ
=
120− 100
10
= 2
P (Z > 2) = P (Z > 0)− P (0 < Z < 2) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Solução de B:
Z =
x− µ
σ
=
80− 100
10
= −2
P (Z > −2) = P (Z > 0) + P (−2 < Z < 0)
= P (Z > 0) + P (0 < Z < 2)
= 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
Solução de C:
Z1 =
x− µ
σ
=
85− 100
10
= −1, 5
Z2 =
x− µ
σ
=
115− 100
10
= 1, 5
P (−1, 5 < Z < 1, 5) = P (−1, 5 < Z < 0) + P (0 < Z < 1, 5)
= P (0 < Z < 1, 5) + P (0 < Z < 1, 5)
= 0, 4332 + 0, 4332 = 0, 8664
Solução de D:
Z =
x− µ
σ
=
100− 100
10
= 0
P (Z > 0) = 0, 5.
3. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribúıdos com média 65,3kg e desvio padrão
5,5kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a) entre 60 e 70kg;
b) mais que 62,5kg;
c) menos que 68kg.
Solução de A:
Z1 =
x− µ
σ
=
60− 65, 3
5, 5
= −0, 96
Z2 =
x− µ
σ
=
70− 65, 3
5, 5
= 0, 85
P (−0, 96 < Z < 0, 85) = P (−0, 96 < Z < 0) + P (0 < Z < 0, 85)
= P (0 < Z < 0, 96) + P (0 < Z < 0, 85)
= 0, 3315 + 0, 3023 = 0, 6338
Solução de B:
Z =
x− µ
σ
=
62, 5− 65, 3
5, 5
= −0, 38
69
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
P (Z > −0, 38) = P (Z > 0) + P (−0, 38 < Z < 0) =
P (Z > 0) + P (0 < Z < 0, 38) = 0, 5 + 0, 1480
= 0, 6480
Solução de C:
Z =
x− µ
σ
=
68− 65, 3
5, 5
= 0, 49
P (Z < 0, 49) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 0, 49)
= 0, 5 + 0, 1879
= 0, 6879
4. A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40
dias. Sabendo que a duração é normalmente distribúıda, calcule a probabilidade de esse componente
durar:
a) entre 700 e 1000 dias;
b) mais de 800 dias;
c) menos de 750 dias.
Solução de A:
Z1 =
x− µ
σ
=
700− 850
40
= −3, 75
Z2 =
x− µ
σ
=
1000− 850
40
= 3, 75
P (−3, 75 < Z < 3, 75) = P (−3, 75 < Z < 0) + P (0 < Z3, 75)
= P (0 < Z < 3, 75) + P (0 < Z < 3, 75)
= 0, 4990 + 0, 4990 = 0, 998
Solução de B:
Z =
x− µ
σ
=
800− 850
40
= −1, 25
P (Z > −1, 25) = P (−1, 25 < Z < 0) + P (Z > 0)
= P (0 < Z < 1, 25) + P (Z > 0)
= 0, 3944 + 0, 5
= 0, 8944
Solução de C:
Z =
x− µ
σ
=
750− 850
40
= −2, 5
P (Z < −2, 5) = P (Z < 0)− P (−2, 5 < Z < 0) = P (Z < 0)
= P (Z < 0)− P (0 < Z < 2, 5) = 0, 5− 0, 4938 + P (Z > 0)
= 0, 3944 + 0, 5
= 0, 0062
70
Estat́ıstica Fácil Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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71
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	A NATUREZADA ESTATÍSTICA
	Exercícios (página 6)
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	Resolva (página 77)
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