Calculo 1 - Lista de derivada

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Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
1. Sejam 𝑓, 𝑔 e ℎ funções deriváveis. Determine 
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)]′ e [
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
]
′
 
Para [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)]′ vamos utilizar a regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥), considerando 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) 
Assim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) e 𝑔′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) +
𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) 
Assim, 
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) 
Para [
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
]
′
 vamos utilizar a regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
, 
considerando 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
Assim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) e 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥), 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) e 𝑔′(𝑥) =
ℎ′(𝑥) 
Assim, 
[
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
]
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥)
ℎ²(𝑥)
 
2. Utilizando as regras de derivação, encontre a derivada de cada uma das funções 
abaixo. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + √𝑥
3
+ cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Antes de derivar, vamos manipular √𝑥
3
: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥
1
3 + cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 +
1
3
𝑥−
2
3 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 +
1
3 √𝑥2
3 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = 
√𝑥
3
√𝑥
2 
Antes de derivar vamos manipular: 
𝑓(𝑥) =
𝑥
1
3
𝑥
1
2
 => 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3
−
1
2 => 𝑓(𝑥) = 𝑥
2−3
6 => 𝑓(𝑥) = 𝑥−
1
6 
Derivando: 
𝑓′(𝑥)= −
1
6
𝑥−
7
6 => 𝑓′(𝑥) = −
1
6𝑥
7
6
=> 𝑓′(𝑥) = −
1
6 √𝑥7
6 
c) 𝑓(𝑥) = 
𝑥²
ln(𝑥)
+ 
ln (𝑥)
𝑥
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) = 
2𝑥(ln(𝑥))−𝑥²(
1
𝑥
)
(ln(𝑥))²
+ 
1
𝑥
𝑥²−ln (𝑥)
𝑥²
 => 𝑓′(𝑥) = 
2𝑥(ln(𝑥))−𝑥²(
1
𝑥
)
(ln(𝑥))²
+ 
1
𝑥
(𝑥)−ln (𝑥)
𝑥²
 
𝑓′(𝑥) = 
2𝑥𝑙𝑛(𝑥)−𝑥
(ln(𝑥))²
+ 
1−ln (𝑥)
𝑥²
 
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 10𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 3 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 10𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(40)𝑥 
Considere (40) como constante e derive: 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(40)𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
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Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 2 cos(𝑥) + 2𝑥(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) => 𝑓′(𝑥) = 2 cos(𝑥) − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = 4 sec(𝑥) − 2 csc(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 4 sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) + 2 csc(𝑥) cot (𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑡𝑔(𝑥) 
Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) sec(𝑥) 
Lembre-se que 𝑠𝑒𝑐(𝑥) =
1
cos (𝑥)
. Portanto: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
1
cos (𝑥)
=> 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Após essa manipulação, vamos derivar: 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
m) 𝑓(𝑥) = 
2cos (𝑥)
𝑥+1
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) =
−2𝑠𝑒𝑛(𝑥)(𝑥+1)−2cos (𝑥)
(𝑥+1)²
 
n) 𝑓(𝑥) = 
𝑥+1
2cos (𝑥)
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) =
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)+(𝑥+1)2𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
(2cos (𝑥))²
 
o) 𝑓(𝑥) = 
𝑡𝑔(𝑥)
cos(𝑥)−4
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) =
𝑠𝑒𝑐²(𝑥)(cos(𝑥)−4)−𝑡𝑔(𝑥)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
(cos(𝑥)−4)²
=>=
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)(cos(𝑥)−4)+𝑡𝑔(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(cos(𝑥)−4)²
 
p) 𝑓(𝑥) = 
1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) =
cos(𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛(𝑥))−(1+𝑠𝑒𝑛(𝑥))(− cos(𝑥))
(1−𝑠𝑒𝑛(𝑥))²
=>=
cos(𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛(𝑥))+(1+𝑠𝑒𝑛(𝑥))cos (𝑥)
(1−𝑠𝑒𝑛(𝑥))²
 
q) 𝑓(𝑥) = 
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1
cos(𝑥)+1
 
Pela regra do quociente (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
: 
𝑓′(𝑥) =
cos (𝑥)(cos(𝑥)+1)−(𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
(cos(𝑥)+1)²
 =>=
cos(𝑥)(cos(𝑥)+1)+(𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(cos(𝑥)+1)²
 
3) Determine 𝑓’(𝑎) em cada um dos itens abaixo. 
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a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥); 𝑎 = 0 
Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) + 𝑥(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) => =cos(𝑥) − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓′(0) = cos(0) − (0)𝑠𝑒𝑛(0) 
𝑓′(0) = 1 − 0 => = 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (cos(𝑥) − 1); 𝑎 = 𝜋 
Pela regra do produto (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) (cos(𝑥) − 1) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 
𝑓′(𝜋) = cos(𝜋) (cos(𝜋) − 1) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋)(−𝑠𝑒𝑛(𝜋)) 
𝑓′(𝜋) = −1(−1 − 1) + 0(0)=>𝑓′(𝜋) = 2 + 0 => 2 
4) Sabemos que, para 𝑥 > 0, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 
ln (𝑥)
ln (𝑎)
, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Utilizando a 
mudança de base apresentada, determine a derivada de cada uma das funções 
abaixo. 
a) 𝑓(𝑥) = log2(x). 
Pela propriedade apresentada, 𝑓(𝑥) =
ln (𝑥)
ln (2)
 e agora podemos proceder com a 
derivação, considere 
1
𝑙𝑛(2)
 como constante: 
𝑓′(𝑥) =
1
ln(2)
(
1
𝑥
)=>𝑓′(𝑥) =
1
𝑥(𝑙𝑛(2))
 
b) 𝑓(𝑥) = 
𝑙𝑜𝑔2(𝑥)
𝑙𝑜𝑔4(𝑥)
 
Pela propriedade apresentada, 𝑓(𝑥) =
ln(𝑥)
ln(2)
ln(𝑥)
ln(4)
 e ainda podemos manipular: 
𝑓(𝑥) =
ln(𝑥)
ln(2)
ln(𝑥)
ln(4)
=> 𝑓(𝑥) = 
ln(𝑥)
ln(2)
(
ln(4)
ln(𝑥)
)=> 𝑓(𝑥) = 
ln (4)
ln (2)
 
Como ln(4) e ln(2) são constantes e constante divido por uma constante é 
constante. Então: 
𝑓′(𝑥) = 0 
5) Derive cada uma das funções abaixo. 
a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)² 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 2(2𝑥 + 1)2−1(2) =>= 4(2𝑥 + 1) 
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4𝑥 − 5)4 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2 + 4𝑥 − 5)4−1(2𝑥 + 4) => = (8𝑥 + 16)(𝑥2 + 4𝑥 − 5)3 
c) 𝑓(𝑥) = (2𝑥4 − 7𝑥3)𝑒 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 𝑒(2𝑥4 − 7𝑥3)𝑒−1(4𝑥3 − 21𝑥2) 
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4)−2 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = −2(𝑥2 + 4)−2−1(2𝑥)=>= −4𝑥(𝑥2 + 4)−3=>=
−4𝑥
(𝑥2+4)3
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
Pela regra de derivação do seno (𝑠𝑒𝑛(𝑎))′ = cos(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = cos (3𝑥)(3)=> 𝑓′(𝑥) = 3cos (3𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = cos (6𝑥) 
Pela regra de derivação do cosseno (𝑐𝑜𝑠(𝑎))′ = −sen(𝑎) 𝑎′: 
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𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (6𝑥)(6) => 𝑓′(𝑥) = −6𝑠𝑒𝑛 (6𝑥) 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(10𝑥) 
Pela regra de derivação da tangente (𝑡𝑔(𝑎))′ = sec²(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(10𝑥)(10) => 𝑓′(𝑥) = 10𝑠𝑒𝑐²(10𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = sec (6𝑥) 
Pela regra de derivação da secante (𝑠𝑒𝑐(𝑎))′ = 𝑠𝑒𝑐(𝑎)𝑡𝑔(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = sec(6𝑥) 𝑡𝑔(6𝑥)(6) =>𝑓′(𝑥) = 6sec(6𝑥) 𝑡𝑔(6𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = csc (3𝑥) 
Pela regra de derivação da cossecante (𝑐𝑠𝑐(𝑎))′ = −𝑐𝑠𝑐(𝑎)𝑡𝑔(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = − csc(3𝑥) 𝑡𝑔(3𝑥)(3) 
𝑓′(𝑥) = −3 csc(3𝑥) 𝑡𝑔(3𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = cot (10𝑥) 
Pela regra de derivação da cotangente (𝑐𝑜𝑡(𝑎))′ = −𝑐𝑠𝑐²(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐² (10𝑥)(10) 
𝑓′(𝑥) = −10𝑐𝑠𝑐² (10𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 
Pela regra de derivação do seno (𝑠𝑒𝑛(𝑎))′ = cos(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = cos (𝑥2)(2𝑥)=> 𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
l) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥2) 
Pela regra de derivação do cosseno (𝑐𝑜𝑠(𝑎))′ = −sen(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑥²)(2𝑥) => 𝑓′(𝑥) = −2𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑥²) 
m) 𝑓(𝑥) = cos (3𝑥2 + 1) 
Pela regra de derivação do cosseno (𝑐𝑜𝑠(𝑎))′ = −sen(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 + 1)(6𝑥) => 𝑓′(𝑥) = −6𝑥𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 + 1)n) 𝑓(𝑥) = 4𝑥
1
2 + 5𝑥−
1
2 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(4𝑥−
1
2) −
1
2
(5𝑥−
3
2) 
𝑓′(𝑥) =
1
2(4𝑥
1
2)
−
1
2(5𝑥
3
2)
 
𝑓′(𝑥) =
1
2√4𝑥
−
1
2√(5𝑥)3
 
o) 𝑓(𝑥) = √1 + 4𝑥² 
𝑓(𝑥) = (1 + 4𝑥²)
1
2 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(1 + 4𝑥2)−
1
2(8𝑥)=> 𝑓′(𝑥) =
8𝑥
2(1+4𝑥2)
1
2
 => 𝑓′(𝑥) =
4𝑥
√1+4𝑥²
 
p) 𝑓(𝑥) = √2𝑥
3
 
𝑓(𝑥) = (2𝑥)
1
3 
Pela regra da cadeia (𝑓(𝑔(𝑥))’ = (𝑓’(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) =
1
3
(2𝑥)−
2
3(2)=> 𝑓′(𝑥) =
2
3(2𝑥)
2
3
 => =𝑓′(𝑥) =
2
3 √(2𝑥)²
3 
q) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 
Pela regra de derivação do seno (𝑠𝑒𝑛(𝑎))′ = cos(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = cos (𝑥2)(2𝑥)=> 𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
r) 𝑓(𝑥) = cos (3𝑥 + 2) 
Pela regra de derivação do cosseno (𝑐𝑜𝑠(𝑎))′ = −sen(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 2)(3) => 𝑓′(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 2) 
s) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 
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Pela regra de derivação da exponencial (𝑒𝑎)′ = 𝑒𝑎𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒2𝑥(2) =>𝑓′(𝑥) = 2𝑒2𝑥 
t) 𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
1
2 
Pela regra de derivação da exponencial (𝑒𝑎)′ = 𝑒𝑎𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
1
2(𝑥−
1
2)=>𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥
1
2
𝑥
1
2
=>𝑓′(𝑥) =
𝑒√𝑥
√𝑥
 
u) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 2𝑥) 
Pela regra de derivação da logarítmica (𝑙𝑛(𝑎))’ =
1
𝑎
𝑎′: 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥2+2𝑥
(2𝑥 + 2) => 𝑓′(𝑥) =
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥
 
v) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(3𝑥) 
Pela regra de derivação da tangente (𝑡𝑔(𝑎))′ = sec²(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(3𝑥)(3) =>𝑓′(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑐²(3𝑥) 
w) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Pela regra de derivação da exponencial (𝑒𝑎)′ = 𝑒𝑎𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)(cos (𝑥)) =>𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
x) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(ln(𝑥)) 
Pela regra de derivação da tangente (𝑡𝑔(𝑎))′ = sec²(𝑎) 𝑎′: 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(ln (𝑥))(
1
𝑥
) => 𝑓′(𝑥) =
𝑠𝑒𝑐²(ln (𝑥))
𝑥
 
y) 𝑓(𝑥) = ln (𝑡𝑔(𝑥)) 
Pela regra de derivação da logarítmica (𝑙𝑛(𝑎))’ =
1
𝑎
𝑎′: 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑐²(𝑥)=>𝑓′(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
(
1
(𝑐𝑜𝑠(𝑥))²
)=> 𝑓′(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)
 
6. Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em cada um dos casos abaixo. 
a) 𝑥² + 𝑦² = 16 
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 =>2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 =>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑦
=>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
 
b) 𝑥3 + 𝑦3 = 8𝑥𝑦 
3𝑥² + 3𝑦²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑦 + 8𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 =>3𝑦²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 8𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑦 − 3𝑥²=> 
(3𝑦2 + 8𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑦 − 3𝑥²=> 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8𝑦−3𝑥²
3𝑦²+8𝑥
 
c) 
1
𝑥
 + 
1
𝑦
 = 1 
𝑥−1 + 𝑦−1 = 0 => −𝑥−2 − 𝑦−2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0=> −
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦2
𝑥2
 
d) √𝑥 + √𝑦 = 4 
𝑥
1
2 + 𝑦
1
2 = 4=> 
1
2
𝑥−
1
2 +
1
2
𝑦−
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0=>
1
2𝑥
1
2
+
1
2𝑦
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0=>
1
2√𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
2√𝑥
=> 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2√𝑦
2√𝑥
=>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − √
𝑦
√𝑥
 
e) 𝑥²𝑦² = 𝑥² + 𝑦² 
2𝑥𝑦² + 𝑥²(2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 =>2𝑥²𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 2𝑥𝑦²=> 
(2𝑥²𝑦 − 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 2𝑥𝑦²=> 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥−2𝑥𝑦²
2𝑥²𝑦−2𝑦
 
f) √𝑥
3
 + √𝑥𝑦
3 = 4𝑦² 
𝑥
1
3 + (𝑥𝑦)
1
3 = 4𝑦²=>
1
3
𝑥−
2
3 +
1
3
(𝑥𝑦)−
2
3(𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 8𝑦=> 
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IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
1
3𝑥
2
3
+
1
3(𝑥𝑦)
2
3
(𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 8𝑦=>
𝑦
3 √(𝑥𝑦)²
3 +
𝑥
3 √(𝑥𝑦)²
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑦 −
1
3 √𝑥²
3 => 
𝑥
3 √(𝑥𝑦)²
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑦 −
1
3 √𝑥2
3 −
𝑦
3 √(𝑥𝑦)²
3 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3 √(𝑥𝑦)²
3
𝑥
(8𝑦 −
1
3 √𝑥2
3 −
𝑦
3 √(𝑥𝑦)2
3 )=> 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3 √(𝑥𝑦)2
3
(8𝑦−1−𝑦)
𝑥(1+3 √𝑥2
3
+3 √(𝑥𝑦)2
3
)
 
g) 2𝑥³𝑦 + 3𝑥𝑦³ = 5 
6𝑥²𝑦 + 2𝑥³
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦³ + 3𝑥(3𝑦²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 0=>2𝑥³
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 9𝑥𝑦²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3𝑦3 − 6𝑥²𝑦 => 
(2𝑥³ + 9𝑥𝑦²)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3𝑦3 − 6𝑥²𝑦 =>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−3𝑦3−6𝑥²𝑦
2𝑥³+9𝑥𝑦²
 
7. Ache uma equação da reta tangente à curva 16𝑥4 + 𝑦4 = 32 no ponto (1,2) 
Usa-se 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0). Sabe-se que 𝑥0 = 1e 𝑦0 = 2. Calculando 𝑚: 
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=> 64𝑥3 +
4𝑦3𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 =>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
64𝑥3
4𝑦3
, sendo 𝑥0 = 1e 𝑦0 = 2: 
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
64(13)
4(23)
=> 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
64
32
 => 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 
Logo, 
𝑦 − 2 = −2(𝑥 − 1) => 𝑦 − 2 = −2𝑥 + 2=> 𝑦 = −2𝑥 + 4 
 
8. Para cada função abaixo, determine 𝑓𝑛(𝑥), onde 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥3 + 𝑥, 𝑛 = 2. 
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 − 6𝑥2 + 1 
𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3 − 12𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 + 3, 𝑛 = 3. 
𝑓′(𝑥) = 8𝑥3 
𝑓′′(𝑥) = 24𝑥² 
𝑓′′′(𝑥) = 48𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥
)
2
, 𝑛 = 2. 
𝑓(𝑥) = (𝑥−1)2 
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥−1)−𝑥−2 => 𝑓′(𝑥) = −2𝑥−3 => 𝑓′(𝑥) = −
2
𝑥3
 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥−4 =>𝑓′′(𝑥) =
6
𝑥4
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑛 = 2. 
𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) 
𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
e) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥), 𝑛 = 3. 
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓′′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑛 = 50. 
Vamos calcular algumas derivadas e tentar perceber algum padrão: 
𝑓′(𝑥) = 2cos(2𝑥) => 𝑓′(𝑥) = 21cos(2𝑥) 
𝑓′′(𝑥) = −4sen(2𝑥) => 𝑓′′(𝑥) = −22sen(2𝑥) 
𝑓′′′(𝑥) = −8cos(2𝑥) => 𝑓′′′(𝑥) = −23cos(2𝑥) 
𝑓′′′′(𝑥) = 16sen(2𝑥) => 𝑓′′′′(𝑥) = 24sen(2𝑥) 
Repare que o 2 está elevado a mesma ordem da derivada, no caso de 𝑓50 teremos 
250. Repare que em derivada de ordem par temos 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) e para derivada de 
ordem ímpar temos cos(2𝑥). E percebendo todos esses padrões podemos montar a 
seguinte equação para derivada de ordem ímpar: 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
𝑓2𝑛+1(𝑥) = (−1)𝑛22𝑛+1(𝑐𝑜𝑠(2𝑥)) 
Para derivada de ordem par: 
𝑓2𝑛(𝑥) = (−1)𝑛22𝑛(𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 
Logo, 𝑓50: 
𝑓2(25)(𝑥) = (−1)2522(25)(𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 
𝑓50(𝑥) = (−1)25250(𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 
𝑓50(𝑥) = (−1)250(𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 
𝑓50(𝑥) = −250(𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 
g) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, 𝑛 = 15. 
Antes de tudo, manipule 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 => 𝑓(𝑥) = 𝑥−1. Vamos calcular algumas 
derivadas e tentar perceber algum padrão: 
𝑓′(𝑥) = −1𝑥−2 
𝑓′′(𝑥) = −1(−2)𝑥−3 => 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥−3 
𝑓′′′(𝑥) = (−1)(−2)(−3)𝑥−4 => 𝑓′′′(𝑥) = −6𝑥−4 
𝑓′′′′(𝑥) = (−1)(−2)(−3)(−4) 𝑥−5 => 𝑓′′′′(𝑥) = 24𝑥−5 
E percebendo todos esses padrões podemos montar a seguinte equação: 
𝑓𝑛(𝑥) = (−1𝑛)(𝑛!)(−𝑥−(𝑛+1)) 
Logo, 𝑓15(𝑥): 
𝑓15(𝑥) = (−115)(15!)(−𝑥−(15+1)) 
𝑓15(𝑥) = −(15!)(−𝑥−16) => 𝑓15(𝑥) = −
(15!)
𝑥16
 
9. Seja y = 
𝑥³
𝑥+√𝑥
. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 x=1 
Antes de derivar, vamos manipular: y = 
𝑥³
𝑥+𝑥
1
2
. Agora podemos calcular 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 utilizando 
a regra do quociente: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
3𝑥2(𝑥+𝑥
1
2)−𝑥³(1+
1
2
𝑥
−
1
2)
(𝑥+√𝑥)²
 =>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
3𝑥2(𝑥+√𝑥)−𝑥³(1+
1
2√𝑥
)
(𝑥+√𝑥)²
. Substituindo 𝑥 = 1: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
3(12)(1+√1)−(13)(1+
1
2√1
)
(1+√1)²
 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
3(2)−(1+
1
2
)
(2)²
 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
6−
3
2
4
 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
12−3
2
4
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
9
2
4
 => 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
9
2
(
1
4
) =>
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
9
8
 
10. Seja 𝑓 ∶ ℝ → ℝ derivável e seja 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡² + 1). Supondo 𝑓’(2) = 5, calcule 
𝑔’(1). 
Sabendo que 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡2 + 1), então: 
𝑔′(𝑡) = 𝑓′(𝑡2 + 1)(2𝑡), substituindo 𝑡 = 1, temos: 
𝑔′(1) = 𝑓′(1² + 1)(2) => 𝑔′(1) = 𝑓′(2)(2). Sabendo que 𝑓’(2) = 5, temos que: 
𝑔′(1) = 5(2) => 𝑔′(1) = 10 
11. Ache os pontos críticos das seguintes funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 7𝑥² − 5𝑥 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² + 14𝑥 − 5, agora precisamos encontrar valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
3𝑥² + 14𝑥 − 5 = 0, calculando ∆ = 196 + 690 => ∆= 256 
Logo, 
𝑥′ =
−14+16
6
=> 𝑥′ =
2
6
=> 𝑥′ =
1
3
 e 𝑥′′ =
−14−16
6
=> 𝑥′′ =
−30
6
=> 𝑥′′ = −5 
Portanto (-5,𝑓(−5)) e (
1
3
,𝑓 (
1
3
)) são pontos críticos da 𝑓(𝑥). 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥³ − 2𝑥2 − 12𝑥 
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IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥³ + 12𝑥² − 4𝑥 − 12 => 𝑓′(𝑥) = 𝑥³ + 3𝑥² − 𝑥 − 3, agora precisamos 
encontrar valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑥³ + 3𝑥² − 𝑥 − 3 = 0, 𝑥 = −3,𝑥 = −1 e 𝑥 = 1. 
Portanto (-3,𝑓(−3)), (−1, 𝑓(−1)) e (1,𝑓(1)) são pontos críticos da 𝑓(𝑥). 
c) 𝑔(𝑥) = 𝑥
6
5 − 12𝑥
1
5 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 
6
5
𝑥
1
5 −
12
5
𝑥−
4
5 => 𝑓′(𝑥) = 
6
5
𝑥
1
5 −
12
5𝑥
4
5
=> 𝑓′(𝑥) = 
6𝑥−12
5𝑥
4
5
, agora precisamos 
encontrar valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
6𝑥−12
5𝑥
4
5
= 0 => 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2 
Portanto (0,𝑓(0)) e (2,𝑓(2)) são pontos críticos da 𝑓(𝑥). 
d) 𝑓(𝑡) = (𝑡² − 4)
2
3 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑡): 
𝑓′(𝑡) = 
2
3
(𝑡2 − 4)2𝑡 => 𝑓′(𝑡) = 
4𝑡
3
(𝑡2 − 4), agora precisamos encontrar valores de 
𝑡 que 𝑓′(𝑡) = 0: 
4𝑡
3
(𝑡2 − 4) = 0 => 𝑡 = 0 ou 𝑡 = −2 ou 𝑡 = 2 
Portanto (0,𝑓(0)), (−2,𝑓(−2)) e (2,𝑓(2)) são pontos críticos da 𝑓(𝑡). 
e) ℎ(𝑥) =
𝑥−3
𝑥+7
 
Primeiro, vamos calcular ℎ′(𝑥): 
ℎ′(𝑥) = 
10
(𝑥+7)2
, agora precisamos encontrar valores de 𝑥 que ℎ′(𝑥) = 0: 
ℎ′(𝑥) > 0 para qualquer valor de 𝑥. 
Portanto não há pontos críticos da ℎ(𝑥). 
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥²−9
 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 
−(𝑥2+9)
(𝑥2−9)²
, agora precisamos encontrar valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑓′(𝑥) > 0 para qualquer valor de 𝑥. 
Portanto não há pontos críticos da ℎ(𝑥). 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛²(3𝑥) 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 6𝑠𝑒𝑛(3𝑥)cos (3𝑥), agora precisamos encontrar valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑓′(𝑥) = 6(𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) cos(3𝑥) = 0=> 𝑥 =
1
6
𝑘𝜋 
Portanto (
1
6
𝑘𝜋,𝑓(
1
6
𝑘𝜋)) é ponto crítico da 𝑓(𝑥). 
h) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) cos(2𝑡) 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑡): 
𝑓′(𝑡) =𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛²(𝑡), agora precisamos encontrar valores de 𝑡 que 𝑓′(𝑡) = 0: 
𝑐𝑜𝑠2(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) = 0 => 𝑡 =
1
8
(2𝑘 + 1)𝜋 
Portanto (
1
8
(2𝑘 + 1)𝜋,𝑓(
1
8
(2𝑘 + 1)𝜋 )) é ponto crítico da 𝑓(𝑡). 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔²(4𝑥) 
Primeiro, vamos calcular 𝑓′(𝑥): 
𝑓′(𝑥) =𝑠𝑒𝑐2(4𝑥)4 => 𝑓′(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑐2(4𝑥), agora precisamos encontrar valores de 𝑥 
que 𝑓′(𝑥) = 0: 
4𝑠𝑒𝑐2(4𝑥) = 0 => 𝑥 =
1
4
𝑘𝜋 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
Portanto (
1
4
𝑘𝜋,𝑓(
1
4
𝑘𝜋 )) é ponto crítico da 𝑓(𝑥). 
j) 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)³(𝑥 + 1)² 
Primeiro, vamos calcular 𝑔′(𝑥): 
𝑔′(𝑥) = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 2)3(2)(𝑥 + 1), agora precisamos encontrar 
valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑔′(𝑥) = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 2)3(2)(𝑥 + 1) = 0=> 𝑥 = 2 e 𝑥 = 1 
Portanto (1,𝑔(1)) e (2,𝑔(2)) são pontos críticos da 𝑔(𝑥). 
12. Determine os valores de máximo e mínimo, caso existam, da função dada, no 
intervalo indicado. 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
− 𝑥3 − 2𝑥2 + 3 em [−2,3]. 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥2 − 4𝑥. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑥(𝑥2 − 3𝑥 − 4) = 0. Calculando as raízes de 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0: 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 => ∆ = 25=>𝑥′ =
3+5
2
= 4 e 𝑥′′ =
3−5
2
= −1. Portanto as soluções de 
𝑥(𝑥2 − 3𝑥 − 4) = 0 são 𝑥 = 0, 𝑥 = −1 e 𝑥 = 4. 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Vamos estudar os limites do intervalo: 
Calculando 𝑓(−2) = 7 e 𝑓(3) = −21,75 
No intervalo considerado, temos que (-2,𝑓(−2)) é valor máximo e (3,𝑓(3)) é valor 
de mínimo. 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 em [−2,1]. 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥 + 3. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
3𝑥² − 6𝑥 + 3 => 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 => ∆= 0 e 𝑥′ =
2
2
= 1 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Ou seja, a 𝑓 é sempre crescente. Nesse caso, vamos estudar os limites do intervalo: 
Calculando 𝑓(1) = 0 e 𝑓(−2) = −27 
No intervalo considerado, temos que (1,𝑓(1)) é valor máximo e (-2,𝑓(−2)) é valor 
de mínimo. 
13. Estude a função dado com relação a máximos e mínimos locais e globais. 
a) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
1+𝑥²
 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) =
1−𝑥²
(1+𝑥2)²
. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
1 − 𝑥2 = 0 => 𝑥2 = 1 => 𝑥 = ±1. 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Assim temos que (−1,𝑓(−1)) é mínimo global e (1,𝑓(1)) é máximo global. 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 + 2 
−1 1 
 − + − 
 1 
 + + 
−1 0 4 
 + − − + 
+ 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥³ − 12𝑥2 + 8𝑥. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑥(4𝑥² − 12𝑥 + 8) = 0. Calculando as raízes de 4𝑥² − 12𝑥 + 8 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2: 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 => ∆ = 1=>𝑥′ =
3+1
2
= 2 e 𝑥′′ =
3−1
2
= 1. Portanto as soluções de 
𝑥(4𝑥² − 12𝑥 + 8) = 0 são 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2. 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Assim temos que (0,𝑓(0)) e (2, 𝑓(2)) são mínimos globais e (1,𝑓(1)) é máximo 
global. 
14. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥2 + 1 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
3𝑥(𝑥 − 2) = 0 => 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
Assim temos que na 𝑓(𝑥): 
É crescente em (−∞,0] e [2,+∞) ou ]−∞,0] e [2,+∞[ 
É decrescente em [0,2] 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 + 1 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² + 4𝑥 + 1. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
3𝑥² + 4𝑥 + 1 = 0 => ∆ = 4 => 𝑥′ =
−4+2
6
 = −
1
3
 e 𝑥′′ =
−4−2
6
 = −1 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
Assim temos que na 𝑓(𝑥): 
É crescente em (−∞,−1] e [−
1
3
,+∞) ou ]−∞,−1] e [−
1
3
,+∞[ 
É decrescente em [-1,−
1
3
] 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥
 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 1 −
1
𝑥2
. Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
1 −
1
𝑥2
= 0 =>
𝑥2−1
𝑥2
 = 0 => 𝑥 = 0 
𝑥² − 1 = 0 => 𝑥2 = 1 => 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
Assim temos que na 𝑓(𝑥): 
É crescente em (−∞,−1] e [1,+∞) ou ]−∞,−1] e [1,+∞[ 
É decrescente em [−1,0) e (0,1] ou [−1,0[ e ]0,1] 
15. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥2 − 𝑥. 
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira. 
Calculando a primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
0 
 + − + 
+ 
2 
−
1
3
 
 + − + 
+ 
−1 
1 
 + − − + 
−1 0 
0 1 2 
 − + − + 
+ 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
2𝑥 − 4 = 0 => 𝑥 = 2 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Portanto (2,𝑓(2)) é mínimo relativo. 
Calculando a primeira da 𝑔(𝑥): 
𝑔′(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 − 1 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑔′(𝑥) = 0: 
3𝑥² − 2𝑥 − 1 = 0 => ∆= 16 
𝑥′ =
2+4
6
= 1 e 𝑥′ =
2−4
6
= −
1
3
 
Estudando o sinal da primeira derivada da 𝑔(𝑥): 
 
 
Portanto (−
1
3
, 𝑓 (−
1
3
)) é máximo relativo e (1,𝑓(1)) é mínimo relativo. 
b) Determine os valores de 𝑥 nos quais os extremos relativos ocorrem. 
Pela letra 𝑎 temos que na 𝑓(𝑥): 
2 é o valor de 𝑥 no mínimo relativo. 
Pela letra 𝑎 temos que na 𝑔(𝑥): 
−
1
3
 é o valor de 𝑥 no máximo relativo; 
1 é o valor de 𝑥 no mínimo relativo. 
c) Determine os intervalos nos quais 𝑓 é crescente e os intervalos nos quais 𝑓 é 
decrescente. 
Pela letra 𝑎 temos que na 𝑓(𝑥): 
É crescente em [2,+∞) ou [2,+∞[ 
É decrescente em (−∞, 2] ou ]−∞, 2] 
Pela letra 𝑎 temos que na 𝑔(𝑥): 
É crescente em (−∞,
1
3
] e (1, +∞] ou ]−∞,
1
3
] e ]1,+∞] 
É decrescente em [−
1
3
, 1]. 
16. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 9𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥³. Encontre os pontos de inflexão do 
gráfico da função f e g, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima 
e onde eleé côncavo para baixo. 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada da 𝑓(𝑥): 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 9 => 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 
Estudando o sinal da segunda derivada da 𝑓(𝑥): 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: (−∞, 0] ou ]−∞, 0] 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: [0, +∞) ou [0,+∞[ 
Ponto(s) de inflexão: (0, 𝑓(0)) é ponto de inflexão. Calculando 𝑓(0): 
𝑓(0) = 3(02) + 9 = 9. Portanto, (0,9) é ponto de inflexão do gráfico da 𝑓. 
 
 0 
 − + 
+ 
 2 
 − + 
+ 
 −
1
3
 
 + − + 
+ 
 1 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada da 𝑔(𝑥): 
𝑔′(𝑥) = 4𝑥3 − 24𝑥² => 𝑔′′(𝑥) = 12𝑥2 − 48𝑥 
Estudando o sinal da segunda derivada da 𝑔(𝑥): 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑔 é côncavo para baixo: [0, 4] 
Intervalo que o gráfico de 𝑔 é côncavo para cima: (−∞, 0] e [4,+∞) ou ]−∞, 0] e 
[4,+∞[ 
Ponto(s) de inflexão: (0, 𝑔(0)) e (4, 𝑔(4)) são pontos de inflexão. Calculando 𝑔(0) e 
𝑔(4): 
𝑔(0) = 04 − 8(03) = 0 e 𝑔(4) = 44 − 8(43) = −256 
Portanto, (0,0) e (4,-256) são pontos de inflexão do gráfico da 𝑔. 
17. Estude a função dada com relação á concavidade e pontos de inflexão. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥2 − 9𝑥 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥 − 9 => 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 6 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′′(𝑥) = 0: 
6𝑥 − 6 = 0 => 𝑥 = 1 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: (−∞, 1] ou ]−∞, 1]. 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: [1,+∞) ou [1,+∞[ . 
O ponto (1,𝑓(1)) é ponto de inflexão do gráfico da 𝑓. 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ − 𝑥2 − 4𝑥 + 1 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥² − 2𝑥 − 4 => 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 2 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′′(𝑥) = 0: 
12𝑥 − 2 = 0 => 𝑥 =
1
6
 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: (−∞,
1
6
] ou ]−∞,
1
6
]. 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: [
1
6
,+∞) ou [
1
6
,+∞[ . 
O ponto (
1
6
,𝑓(
1
6
)) é ponto de inflexão do gráfico da 𝑓. 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−2𝑥 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒−2𝑥 − 2𝑥𝑒−2𝑥=> 𝑓′′(𝑥) = 4𝑥𝑒−2𝑥 − 4𝑒−2𝑥 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′′(𝑥) = 0: 
4𝑥𝑒−2𝑥 − 4𝑒−2𝑥 = 0 => 4𝑒−2𝑥(𝑥 − 1) = 0 => 𝑥 = 1 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 0 
 + − + 
+ 
4 
 1 
 − + 
 
1
6
 
 − + 
 1 
 − + 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: (−∞, 1] ou ]−∞, 1]. 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: [1,+∞) ou [1,+∞[ . 
O ponto (1,𝑓(1)) é ponto de inflexão do gráfico da 𝑓. 
d) 𝑓(𝑡) = 𝑡² + 
1
𝑡
 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑡) = 2𝑡 −
1
𝑡2
=> 𝑓′′(𝑡) = 2 +
2
𝑡3
 
Encontrando os valores de 𝑡 que 𝑓′′(𝑡) = 0: 
2 +
2
𝑡3
= 0 =>
2𝑡³+2
𝑡3
= 0 => 2𝑡³ + 2 = 0 => 2(𝑡3 + 1) = 0 => 𝑡 = −1 
 
2𝑡³+2
𝑡3
= 0 => 𝑡 = 0 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: [−1,0) ou [-1,0[ 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: (−∞, −1] e (0,+∞) ou ]−∞, −1] 
e ]0,+∞[ 
O ponto (−1,𝑓(−1)) é ponto de inflexão do gráfico da 𝑓. 
18. Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da 
derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da 
derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do 
gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para 
baixo. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 + 1 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 2=> 𝑓′′(𝑥) = 6 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
6𝑥 − 2 = 0 => 𝑥 =
1
3
 
Estudando o sinal da primeira derivada: 
 
 
 
Portanto ( 
1
3
, 𝑓(
1
3
)) é ponto de mínimo relativo. 
Repare que a segunda deriva é sempre igual a 6. Logo: 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: − 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: (−∞, +∞) ou ] −∞, +∞ [ 
Não ponto de inflexão no gráfico da 𝑓. 
b) 𝑓(𝑥) = −4𝑥3 + 3𝑥² + 18𝑥 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) = −12𝑥2 + 6𝑥 + 18 => 𝑓′′(𝑥) = −24𝑥 + 6 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
−2𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 => ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 => ∆= 25 
𝑥′ =
−1+5
−4
= −1 e 𝑥′′ =
−1−5
−4
=
3
2
 
 
 
 −1 
 + − + 
 0 
 
1
3
 
 − + 
Acompanhamento MAT 146 
2016/1 Noé Eiterer 
IMPRIMA APENAS O NECESSÁRIO 
Estudando o sinal da primeira derivada: 
 
 
 
Portanto ( −1, 𝑓(−1)) é ponto de mínimo relativo e ( 
3
2
, 𝑓(
3
2
)) é ponto de máximo 
relativo. 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′′(𝑥) = 0: 
−24𝑥 + 6 = 0 => −24𝑥 = −6 => 𝑥 =
1
4
 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: [
1
4
, +∞) ou [
1
4
, +∞[ 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: (−∞,
1
4
] ou ] − ∞,
1
4
] 
Portanto ( 
1
4
, 𝑓(
1
4
)) é ponto de inflexão no gráfico da 𝑓. 
c) 𝑓(𝑥) = 
1
3
𝑥³ − 𝑥2 + 3 
Calculando a primeira e logo em seguida a segunda derivada: 
𝑓′(𝑥) =
1
3
3𝑥2 − 2𝑥 =>𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 => 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 − 2 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑥² − 2𝑥 = 0 => 𝑥(𝑥 − 2) = 0 => 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2 
Estudando o sinal da primeira derivada: 
 
 
 
Portanto ( 0, 𝑓(0)) é ponto de máximo relativo e ( 2, 𝑓(2)) é ponto de mínimo 
relativo. 
Encontrando os valores de 𝑥 que 𝑓′′(𝑥) = 0: 
2𝑥 − 2 = 0 => 𝑥 =
2
2
=> 𝑥 = 1 
Estudando o sinal da segunda derivada: 
 
 
 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo: (−∞, 1] ou ]−∞, 1] 
Intervalo que o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima: [1, +∞) ou [1,+∞[ 
Portanto ( 1, 𝑓(1)) é ponto de inflexão no gráfico da 𝑓. 
 
 −1 
 − + − 
 
3
2
 
 + − 
 
1
4
 
 0 
 + − + 
 2 
 − + 
1