Unidade 2

Prévia do material em texto

Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
 
Limites e Derivadas 
 
 
Unidade 2 - Derivadas e taxas 
de variação 
 
 
 
 
Guilherme Alves Ferreira 
 
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
Introdução 
Prezados alunos, na unidade anterior, foram apresentados os estudos de limites 
e de continuidade, cujo conceitos e propriedades constituem a base do cálculo 
diferencial e estão relacionadas diretamente ao conceito de derivadas. Nesta unidade, 
vamos dar continuidade aos conceitos de limites ao apresentar os conceitos de 
derivadas e taxa de variação, bem como as regras de derivação, derivação de função 
composta, derivação implícita e os casos trigonométricos de função inversa. Bons 
estudos! 
1. Derivadas e taxa de variação 
Anteriormente, vimos que as definições de limites surgem provenientes de 
problemas para cálculo de tangente e cálculo da velocidade instantânea. As derivadas 
também possuem como ponto de origem, os mesmos problemas. Adiante, veremos 
que a derivada trata-se do cálculo de um limite específico. 
1.1. Definição por meio de limites 
Como vimos na unidade anterior, em uma breve revisão, para o problema da 
tangente da Figura 1. Para a determinação da tangente em 𝐶 pelo ponto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎))de 
uma curva 𝐶 de função 𝑦 = 𝑓(𝑥), deve considerar-se um ponto 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)), situado 
próximo a 𝑃, com 𝑥 ≠ 𝑎, cuja inclinação 𝑚𝑃𝑄 de uma reta secante 𝑃𝑄 é definida por: 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 
Então, conforme 𝑄 movimenta-se sobre a curva 𝐶, consequentemente 𝑥 tende 
ao valor de 𝑎, então a inclinação da secante 𝑚𝑃𝑄 vai tender para o valor da inclinação 
𝑚 da reta tangente, ou seja, a reta secante 𝑃𝑄 quando 𝑄 tende a 𝑃 assume a posição 
limite da reta tangente, portanto: 
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑄 → 𝑃
𝑚𝑃𝑄 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
Figura 1 – a) determinação da inclinação da secante 𝑃𝑄; b) movimento da reta secante para 
assumir a posição limite da reta tangente quando 𝑃 → 𝑄, ou seja, quando𝑥 → 𝑎; c) outra interpretação 
em função de um incremento ℎ em que ℎ → 0. 
Então a reta tangente é definida se o limite existir e a expressão pode ser 
reescrita como apresentado no gráfico da Figura 1c, por um incremento de ℎ,em que, 
𝑥 = 𝑎 + ℎ, então ℎ = 𝑥 − 𝑎 e ℎ → 0, temos: 
𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑃(𝑥1, 𝑦1) → 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑒 𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
Também de forma breve, vamos recordar que estudamos como exemplo a 
queda livre de uma bola, cuja velocidade foi definida como um valor-limite das 
velocidades médias em função de intervalos de tempo cada vez menores. A Figura 2a 
apresenta uma esquematização do deslocamento da bola pela função posição 𝑠(𝑡), 
então, a velocidade média pode ser determinada pela expressão: 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
(𝑎 + ℎ) − 𝑎
=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
Note que a expressão encontrada para a velocidade média corresponde a 
inclinação da reta secante 𝑃𝑄, como mostra a Figura 2b. Agora, novamente ao recordar 
da unidade anterior, podemos determinar a velocidade instantânea 𝑣(𝑎) no instante 
𝑡 = 𝑎, se efetuarmos o cálculo da velocidade média com valores de intervalos cada vez 
menores, ou seja, quando ℎ → 0, significa que a velocidade média se aproxima do valor 
limite da velocidade instantânea 𝑣(𝑎) no instante 𝑡 = 𝑎, portanto: 
𝑣(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
 
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
Figura 2 – a) gráfico do deslocamento na função posição 𝑠 = 𝑓(𝑡) em um intervalo de 𝑡; b) gráfico do 
deslocamento da posição 𝑠(𝑡) em função do tempo 𝑡. 
Em outras palavras, os problemas são idênticos, apenas com interpretações 
diferentes para determinação de uma taxa de variação, cuja solução é um mesmo tipo 
de limite. Esse tipo de limite ocorre muito em diversos problemas de engenharia, 
química, matemática, dentre outras, por isso, recebe o nome de derivada. Pela 
definição a derivada 𝑓 ′(𝑎) de uma função 𝑓(𝑥) em um número 𝑎 é o limite, se e 
somente se, ele existir, expresso por: 
 𝑓 ′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 𝑜𝑢 𝑓 ′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
Logo, segundo essa definição, a reta tangente pode ser reescrita como: 
𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) → 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑒 𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
 Uma outra interpretação seria em função do quociente das diferenças, 
denominado de taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [𝑥1, 𝑥2]. Seja 
uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se 𝑥 variar de 𝑥1 para 𝑥2, então, a variação em 𝑥 (também 
denominada de incremento de 𝑥) será: 𝛥𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. Portanto, a variação em 𝑦 será 
dada por: 𝛥𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1). Se considerarmos uma taxa de variação média, com 
intervalos cada vez menores, em que 𝑥2 → 𝑥1 e, consequentemente, 𝛥𝑥 → 0, então, 
esse limite é denominado de taxa de variação (instantânea) de y em relação a x 
em𝑥 = 𝑥1, desde que o limite exista, é claro. Portanto: 
 
 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥2 → 𝑥1
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
Os conhecimentos do cálculo foram desenvolvidos ao longo dos anos, durante 
o século XVII. Entretanto, já no século XVIII, Newton e Leibniz (Figura 3) foram os 
matemáticos que estabeleceram a noção de que se tratava de um novo ramo da 
matemática, não apenas um aglomerado de técnicas (STEWART, 2013; ÁVILA; ARAÚJO, 
2012). 
 
 
Figura 3 – Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. 
Fonte: (PETRY, 2013; VICENTE, 2016). 
 
Em 1666, Isaac Newton foi o primeiro a formular explicitamente as ideias de 
limite e derivada, mas não publicou de imediato, somente em 1687, após muita 
insistência de amigos para que o fizesse. Enquanto Leibniz publicou seu primeiro 
artigo sobre cálculo em 1684 (OLIVEIRA, 2011). 
Newton queria receber os créditos pela invenção do cálculo, mas reconhecia 
que tal feito não era isolado, dependente apenas dele, mas, proveniente de uma longa 
contribuição ao longo do século XVII, por isso dizia que: “se vejo mais longe do que 
outros homens, é porque estou sobre os ombros de gigantes”. Pierre Fermat (1601-
1665) e Isaac Barrow (1630-1677), mentor de Newton em Cambridge, foram dois 
nomes de peso dentre outros gigantes aos quais ele se referia, pois seus métodos 
desenvolvidos para encontrar as retas tangentes eram familiares e foram essenciais 
para a determinação do cálculo de Newton (STEWART, 2013). 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
A Europa do século XVII, de um modo geral, apresentou uma grande evolução 
na construção dos conceitos do cálculo, devido aos aspectos de liderança de Leibniz. 
Entretanto, na Inglaterra, especificamente, a ocorrência de algumas adversidades 
promoveu certo adiamento desse avanço, por uma combinação de fatores. Primeiro, 
devido ao temperamento forte de Newton, depois, por Leibniz ter sido acusado de 
plágio, por Newton e seus leais seguidores. Após esse fato, os ingleses recusaram-se 
a seguir as descobertas de Leibniz. Além disso, Newton tecia notações desfavoráveis 
aos conceitos apresentados por Leibniz. A combinação de tais fatores causou um 
prejuízo de um século de atraso na matemática inglesa (ÁVILA; ARAÚJO, 2012). 
 
Você sabia? Em 1690, houve uma disputa muito forte entre os seguidores de Newton 
e os de Leibniz sobre quem seria o inventor do cálculo. Os membros da Royal Society 
na Inglaterra acusaram Leibniz de ter cometido plágio. Entretanto, os fatos mostram 
que, cadaum desenvolveu os conceitos de forma individual, sem influência entre si. 
Newton chegou primeiro à sua versão do cálculo, porém, não publicou de imediato, 
já que temia controvérsias ou críticas. Assim, a primeira publicação do cálculo a surgir 
foi de Leibniz em 1684 (STEWART, 2013). Saiba mais na reportagem Científicos en 
guerra: Newton, Leibniz y el cálculo infinitesimal do matemático e escritor Antonio J. 
Durán, na seção especial Café y Teoremas disponível em: 
https://elpais.com/elpais/2017/07/31/ciencia/1501499450_270522.html. 
 
Na época, não houve comprovação, mas, posteriormente, com o avanço dos 
séculos, ficou nítido que os trabalhos de Newton e Leibniz eram completamente 
diferentes e, por isso, tal acusação era incoerente. 
Enquanto Newton desenvolveu sua teoria voltada para as taxas de variação, ou 
seja, na tentativa de resolver problemas de física. Leibniz focou numa vertente mais 
abstrata e abrangente do cálculo da derivada, como o conceito de diferencial e, 
posteriormente, criou fórmulas para denotar a derivada e as diferenciais, bem como 
algumas das regras de derivação (STEWART, 2013). 
Outra grande diferença, Leibniz acreditava que a notação era de fundamental 
importância, enquanto Newton não dava muita relevância ao formato. Entretanto, a 
notação representa, de fato, um aspecto de acentuada importância, pois contribuiu 
para a leitura e compreensão de seus trabalhos, o que auxiliou vários matemáticos na 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
resolução de problemas que não tinham resposta até aquele momento (OLIVEIRA, 
2011). 
Os tipos de notações para derivadas ao longo do tempo estão na Figura 4. 
 
 
Figura 4 – Evolução das notações para derivadas. 
FONTE: (KILHIAN, 2019). 
 
A primeira notação surgiu com Newton, sendo uma letra com um ponto acima, 
como mostra a Figura 4, essa notação não era eficiente, pois não há informações das 
funções e não é muito clara, a impressão é que foi desenvolvida para uso próprio, fato 
que dificultava o entendimento. No entanto, essa notação permaneceu em uso na 
Inglaterra por um século, pela forte influência de Newton e, ainda hoje, é adotada em 
alguns livros de física. 
A segunda notação foi de Leibniz, adotada na Europa e é a mais utilizada até 
os dias atuais, imaginava 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 como incrementos muito pequenos (infinitésimos) 
nas variáveis 𝑥 e 𝑦, e 𝛥 representa as diferenciais. A proporção entre as diferenciais 
(𝛥𝑦/𝛥𝑥) representa a taxa de variação, enquanto a (𝑑𝑦/𝑑𝑥) simboliza o limite da taxa 
de variação, quando 𝛥𝑥 tende a zero, ou seja, a derivada. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 𝑜𝑢 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
A notação introduzida por Leibniz foi um sucesso essencial para que o cálculo 
desenvolvesse no século XVIII, tanto para derivada, quanto para diferencial. Alguns 
nomes de destaque dos seguidores de Leibniz incluem os irmãos Johaan (Jean) 
Bernoulli (1667-1748) e Jacob (Jacques) Bernoulli (1654-1705), Leonardo Euler (1707-
1784), Daniel Bernoulli (1700-1782) - o filho de Jean - dentre muitos outros (ÁVILA; 
ARAÚJO, 2012). 
Outra notação de destaque da derivada foi a de Lagrange, pela vantagem de 
ser concisa, cujo apóstrofo adicionado depois da função, 𝑓 ′(𝑥) ou 𝑦′ indica a 
derivada. 
Além da definição e da notação, é importante falar sobre a ordem. Até agora 
apresentamos que uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) diferenciável possui como derivada 𝑓 ′(𝑥) 
ou 𝑦′. No entanto, a função resultante 𝑓 ′(𝑥) ou 𝑦′ também podem ser diferenciável, 
então é chamada de derivada de ordem dois ou segunda derivada, representada por 
𝑓 ′′(𝑥) ou 𝑦′′. Pela notação de Leibniz, temos a segunda derivada como: 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) =
𝑑 2𝑦
𝑑𝑥2
 
 A terceira derivada (ou derivada de terceira ordem) (𝑓 ′′′(𝑥) ou 𝑦′′′)é a derivada 
da segunda derivada (𝑓 ′′(𝑥) ou 𝑦′′). Quarta derivada é representada por 𝑓(4)(𝑥) ou 
𝑦(4). Este processo pode continuar, em geral, a n-ésima derivada de 𝑓(𝑛)(𝑥) é obtida 
derivando por 𝑛 vezes. 
𝑦′′ = 𝑓 ′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑
 
𝑦
𝑑𝑥
) =
𝑑
 2
𝑦
𝑑𝑥2
 
𝑦′′′ = 𝑓 ′′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑
 2
𝑦
𝑑𝑥2
) =
𝑑
 3
𝑦
𝑑𝑥3
 
𝑦(4) = 𝑓(4)(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑
 3
𝑦
𝑑𝑥3
) =
𝑑
 4
𝑦
𝑑𝑥4
 
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) =
𝑑
 𝑛
𝑦
𝑑𝑥𝑛
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
2. Regras de derivação 
Anteriormente, foi apresentada a definição de uma derivada por meio de um 
tipo específico de limite. Nesta seção, iremos apresentar algumas regras para derivar 
as funções constantes, funções potências, funções polinomiais e funções exponenciais, 
sem que seja necessário o emprego da definição de uma derivada. 
2.1. Regra da constante 
Seja 𝑐 uma constante e uma função constante 𝑓(𝑥) = 𝑐, então, a derivada 
𝑓 ′(𝑥) resulta em 0, expressa pela notação: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐) = 0 
A regra da constante é facilmente demonstrada pelo uso da definição de 
derivada: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
0 = 0 
2.2. Regra da potência 
Seja uma função potência 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , na qual 𝑛 é um inteiro positivo, então, a 
derivada 𝑓 ′(𝑥)resulta na multiplicação da potência por 𝑛 com o decaimento da 
potência 𝑛 para 𝑛 − 1, expressa pela notação: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑛) = 𝑛 𝑥𝑛−1 , 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 
A regra da potência pode ser demonstrada pela definição de derivada: 
𝑓 ′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎 
Sabendo da relação de equivalência: 
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎+. . . +𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) 
Então, podemos reescrever e simplificar: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑓 ′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
(𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎+. . . +𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1)
𝑥 − 𝑎 𝑓
 ′(𝑎)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎+. . . +𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) 
𝑓 ′(𝑎) = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑎+. . . +𝑎𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 
𝑓 ′(𝑎) = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−1+. . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 = 𝑛𝑎𝑛−1 
Essa regra, por se tratar de 𝑛 como multiplicador da potência de 𝑥 a 𝑛 − 1, 
também é conhecida como a regra do tombo. 
2.3. Regra da multiplicação por constante 
Seja 𝑐 uma constante e 𝑓(𝑥) uma função derivável, em que 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥), então, 
a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da 
função: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) 
A regra da multiplicação por constante é demonstrada pela definição de 
derivada, então: 
𝑔′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐 [
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
] = 𝑐𝑓 ′(𝑥) 
2.4. Regra da soma 
Sejam ambas as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) deriváveis, então, a derivada de uma soma 
de funções é a soma das derivadas das funções, expressa como: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) 
A regra da soma é demonstrada pela definição de derivada, em que seja 𝐹(𝑥) =
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
] + 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
] = 𝑓 ′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
 
2.5. Regra da subtração 
Sejam ambas as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) deriváveis, então a derivada de uma 
subtração de funções é a subtração das derivadas das funções, expressa: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) 
A regra da subtração é demonstrada de modo similar à regra da soma. 
2.6. Regra do produto 
Por analogia às regrasda soma e subtração, pode-se supor que o mesmo seja 
válido, ou seja, a derivada de um produto seja o produto da derivada. Leibniz realizou 
testes para examinar esse caso e comprovou que não ocorre de tal maneira. Vamos 
pegar um exemplo simples, com 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥4: 
 
𝑠𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑥4 = 2𝑥5 → ℎ′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥5) = 10𝑥4 
𝑠𝑒 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥4 → 𝑓 ′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥) = 2 𝑒 𝑔′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4) = 4𝑥3 
 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) = (2)(4𝑥3) = 8𝑥3 ∴ 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) ≠ ℎ′(𝑥) 
Leibniz, após efetuar a comprovação, elaborou a regra do produto, de forma 
interpretativa, a partir da geometria analítica como a área de um retângulo na Figura 
5. 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
Figura 5 – Geometria analítica da regra do produto. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
Neste caso, iremos assumir que 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥), ambas funções deriváveis, 
então: 
𝑢 = 𝑓(𝑥) → 𝛥𝑢 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑣 = 𝑔(𝑥) → 𝛥𝑣 = 𝑔(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑔(𝑥) 
A área total do retângulo será o valor do produto: (𝑢 + 𝛥𝑢)(𝑣 + 𝛥𝑣). Então, a 
variação na área do retângulo é equivalente a soma das áreas vermelha, verde e azul 
da Figura 5: 
𝛥(𝑢𝑣) = (𝑢 + 𝛥𝑢)(𝑣 + 𝛥𝑣) − 𝑢𝑣 = (𝑢𝛥𝑣 + 𝑣𝛥𝑢 + 𝑢𝑣 + 𝛥𝑢𝛥𝑣) − 𝑢𝑣
= 𝑢𝛥𝑣 + 𝑣𝛥𝑢 + 𝛥𝑢𝛥𝑣 
Em seguida, dividir por 𝛥𝑥: 
𝛥(𝑢𝑣)
𝛥𝑥
= 𝑢
𝛥𝑣
𝛥𝑥
+ 𝑣
𝛥𝑢
𝛥𝑥
+ 𝛥𝑢
𝛥𝑣
𝛥𝑥
 
Ao aplicarmos que 𝛥𝑥 → 0, temos a derivada de 𝑢𝑣: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛥(𝑢𝑣)
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
(𝑢
𝛥𝑣
𝛥𝑥
+ 𝑣
𝛥𝑢
𝛥𝑥
+ 𝛥𝑢
𝛥𝑣
𝛥𝑥
) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛥𝑣
𝛥𝑥
+ 𝑣 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛥𝑢
𝛥𝑥
+ ( 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛥𝑢)( 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥→0
𝛥𝑣
𝛥𝑥
) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 0 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Então, a derivada do produto das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥)é igual ao produto da 
primeira função com a derivada da segunda função, 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥), somado ao produto 
da segunda função com a derivada da primeira função, 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥): 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)] 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
Vamos realizar o mesmo exemplo anterior com a regra do produto: 
𝑠𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑥4 = 2𝑥5 → ℎ′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥5) = 10𝑥4 
𝑠𝑒 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥4 → 𝑓 ′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥) = 2 𝑒 𝑔′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4) = 4𝑥3 
𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜:
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥) 
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥) = (2𝑥)(4𝑥3) + (𝑥4)(2) = 8𝑥4 + 2𝑥4 = 10𝑥4 
 ∴ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥) = ℎ′(𝑥) 𝑒 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) ≠ ℎ′(𝑥) 
Foi possível verificar que a derivada do produto 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) não é o mesmo que 
o produto das derivadas 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥). Como exercício, tente efetuar a demonstração 
da regra do produto pela definição de derivada como um limite. 
Você sabia? Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em 1646, em Leipzig, cursou uma 
universidade local e obteve graduação aos 17 anos em direito, teologia, filosofia e 
matemática, depois aos 20, obteve o doutorado em direito e atuou no serviço 
diplomático, em missões políticas na Europa. Apenas em 1672 que os estudos 
matemáticos tiveram início, durante uma missão em Paris, ao construir uma máquina 
de calcular e encontrar cientistas empenhados no desenvolvimento matemático. Um 
dos grandes feitos de Leibniz foi a simplificação do raciocínio lógico por desenvolver 
uma lógica simbólica e um sistema de notação. Em 1684, com sua primeira publicação, 
estabeleceu a notação e as regras para encontrar as derivadas usadas até hoje, sendo 
a primeira publicação do cálculo a aparecer na história (STEWART, 2013). Saiba mais 
sobre esse ícone essencial na ciência moderna na reportagem El arquitecto de la 
modernidad de Juan A. Nicolás, disponível em: 
https://elpais.com/cultura/2016/12/21/babelia/1482331823_920736.html. 
 
2.7. Regra do quociente 
Sejam 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções deriváveis, vamos determinar a derivada do 
quociente de duas funções pela regra do produto: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
ℎ =
𝑢
𝑣
 → 𝑢 = ℎ ∙ 𝑣 
𝑢′ = ℎ′ ∙ 𝑣 + ℎ ∙ 𝑣′ 
Vamos substituir ℎpelo quociente de 𝑢 por 𝑣: 
𝑢′ = ℎ′ ∙ 𝑣 +
𝑢
𝑣
∙ 𝑣′ 
Vamos isolar ℎ′ e, em seguida, dividir por 𝑣 e somar as frações: 
ℎ′ ∙ 𝑣 = 𝑢′ −
𝑢
𝑣 ∙ 𝑣′ 
ℎ′ ∙
𝑣
𝑣 =
𝑢′
𝑣 −
𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣 ∙ 𝑣 
ℎ′ =
𝑢′ ∙ 𝑣
𝑣 ∙ 𝑣 −
𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣 ∙ 𝑣 =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣 ∙ 𝑣
=
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
 
Então, a derivada do quociente das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥)é igual ao produto do 
denominador com a derivada do numerador, 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓 ′(𝑥), subtraído do produto do 
numerador com a derivada do denominador, 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥), cuja subtração é dividida 
pelo quadrado do denominador, [𝑔(𝑥)]2, expressa por: 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)] + 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]
[𝑔(𝑥)]2
=
𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Como exercício, tente efetuar a demonstração da regra do quociente pela 
definição de derivada como um limite. 
2.8. Regra da exponencial 
Seja 𝑓(𝑥) uma função exponencial, então, a derivada é a própria função 
exponencial de base 𝑐 , multiplicada pelo logaritmo natural de 𝑐, expressa como: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑥) = 𝑐𝑥𝑙𝑛 𝑐 , 𝑐 > 0 
A regra da exponencial é demonstrada pela definição de derivada: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑥 + ℎ − 𝑐𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑥(𝑐ℎ − 1)
ℎ
= 𝑐𝑥𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐ℎ − 1
ℎ
 
Observe que, para 𝑓 ′(0) , temos: 
𝑓 ′(0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐0 + ℎ − 𝑒0
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐ℎ − 1
ℎ
 ∴ 𝑓 ′(𝑥)
= 𝑐𝑥𝑓 ′(0) 
Segundo o limite fundamental, podemos determinar: 
𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐ℎ − 1
ℎ
= 𝑙𝑛 𝑐 ∴ 𝑓 ′(𝑥) = 𝑐𝑥𝑓 ′(0) = 𝑐𝑥𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐ℎ − 1
ℎ
= 𝑐𝑥𝑙𝑛 𝑐 
A partir desse resultado, também foi demonstrado intrinsecamente, o caso 
particular da função exponencial natural, cuja base 𝑒 tem por definição que a derivada 
resulta na própria exponencial natural, pois 𝑙𝑛 𝑒 = 1, então: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑒 = 𝑒𝑥 𝑜𝑢 𝑓 ′(𝑥) = 𝑒𝑥𝑓 ′(0) = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑒 = 𝑒𝑥 
2.9. Funções logarítmicas 
Seja 𝑓(𝑥) uma função logarítmica de base 𝑎, com 𝑎 > 0 e com 𝑎 ≠ 1,então, a 
derivada é igual ao quociente de 1 pelo produto de 𝑥 com o logaritmo natural de 𝑎, 
expressa como: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑙𝑜𝑔
𝑎
 𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛 𝑎
, 𝑠𝑒 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
A regra da logarítmica é demonstrada pela definição de derivada: 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑎
=
𝑙𝑛 𝑥
𝑙𝑛 𝑎
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
1
𝑙𝑛 𝑎
∙
𝑙𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑙𝑛 𝑥
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑙𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑙𝑛 𝑥
ℎ
 
Aplicando a propriedade quociente dos logaritmos e, em seguida, a 
propriedade da potência, então: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[
1
ℎ
𝑙𝑛 (
𝑥 + ℎ
𝑥 )] =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
[𝑙𝑛 (
𝑥 + ℎ
𝑥 )
1/ℎ
] 
Podemos efetuar uma troca de variável, portanto: 
ℎ
𝑥
= 𝑠 → ℎ = 𝑠𝑥 , 𝑒 𝑠𝑒 ℎ → 0 ∴ 𝑠 → 0 
𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑠 → 0
[𝑙𝑛 (1 + 𝑠) 1/𝑠𝑥] =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑠 → 0
[𝑙𝑛((1 + 𝑠) 1/𝑠)
1/𝑥
] 
𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑠 → 0
[
1
𝑥 ∙ 𝑙𝑛(1 + 𝑠)
1/𝑠] 
Vamos aplicar a propriedade do limite de um logaritmo, então: 
𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑙𝑛 𝑎
∙
1
𝑥 ∙ 𝑙𝑛[𝑙𝑖𝑚𝑠 → 0(1 + 𝑠)
1/𝑠] 
O limite encontrado depois de todas essas operações algébricas corresponde 
ao segundo caso do limite fundamental, então: 
𝑙𝑖𝑚
𝑠 → 0
(1 + 𝑠) 1/𝑠 = 𝑒 ∴ 𝑓 ′(𝑥) =
1𝑙𝑛 𝑎
∙
1
𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑒 =
1
𝑥 𝑙𝑛 𝑎
 
Observe que, assim como no caso da função exponencial, há um caso particular, 
quando a base do logaritmo for natural (ou seja, 𝑒), então, podemos definir uma regra 
de derivada para a função logarítmica natural: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑙𝑛 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑙𝑜𝑔
𝑒
 𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛 𝑒
=
1
𝑥
 𝑜𝑢 𝑓 ′(𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛 𝑒
=
1
𝑥
 
2.10. Derivadas de funções trigonométricas 
Essa seção visa a demonstração das derivadas de funções trigonométricas pela 
definição, cujos passos necessitam de prévios conhecimentos em limites e identidades 
trigonométricas. 
Para a função seno: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
ℎ
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
Da identidade trigonométrica da soma do ângulo para seno, temos: 
 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + ℎ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1) + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1)
ℎ
+ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
+ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
Vamos multiplicar 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1 no numerador e denominador do segundo limite: 
𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
(𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1)(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
ℎ(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑐𝑜𝑠2 ℎ − 1)
ℎ(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
 
A partir da identidade trigonométrica da relação entre seno e cosseno, vamos 
substituir 𝑐𝑜𝑠2 ℎ − 1: 
𝑠𝑒𝑛2 ℎ + 𝑐𝑜𝑠2 ℎ = 1 ∴ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 (𝑐𝑜𝑠2 ℎ − 1)
ℎ(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
(−𝑠𝑒𝑛2 ℎ)
ℎ(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
 
𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
= − 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ(𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1)
= − 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1
∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
De acordo com o primeiro caso de limite fundamental já estudado, podemos 
definir: 
𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
= 1 
∴ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
= − 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1
∙ (1) = − 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
𝑐𝑜𝑠 ℎ + 1
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
= −
𝑠𝑒𝑛 (0)
𝑐𝑜𝑠 (0) + 1
= −
0
1 + 1
= 0 
De acordo com o limite calculado e o primeiro caso de limite fundamental, 
portanto: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
+ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 0 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
Para a função cosseno: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
ℎ
 
Da identidade trigonométrica da soma do ângulo para seno, temos: 
 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + ℎ) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1)
ℎ
− 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑐𝑜𝑠 ℎ − 1
ℎ
− 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
 
O segundo limite equivale a 0 e já foi calculado na demonstração da derivada 
do seno e o quarto limite é o primeiro caso do limite fundamental que equivale a 1, 
então: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ (0) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ (1) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑠 𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
Você sabia? Em 1671, Isaac Newton assumiu o cargo de professor catedrático de 
matemática da Universidade de Cambridge. No próximo ano, virou membro da Royal 
Society e, posteriormente, presidente. Em 1674, recebeu o título de cavaleiro (Sir Isaac 
Newton) e de 1687 a 1690 atuou no parlamento. Em 1696, renunciou ao cargo da 
universidade de Cambridge e mudou-se para Londres, pois foi nomeado inspetor da 
Casa da Moeda, na perseguição e identificação de falsificadores, cujo trabalho foi 
executado com firmeza e empenho, que culminou na morte de mais de vinte 
criminosos sob pena de enforcamento. A eficiência na função desempenhada rendeu 
sua promoção para diretor da Casa da Moeda, cargo que desempenhou durante 28 
anos, até a sua morte (ROSELL, 1992). Leia mais na reportagem Contradictorio Newton 
de Antoni Roca Rosell, disponível em: 
https://elpais.com/diario/1992/12/26/sociedad/725324405_850215.html. 
 
 
 
Para a função tangente, temos: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑡𝑔 (𝑥 + ℎ) − 𝑡𝑔 (𝑥)
ℎ
 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 ′(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + ℎ)/𝑐𝑜𝑠 (ℎ + 1) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)/𝑐𝑜𝑠(𝑥)
ℎ
 
𝑓 ′(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)/(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)/𝑐𝑜𝑠(𝑥)
ℎ
 
Desenvolvendo a diferença de frações, teremos: 
=
 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
 
=
 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
=
 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
=
 𝑠𝑒𝑛 ℎ (𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
 
Então: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 𝑠𝑒𝑛 ℎ (𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
ℎ(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 𝑠𝑒𝑛 ℎ (1)
ℎ(𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
 
Aplicando a propriedade do produto de limites, teremos o limite fundamental 
já conhecido equivalente a 1 e o segundo limite é calculado, então: 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
∙
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 𝑠𝑒𝑛 ℎ
ℎ
∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ → 0
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ℎ
 
𝑓 ′(𝑥) = 1 ∙
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (0) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (0)
 
𝑓 ′(𝑥) =
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 (1) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (0)
=
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑡𝑔 𝑥) =
 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
Outra forma de definir essa derivada seria pela regra do quociente: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑡𝑔 𝑥) =
 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
(𝑐𝑜𝑠 𝑥) (𝑐𝑜𝑠 𝑥) − (𝑠𝑒𝑛 𝑥)(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) 
(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2
 
=
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
=
1 
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
 =
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
Isso demonstra o quanto as regras de derivação facilitam os cálculos das 
derivadas de outras funções trigonométricas básicas (cotangente, secante, 
cossecante), tais como: 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 → 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑐 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
Essas não serão demonstradas, ficando a critério do aluno demonstrar, tanto 
pela definição quanto pelas regras. 
3. Regras de derivação: funções compostas 
Na unidade anterior, foram apresentados os conceitos de funções compostas e 
no cálculo, em muitas das aplicações, principalmente, na Engenharia, é necessário 
encontrar uma função com alguma derivada. Vimos nas regras de derivação que, no 
caso do produto funções (𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)), sabemos que a derivada do produto (𝑓(𝑥) ∙
𝑔′(𝑥) + 𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) não é o produto das derivadas (𝑓 ′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)). Entretanto, 
dentro do cálculo, há uma regra com o produto das derivadas, específica para a 
derivação de funções compostas denominada regra da cadeia. 
3.1. Regra da cadeia 
A regra da cadeia é a derivada de uma função composta 𝑓(𝑔(𝑥)) em 𝑥 consiste 
no produto da derivada de 𝑓 em 𝑔(𝑥) com a derivada de 𝑔 em 𝑥, como mostra a Figura 
6. 
 
Figura6 – Taxa de variação múltipla: derivada de 𝑓(𝑔(𝑥))em 𝑥 é o produto da derivada da 𝑓 em 𝑔(𝑥) 
com a derivada de 𝑔 no ponto 𝑥. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
Se 𝑓(𝑢) é derivável em 𝑢 = 𝑔(𝑥) e 𝑔(𝑥) é derivável em 𝑥, então, a função 
composta de (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é derivável em 𝑥, e pode ser expressa pela notação: 
(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓 ′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 
Considerando a notação de Leibniz: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑢
é 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
A regra da cadeia também pode ser explicada pelo mecanismo da regra do 
externo-interno da Figura 7, cuja definição consiste em primeiro derivar a função 𝑓 de 
fora, calculada na função de dentro 𝑔(𝑥), e, então, multiplicar pela derivada da função 
de dentro 𝑔′(𝑥). 
 
Figura 7 – Mecanismo da regra da cadeia pela regra do externo-interno. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
 
A demonstração da regra da cadeia pela definição de derivada: 
𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑦(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑢) → 𝑦′(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝑔[𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) ] − 𝑔[𝑓 (𝑥)]
𝛥𝑥
 
𝛥𝑢 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥) + 𝛥𝑢 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) 𝑒 𝛥𝑢 → 0 ∴ 𝛥𝑥 → 0 
Vamos substituir a 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) e 𝑓(𝑥): 
 𝑦′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝑔[𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) ] − 𝑔[𝑓 (𝑥)]
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔[𝑓(𝑥) + 𝛥𝑢 ] − 𝑔[𝑓 (𝑥)]
𝛥𝑥
 
Como 𝛥 ≠ 0, então, podemos multiplicar por 𝛥𝑢 no numerador e 
denominador: 
 𝑦′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔(𝑢 + 𝛥𝑢 ) − 𝑔(𝑢)
𝛥𝑥
∙
𝛥𝑢
𝛥𝑢
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔(𝑢 + 𝛥𝑢) − 𝑔(𝑢)
𝛥𝑢
∙
𝛥𝑢
𝛥𝑥
 
Vamos substituir𝛥𝑢 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) na segunda fração e depois aplicar a 
propriedade dos limites do produto, então: 
 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 𝑦′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔(𝑢 + 𝛥𝑢)] − 𝑔(𝑢)
𝛥𝑢
∙
𝛥𝑢
𝛥𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔(𝑢 + 𝛥𝑢 ) − 𝑔(𝑢)
𝛥𝑢
∙
𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝛥𝑥
 
 𝑦′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑢 → 0
𝑔(𝑢 + 𝛥𝑢 ) − 𝑔(𝑢)
𝛥𝑢
∙ 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑥 → 0
𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝛥𝑥
 𝑦′(𝑥) = 𝑔′(𝑢) ∙ 𝑓′(𝑥) 
Você sabia? O matemático escocês James Gregory (1638–1675) foi o primeiro a 
formular a Regra da Cadeia, além disso, foi responsável pelo primeiro telescópio 
refletor com uso prático. As descobertas de Gregory ocorrem na mesma época de 
Newton. Atuou como professor de matemática na Universidade de St. Andrews 
primeiro e, depois, conseguiu um emprego na Universidade de Edimburgo, mas 
faleceu após um ano no cargo, aos 36 anos de idade (STEWART, 2013). 
 
Exemplo 1) Determine a derivada de 𝑔(𝑡) = (
𝑡 − 2
2𝑡 + 1
)
9
 . 
Combinando regra da potência, regra da cadeia e a regra do quociente, temos: 
𝑦 = 𝑢9 → 𝑔′(𝑡) = 𝑦′ ∙ 𝑢′ = 9𝑢8 ∙ 𝑢′ = 9 (
𝑡 − 2
2𝑡 + 1
)
8
 
𝑔′(𝑡) = 9 (
𝑡 − 2
2𝑡 + 1
)
8
∙
(1)(2𝑡 + 1) − (2)(𝑡 − 2)
(2𝑡 + 1)
2 
𝑔′(𝑡) = 9 = 9 (
𝑡 − 2
2𝑡 + 1
)
8
∙
2𝑡 + 1 − 2𝑡 + 4)
(2𝑡 + 1)
2 = 9 (
𝑡 − 2
2𝑡 + 1
)
8
∙
5
(2𝑡 + 1)
2 = 45
(𝑡 − 2)
8
(2𝑡 + 1)
10 
Exemplo 2) Determine a derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3) e 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . 
𝑢 = 𝑥3 𝑒 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑢) 
𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛 ′(𝑢) ∙ 𝑢′ = (𝑐𝑜𝑠 (𝑢)) ∙ (3𝑥2) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥3) ∙ (3𝑥2) = 3𝑥2𝑐𝑜𝑠 (𝑥3) 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)3 = 𝑢3 = 𝑔(𝑢) 
𝑦′ = 𝑔 ′(𝑢) ∙ 𝑢′ = (3𝑢2) ∙ (𝑠𝑒𝑛′ 𝑥) = (3𝑠𝑒𝑛2 𝑥) ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
 
 
4. Derivação implícita 
As funções apresentadas e estudadas até aqui são descritas expressando uma 
variável explicitamente em termos de outra, ou seja, 𝑦 = 𝑓(𝑥). Porém, algumas funções 
são definidas implicitamente por uma relação entre 𝑥 e 𝑦, ou seja, 𝐹(𝑥, 𝑦) tais como 
𝑥2 + 𝑦2 = 16ou 𝑥4 + 𝑦4 = 8𝑥𝑦. No primeiro exemplo, é possível isolar 𝑦 e determinar 
uma função explícita de 𝑥 como 𝑦 = ± √16 − 𝑥2, portanto, apresenta duas funções, 
sendo uma função do semicírculo superior por 𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥2e uma função do 
semicírculo inferior por 𝑔(𝑥) = − √16 − 𝑥2 . 
Outro método possível baseia-se em efetuar uma derivação implícita, que 
consiste na derivação de ambos os lados da equação em relação a uma variável e, em 
seguida, isolar o termo da derivada 𝑦′. Vamos adotar o mesmo primeiro exemplo: 
Exemplo 3) se 𝑥2 + 𝑦2 = 16, determinar 𝑦′(ou 𝑑𝑦/𝑑𝑥). 
Derivar ambos os lados em relação a 𝑥 e aplicar a regra da soma, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(16) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 
Como 𝑦 é um função de 𝑥, pela regra da cadeia, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Então, temos que, pela regra da potência e da regra da cadeia: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) = 0 → 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
Depois, isolar 𝑦′ ou 𝑑𝑦/𝑑𝑥, então: 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 2𝑥 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑦
= −
𝑥
𝑦 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
A expressão encontrada fornece a derivada em termos de 𝑥 e 𝑦, correta, 
independente de qual função for determinada pela equação, seja 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥): 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥2 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦 = −
𝑥
√16 − 𝑥2
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 𝑔(𝑥) = − √16 − 𝑥2 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦 = −
𝑥
−√16 − 𝑥2
=
𝑥
√16 − 𝑥2
 
Exemplo 4) se 𝑥4 + 𝑦4 = 8𝑥𝑦, determinar 𝑦′(ou 𝑑𝑦/𝑑𝑥). 
Derivar ambos os lados em relação a 𝑥, aplicar a regra da soma, a regra da 
cadeia para 𝑦4, a regra do produto para 8𝑥𝑦 e, em seguida, isolar 𝑦′ temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4 + 𝑦4) =
𝑑
𝑑𝑥
(8𝑥𝑦) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥
4
) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦
4
) =
𝑑
𝑑𝑥
(8𝑥𝑦) 
4𝑥3 + 4𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 8𝑦 
4𝑥3 + 4𝑦3𝑦′ = 8𝑥𝑦′ + 8𝑦 
𝑥3 + 𝑦3𝑦′ = 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 
𝑦3𝑦′ − 2𝑥𝑦′ = 2𝑦 − 𝑥3 
𝑦′(𝑦3 − 2𝑥) = 2𝑦 − 𝑥3 → 𝑦′ =
2𝑦 − 𝑥3
𝑦3 − 2𝑥
 
4.1. Derivadas das funções trigonométricas inversas 
Teste para verificar se são funções inversas, em que sejam as funções 𝑓(𝑥) e 
𝑔(𝑥) inversas uma da outra se e, somente se, ambas as funções compostas de 𝑓(𝑔(𝑥)) 
e 𝑔(𝑓(𝑥)) apresentarem 𝑥 como mesmo resultado: 
𝑔(𝑥) = 𝑓−1(𝑥) 𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑔−1(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 𝑒 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
É importante recordar a relação de funções trigonométricas inversas na Tabela 
1: 
Tabela 1 – Relação de funções trigonométricas inversas. 
Função Domínio Imagem 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 −𝜋/2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋/2 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥 −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ −𝜋/2 < 𝑦 < 𝜋/2 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 |𝑥| ≥ 1 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 , 𝑦 ≠ 𝜋/2 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐−1𝑥 |𝑥| ≥ 1 −𝜋/2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋/2 , 𝑦 ≠ 0 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔−1𝑥 −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
A derivada de função inversa é definida como: se 𝑓(𝑥)é diferenciável em todo 
ponto de um intervalo 𝐼 e 𝑑𝑓/𝑑𝑥 nunca é zero em 𝐼, então 𝑓(𝑥), tem uma inversa e 
𝑓−1(𝑥) é diferenciável em todo ponto do intervalo 𝑓(𝐼). 
Então, a derivada implícita será empregada para determinar as derivadas 
inversas trigonométricas. Vamos começar pela derivada do arco seno: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 → 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥 𝑒 − 𝜋/2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋/2 
 Derivando 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥 implicitamente em relação a 𝑥, com aplicação da regra da 
cadeia, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) → 𝑐𝑜𝑠 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠 𝑦
 
 Temos que 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ≥ 0, pois −𝜋/2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋/2, então: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑦 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = √1 − 𝑥2 ∴ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
√1 − 𝑥2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
√1 − 𝑥2
 
Derivada do arco tangente: 
𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥 → 𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥 𝑒 − ∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞ 
 Derivando 𝑡𝑔 𝑦= 𝑥 implicitamente em relação a 𝑥, com aplicação da regra da 
cadeia, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑡𝑔 𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) → 𝑠𝑒𝑐
2
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑐2𝑦
 
Usando a identidade trigonométrica, então: 
1 + 𝑡𝑔2𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2𝑦 ∴ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1 + 𝑡𝑔2𝑦
=
1
1 + (𝑡𝑔 𝑦)2
=
1
1 + 𝑥2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 =
1
1 + 𝑥2
 
Derivada do arco secante: 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 → 𝑠𝑒𝑐 𝑦 = 𝑥 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 , 𝑦 ≠ 𝜋/2 
 Derivando 𝑠𝑒𝑐 𝑦 = 𝑥 implicitamente em relação a 𝑥, com aplicação da regra da 
cadeia, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑐 𝑦) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) → 𝑠𝑒𝑐 𝑦 ⋅ 𝑡𝑔 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑐 𝑦 ⋅ 𝑡𝑔 𝑦
 
 Como |𝑥| > 1, usando as relações trigonométricas, temos: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
𝑠𝑒𝑐 𝑦 = 𝑥 𝑒 1 + 𝑡𝑔2𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2𝑦 
𝑡𝑔 𝑦 = ± √ 𝑠𝑒𝑐2𝑦 − 1 = ± √ 𝑥2 − 1 ∴ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑐 𝑦 ⋅ 𝑡𝑔 𝑦 = ±
1
𝑥√ 𝑥2 − 1
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥√ 𝑥2−1
𝑠𝑒 𝑥 > 1 e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥√ 𝑥2−1
𝑠𝑒 𝑥 < −1 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
|𝑥|√ 𝑥2 − 1
 
 A partir das identidades da função inversa, podemos notar que as derivadas das 
co-funções inversas são equivalentes opostas das derivadas inversas que 
determinamos anteriormente (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 e 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥): 
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝜋/2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 →
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −
1
√1 − 𝑥2
 
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 𝜋/2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 →
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 = −
1
1 + 𝑥2
 
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝜋/2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
→
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = −
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = −
1
|𝑥|√ 𝑥2 − 1
 
Os termos 𝜋/2 não afetam no resultado das derivadas das co-funções inversas 
(𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 e 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥), pois a derivada de constante é 0. 
 
Síntese 
Foram apresentados os conceitos de derivadas e taxas de variação, que estão 
intimamente correlacionados com os conceitos de limites, bem como regras de 
propriedades derivativas, além de casos particulares, que facilitam a resolução de 
inúmeros problemas. Recomenda-se ao aluno criar uma lista de tais propriedades para 
facilitar seu estudo. 
As derivadas possuem fundamental importância com aplicação direta em 
diversas áreas que serão apresentadas na próxima unidade. 
Nesta unidade, você teve a oportunidade de: 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
● Compreender o conceito de derivadas; 
● Relacionar a definição de derivadas com o conceito de limites; 
● Aplicar as diferentes técnicas de derivações; 
● Resolver situações-problemas utilizando limites e derivadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
ÁVILA, G.; ARAÚJO, L. C. L. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de 
Janeiro: LT, 2012. 
DURÁN, A. J. Científicos en guerra: Newton, Leibniz y el cálculo infinitesimal. El País, 
16 ago. 2016. Disponível em: 
https://elpais.com/elpais/2017/07/31/ciencia/1501499450_270522.html. Acesso em: 
10 jul. 2019. 
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. Cálculo de George B. Thomas Jr. Volume 
1. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. 
Limites e Derivadas - Unidade 2 - Derivadas e taxa de variação 
 
KILHIAN, K. A evolução da notação para derivadas. 2019. Disponível em: 
https://www.obaricentrodamente.com/2019/02/a-evolucao-da-notacao-para-
derivadas.html. Acesso em: 10 jul. 2019. 
NICOLÁS, J. A. El arquitecto de la modernidad. El País - Babelia, 28 dic. 2016. 
Disponivel em: 
https://elpais.com/cultura/2016/12/21/babelia/1482331823_920736.html. Acesso em: 
10 jul. 2019 
OLIVEIRA, D. G. Explorando o conceito de derivada em sala de aula, a partir de 
suas aplicações sob uma perspectiva histórica. 2011. 78 f. Dissertação (Mestrado 
profissional em Educação Matemática) - Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro 
Preto, 2011. 
PETRY, B. Isaac Newton. 2013. Disponível em: 
http://artofpetry.blogspot.com/2013/06/isaac-newton.html. Acesso em: 10 jul. 2019. 
ROSELL, A. R. Contradictorio Newton. El País, 26 dic. 1992. Dissponível em: 
https://elpais.com/diario/1992/12/26/sociedad/725324405_850215.html. 
STEWART, J. Cálculo, volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
VICENTE, F. Gottfried Wilhelm Leibniz. In: NICOLÁS, J. A. El arquitecto de la 
modernidad. El País - Babelia, 28 dic. 2016. Disponivel em: 
https://elpais.com/cultura/2016/12/21/babelia/1482331823_920736.html. Acesso em: 
10 jul. 2019.