Atividades pesquisa operacional

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Primeira Lista de Exercícios de Pesquisa Operacional – Prof. Cátia Piano 
 
1) Modele sem resolver o seguinte problema: 
Num processo industrial pode-se produzir três tipos de produtos, cada um dos 
quais, necessariamente, precisa ser trabalhado numa fresa, num torno 
mecânico e numa retifica. Os tempos consumidos por cada unidade de cada 
produto em cada máquina, assim como a receita de venda de cada unidade de 
cada produto seguem a tabela abaixo. 
 
Produto 
Tempo de trabalho na máquina (em 
minutos) 
Consumo de matéria 
prima (em Kg) 
Receita 
unitária (R$) 
Fresa Torno Retífica 
A 15 10 5 1,5 50 
B 10 12 8 0,8 65 
C 5 4 3 0,6 20 
A fresadeira possui uma disponibilidade semanal máxima de 4.800 minutos, o 
torno 4.000 minutos e a retífica 3.600 minutos. A matéria prima disponível para 
a próxima semana é de 480kg. 
O custo da matéria prima é de R$ 10,00 por kg. Os custos de produção da 
fresa e mão de obra incluída é de R$ 0,10 por minuto de trabalho, do torno é de 
R$ 0,15 e da retífica é de R$ 0,20. 
Deseja-se assim planejar a produção da próxima semana de modo a maximizar 
o lucro. 
Para montar o modelo, devemos analisar inicialmente as restrições: 
Fresa: 
Torno: 
Retífica: 
Matéria prima: 
Com as restrições estabelecidas, devemos agora calcular custos e receitas: 
Custos: 
Fresa: R$ 0,10 por minuto, assim temos 
Torno: R$ 0,15 por minuto, o que nos dá: 
Retífica: R$ 0,20 por minuto, nos dando 
Matéria Prima: R$ 10,00 por quilograma, logo 
 
E assim, o Custo Total será: 
 
 
E a Receita é: 
E assim, nossa função objetivo será dada por: 
 
 
Deste modo, o modelo é: 
 
𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓:𝑳 𝟑𝟏 𝑨 𝟓𝟐 𝟔𝟎 𝑩 𝟏𝟐 𝟑𝟎 𝑪 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 
𝟏𝟓𝑨 𝟏𝟎𝑩 𝟓𝑪 𝟒𝟖𝟎𝟎 
𝟏𝟎𝑨 𝟏𝟐𝑩 𝟒𝑪 𝟒𝟎𝟎𝟎 
𝟓𝑨 𝟖𝑩 𝟑𝑪 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝟏 𝟓𝑨 𝟎 𝟖𝑩 𝟎 𝟔𝑪 𝟒𝟖𝟎 
𝑨 𝑩 𝑪 ≥ 𝟎 
 
 
2) Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de, 
no mínimo, 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não 
pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam 
uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 kg. As taxas de 
utilização da matéria prima são 2 kg por unidade de A e 4 kg por unidade de B. 
Os lucros unitários para A e B são R$ 20,00 e R$ 50,00, respectivamente. 
Determine o mix de produtos ótimo para a empresa. 
Começamos pelas restrições, sendo A e B a quantidade dos respectivos 
produtos: 
1ª restrição: 
 ≥ ( ) 
 ≥ ( ) 
 ≥ 
 ≥ 
2ª restrição: 
 
3ª restrição (matéria prima): 
 
Lucro: 
 
Logo, o modelo do problema é: 
 
Resolvendo graficamente o problema temos: 
 
Observando o gráfico, vemos que os candidatos a solução são os pontos 
( ) e ( ). Verificando qual deles produz maior lucro temos: 
1) 
2) 
Portanto a solução ótima é: 
𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓:𝑳 𝟐𝟎𝑨 𝟓𝟎𝑩 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 
𝟎 𝟐𝑨 𝟎 𝟖𝑩 ≥ 𝟎 
𝑨 𝟏𝟎𝟎 
𝟐𝑨 𝟒𝑩 𝟐𝟒𝟎 
𝑨 𝑩 ≥ 𝟎 
3) Um indivíduo quer investir R$ 5.000,00 no próximo ano em dois tipos de 
investimento: o investimento A rende 5% a.a. e o investimento B rende 8% a.a. 
Pesquisas de mercado recomendam uma alocação de, no mínimo, 25% em A e 
no máximo 50% em B. Além do mais, o investimento em A deve ser no mínimo 
metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois 
investimentos? 
Sendo a quantia aplicada no investimento A, e o valor aplicado no 
investimento B. Teremos: 
Rendimento (Receita): ou 
Restrições: 
1) Devemos investir ao menos 25% em A, logo: ≥ ≥ 
2) Devemos investir no máximo 50% em B, logo: 
3) O investimento em A deve ser no mínimo metade do investimento em B, ou 
seja, ≥
 
 
 ≥ ≥ 
4) O investimento total é de 5000, logo 
Deste modo o modelo do problema é: 
 
Resolvendo o problema graficamente: 
 
Observando o gráfico vemos que as candidatas à solução ótima são: 
 que nos dariam 
Ou, que nos dariam 
 . 
Portanto, a solução ótima é investir R$ 2500,00 no investimento A, e R$ 
2500,00 no investimento B. 
𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓:𝑳 𝟎 𝟎𝟓𝒂 𝟎 𝟎𝟖𝒃 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 
𝒂 ≥ 𝟏𝟐𝟓𝟎 
𝒃 𝟐𝟓𝟎𝟎 
𝟐𝒂 𝒃 ≥ 𝟎 
𝒂 𝒃 𝟓𝟎𝟎𝟎 
𝒂 𝒃 ≥ 𝟎 
4) A Luz S.A. tem uma usina de geração de energia por turbinas a vapor. Como 
sua região é rica em depósitos de carvão, a usina utiliza carvão para gerar 
vapor. No entanto, isso pode resultar em emissões que não cumprem os 
padrões da APA – Agência de Proteção Ambiental. As regulamentações da 
APA limitam a descarga de dióxido de enxofre a 2.000 partes por milhão de 
tonelada de carvão queimado e a descarga de fumaça pelas chaminés da 
usina a 20 kg por hora. A Luz S.A. recebe duas categorias de carvão 
pulverizado, C1 e C2, para utilização na geração de vapor. As duas categorias 
costumam ser misturadas antes da queima. Para simplificar, podemos 
considerar que a quantidade (em partes por milhão) do poluente enxofre 
descarregado é uma média ponderada entre as proporções de cada categoria 
usada na mistura. Os dados da tabela abaixo são baseados no consumo de 1 t 
por hora de cada uma das categorias de carvão. 
 
Categoria do 
Carvão 
Descarga de 
enxofre em partes 
por milhão 
Descarga de 
fumaça em kg por 
hora 
Vapor gerado e 
kg por hora 
C1 1800 2,1 12000 
C2 2100 0,9 9000 
Determine a razão ótima para a mistura das duas categorias de carvão. 
 
Vamos estabelecer inicialmente as variáveis para o problema. 
Seja o valor utilizado, em toneladas, do carvão C1 e o valor utilizado, em 
toneladas, do carvão C2. 
Vamos estabelecer as restrições do problema. 
- Restrição de descarga de enxofre deve ser menor que 2000 partes por 
milhão, por tonelada de carvão queimada, e devemos considerar a média 
ponderada, logo: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
- Agora, vamos tratar da restrição da descarga de fumaça por hora, que é 
limitada a 20 kg hora, logo: 
 
As restrições do problema estão estabelecidas, vejamos agora a equação do 
“lucro”, pelas informações da tabela: 
 
Portanto nosso modelo fica: 
 
Resolvendo graficamente o problema temos: 
𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓:𝑳 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙 𝟗𝟎𝟎𝟎𝒚 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 
 𝟐𝟎𝟎𝒙 𝟏𝟎𝟎𝒚 𝟎 
𝟐 𝟏𝒙 𝟎 𝟗𝒚 𝟐𝟎 
𝒙 𝒚 ≥ 𝟎 
 
Observando o gráfico, vemos que apenas um ponto pode maximizar a 
produção, e este ponto é aproximadamente o ponto em que e 
que nos dá kg de vapor gerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolva graficamente os seguintes problemas de Programação Linear: 
a) : 
 : 
 
 
 
 ≥ 
 
Estabelecendo as regiões no gráfico: 
 
 
 
Para temos: 
Para e temos: 
Logo a solução ótima é: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) : 
 : 
 
 
 
 
 ≥ 
 
Desenhando o gráfico: 
 
 
Testanto os pontos candidatos temos: 
Para e temos 
Para e temos 
Para e temos 
Portanto solução ótima é e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) : 
 : 
 ≥ 
 ≥ 
 ≥ 
 ≥ 
 
Vamos esboçar o gráfico para encontrar os candidatos a ponto mínimo: 
 
 
 
Testando os candidatos a ponto mínimo temos: 
 
Para e temos 
Para e temos 
Para e temosPara e temos 
 
Logo a solução ótima é e 
 
 
 
 
 
d) : 
 : 
 ≥ 
 ≥ 
 ≥ 
 
 
 ≥ 
 ≥ 
 
Desenhando o gráfico, temos: 
 
 
 
Testando os candidatos temos: 
 
Para e temos 
Para e temos 
Para e temos 
Para e temos 
Para e temos 
 
 
Portanto temos duas soluções ótimas para o problema: 
 
 e 
ou 
 e