calculo proposi

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio 
Curso: Sistema de Informação - Disciplina: Matemática Computacional - Profª Gilselene Guimarães 
 
CÁLCULO PROPOSICIONAL 
 
Associações Analíticas de Raciocínio 
• Tautologia 
• Equivalências Tautológicas 
• Contradição 
• Contingência 
 
Outros três importantes conceitos que devemos conhecer são: 
Tautologia, Contradição e Contingência. 
 
→Tautologia 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das 
proposições p, q, r, ... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma 
proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a 
última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então 
estaremos diante de uma Tautologia. 
 
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p V q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-
verdade. 
 
Observe que o valor lógico da proposição composta (p∧q) → (pVq), que aparece na 
última coluna, é sempre verdadeiro. 
Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p V q) ∧ (p ∧ s)] →p. 
Construa a tabela-verdade e demonstre que se trata de uma tautologia. 
 
 
 
 
 
 
 
sarah
Realce
2 
 
→Contradição 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das 
proposições p, q,r ... que a compõem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma 
proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSOS, 
então estaremos diante de uma contradição. 
 
Exemplo: A proposição “ p ↔ ~p ” é uma contradição, pois sempre é falsa 
independentemente do valor lógico de p, como é possível observar na tabela-verdade 
abaixo: 
 
 
→Contingência 
 
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma 
tautologia ou uma contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e 
construirá a sua tabela-verdade. Se você verificar que aquela proposição nem é uma 
tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via 
de exceção, será dita uma contingência! 
 
Exemplo: A proposição “p ↔ (p∧q)” é uma contingência. Por que essa proposição é uma 
contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição. Só por isso! 
Vejamos sua tabela-verdade a seguir. 
 
 
 
→Implicação Lógica 
 
Definição: Proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou 
relação de implicação ou proposição condicional) entre P e Q quando a proposição 
condicional P → Q é uma tautologia, ou seja, diz-se que uma proposição P implica 
logicamente uma proposição Q, se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. 
Notação : P  Q (P implica Q) 
sarah
Realce
sarah
Realce
sarah
Realce
sarah
Realce
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Diferença entre → e  
❑ O símbolo → representa uma operação matemática entre as 
proposições P e Q que tem como resultado a proposição P → Q, 
com valor lógico V F. 
❑ O símbolo  representa a não ocorrência de V ou F na tabela-verdade 
de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será 
sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. 
 
Exemplo: Sendo P: p ^ q e Q: p, temos que P → Q é tautológica, portanto, P  Q. 
 
 
Exemplo: Sendo Q: (p ^ q) e R:(p  q), temos que (p ^ q) → (p  q) é VERDADEIRO 
sempre. Logo Q  R, representando uma TAUTOLOGIA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1)Verificar se a sentença (p → q) ∨ (q → r) → (p → r) é uma tautologia 
2)Verificar se a sentença (p ∨ q) ∨ (p ∨ ~q) ∨ (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ ~q), é uma contradição. 
3)Verificar se a sentença p ∨ ~ r → q ∨ ~ r, é uma contingência. 
4) Construa as tabelas verdades das sentenças abaixo: 
 
5 – Sejam as proposições: 
p = Está frio e q = Está chovendo 
Traduza para a linguagem corrente as seguintes proposições: 
a) ~p b) p ^ q c) p v q 
d) q ↔ p e) p → ~q f) p v ~q 
g) ~p ^ ~q h) p ^ ~q → p 
 
6 – A partir das proposições p = Antônio é rico e q = José é feliz, traduza para a linguagem corrente 
as proposições a seguir: 
a) q→ p b) p v ~q c) q ↔ ~p 
d) ~p → q e) ~~p f) p ^ q 
 
7 – Sejam as proposições: 
p = Carlos fala francês, q = Carlos fala inglês e r = Carlos fala alemão 
Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. 
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão. 
c) É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão. 
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês. 
 
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8 - A partir das proposições p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduza para a linguagem simbólica 
as proposições: 
a) Maria é pobre, mas feliz 
b) Maria é rica ou infeliz 
c) Maria é pobre e infeliz 
d) Maria é pobre ou rica, mas é infeliz 
 
9 - Seja p a proposição “está chovendo” e seja q “está ventando”. Escreva uma sentença verbal 
simples, em português, que descreva cada uma das seguintes proposições lógicas: 
a) ~~p 
b) p ∧ ~q 
c) q V ~p 
d) q→p 
e) ~ (p∧ q) 
 
10 – Considere a seguinte lista de frases: 
1. Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. 
2. Qual é o horário do filme? 
3. O Brasil é pentacampeão de futebol. 
4. Que belas flores! 
5. Marlene não é atriz e Djanira é pintora. 
É correto dizer que há exatamente 04 proposições acima. 
 
11 - Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraditórias ou Contingentes, 
por meio da construção de suas tabelas-verdade. 
 
a) ~p → (q → ~p) 
b) p V ~q → (p → ~q) 
c) ~p V ~q → (p → q) 
 
12 - Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela 
aldeia dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja 
verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: 
 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
13 – Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a 
dizer que é verdade que: 
 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 
 
 
 
 
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14 - Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer 
que: 
 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
15 - Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, 
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: 
 
a) pelo menos um economista não é médico. 
b) nenhum economista é médico. 
c) nenhum médico é economista. 
d) pelo menos um médico não é economista. 
e) todos os não médicos são não economistas. 
 
16 - Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo 
que dizer que: 
 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
 
17 - A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: 
 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
 
18 - Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: 
 
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. 
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista. 
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. 
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.