aposltila rac logico - sibele

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RACIOCÍNIO LÓGICO – prof. Renato Oliveira
FUNDAMENTOS DA LÓGICA
1. PROPOSIÇÕES
1.1. Conceito de Proposição
Proposição é uma sentença informativa; uma informação COMPLETA que deve ser
classificada apenas como falsa ou verdadeira, mas nunca ambas.
Para poder ser uma informação completa a sentença precisa ter um VERBO, pois é o
verbo que transmite a informação.
 Sentença: conjunto de palavras com sentido completo.
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS E
OPERADORES LÓGICOS.
IMPORTANTE:
Ao estudar raciocínio lógico não se deve buscar significado
semântico, nem fazer interpretação de texto. 
APENAS SIGA AS REGRAS!!!!!
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Exemplos de proposições:
A: Marcelo é médico.
B: Thiago não é jogador de futebol.
C: 5 x 4 = 75.
D: Curitiba fica na Europa.
E: 2 = 3 + 5.
OBS1.: Perceba que não tem importância o fato de ser verdadeira ou falsa para ser proposição.
Porém, tem de ser classificada obrigatoriamente como um dos dois.
OBS2: O verbo na sentença matemática está embutido no sinal.
1.2. Princípios do Raciocínio Lógico
OBS: NÃO são proposições:
A) Sentenças exclamativas:
* Boa sorte!
* João merece o primeiro lugar!
1. Princípio da Identidade (Cobrado na VUNESP)
Uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição falsa é falsa.
2. Princípio do terceiro excluído
Uma proposição ou será verdadeira ou falsa, e não há 3a (outra) possibilidade.
3.Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
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B) Sentenças imperativas ou ordenativas:
*Estude mais.
*Não pule no sofá.
C) Sentenças interrogativas:
*Haverá aula amanhã?
*Que horas são?
D) Sentenças sem verbo:
* Uma bela criança.
* A bela e a fera.
* Meu time do coração.
E) Sentenças paradoxais (contradição):
Apesar de serem sentenças informativas, não são proposições por um de dois motivos:
a) É uma sentença ao mesmo tempo verdadeira e Falsa.
b) É uma situação sem solução.
São, ao mesmo tempo, V e F.
EX.:
* Eu estou mentindo. ( e variações: * Esta frase é falsa. *O que eu acabei de falar é mentira.) 
* Paradoxo do barbeiro:
G) Sentenças que exprimem: desejos, opiniões, sentimentos:
* Tenha um feliz natal.
* O Palácio do Itamaraty é uma bela construção.
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H) Sentenças abertas
São sentenças vagas que não permitem a classificação falsa ou verdadeira, pois apresentam
uma variável; um termo desconhecido 
Variável é uma palavra ou termo que pode representar mais do que um elemento. Geralmente,
essa variável aparece de duas formas:
a) pronome pessoal ou demonstrativo – no caso de sentenças da língua portuguesa.
* Ele é um bom aluno. (Não se sabe quem é ele).
* A capital daquele estado é BH. (Não se sabe qual é o estado).
* Aquela mulher é inteligente. (Quem é aquela?
b) incógnita (letras “x”, “y” ou “z”)- no caso de sentenças matemáticas
X + 3 = 10. (Não se sabe o valor de x).
y + 4 = 5 (sem saber o valor de x, não é possível saber se é verdade ou não.)
CUIDADO!! A sentença aberta é informativa e tem verbo, PORÉM, é incompleta.
Não há como saber se é V ou F.
OBS1.: EXCEÇÕES: uma sentença aberta (mesmo com pronome ou incógnita) pode se tornar
proposição quando for uma condicional; ou seja, quando usar:
Se… então
Todo
Nenhum
Algum
Sentença ABERTA: tem PRONOME ou INCÓGNITA (x, y ou z)
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Ex.: 
Se x + 2 = 5, então, x > 4.
Se ele é bonito, então Maria é feia.
OBS2: Uma sentença aberta pode ser transformada em proposição, dando-se valor à
incógnita, ou usando os seguintes quantificadores:
 (para todo / qualquer que seja)
 (existe)
 (não existe)
 (existe um único / existe um só)
*MUITO IMPORTANTE!!
Sentenças Abertas
X + Y = 8
X + 2 = 7
Ele é professor.
Sentenças Fechadas
7 + 3 = 10
10 + 4 = 13
Renato é professor.
Sentenças exclamativas, imperativas, interrogativas, sem verbo, paradoxais, abertas
e que exprimem desejos, opiniões, sentimentos NÃO representam uma proposição
simples.
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EXERCÍCIOS:
1) É correto afirmar que, na relação dada, são proposições apenas os itens de números:
1. O Brasil é o país do futuro.
2. Por que João não estuda?
3. Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?
4. Preste atenção ao edital!
5. Sílvia vai ao teatro.
(A) 1 e 5. 
(B) 2, 3 e 4. 
(C) 3, 4 e 5.
(D) 1, 2 e 5
(E) 2, 3, 4 e 5.
2) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). De
acordo com essa definição, julgue os itens a seguir.
A sentença “O feijão é um alimento rico em proteínas” é uma proposição. 
A frase “Por que Maria não come carne vermelha?” não é uma proposição.
3) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo)
e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e
sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze.
2. Pelé é brasileiro.
3. O jogador de futebol.
4. A idade de Maria.
5. A metade de um número.
6. O triplo de 15 é maior do que 10.
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números :
(A) 1, 2 e 6. 
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(B) 2, 3 e 4. 
(C) 3, 4 e 5.
(D) 1, 2, 5 e 6.
(E) 2, 3, 4 e 5.
4) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x + y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS
(A) I e II são sentenças abertas.
(B) I e III são sentenças abertas.
(C) II e III são sentenças abertas.
(D) I é uma sentença aberta.
(E) II é uma sentença aberta.
5) Considere a seguinte lista de sentenças:
I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?
II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.
III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são,
respectivamente, x e y.
IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.
Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma
proposição.
1.3. Representação das proposições
As proposições são representadas por letras do alfabeto latino.
Algumas bancas utilizam letras maiúsculas, outras, letras minúsculas. - Não faz diferença.
- Se a proposição P = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira, então
representaremos o valor lógico da proposição P por:
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 (Lê-se valor lógico de P é V).
- Se a proposição P = “BH é a capital do Maranhão” é falsa, então representaremos o valor
lógico da proposição P por:
 (Lê-se valor lógico de p é F).
1.4. Proposição simples
Tem apenas 1 informação .(Geralmente tem apenas um verbo, mas CUIDADO!! Porque pode
ter mais de um verbo!)
É uma proposição que NÃO TEM CONECTIVOS (operadores) lógicos.
Ex.:
*Ana é nome de mulher.
Hoje é sábado.
1.5. Proposição composta
Uma proposição composta é a reunião de duas ou mais proposições simples. Essa reunião é
feita através de um conectivo lógico.
 É a reunião de duas ou mais proposições simples.
 É toda frase declarativa (afirmativa ou negativa), formada pela ligação de duas ou mais
proposições simples através dos operadores lógicos.
 Tem 2 informações completas ou mais.(Tem, pelo menos, 2 verbos).
Ex.:
Curitiba fica no Paraná e o Brasil foi campeão do mundo de futebol em 2002.
VL(p) = F.
VL(P) = V.
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Veja que temos duas informações:
Informação 1 = Curitiba fica no Paraná.
Informação 2 = O Brasil foi campeão do mundo de futebol em 2002.
Quem ligou essas duas informações foi o conectivo lógico “e” - que é uma das formas de
fazer a ligação.
* O carro de Ana é branco e é veloz.
* Hoje estudarei português ou estudarei matemática.
* Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso.
* João é advogado se e somente se Maria é arquiteta.
O valor lógico de uma proposição composta é determinado pelos valores lógicos das
proposições simples e pelos conectivos .
1.6. DIFERENCIAÇÃO ENTRE PROPOSIÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
Passo 1 – procurar um conectivo lógico.
De modo geral,a proposição somente será composta se houver um conectivo lógico ou um
sinônimo. A exceção é o conectivo “e”, que muitas vezes aparece e, mesmo assim, a
proposição é simples. Quando aparecer apenas o conectivo “e”, teremos então uma outra
técnica: A CONTAGEM DE VERBOS.
Essa técnica consiste em contar os verbos válidos* e seguir o parâmetro:
1 verbo = proposição simples
2 ou mais verbos = proposição composta
* verbos válidos: são verbos que de fato geram informações. 
CUIDADO! As partículas “PARA” e “QUE” anulam o verbo.
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Ex.: O candidato precisa de informações para poder passar.
Ao analisar a sentença de forma rápida, podemos observar que temos dois verbos: “precisar” e
“passar”, contudo o verbo “passar” não está gerando nova informação e sim ajudando a
explicar o motivo do candidato precisar. Com Isso, o único verbo válido é o verbo Precisar e
portanto a proposição é simples.
1.5. Operadores (ou conectivos) lógicos
Conectivo Nome Símbolo
e Conjunção ^
ou Disjunção (inclusiva) ˅
ou ... ou Disjunção exclusiva ˅
Se...,então Condicional →
se e somente se Bicondicional ↔
EX.:
Estudo e passo. (Incluiu as 2)
Estudo ou passo. (Pelo menos 1)
Ou estudo ou passo. (Só uma)
Se estudo, então passo.
Estudo se e somente se passo.
OBS.: Os conectivos lógicos não são os mesmos “conectivos” da língua portuguesa,
tampouco possuem os mesmos significados. Para entender Lógica proposicional
devemos nos desligar do português e tentar compreender os conectivos lógicos
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do Zero. Um exemplo disso é o conectivo “ou”. Em língua portuguesa a palavra ou tem o
sentido de escolha de uma entre duas situações. Quando dizemos “estudo ou saio”,
entendemos que teremos de escolher um dos dois. Contudo, quando estamos no campo da
lógica, o sentido do conectivo lógico ou é o de “pelo menos uma das duas”. Sendo assim, ao
dizer “estudo ou saio” é possível fazer os dois.
SINÔNIMOS DOS CONECTIVOS
Sinônimo do conectivo E
Ex.: Sou professor e sou policial.
Sou professor, sou policial.
Sou professor mas sou policial.
Não estudei nem sai.
OBS.: a palavra “nem” nada mais é do que a junção do “e” + “não” e deve, portanto, ser
utilizada em frases negativas
, (vírgula)
mas
(ou qualquer conjunção a dversativa *)
nem (e + não)
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*conjunções adversativas: mas, porém, contudo, todavia, entretanto, no entanto, não obstante.
Sinônimo do conectivo Ou … ou
Ex.: Ou estudo ou saio.
Estudo ou saio, mas não ambos.
Estudo ou saio, já que não é possível ocorrer as duas coisas.
Sinônimo do conectivo Se... , então
Ou…, mas não ambos (as)
Ou… , já que não é possível ocorrer as duas coisas.
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Ex.: Se estudo, então passo.
Se estudo, passo.
Como estudo, passo.
Se …, … (omite o então)
Como
Quando
Sempre que / Toda vez que
Consequentemente
Logo
Pois / Porque (ordem invertida)
Verbo no infinitivo + é uma consequência de + Verbo no infinitivo (ordem invertida)
Verbo no infinitivo + é um condição necessária para + Verbo no infinitivo (ordem
invertida)
Verbo no infinitivo + é uma condição suficiente para + Verbo no infinitivo 
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Quando estudo, passo.
Sempre que estudo, passo.
Estudo, consequentemente, passo.
Estudo logo passo.
Passo, pois estudo. (ordem invertida).
Passar é uma consequência de estudar. (ordem invertida).
Passar é uma condição necessária para estudar. (ordem invertida).
Estudar é uma condição suficiente para passar. 
Sinônimo do conectivo Se e somente se
Ex.: Passarei se e somente se fizer boa prova.
Passarei se e só se fizer boa prova.
Passar equivale a fazer boa prova.
Passar é condição necessária e suficiente para fazer boa prova.
Passar é suficiente e necessário para passar 
se e só se
equivale a / é equivalente a
é condição necessária e suficiente para
é suficiente e necessário
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EXERCÍCIOS:
1) Considerando as proposições,
A: Renato é vascaíno.
B: Thiago é inteligente.
C: Marcão é carioca.
Com base nas declarações acima P, Q e R, represente as sentenças abaixo:
A) Renato é vascaíno e Thiago é inteligente.
Representação simbólica:
B) Se Thiago é inteligente, então Marcão é carioca.
Representação simbólica:
C) Se Marcão é carioca ou Renato não é vascaíno, então Thiago é inteligente.
Representação simbólica:
D) Ou Marcão é carioca, ou Marcão não é carioca
Representação simbólica:
E) Renato não é vascaíno se, e somente se, Thiago não é inteligente.
Representação simbólica:
2) Considere a proposição
“Paula estuda, mas não passa no concurso”.
Nessa proposição, o conectivo lógico é
(A) disjunção inclusiva. (D) condicional.
(B) conjunção. (E) bicondicional.
(C) disjunção exclusiva.
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3) Acerca de proposições, considere as seguintes frases.
I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.
II O que é o CT-Amazônia?
III Preste atenção ao edital!
IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos
do fundo setorial verde-amarelo.
São proposições apenas as frases correspondentes aos itens
A) I e IV. B) II e III. C) III e IV. D) I, II e III. E) I, II e IV.
4) Considere as proposições seguintes.
Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”;
A: “O Estrela Futebol Clube vence”;
B: “O Estrela Futebol Clube perde”;
C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.
Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A ^ B→C
5) Julgue o item a seguir.
A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais, pois podem
ser usados, por exemplo, pelo público jovem” é equivalente a “Se podem ser usados, por
exemplo, pelo público jovem, então os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões
tradicionais”.
6) A expressão “Viva Mandela, viva Mandela! gritava a multidão entusiasmada” estará
corretamente representada na forma P ˅ Q, em que P e Q sejam proposições lógicas
adequadamente escolhidas.
7) A frase “A religião produz um cerceamento da liberdade individual e a falta de religião torna a
sociedade consumista e degradada” estará representada, de maneira logicamente correta, na
forma P ˄ Q, em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas.
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8) A frase “O perdão e a generosidade são provas de um coração amoroso” estará
corretamente representada na forma P ˄ Q, em que P e Q sejam proposições lógicas
convenientemente escolhidas.
Cada conectivo lógico possui um sentido, um significado em uma sentença. Estudando
o significado de cada um deles, montamos tabelas lógicas, denominadas de “tabela verdade”,
onde através de V (verdadeiro) e F (falso) interpretamos os conectivos. Quando dizemos que
uma sentença é Verdadeira, estamos dizendo que a forma que foi escrita e a conjugação com
o conectivo está correta.
2. TABELA VERDADE
DEFINIÇÃO: Dá o valor lógico da união das proposições através da tabuada lógica.
2.1. Número de linhas da tabela verdade
O número de linhas da tabela verdade é expresso por 2n, onde n é a quantidade de
proposições simples.
Exemplos:
n = 2 proposições ( p e q) 
2² = 4 linhas
TABELA VERDADE, TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E
CONTINGÊNCIA
p ˅ q 
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n = 3 proposições ( p , q e r)
2³ = 8 linhas
2.2. Como construir a tabela verdade
Para construir a tabela verdade é necessário escrever todas as possíveis avaliações de V e F
das proposições que a compõem.
1° Passo: Encontrar o número de linhas da tabela (2n)
2° Passo: Distribuir (V) e (F) na tabela 
Tabela com 2 proposições (2 colunas e 4 linhas):
1a coluna: 2 V´s e 2 F´s
2a coluna: 1 V e 1 F
P Q
V V
V F
F V
F F
Tabela com 3 proposições (3 colunas e 8 linhas):
1a coluna: 4 V´s e 4F´s
2a coluna: 2 V´s e 2 F´s
3a coluna: 1 V e 1 F
P Q R
V V V
V V F
V F V
(p ˅ q) → r
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V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
3° Passo: DECORAR a tabuada lógica dos operadores.
TABUADA LÓGICA
OPERADOR LÓGICO TABELAVERDADE REPRESENTAÇÃO
e / ˄ Tudo V dá V A B ∧
ou / ˅ Tudo F dá F A B ∨
Ou … ou / ˅ = dá F / ≠ dá V (ou uma coisa ou outra, tem que ser
≠ pra dar F)
A ∨ B 
Se… então / → Vera Fisher → F (falsa) / (V) (F) dá F A → B
Se e somente se / ↔ = dá V / ≠ dá F A ↔ B
TABELA VERDADE DOS OPERADORES LÓGICOS – RESUMO
A B A B ∧ A B ∨ A ∨ B A → B A ↔ B
V V
V F
F V
F F
CUIDADO!! 
Prestar atenção quando a banca fornecer a tabela porque ela pode mudar a ordem das letras.
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OBS.:quando houver uma expressão com mais de um conectivo
lógico, deve-se seguir a seguinte ordem de precedência:
1o. e
2o ou
3o. ou...ou
4o se … então
5o se, e somente se
HAVENDO ( ), [ ] ou { } 
Exercícios:
1) Considerando as proposições P e Q verdadeiras e R falsa, determine o resultado das
sentenças abaixo:
A) P ˄ ¬ Q 
B) ¬P ˅ Q
C) Q →R
D) ¬P→¬Q
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E) ¬( Q →¬R) 
F) ~(P ↔ Q)
Texto para os itens de 2 a 4.
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ˄, ˅ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-
verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
2) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ˅ (¬ Q) também
é verdadeira.
3) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é
falsa.
4) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ˄
R) → (¬ Q) é verdadeira.
5) Considere as seguintes proposições.
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A: 3 + 3 = 6 e 4 × 2 = 8;
B: 3 + 1 = 6 ou 5 × 3 = 15;
C: 4 - 2 = 2 ou 6 ÷ 3 = 4.
Nesse caso, é correto afirmar que apenas uma dessas proposições é F.
6) Se a proposição “Renato é pobre” for falsa e se a proposição “Renato pratica atos violentos”
for verdadeira, então a proposição “Renato não é pobre, mas pratica atos violentos” será falsa.
3. TAUTOLOGIA
É a proposição composta ou simples que apresenta em sua tabela verdade todos os valores
lógicos verdadeiro s (V).
É a proposição composta que é SEMPRE VERDADEIRA . 
Ex de proposição simples que é tautologia: “o sal é salgado”.
Exemplo: Renato é vascaíno ou Renato não é vascaíno.
p ~p p ˅ ~p
V F V
F V V
p ˅ ~p
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ATENÇÃO !!! 
OBS.: A tautologia só usa 2 conectivos: “se, então” e “ou”
4. CONTRADIÇÃO
É a proposição composta que apresenta em sua tabela verdade todos os valores lógicos
falsos (F).
É a proposição composta que é SEMPRE FALSA . 
Exemplo: Marcos é flamenguista e Marcos não é flamenguista. 
p ~p p ˄~p
V F F
F V F
Afirmação OU Negação da afirmação (vice-versa) ⇒TAUTOLOGIA
Ser ou não ser.
p ˅ ~p
(A ˄ B) → (A ˅ B) 
É UMA TAUTOLOGIA
p ˄ ~p
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BIZU
5. CONTINGÊNCIA
É a proposição cujo os resultados não são todos verdadeiros nem todos falsos, ou seja, ela
não é uma tautologia (tudo V) nem uma contradição tudo (F).
  Tem tanto resultados V quanto F
Exemplo: 
p ~p p → ~p
V F F
F V V
Afirmação E Negação da afirmação (vice-versa) ⇒CONTRADIÇÃO
~(A ˅ B) ˄ (A ˄ B) 
É UMA CONTRADIÇÃO
(A ˅ B) → (A ˄ B) 
É UMA CONTINGÊNCIA
 p → ~p
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EXERCÍCIOS:
1) Considere a seguinte proposição: “Ao participar de um concurso público João será
aprovado ou não será aprovado”
Do ponto de vista lógico, a proposição acima é um exemplo de:
(A) tautologia
(B) silogismo 
(C) contradição
(D) equivalência
2) A proposição (A ˄ B) → (A ˅ B) é uma tautologia.
3) Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela
abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela verdade
da proposição composta A → (B→A).
COMO RESOLVER QUESTÕES COM TABELA VERDADE:
1- Quantas letras?
2- Quantas linhas:
3- Conectivo do MEIO
4 - O conectivo do MEIO tem mais V ou F?
5- Fazer “resumo”.
6- Montar tabela
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A B A → (B→A).
4) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição
(¬A) ˅ B → ¬(A ˅ B)
A B ~A (~A) ˅ B ~(A ˅ B) (¬A) ˅ B → ¬(A ˅ B)
5 Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição 
¬(A ˄ B)→A ˄ (¬B).
A B ~B (~A ˄ B) A ˄ ( ~B) ¬(A ˄ B)→A ˄ (¬B)
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6) A última coluna da tabela verdade abaixo corresponde à proposição (¬P) ˅ (Q → R).
P Q R ~P Q → R (¬P) ˅ (Q → R).
6.1. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES
Negação significa modificação do valor lógico.
Símbolo s da negação : ~ ou ¬
A negação de uma proposição simples p, é representada por ~p ou ¬p.
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS E NEGAÇÃO DAS
PROPOSIÇÕES.
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Podemos negar uma proposição simples acrescentando não (antes do 1o verbo), utilizando
um antônimo, ou acrescentando à frente da proposição as seguintes expressões:
Exemplos:
A: Débora é linda.
¬A: Débora não é linda.
 Débora é feia.
 Não é verdade que Débora é linda.
 É falso que Débora é linda.
 É mentira que Débora é linda.
B: O tribunal entende que o réu tem culpa.
~B: O tribunal não entende que o réu tem culpa.
C: Acredito que estou certo.
~C: Não acredito que estou certo.
D: Preciso estudar para passar.
~D: Não preciso estudar para passar.
OBS.: Se a frase já tiver não, faz-se a negação com a retirada do não.
A: Ana não é brasileira.
¬A: Ana é brasileira.
Não é verdade que
É falso que
É mentira que
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6.2. NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
A negação das proposições compostas depende do conectivo. Para cada conectivo há uma
regra.
6.2.1. Negação do “e” e do “ou”
Uma é a “negação” da outra. São as 2 leis de Morgan:
1 a lei: 
 ¬(p q) ∧  (¬p ¬q)∨
Ex.: Ana voltou e foi ao cinema.
Negação: Ana não voltou ou não foi ao cinema.
2 a lei: 
¬(p q) ∨  (¬p ¬q∧ )
Passos:
1) nega tudo;
2) troca o E por OU e vice-versa.
Ex.: José é brasileiro ou Maria é boliviana.
Negação: José não é brasileiro e Maria não é boliviana
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EXERCÍCIOS:
1) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália.
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Paris não é a capital da Inglaterra.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
2) A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:
a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.
b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.
c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.
3) A negação da proposição “Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana” é
(A) Mário não é brasileiro ou Maria é boliviana.
(B) Mário não é brasileiro e Maria é boliviana.
(C) Mário não é brasileiro e Maria não é boliviana.
(D) Mário é brasileiro e Maria não é boliviana.
(E) Mário é brasileiro ou Maria é boliviana.
4) A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a
proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.
MACETE:
Nega as duas e troca um pelo outro.
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5) Dizer que “não é verdade que Marcela não é bonita ou Maria não é organizada" é
logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
A) Se Marcela não é bonita, então Maria é organizada.
B) Marcela é bonita e Maria é organizada.
C) Marcela é bonita ou Maria não é organizada.
D) Marcela é bonita ou Maria é organizada.
E) Marcela não é bonita e Maria não é organizada.
6) Leia atentamente a seguinte sentença:
“Maria foi à feira ou não foi ao supermercado e seu marido foi ao Maracanã.”
A negação dessa sentença é apresentada na opção:
A) Maria não foi àfeira ou foi ao supermercado e seu marido não foi ao Maracanã.
B) Maria não foi à feira e não foi ao supermercado e seu marido não foi ao Maracanã.
C) Maria não foi à feira e foi ao supermercado ou seu marido não foi ao Maracanã.
D) Maria foi à feira e não foi ao supermercado ou seu marido foi ao Maracanã.
E) Maria foi à feira e foi ao supermercado e seu marido não foi ao Maracanã.
6.2.2. Negação do “se..., então”
Passos:
1) mantém a 1a proposição;
2) troca o SE… ENTÃO por E;
3) nega a 2a proposição.
Ex.: Se você trabalha, então alcança.
MACETE – E-MANE 2
Coloca o “e”, mantém a 1a e nega a 2a.
32
Negação: Você trabalha e não alcança.
EXERCÍCIOS:
7) A negação da proposição “Se o candidato estuda, então passa no concurso” é
(A) o candidato não estuda e passa no concurso.
(B) o candidato estuda e não passa no concurso.
(C) se o candidato estuda, então não passa no concurso.
(D) se o candidato não estuda, então passa no concurso.
(E) se o candidato não estuda, então não passa no concurso.
8) Uma proposição que é a negação da proposição “se o cão mia, então o gato não late” é?
(A) o cão mia e o gato late.
(B) o cão mia ou o gato late.
(C) o cão não mia ou o gato late.
(D) o cão não mia e o gato late.
(E) o cão não mia ou o gato não late.
9) A negação da proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público”
é logicamente equivalente proposição:
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público.
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público.
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público.
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público.
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.
10) A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente
à proposição
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
33
11) Considere a sentença: “Se como doces, então engordo ou tenho azia.”
A negação lógica dessa sentença é
(A) se não como doces, então não engordo nem tenho azia.
(B) se como doces, então não engordo nem tenho azia.
(C) como doces e não engordo nem tenho azia.
(D) não como doces e engordo ou tenho azia.
(E) se não como doces, então engordo ou tenho azia.
12) Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a
seguinte colocação: “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário,
que constitui uma disjunção exclusiva, julgue os itens seguintes.
A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente
se, cai o dólar”. 
6.2.3. Negação do “ou … “ou” e do “se e somente se ”
Uma é a negação da outra.
Troco o “ou...ou” por “se e somente se” e vice-versa.
A negação de se e somente se também pode ser feita da seguinte forma:
RESUMO - NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
¬ (p ∨ q)  (p ↔ q)
¬ (p ↔ q)  (p ∨ q)
~(p ↔ q)  (p ~q∧ ) ∨ (q ~p)∧
34
NEGAÇÃO MACETE
e / ou Troco um operador pelo outro e nego as 2 frases.
Se...então E-mane – Coloco o “e”, mantém a 1a e nego a 2a 
ou...ou / se e somente se Troco um pelo outro
AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
p ¬p
¬p p
(p q)∨ (¬p ¬q)∧
(p q) ∧ (¬p ¬q)∨
( p→ q) ( p ∧ ¬q )
(p ∨ q) (p ↔ q)
(p ↔ q) (p ∨ q)
(p ↔ q) ~(p ↔ q)  (p ~q∧ ) ∨ (q ~p)∧
6.2.4. Negação de Proposições Categóricas
1ª) Negação do “TODO”
Acrescenta EPA e nega a segunda proposição.
ou
Acrescenta EPA + antônimo.
MACETE 
EPA + nega 2
ou
E P A + antônimo
EPA
E xiste um
P elo menos um = ao menos um
A lgum
35
ATENÇÃO!!! A negação de “todo” NÃO pode ser “nenhum”.
EX.: Todo político é honesto
Negação:
Existe um político que não é honesto.
Pelo menos um político não é honesto.
Algum político não é honesto.
*Algum político é desonesto.
EXERCÍCIOS:
1) Um jornal publicou a seguinte manchete:
“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”
Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal
manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da
manchete publicada é:
(A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários.
(B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.
(C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários.
(D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil.
(E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.
2) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará
enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.
3) Dizer que a afirmação “todos os professores são psicólogos" é falsa, do ponto de vista
lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira.
A) Todos os não psicólogos são professores.
B) Nenhum professor é psicólogo.
C) Nenhum psicólogo é professor.
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D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
4) Qual a negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo e desgostam de bife”?
(A) Nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo e desgosta de bife.
(B) Nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo ou gosta de bife.
(C) Algum filho de Maria desgosta de quiabo e gosta de bife.
(D) Algum filho de Maria desgosta de quiabo ou gosta de bife.
(E) Algum dos filhos de Maria gosta de bife.
2ª) Negação do “ALGUM”
Acrescenta nenhum.
ou 
Acrescenta todo e nega a segunda proposição.
EX.: Algum matemático é maluco.
Negação: Nenhum matemático é maluco.
 Todo matemático não é maluco.
EXERCÍCIOS:
5) A negação da seguinte proposição “Algum representante do povo não compareceu" é:
A) Todo representante do povo compareceu.
B) Todo representante do povo não compareceu.
C) Pelo menos um representante do povo não compareceu.
MACETE: 
N E T O nega 2
37
D) Algum representante do povo faltou.
E) Algum representante do povo compareceu.
6) Seja a seguinte proposição: “existem pessoas que não acordam cedo e comem demais no
almoço”
A negação dessa proposição está corretamente indicada na seguinte alternativa:
A Todas as pessoas acordam cedo ou não comem demais no almoço.
B Não existem pessoas que comem demais no almoço
C Não existem pessoas que acordam cedo.
D Todas as pessoas que não acordam cedo comem demais no almoço.
3ª) Negação do ‘NENHUM”
Só acrescentar EPA: existe um, pelo menos um (ao menos um), ou algum
EX.: Nenhum professor é rico.
Negação: Algum professor é rico.
EXERCÍCIOS:
7) A negação de “Nenhum músico é surdo” é:
A) Há, pelo menos, um músico surdo.
B) Nenhum surdo não é músico.
C) Todos os músicos são surdos.
D) Todos os surdos são músicos.
E) Todos os músicos não são surdos.
MACETE:
EPA
38
8) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e
nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua
afirmação, o que permite concluir que
(A) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado.
(B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados.
(C) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados.
(D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado.
(E) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados.
6.5 Negação das sentenças abertas
AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO
a < b A ≥ b
a = b a ≠ b
a ≤ b a > b
EXERCÍCIOS:
9) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.
10) A negação de x > 4 ou x < 2 é:
(A) x < 4 e x > 2
(B) x < 4 ou x > 2
(C) x ≤ 4 e x ≥ 2
(D) x ≤ 4 ou x ≥ 2
(E) se x ≤ 4 então x < 2
11) Qual é a negação de “Todos os candidatos desse concurso têm mais de 18 anos” ?
(A) Todos os candidatos desse concurso têm menos de 18 anos.
(B) Pelomenos um candidato desse concurso tem menos de 18 anos.
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(C) Pelo menos um candidato desse concurso tem 18 anos ou menos.
(D) Nenhum candidato desse concurso tem menos de 18 anos.
(E) Nenhum candidato tem exatamente 18 anos. 
RESUMO - NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
NEGAÇÃO MACETE
Todo (a) EPA + nega a 2a parte 
ou
EPA + antônimo
NÃO PODE SER NENHUM!!!
Algum (a)
(Existe um / pelo menos um)
NE TONEGA 2
(nenhum OU todo + nega 2a parte)
Nenhum (a) E P A
7. EQUIVALÊNCIAS (apostila pro labore p. 16)
7.1 Condicional (se … então)
40
EQUIVALÊNCIA (A → B) = (~B → ~A) (A → B) = (~A ˅ B)
MACETE Nega tudo e inverte Coloca “ou”, nega a 1a e repete a 2a 
EXEMPLO Se chove, então bebo.
Se não bebo então não chove.
Se chove, então bebo.
Não chove ou bebo.
Outras representações do “ Se..., então” 
1ª) A implica em B = A → B
2ª) A é condição suficiente para B = A → B
3ª) B é condição necessária para A = B → A
7.2 Bicondicional “se e somente se”
(A → B) = (~B → ~A) = (~A ˅ B)
A → B
41
Outras representações do “ Se e somente se ” 
p se e somente se q Se ele me ama se e somente se casa 
comigo.
p é condição necessária e suficiente para q Ele me amar é condição necessária e 
suficiente para ele casar comigo
p se e só se q Se ele me ama se e só se casa comigo.
p é equivalente a q Ele me amar é equivalente a ele casar 
comigo
Se p então q e se q então p 
(A → B) ˄ (B → A)
Se ele me ama, então casa comigo e se ele 
casa comigo então me ama.
EXERCÍCIOS:
1) Se Pedro gosta de pimenta, então ele é falante. Portanto:
A) Se Pedro não gosta de pimenta então ele é falante.
B) Se Pedro gosta de pimenta , então ele é não falante..
C) Se Pedro não é falante , então ele não gosta de pimenta .
D) Se Pedro não gosta de pimenta , então ele não é falante.
2) Duas grandezas x e y são tais que: ''se x = 3, então, y = 7.'' Pode-se concluir que:
A) se x ≠ 3, então y ≠ 7.
A ↔ B = (A → B) ˄ (B → A)
42
B) se y = 7, então x = 3.
C) se y ≠ 7, então x ≠ 3.
D) se x = 5, então y = 5.
E) nenhuma das conclusões anteriores é válida.
3) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia” é:
a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.
b) Ana é bela ou Carina não é feia.
c) Se Carina é feia, Ana é bela.
d) Ana é bela ou Carina é feia.
e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.
4) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo
assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
5) Considere a sentença: "Se tenho saúde então sou feliz". Uma sentença logicamente
equivalente à sentença dada é:
a) Se não tenho saúde então não sou feliz
b) Se sou feliz então tenho saúde
c) Tenho saúde e não sou feliz
d) Tenho saúde e sou feliz
e) Não tenho saúde ou sou feliz
6) Uma sentença logicamente equivalente a "Se o porto é bom, então a carga é rápida" é:
a) Se o porto não é bom, então a carga não é rápida
b) Se a carga é rápida, então o porto é bom
c) O porto não é bom ou a carga é rápida
d) O porto é bom e a carga é rápida
e) O porto é bom e a carga não á rápida
43
7) Uma sentença logicamente equivalente a “Se faz sol e eu acordo cedo, então eu vou à
praia” é:
(A) se não faz sol ou eu não acordo cedo então não vou à praia.
(B) se eu vou à praia então faz sol e eu acordo cedo.
(C) se não faz sol e eu não acordo cedo então não vou à praia.
(D) não faz sol ou eu não acordo cedo ou eu vou à praia.
(E) faz sol e eu acordo cedo, ou eu vou à praia.
8) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do
ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.
9) A sentença “Duda é bonita ou Hélio não é magro” é logicamente equivalente a:
(A) se Duda é bonita, então Hélio é magro;
(B) se Duda é bonita, então Hélio não é magro;
(C) se Duda não é bonita, então Hélio não é magro;
(D) se Duda não é bonita, então Hélio é magro;
(E) se Hélio não é magro, então Duda não é bonita.
10) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha.
11) Não gosto de ficar em casa e vou ao cinema todos os dias.
Do ponto de vista lógico, uma afirmação que corresponde a uma negação dessa afirmação é:
A Não gosto de sair de casa e não vou ao cinema todos os dias.
44
B Vou ao cinema todos os dias e gosto de ficar em casa.
C Não vou ao cinema todos os dias ou não gosto de ficar em casa.
D Se não gosto de ficar em casa, então não vou ao cinema todos os dias.
E Não Gosto de ficar em casa ou não vou ao cinema todos os dias. 
EXERCÍCIOS:
1) Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:
a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.
2) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica
protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar
protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais
aumentem”.
3) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:
a) seu esforço é condição suficiente para vencer;
b) seu esforço é condição necessária para vencer;
c) se você não se esforçar, então não irá vencer;
d) você vencerá só se se esforçar;
e) mesmo que se esforce, você não vencerá.
4) Sejam as proposições:
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p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica em q, então
(A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para
fazer frente ao fluxo positivo.
(B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares
por parte do Banco Central.
(C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para
fazer frente ao fluxo positivo.
(D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora
de dólares por parte do Banco Central.
(E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e
nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
5) Se Ana é magra então amanhã será dia de eleição, logo, podemos afirmar com certeza que
Ana ser magra é condição suficiente para amanhã ser um dia de eleição e amanhã ser um dia
de eleição é condição necessária para Ana ser magra.
6) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,
a) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 
LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO
Diagramas e Operadores Lógicos
46
LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO
copiar material focus aula 6, p 9.
8. VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Para um argumento ser válido, premissas verdadeiras devem gerar uma conclusão
obrigatoriamente verdadeira.
9. TIPOS DE ARGUMENTAÇÃO
9.1 Por diagramas(Diagramas Lógicos)
Ex.:
A) Todos os professores são ricos.
B) Algum professor é rico.
C) Nenhum professor é rico.
BIZU!!! Sempre que tiver “todo” na questão, começar o desenho dos diagramas por ele.
EXERCÍCIOS:
1) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo ,
A) Todos os planetas são estrelas.
B) Nenhum planeta é estrela .
C) Todas as estrelas são planetas.
D) Todo planeta tem luz própria.
E) Toda estrela não tem luz própria
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2) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa
empresa.
-Todo indivíduo que fuma tem bronquite.
- todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho.
Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:
(A) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho.
(B) todo funcionário que tem bronquite é fumante.
(C) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.
(D) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falta habitualmente ao
trabalho.
(E) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite.Diagramas
Lógicos
3) Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os nefelibatas são melancólicos", então,
necessariamente:
(A) Todo melancólico é nefelibata.
(B) Todo nefelibata é poeta.
(C) Algum poeta é melancólico.
(D) Nenhum melancólico é poeta.
(E) Nenhum poeta não é melancólico.Diagramas Lógicos
4) Considerando que uma argumentação é correta quando, partindo-se de proposições
presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões também verdadeiras, julgue o próximo
item.
 Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”, então a argumentação é correta.
48
5) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos.
Pode-se concluir que, se:
(A) João é religioso, João é poliglota.
(B) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
(C) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
(D) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
(E) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
6) Considere verdadeira a declaração:
“Todo brasileiro é apaixonado por futebol”.
Assinale a única afirmativa que contém uma argumentação válida.
(A) José é apaixonado por futebol, logo, José é brasileiro.
(B) Juliana é apaixonada por futebol, logo, Juliana não é brasileira.
(C) Júlio não é apaixonado por futebol, logo, Júlio é brasileiro.
(D) Joana não é apaixonada por futebol, logo, Joana não é brasileira.
(E) Jaílson não é brasileiro, logo, Jaílson não é apaixonado por futebol.
“Todo brasileiro é apaixonado por futebol”.
(A) José é apaixonado por futebol, logo, José é brasileiro.
(B) Juliana é apaixonada por futebol, logo, Juliana não é brasileira.
(C) Júlio não é apaixonado por futebol, logo, Júlio é brasileiro.
(D) Joana não é apaixonada por futebol, logo, Joana não é brasileira.
(E) Jaílson não é brasileiro, logo, Jaílson não é apaixonado por futebol.
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7) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,
(A) algum Z é Y.
(B) algum X é Z.
(C) todo Z é X.
(D) todo Z é Y.
(E) algum X é Y.
8) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns
professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade
A) alguns filósofos são professores
B) alguns professores são filósofos
C) nenhum filósofo é professor
D) alguns professores não são filósofos
E) nenhum professor é filósofo
9.2. Por Operadores Lógicos
Tudo gira em torno da tabuada lógica.
*Como fazer a questão:
- 1o) Separar todas as proposições (premissas).
- 2o) Considerar TODAS as proposições verdadeiras.
- 3o) Começar sempre com a proposição simples (dádiva) e, em seguida, analisar as
proposições compostas de acordo com a tabuada lógica (de modo que o resultado sempre seja
verdadeiro).
50
Se não houver dádiva, tem que ir por erro tentativa, obedecendo a tabuada lógica.
- 4o) Escrever as conclusões.
OPERADORES LÓGICOS
e ˄
ou ˅
Ou… ou ˅
Se...então →
Se e somente se ↔
TABUADA LÓGICA
OPERADOR
LÓGICO
TABELA VERDADE
e Tudo V dá V
ou Tudo F dá F
Ou … ou = dá F / ≠ dá V (ou uma coisa ou outra, tem que ser ≠ pra dar F)
Se...então Vai Fugir → F / (V) (F) dá F
Se e somente
se 
 = dá V / ≠ dá F
EXERCÍCIOS:
1) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
51
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
Surfo ou estudo.
Fumo ou não surfo.
Velejo ou não estudo.
Ora, não velejo.
2) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro
uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,
a) não viajo e caso.
b) viajo e caso.
c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.
d) compro uma bicicleta e não viajo.
e) compro uma bicicleta e viajo.
Caso ou compro uma bicicleta.
52
Viajo ou não caso.
Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta.
Ora, não vou morar em Pasárgada.
3) Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo.
Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo:
a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.
b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.
c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.
d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre.
e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.
Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz.
Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo.
Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei.
Ora, a rainha não briga com o rei.
53
4) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos,
então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria.
Ora, Leila não é tia de Maria. Logo
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
5) Se minha casa não é vermelha, então o meu cachorro late. Se minha casa é vermelha,
então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
(A) a minha casa é vermelha e o meu cachorro não late
(B) a minha casa não é vermelha e o meu cachorro late
(C) a minha casa é vermelha e o meu cachorro late
(D) a minha casa não é vermelha e o meu cachorro não late
(E) se o passarinho canta, então o meu cachorro não late.
6) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se
Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:
a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca
c) César é careca e Maria é magra
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo
54
e) Lúcia é linda e César é careca
7) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é
inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:
a) Caio e beto são culpados.
b) André e Caio são inocentes.
c) André e Beto são inocentes.
d) Caio e Dênis são culpados.
e) André e Dênis são culpados.
8) Ou Celso compra carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então
Luiz compra um livro. Se Luiz compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vai a Roma.
Logo:
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África;
b) Celso não compra um carro e Luiz não compra um livro;
c) Ana não vai à África e Luiz compra um livro;
d) Ana vai à África ou Luiz compra um carro;
e) Ana vai à África eu Rui não vai a Roma.
9) São verdadeiras as quatro seguintes proposições:
P1: Se João joga futebol, então Maria não gosta de guaraná.
P2: Maria gosta de guaraná ou Paulo não estuda todo dia.
55P3: Paulo não estuda todo dia se, e somente se, Carlos grita de manhã.
P4: Carlos não grita de manhã e Roberto não é flamenguista.
Com base nas proposições acima, uma conclusão necessariamente verdadeira é:
(A) Maria gosta de guaraná e Paulo não estuda todo dia.
(B) Se João não joga futebol, então Paulo estuda todo dia.
(C) Paulo estuda todo dia e Carlos grita de manhã.
(D) Se Paulo estuda todo dia, então Roberto é flamenguista.
P1: Se João joga futebol, então Maria não gosta de guaraná.
P2: Maria gosta de guaraná ou Paulo não estuda todo dia.
P3: Paulo não estuda todo dia se, e somente se, Carlos grita de manhã.
P4: Carlos não grita de manhã e Roberto não é flamenguista.
10) Se Cássia é tia, então Alberto não é tio. Se Cláudio é tio, então Wiliam é pai. Verifica-se
que Alberto e Cláudio são tios. Conclui-se que:
A) Wiliam não é pai e Cássia é tia
B) Se Wiliam é pai, então Cássia é tia
C) Se Cássia não é tia, então Wiliam não é pai
D) Cássia é tia e Wiliam é pai
56
E) Cássia não é tia e Wiliam é pai
11) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o
crime foi efetivamente cometido por um ou mais de um deles, já que podem ter agido
individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta
é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o
mordomo não é inocente. Logo:
a) a governanta e o mordomo são culpados;
b) o cozinheiro e o mordomo são culpados;
c) somente a governanta é culpada;
d) somente o cozinheiro é inocente;
e) somente o mordomo é culpado
12) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas
faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa,
ou
Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa;
ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis
desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:
a) bruxa e fada
b) bruxa e princesa
c) fada e bruxa
d) princesa e fada
e) fada e princesa
ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa;
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ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa;
ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa;
ou Beatriz é fada, ou Carla é fada.
a) bruxa e fada
b) bruxa e princesa
c) fada e bruxa
d) princesa e fada
e) fada e princesa
13) Considere as premissas I, II e III.
I. Se Carlos é legista, então ele é médico.
II. Se Ana é perita criminal, então ela é policial civil.
III. Ana é policial civil e Carlos é legista.
Uma conclusão que pode ser indicada para que, juntamente com essas três premissas, se
tenha um argumento válido é
a) Carlos não é médico.
b) Carlos é médico e Ana é perita criminal.
c) Carlos é médico se, e somente se, Ana é perita criminal.
d) Carlos é médico ou Ana não é perita criminal.
e) Ana é perita criminal.
I. Se Carlos é legista, então ele é médico.
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II. Se Ana é perita criminal, então ela é policial civil.
III. Ana é policial civil e Carlos é legista.
a) Carlos não é médico.
b) Carlos é médico e Ana é perita criminal.
c) Carlos é médico se, e somente se, Ana é perita criminal.
d) Carlos é médico ou Ana não é perita criminal.
e) Ana é perita criminal.
14) Juca é alegre e feliz ou Juca é mal humorado. Se Carla é bonita, então Juca não é mal
humorado. Carla é bonita. Logo, pode-se concluir, corretamente, que
(A) Juca é alegre e não é feliz.
(B) Juca é feliz e é mal humorado.
(C) Juca é mal humorado e não é alegre.
(D) Juca é feliz e alegre.
(E) Juca não é alegre ou não é feliz.
Juca é alegre e feliz ou Juca é mal humorado.
Se Carla é bonita, então Juca não é mal humorado.
Carla é bonita.
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15) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou
furioso, não bebo. Logo,
a) não durmo, estou furioso e não bebo.
b) durmo, estou furioso e não bebo.
c) não durmo, estou furioso e bebo.
d) durmo, não estou furioso e não bebo.
e) não durmo, não estou furioso e bebo.
Se não durmo, bebo.
Se estou furioso, durmo.
Se durmo, não estou furioso.
Se não estou furioso, não bebo.
16) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado,
não desisto. Então,
a) se jogo, não é feriado.
b) se não jogo, é feriado.
c) se é feriado, não leio.
d) se não é feriado, leio.
e) se é feriado, jogo.
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ATENÇÃO!!! Nesse tipo de questão deve-se usar a REGRA DO CORTE:
Se não leio, não compreendo.
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Se jogo, não leio.
Se não desisto, compreendo.
Se é feriado, não desisto.
16) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente
para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente
para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,
a) Beto não bebe ou Ana não chora.
b) Denise dança e Beto não bebe.
c) Denise não dança ou Ana não chora.
d) nem Beto bebe nem Denise dança.
e) Beto bebe e Ana chora.
Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar.
Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar.
Assim, quando Carmem canta,
a) Beto não bebe ou Ana não chora.
b) Denise dança e Beto não bebe.
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c) Denise não dança ou Ana não chora.
d) nem Beto bebe nem Denise dança.
e) Beto bebe e Ana chora.
17) Se Iara não fala italiano, então Ana fala Alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala
chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas
Elton fala espanhol se, e somente se, não for verdade que Francisco não fala francês. Ora,
Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Se Iara não fala italiano, então Ana fala Alemão.
Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.
Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.
Mas Elton fala espanhol se, e somente se, não for verdade que Francisco não fala francês.
Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,
QUESTÕES CESPE
1) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
Renato é professor de Lógica ou Débora é professora de Português.
Renato não é professor de lógica
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Portanto, Débora é professora de Português.
2) Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:
O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto.
O raciocínio de Pedro não está correto.
Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma
dedução lógica correta.
3) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes
Renato é Vascaíno ou Pelé é Brasileiro.
Renato é Vascaíno.
Portanto, Pelé é Brasileiro.
4) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
5) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.
Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.
Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.
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Carlos não fracassou na prova de Física.
Carlos não jogou futebol.
Q452538-(questão nº 1)
Diz-se que uma proposição composta A implica numa proposição composta B, se:
a) a conjunção entre elas for tautologia
b) o condicional entre elas, nessa ordem, for tautologia.
c) o bicondicional entre elas for tautologia
d) A disjunção entre elas for tautologia.
Q458146-(questão nº 2)
Se João passeia com seu cão, ele escuta música. Se João vê TV, então ele não escuta música.
Logo,
a Se João não passeia com seu cão, então ele não vê TV.
b Se João passeia com seu cão, então ele nãovê TV.
c Se João passeia com seu cão, então ele não escuta música.
d Se João escuta música, então ele não passeia com seu cão
e Se João passeia com seu cão, então ele vê TV e não escuta música.
IMPLICAÇÃO LÓGICA
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Q450280-(questão nº 3)
Em uma pequena comunidade, sabe-se que 'Nenhum professor é rico' e que 'Alguns médicos
são ricos1. Assim, pode-se afirmar que em tal comunidade:
a alguns professores são médicos.
b alguns médicos são professores.
c nenhum professor é médico.
d alguns médicos não são professores.
e nenhum médico é professor.
Q404507-(questão nº 4)
Se chovesse e ventasse, então teria feito frio e, se tivesse feito frio, eu não teria viajado.
Ora, como viajei, então
a) fez frio e não ventou.
b) não fez frio e não choveu.
c) não choveu e não ventou.
d) não choveu ou não ventou.
e) pode ter chovido, mas não ventou.
Se chovesse e ventasse, então teria feito frio e,
se tivesse feito frio, eu não teria viajado.
Q428175-(questão nº 5)
Afirma-se que: “Toda pessoa gorda come muito”.
É correto concluir que
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a se uma pessoa come muito, então é gorda.
b se uma pessoa não é gorda, então não come muito.
c se uma pessoa não come muito, então não é gorda.
d existe uma pessoa gorda que não come muito.
e não existe pessoa que coma muito e não seja gorda.
Q409180-(questão nº 1)
Ou como macarronada ou como arroz e feijão. Se estou com muita fome, então como arroz e
feijão. Se não estou com muita fome, então como saladas. Hoje, na hora do almoço, não comi
saladas.
A partir dessas informações, pode-se concluir corretamente, quehoje, na hora do almoço,
a não estava com muita fome.
b não comi arroz e feijão.
c comi saladas no jantar.
d comi arroz e feijão.
e comi macarronada
Ou como macarronada ou como arroz e feijão.
Se estou com muita fome, então como arroz e feijão.
Se não estou com muita fome, então como saladas.
Hoje, na hora do almoço, não comi saladas.
Q305259-(questão nº 2)
Se andar rápido fizesse bem, coelhos não morreriam cedo. Logo, andar rápido não faz bem.
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Assinale a opção em que é apresentada a premissa que deve ser incluída no argumento acima
para que ele seja válido.
a Coelhos andam rápido.
b Andar rápido faz bem e coelhos não morrem cedo.
c Se coelhos morressem cedo, andar rápido não faria bem.
d Andar rápido faz bem.
e Coelhos morrem cedo.
Se andar rápido fizesse bem, coelhos não morreriam cedo.
Logo, andar rápido não faz bem.
Q460182-(questão nº 3)
As seguintes premissas referem-se a uma argumentação hipotética:
• Se Paulo é inocente, então João ou Jair é culpado.
• Se João é culpado, então Jair é inocente.
• Se Jair é culpado, então, no depoimento de José e no de Maria, todas as afirmações de José
eram verdadeiras e todas as afirmações de Maria eram falsas.
Com referência a essas premissas, julgue o próximo item.
Se Jair é culpado, é correto inferir que João é inocente.
( ) Certo ( ) Errado
Q460180-(questão nº 4)
As seguintes premissas referem-se a uma argumentação hipotética:
• Se Paulo é inocente, então João ou Jair é culpado.
• Se João é culpado, então Jair é inocente.
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• Se Jair é culpado, então, no depoimento de José e no de Maria, todas as afirmações de José
eram verdadeiras e todas as afirmações de Maria eram falsas.
Com referência a essas premissas, julgue o próximo item.
Se Maria, em seu depoimento, disse que Paulo é inocente, e se Paulo for de fato inocente,
então é correto afirmar que Jair é culpado.
( ) Certo ( ) Errado
Q332206-(questão nº 5)
Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo.
a Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar.
b Alice irá ao País das Maravilhas.
c Alice vai necessariamente imaginar.
d Alice não irá, também, imaginar.
e Alice não vai imaginar.
1) Três amigas, Tania, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tania
sempre fala a verdade; Janete as vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade.
A que esta sentada a esquerda diz: "Tania e quem esta sentada no meio".
VERDADES E MENTIRAS.
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A que esta sentada no meio diz: "Eu sou Janete".
Finalmente, a que esta sentada a direita diz: "Angélica e quem esta sentada no meio".
A que esta sentada a esquerda, a que esta sentada no meio e a que esta sentada a direita são,
respectivamente:
a) Janete, Tania e Angélica
b) Janete, Angélica e Tania
c) Angélica, Janete e Tania
d) Angélica, Tania e Janete
e) Tania, Angélica e Janete
2) Em uma cidade há dois irmãos gêmeos, Pedro e Paulo. Pedro sempre mente e Paulo
sempre diz a verdade. Uma pessoa fez duas perguntas a eles; um dos irmãos respondeu à
primeira e o outro, à segunda. As perguntas foram:
i) seu nome é Pedro?
ii) como seu irmão responderia à primeira pergunta?
Pode-se afirmar que:
(A) as respostas obtidas foram sim e sim.
(B) as respostas obtidas foram sim e não.
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(C) as respostas obtidas foram não e sim.
(D) as respostas obtidas foram não e não.
(E) Se a segunda resposta for sim, então o interpelado é Pedro. 
3) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos:
Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles
respondeu:
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade,
pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso
4) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais
conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um
valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se
uma inscrição:
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”
Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3
pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”
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Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas
outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3
encontram-se, respectivamente:
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão
d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro
e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouroVerdades e MentirasVerdades e Mentiras
5) Um professor de lógica encontra-se em viagem em um país distante, habitado pelos
verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a
verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um
grupo de cinco habitantes locais. Chamemolos de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O
professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é.
Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes
respostas:
Alfa: “Beta é mentimano”
Beta: “Gama é mentimano”
Gama: “Delta é verdamano”
Delta: “Épsilon é verdamano”
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Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo
assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:
a) Delta
b) Alfa
c) Gama
d) Beta
e) Épsilon
TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Conjunto unitário
É todo conjunto que possui um só elemento.
2. Conjunto vazio
É o conjunto que não possui elementos. Representamos o conjunto vazio por { } ou Ø.
3. Conjunto universo
É o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
4. Pertinência
É a relação entre elemento e conjunto.
 
 → pertence
Diagramas de Venn (Conjuntos).
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 → não pertence
5. Subconjuntos
Dado dois conjuntos A e B, o conjuntoA é subconjunto de B se, e somente se, todos os
elementos de A pertencerem também ao conjunto B.
→ está contido
→não está contido
 → contém
 → não contém
6. Conjuntos das partes
É o conjunto onde todos os elementos são subconjuntos do conjunto dado.
Exemplo: A = {1, 2, 3}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
7. Operações com conjuntos
a) Diferença de conjuntos
Dado dois conjuntos A e B, o conjunto diferença entre A e B é o conjunto formado pelos
elementos de A que não pertencem a B.
b) Interseção de conjuntos
Dado dois conjuntos A e B, o conjunto interseção é o conjunto formado pelos elementos
comuns de A e B. Diagramas de Venn(Conjuntos)
c) União de conjuntos
Dado dois conjuntos A e B, o conjunto união é o conjunto formado pelos elementos de A e B.
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1) Observe os conjuntos abaixo:
A = {1,5,6,7}
B = {2,5,6,8}
C = {1,5,6}
Os conjuntos (A ∩ B) e (A  C) valem, respectivamente:
A {5,6} e {1,5,6,7}
B {1,5,6} e {1,2,5,6,7}
C {7} e {1,5,6,7}
D {1,5,6,7} e {1,5,7}
E {1,2,5,6,7,8} e {1,5,6}
2) Sejam X, Y e Z conjuntos assim definidos: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {1, 2} e Z = {4, 6, 8}. Com
relação a esses conjuntos, conclui-se que:
A) Y X
B) 2 X
C) X  Y = Y
D) Z X
E) (X  Y)  Z = 
3) Um conjunto A possui n elementos, um conjunto B possui dois elementos a mais do que A, e
um conjunto C possui dois elementos a mais do que B. Sendo X; Y e Z os números de
subconjuntos de A;B e C, respectivamente, tem-se que:
(A) Z é o triplo de X
(B) Y = X/2 + Z
(C) Y é igual ao dobro de Z
(D) Y é o dobro de X
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(E) Y é igual ao quádruplo de X
4) Seja o conjunto A = {1; 3; {5}; 7}, analise as proposições:
I:1 A 
II: {5} A 
III:7 A I
V:5 A
(A) I - V ; II - V ; III - V ; IV - V
(B) I - V ; II - V ; III - F; IV - V
(C) I - V ; II - F ; III - F; IV – F
(D) I - V ; II - F; III - F; IV - V
(E) I - V ; II - V ; III - V ; IV - F