AULA 3 - Método das forças

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TEORIA DAS ESTRUTURAS
PROF. (A): RAFAELA LOPES
E-mail: rafaela-lopess@hotmail.com
AULA 3: MÉTODO DAS FORÇAS
MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE ESTRUTURAL
➢ No exemplo mostrado anteriormente, tem-se um sistema 
pequeno, e sua solução acaba por ser pouco complexa. No 
entanto, nos casos mais comuns, há um número muito maior 
de incógnitas no sistema, do que reações básicas das 
condições de equilíbrio. Desta forma, existem métodos que 
simplificam o cálculo de estruturas mais complexas. São os 
básicos:
▪ MÉTODO DAS FORÇAS
▪ MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
PARA COMPREENSÃO DOS 
MÉTODOS, VALE REVISAR E 
RESSALTAR 3 PONTOS 
IMPORTANTES POSTERIORMENTE
ESTATICIDADE DAS 
ESTRUTURAS
SUPEPOSIÇÃO DOS EFEITOS
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS
MÉTODOS DAS FORÇAS
➢ O primeiro método básico de solução de estruturas hiperestáticas é chamado de 
método da flexibilidade, mais conhecido como MÉTODO DAS FORÇAS;
➢ Em termos gerais as principais incógnitas deste método são forças e momentos 
(reações ou esforços internos), e as demais são expressas em termos destas;
➢ Ideia principal do método é: partindo de um conjunto de soluções que garantem o 
equilíbrio da estrutura, encontrar qual a única solução que garante que as condições 
de compatibilidade sejam satisfeitas com o auxílio das leis constitutivas.
MÉTODOS DAS FORÇAS
➢ Em resumo formal para o modelo estrutural, ou seja, o método garante as condições 
básicas para que o modelo matemático adotado reproduza de forma mais aproximada 
possível a estrutura real, na seguinte ordem:
➢Segundo Martha (2010), o método consiste em somar uma série de soluções básicas 
que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de 
compatibilidade da estrutura original, para na superposição restabelecer as condições 
de compatibilidade.
1° Condições de equilíbrio;
2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas);
3° Condições de compatibilidade.
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ É necessário compreender 
que o método parte dos 
princípios de garantia das 
condições matemáticas antes 
mencionadas: equilíbrio, 
compatibilidade de 
deslocamentos e deformações, 
e leis constitutivas. Partindo 
da superposição dos efeitos:
CASO (0) CASO (1)
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ O problema real é avaliado em casos virtuais. 
Tem-se que, a incógnita a ser encontrada, a 
reação N1, deve ser de tal forma, que impeça o 
deslocamento vertical do apoio central, ou seja, 
deslocamento nulo.
➢ Sendo assim, entende-se que, o deslocamento 
que seria ocasionado pela carga P, deve ser igual 
em módulo e sentido oposto, ao deslocamento 
ocasionado pela reação de apoio.
𝜹𝟏𝟎 + 𝑿𝟏𝜹𝟏𝟏 = 𝟎
Enfatiza-se que a superposição 
dos efeitos se aplica neste 
equacionamento
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢Como as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas 
inicialmente, observa-se que a estrutura foi transformada em 
uma estrutura auxiliar isostática (ou pelo menos solucionável 
apenas com as equações de equilíbrio);
➢ Esta estrutura auxiliar é conhecida como Sistema Principal
(SP), sendo que para cada grau de liberdade liberado, há 
uma reação ou esforço interno associado a ele, chamados de 
hiperestáticos (as incógnitas do problema).
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ A necessidade de criar um sistema principal (sempre 
isostática), é para inicialmente garantir as condições de 
equilíbrio, e com a superposição dos efeitos, garantir a 
compatibilidade de deslocamentos (como antes 
mencionado).
➢ Sendo assim, são superpostos os efeitos dos casos 
particulares, para garantir a condição: 𝜹𝟏𝟎 + 𝑿𝟏𝜹𝟏𝟏 = 𝟎
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ No caso (0), chamado de caso básico, entende-se que o sistema 
principal está submetido apenas as cargas externas, e portanto 
todos os deslocamentos encontrados, são apenas em função 
destas cargas externas. No exemplo, o deslocamento virtual 𝜹𝟏𝟎
no apoio é ocasionado pela carga externa P;
➢ No entanto, sabe-se que este deslocamento é nulo, e, portanto, 
é necessário superpor os efeitos dos casos auxiliares, nos quais 
avalia-se apenas os efeitos dos hiperestáticos.
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ Nos casos auxiliares (tantos quantos forem os hiperestáticos, ou 
melhor dizendo, em número igual ao grau de hiperestaticidade da 
estrutura), são avaliados os deslocamentos virtuais de cada 
hiperestático em separado, para então superpor os efeitos com o 
caso básico.
➢Como o objetivo principal é encontrar os valores dos hiperestáticos, faz-se uso das 
condições de compatibilidade dos deslocamentos para afirmar que existe apenas um valor 
para cada incógnita do sistema. Neste exemplo: 𝜹𝟏𝟎 + 𝑿𝟏𝜹𝟏𝟏 = 𝟎. 
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ Para o exemplo avaliado, entende-se que 𝜹𝟏𝟏 é o deslocamento 
ocasionado por uma carga unitária na direção e sentido de 𝑿𝟏
(incógnita do sistema). E novamente partindo da superposição 
dos efeitos o deslocamento virtual oriundo da ação de 𝑿𝟏 é dado 
por 𝑿𝟏𝜹𝟏𝟏.
➢ Deixando claro que aqui assume-se um regime elástico linear, 
onde é válida a Lei de Hooke.
➢ Aqui entra a questão: como encontrar os deslocamentos?
MÉTODOS DAS FORÇAS
Exemplificando
➢ Antes de responder o questionamento 
anterior, entenda que já foram apresentadas 
as condições de equilíbrio da estrutura, 
quando há uma relação com o sistema 
principal.
➢Também já foram determinadas as condições 
de compatibilidade de deslocamentos (neste 
caso externa, no apoio central).
➢ No entanto, para compatibilizar os 
deslocamentos, é necessário calcular os 
valores para cada caso auxiliar, 
respeitando as leis constitutivas dos 
materiais.
MÉTODOS DAS FORÇAS
Princípio dos trabalhos virtuais (PTV)
➢ Um dos métodos para determinar de forma rápida e prática os deslocamentos, sem a 
necessidade de trabalhar com o equacionamento da linha elástica, é a partir dos 
princípio dos trabalhos virtuais.
➢ Vale relembrar e salientar que o PTV só é válido se o sistema de forças realmente 
satisfizer as condições de equilíbrio e se a configuração deformada realmente 
satisfizer as condições de compatibilidade.
➢ De forma que este princípio pode ser utilizado para impor condições de 
compatibilidade a uma configuração deformada qualquer. 
MÉTODOS DAS FORÇAS
Princípio dos trabalhos virtuais (PTV)
➢ Resumindo-se em um exemplo:
INTEGRAÇÃO PODE SER 
SOLUCIONADA POR 
TABELAS
MÉTODOS DAS FORÇAS
➢Avaliar o grau de hiperestaticidade da 
estrutura;
➢Definir um sistema principal a partir da 
liberação de vínculos excedentes, mas 
mantendo a estrutura isostática e estável;
➢Junto com o passo anterior, definir os 
hiperestáticos e garantir as condições de 
equilíbrio
➢Separar os casos e calcular os 
deslocamentos relacionados com as cargas 
externas e com cada hiperestático.
▪ A partir das leis constitutivas; → PTV
➢ Reestabelecer as condições de 
compatibilidade;
➢ Determinar os valores dos hiperestáticos
Os procedimentos do método se resumem em:
MÉTODOS DAS FORÇAS
➢ EXEMPLO: Determine as reações de apoio e diagramas da viga abaixo. Considere que a 
estrutura apresenta rigidez constante, ou seja, 𝐸𝐼 = 𝑐𝑡𝑒.