004_matematica_financeira_20122

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Matemática 
Financeira 2012 
UNIP – Universidade Paulista 
ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação 
Curso de Graduação em Administração 
Prof. Me. 
Marcelo 
Stefaniak 
Aveline 
1 
Matemática 
Financeira 2012 
Aula 
Inaugural 
2 
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Matemática 
Financeira 2012 
Apresentação 
Professor 
3 
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2012 
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Apresentação do Professor 
Nome: Marcelo Stefaniak Aveline 
 
Graduação: Administração de Empresas 
Pós-Graduação: MBA em Gestão de Negócios (In Company) 
Pós-Graduação: Docência do Ensino Superior 
Mestrado: Administração 
 
Atuo há 23 anos no mercado financeiro tendo ao longo do tempo desempenhado minhas 
atividades em instituições financeiras nacionais e multinacionais de grande porte. 
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Matemática 
Financeira 2012 
Apresentação 
Disciplina 
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2012 
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Curso de Graduação em Administração 
Ementa 
Esta disciplina trata das ferramentas quantitativas aplicadas ao setor financeiro, no que se 
refere aos cálculos de juros simples e compostos, bem como aos cálculos de descontos. 
Contempla ainda as principais operações financeiras, tais como o financiamento, a 
capitalização e os empréstimos. De caráter essencialmente aplicado, esta disciplina tem o seu 
foco em resolução de problemas práticos ligados às operações bancárias comuns. Além da 
questão prática, há uma preocupação em desenvolver e aprimorar os conceitos pertinentes às 
operações que envolvem a cobrança de juros. 
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Objetivos Gerais 
A disciplina de Matemática Financeira deverá criar condições para que os alunos possam 
adquirir e produzir os conhecimentos necessários para o desenvolvimento das competências: 
 Comunicação e expressão. 
 Capacidade de identificar, analisar e solucionar problemas. 
 Utilização de ferramentas tecnológicas ligadas aos cálculos financeiros 
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Objetivos Específicos 
O objetivo fundamental da disciplina é conceituar os fundamentos das principais operações 
financeiras, focando suas aplicações ligadas à formação do profissional de Administração de 
Empresas. 
A estrutura da disciplina foi pensada para que os conceitos matemáticos envolvidos estejam 
sempre relacionados com as necessidades da Administração, permitindo ao aluno a integração 
da mesma com as demais matérias de cunho profissionalizante. 
É também objetivo da disciplina reforçar aos alunos os ditames do pensamento lógico em 
termos quantitativos, que pautam os cálculos financeiros em seus diversos níveis. 
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Objetivos Específicos 
1) Introdução à Matemática Financeira 
1.1) Porcentagem. 
1.2 ) Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 
 
2) Capitalização Simples 
2.1) Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial. 
2.2 ) Desconto Simples 
 
3) Capitalização Composta 
3.1) Juro e Montante compostos 
3.2 ) Desconto composto 
3.3 ) Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 
3.4 ) Equivalência composta de capitais 
 
4) Rendas 
4.1) Financiamento 
4.2) Capitalização 
 
5) Empréstimos 
5.1) SAC 
5.2) Sistema Francês (Price) 
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Estratégias de Trabalho 
As aulas serão expositivas devendo conter como regra geral amplo período reservado para 
exercícios, por parte dos alunos, das técnicas e ferramentas apresentadas. 
Será dada ênfase ao trabalho com ferramentas tecnológicas, em especial à calculadora HP-
12C. 
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Avaliação 
Serão respeitados os critérios de avaliação e aprovação definidos pela Universidade, 
procurando sempre entender a avaliação como mais uma oportunidade de aprendizado, e de 
desenvolvimento das competências. 
Em todas as avaliações deve-se ter em mente a necessidade do aluno integrar a disciplina 
com a Administração, usando-se problemas de aplicação prática. 
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Bibliografia Básica 
CAMPOS, C. R. Matemática Financeira - Série Economia de Bolso. São Paulo: LCTE, 
2010. 
 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira – objetiva e aplicada. 8ª ed. São Paulo: Saraiva, 
2009. 
 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
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Bibliografia Complementar 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
 
BISPO, D.; LEAL, F.; NERES, H. Matemática financeira com uso da HP 12C. Goiânia: 
Editora da PUC de Goiás, 2012. 
 
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada – método algébrico, HP-12C, 
Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Yhomson Learning, 2002. 
 
FARO, C. Fundamentos da Matemática Financeira – uma introdução ao cálculo 
financeiro e à análise de investimento de risco. São Paulo: Saraiva, 2006. 
 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007. 
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Bibliografia Virtual 
CASTANHEIRA, C. P. Noções Básicas de Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: 
IBPEX, 2008 
 
CASTANHEIRA, C. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: 
IBPEX, 2008.GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson, 2010. 
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Matemática 
Financeira 2012 
Introdução à 
Matemática Financeira 
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Matemática Financeira 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de alternativas de investimentos ou financiamentos 
de bens, produtos ou serviços. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a 
operação financeira a um fluxo de caixa. 
CAPITAL é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, 
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se “Presente Value” (indicado pela tecla 
PV nas calculadoras financeiras). 
JUROS representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva ou operação 
financeira. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes de capitalização: 1) regime de 
capitalização simples; e 2) regime de capitalização composto. 
JUROS SIMPLES é o juro de cada intervalo de tempo calculado sempre sobre o capital inicial emprestado 
ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS é o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo do início do 
correspondente intervalo, sendo que, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e 
passa a render juros também. 
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Matemática Financeira 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o 
consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isso. Por outro lado, quem for capaz de esperar até 
possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste interim estiver disposto a emprestar essa 
quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por essa abstinência na proporção do tempo e 
risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e quantidade de dinheiro disponível no mercado para 
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. 
Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e 
longo prazos, compras com cartões de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais 
como Caderneta de Poupança e Fundos de Renda Fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de 
capitalização por juros simples: é o caso de operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto 
simples de duplicatas. 
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Matemática Financeira 
TAXA DE JUROS: indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, ou investido, para um 
determinado período de tempo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, e seguida pela 
especificação do período de tempo a que se refere. 
8% a.a.  a.a. significa ao ano 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária que é igual a taxa percentual divida por 100, sem 
o símbolo %. 
10% a.t.  a.t. significa ao trimestre 
0,08 a.a.  a.a. significa ao ano 
0,10 a.t.  a.t. significa ao trimestre 
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Matemática 
Financeira 2012 
Capitalização Simples 
Juros Simples 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
O regime de JUROS será SIMPLES quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. 
Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente Principal 
é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fóruma temos: 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 1 mês. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = 
P = 
i = 
n = 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 1 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 1 
J = 1.000 X 0,08 x 1 
J = 80 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 2 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 2 
J = 1.000 X 0,08 x 2 
J = 160 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
03) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 3 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 3 
J = 1.000 X 0,08 x 3 
J = 240 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
04) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 4 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 4 
J = 1.000 X 0,08 x 4 
J = 320 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
05) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Os juros que pagarei serão? 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 5 
J = 1.000 X 0,08 x 5 
J = 400 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
Ao somarmos os juros ao valor principal encontramos o montante, que é o valor final. 
Montante = Principal + Juros 
Montante = Principal + (Principal x Taxa de Juros X Número de Períodos) 
M = P + P. i. n 
Assim temos: 
M = Montante 
P = Principal 
i = Taxa de Juros 
n = Número de Períodos 
M = P. (1 + (i. n)) 
M = P + J 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
06) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização 
por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Calcule: O Montante resultante dessa operação 
J = P. i. n 
Assim temos: 
J = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 5 
J = 1.000 X 0,08 x 5 
J = 400 
M = P. (1+ (i. n)) 
Assim temos: 
M = ? 
P = R$ 1.000,00 
i = 8% a.m. 
n = 5 
M = 1.000 X (1+ (0,08 x 5)) 
M = 1000 x (1+ (0,40)) 
M = 1.000 x (1,40) 
M = 1.400 
M = P + J 
Assim temos: 
M = ? 
P = R$ 1.000,00 
J = 400 
M = 1.000 + 400 
M = 1.400 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
07) Calcule o Montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias, com 
capitalização pelo regime de juros simples. 
M = P. (1+ (i. n)) 
Assim temos: 
M = ? 
P = R$ 70.000,00 
i = 10,5 % a.a. 
n = 145 dias 
M = 70.000 x (1+ ((10,5/100)x(145/360))) 
M = 70.000 x (1+ (0,105)x(0,40) 
M = 70.000 x (1+ (0,042291667) 
M = 70.000 x (1,042291667) 
M = 72.960,42 
Observação: devemos expressar a taxa i e 
o período n na mesma unidade de tempo, 
ou seja, nesse caso, em anos. Então 
devemos dividir 145 dias por 360, para obter 
o valor equivalente em anos, já que um ano 
comercial tem 360 dias. 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. R.: 234,00 
9) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. R.: 
R$ 5.000,00 
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? 
R.: R$ 116.666,67 
11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital 
aplicado através de capitalização de juros simples? R.: 8 meses 
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 
60% a.m.? R.: 120.000,00 
13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o 
valor do montante obtido? R.: 340.000,00 
14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o 
valor do montante? R.: 10.080,00 
15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 
juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. 
Resp: R$ 234,00 
 
Dados: 
P = 1.200 
i = 13% a.t. 
n = 4 meses e 15 dias 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. 
Resp: R$ 234,00 
 
Dados: 
P = 1.200 
i = 13% a.t. 
n = 4 meses e 15 dias 
 
J = P . i . n 
J = 1.200 x 0,13/3 x 4,5 
J = 1.200 x 0,04333333 x 4,5 
J = 234 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. 
Resp.: R$ 5.000,00 
 
Dados 
P = 40.000 
i = 36% a.a. 
n = 125 dias 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. 
Resp.: R$ 5.000,00 
 
Dados 
P = 40.000 
i = 36% a.a. 
n = 125 dias 
 
J = P . i . n 
J = 40.000 x 0,36/360 x 125 
J = 40.000 x 0,125 
J = 5.000 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? 
Resp.: R$ 116.666,67 
 
Dados 
P = 
i = 1,2% a.m. 
n = 75 dias 
M = 3.500,00 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? 
Resp.: R$ 116.666,67 
 
Dados 
P = 
i = 1,2% a.m. 
n = 75 dias 
J = 3.500,00 
 
J = P . i . n 
3.500 = P x 0,012 /30 x 75 
3.500 = P x 0,03 
3.500 / 0,03 = P 
P = 116.666,67 
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11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital 
aplicado através de capitalização de juros simples? 
Resp.: 8 meses 
 
Dados: 
P = 1 
i = 150% a.a. 
n = 
M = 2 
 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital 
aplicado através de capitalização de juros simples? 
Resp.: 8 meses 
 
Dados: 
P = 1 
i = 150% a.a. 
n = 
M = 2 
M = P ( 1 + i . n ) 
2 = 1 ( 1 + 1,5 . n ) 
2 = 1 + 1,5 n 
1,5 n = 1 
n = 1 / 1,5 
n = 0,66666667 anos 
n = 0,66666667 x 12 
n = 8 meses 
39 Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline 
2012 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 
60% a.m.? R.: 120.000,00 
 
Dados: 
P = 100.000 
i = 60% a.m. 
n = 2 meses 
 
40 Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline 
2012 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de 
60% a.m.? R.: 120.000,00 
 
Dados: 
P = 100.000 
i = 60% a.m. 
n = 2 meses 
 
J = P . i . n 
J = 100.000 x 0,60 x 2 
J = 100.000 x 1,2 
J = 120.000 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o 
valor do montante obtido? R.: 340.000,00 
 
Dados: 
P = 100.000 
i = 40% a.m. 
n = 1 semestre 
 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o 
valor do montante obtido? R.: 340.000,00 
 
Dados: 
P = 100.000 
i = 40% a.m. 
n = 1 semestre 
 
M = P ( 1 + i . n ) 
M = 100.000 ( 1 + 0,40 x 6 ) 
M = 100.000 ( 1 + 2,40 ) 
M = 100.000 x 3,40 
M = 340.000 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o 
valor do montante? R.: 10.080,00 
 
Dados: 
P = 9.000 
i = 36% a.a. 
n = 4 meses 
 
 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o 
valor do montante? R.: 10.080,00 
 
Dados: 
P = 9.000 
i = 36% a.a. 
n = 4 meses 
 
M = P ( 1 + i . n ) 
M = 9.000 ( 1 + 0,36/12 x 4 ) 
M = 9.000 ( 1 + 0,12 ) 
M = 9.000 x 1,12 
M = 10.080 
 
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Curso de Graduação em Administração 
Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 
juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 
 
Dados: 
P = 39.000 
i = 15% a.a. 
n = 300 dias 
 
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Matemática Financeira  JUROS SIMPLES 
15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 
juros de 15% a.a., capitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00 
 
Dados: 
P = 39.000 
i = 15% a.a. 
n = 300 dias 
 
J = P . i . n 
J = 39.000 x 0,15/360 x 300 
J = 39.000 x 0,125 
J = 4.875 
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Matemática 
Financeira 2012 
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Capitalização Simples 
Desconto Simples 
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Desconto Simples 
Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento. 
 
Assim, se devêssemos uma certa quantia, $500,00 por exemplo, a ser paga em uma 
determinada data, e a pagássemos antes, teríamos uma redução na nossa dívida. Em vez de 
$500,00, pagaríamos por exemplo, $460,00. 
 
O desconto seria de $40,00. 
Nessa operação temos dois valores: 
 
$500,00, o valor que deveria ser pago no dia do vencimento, chamado de valor nominal; 
 
$460,00, o valor pago no dia em que se efetua o desconto, chamando de valor atual; 
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Desconto Simples 
Os problemas de descontos simples se resolvem do mesmo modo que os juros simples, 
conhecidos cinco elementos, quais sejam: 
N = valor nominal 
 
V ou A = valor atual 
 
i = taxa 
 
n = tempo de antecipação 
 
D = desconto 
O desconto simples poderá ser: 
 
 racional (ou “por dentro”); 
 
 comercial (ou “por fora”); 
 
 bancário. 
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Desconto Simples 
Desconto racional ou desconto “por dentro”, é o desconto obtido pela diferença entre o 
valor nominal e o valor de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu 
vencimento. 
 
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal; 
Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto; 
 
Sendo: 
N  valor nominal (ou montante) 
Ar  valor atual (aou valor descontado racional) 
n  número de períodos antes do vencimento 
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Desconto Simples 
Teremos, então, para cálculo do desconto racional: 
 
 N . i . n 
Dr = ------------ 
 1 + i . n 
 
E para cálculo do valor atual, teremos: 
 
 N 
Ar = ------------ 
 1 + i . n 
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Desconto Simples 
Conclusão: 
“No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor nominal é igual ao juro 
devido sobre o capital (valor descontado) desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. 
Ou seja, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto. 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
01) Uma dívida de R$12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que 
desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27%a.a.? 
 
Dados: 
N = 12.000 
i = 27%a.a. 
n = 4 meses 
 
 N . i . n 
Dr = ------------ 
 1 + i . n 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
Dados: 
N = 12.000 
i = 27%a.a. 
n = 4 meses 
 N . i . n 
Dr = ------------ 
 1 + i . n 
 
Dr = (12.000 x 0,27/12 x 4) / (1 + (0,27/12 x 4)) 
Dr = (12.000 x 0,09) / (1 + 0,09) 
Dr = 1080 / 1,09 
Dr = 990,83 
 
R$ 990,83 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. 
 
Valor da dívida a ser paga é R$ 11.009,17 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
02) Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor 
nominal for de R$ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% a.a.? 
Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 30% a.a. 
 
Dados: 
N = 20.000 
i = 30%a.a. 
n = 6 meses 
 
 N 
Ar = ------------ 
 1 + i . n 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
Dados: 
N = 20.000 
i = 30%a.a. 
n = 6 meses 
 N 
Ar = ------------ 
 1 + i . N 
 
Ar = 20.000 / (1 + (0,30 x 0,5)) 
Ar = 20.000 / (1 + (0,15)) 
Ar = 20.000 / 1,15 
Ar = 17.391,30 
 
Comprando-se o título por R$ 17.391,30 e resgatando-o por R$ 20.000,00 após 6 meses, ter-
se-á um ganho de 15% em 6 meses, taxa esta que é equivalente a 30% a.a.. 
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Desconto Simples 
Desconto comercial ou desconto “por fora”, é o desconto cujo valor que se obtém pelo 
cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado “n” períodos 
antes de seu vencimento. 
Calcula-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição: 
 
 Dc = N . i . n 
 
 
E o valor descontado comercial: 
 
 Ac = N (1 - i . n) 
 
 
Esse resultado é também chamado valor atual comercial. 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
03) Um título de valor nominal R$ 2.780,00, é descontado por fora a uma taxa de 36% a.a., 
seis meses antes de seu vencimento. Calcule seu valor atual. 
 
Dados: 
N = 2.780 
i = 36%a.a. 
n = 6 meses 
 
O valor descontado comercial ou por fora será dado por: 
 
Ac = N (1 - i. n) 
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Desconto Simples 
Exemplo: 
Dados: 
N = 2.780 
i = 36%a.a. 
n = 6 meses 
 
Ac = N (1 – i . n) 
 
Ac = 2.780 ( 1 – 0,36/12 x 6 ) ou ( 1 – 0,36 x ½) 
Ac = 2.780 ( 1 – 0,18 ) 
Ac = 2.780 ( 0,82 ) 
Ac = 2.279,60 
 
O valor atual do título será de R$ 2.279,60 
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Desconto Simples 
Desconto bancário, corresponde ao descoto comercial acrescido de uma taxa prefixada, 
cobrada sobre o valor nominal ( “a” é a taxa de despesas administrativas). 
 
Db = N ( i . n + a) 
 
Ab = N (( 1 – ( i . n + a)) 
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Desconto Simples 
Relação entre desconto racional e desconto comercial, empiracamente, o desconto 
comercial é maior que o desconto racional, feito nas mesmas condições, ou seja: 
 
Dc > Dr 
 
Ou ainda: 
 
Dc = Dr ( 1 + i . n ) 
 
Ou seja, o desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto 
racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa. 
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Desconto Simples 
Exercícios: 
 
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 
 
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota 
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma 
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 
 
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal 
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto 
comercial) R: R$ 179.387,50 
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Desconto Simples 
Exercícios: 
 
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual 
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 
 
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 
 
6) Utilizando o desconto racional qual é ovalor que devo pagar por um título com vencimento 
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao 
ano? R: 2.500,00 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 
Dados: 
N = 110.000 
n = 2 meses 
i = 60% a.m. 
 
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Curso de Graduação em Administração 
Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00 
Dados: 
N = 110.000 
n = 2 meses 
i = 60% a.m. 
 Ar = N / 1 + i. n 
 Ar = 110.000 / (1 + 0,60 x 2) 
 Ar = 110.000 / ( 1 + 1,2 ) 
 Ar = 110.000 / ( 2,2 ) 
 Ar = 50.000 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota 
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma 
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 
Dados: 
N = 1.420 
n = 40 dias 
i = 8% a.m. 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota 
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma 
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60 
Dados: 
N = 1.420 
n = 40 dias 
i = 8% a.m. 
Dr = N . i . n / 1 + i . n 
Dr = (1.420 x 0,08/30 x 40) / ( 1+ 0,08/30 x 40) 
Dr = 151,47 / 1,1067 
Dr = 136,87 
Dc = N . i . n 
Dc = 1.420 x 0,08/30 x 40 
Dc = 151,47 
Dc - Dr = 151,47 – 136,87 = 14,60 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal 
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto 
comercial) R: R$ 179.387,50 
Dados: 
N = 190.500 
n = 50 dias 
i = 42% a.a. 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal 
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto 
comercial) R: R$ 179.387,50 
Dados: 
N = 190.500 
n = 50 dias 
i = 42% a.a. 
 
Ac = N . (1 - i . n) 
Ac = 190.500 x ( 1 – 0,42/360 x 50 ) 
Ac = 190.500 x ( 0,94166667 ) 
Ac = 179.387,50 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual 
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 
Dados: 
N = 3.836 
n = 4 meses 
i = 10% a.m. 
 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual 
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00 
Dados: 
N = 3.836 
n = 4 meses 
i = 10% a.m. 
 Ar = N / 1 + i . n 
 Ar = 3.836 / 1 + 0,10 x 4 
 Ar = 3.836 / 1,40 
 Ar = 2.740 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 
Dados: 
N = 7.420 
n = 2 meses 
i = 20% a.m. 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu 
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% 
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00 
Dados: 
N = 7.420 
n = 2 meses 
i = 20% a.m. 
Ar = N / 1 + i . n 
Ar = 7.420 / 1 + 0,20 x 2 
Ar = 7.420 / 1 + 0,40 
Ar = 7.420 / 1,40 
Ar = 5.300 
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Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento 
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao 
ano? R: 2.500,00 
Dados: 
N = 2.950 
i = 36% a.a. 
n = 6 meses 
 
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Curso de Graduação em Administração 
Desconto Simples 
Exercícios Resolvidos: 
6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento 
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao 
ano? R: 2.500,00 
Dados: 
N = 2.950 
i = 36% a.a. 
n = 6 meses 
Ar = N / 1 + i . n 
Ar = 2.950 / 1 + 0,36/12 x 6 
Ar = 2.950 / 1 + 0,18 
Ar = 2.950 / 1,18 
Ar = 2.500 
76 Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline