silo tips_matematica-financeira

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2010
Matemática Financeira
Disciplina na modalidade a distância
matematica_financeira.indb 1 09/07/2010 11:10:19
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Campus UnisulVirtual – Educação Superior a Distância
Reitor Unisul
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor 
Sebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da 
Reitoria
Willian Máximo
Pró-Reitora Acadêmica
Miriam de Fátima Bora Rosa
Pró-Reitor de Administração
Fabian Martins de Castro
Pró-Reitor de Ensino
Mauri Luiz Heerdt
Campus Universitário de 
Tubarão 
Diretora
Milene Pacheco Kindermann
Campus Universitário da 
Grande Florianópolis 
Diretor 
Hércules Nunes de Araújo
Campus Universitário 
UnisulVirtual
Diretora
Jucimara Roesler
Equipe UnisulVirtual 
Diretora Adjunta
Patrícia Alberton 
Secretaria Executiva e Cerimonial
Jackson Schuelter Wiggers (Coord.)
Bruno Lucion Roso
Marcelo Fraiberg Machado
Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos 
Internacionais
Murilo Matos Mendonça
Assessoria DAD - Disciplinas a 
Distância 
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Carlos Alberto Areias
Franciele Arruda Rampelotti 
Luiz Fernando Meneghel
Assessoria de Inovação e 
Qualidade da EaD
Dênia Falcão de Bittencourt (Coord.)
Rafael Bavaresco Bongiolo
Assessoria de Relação com Poder 
Público e Forças Armadas
Adenir Siqueira Viana
Assessoria de Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.) 
Felipe Jacson de Freitas
Jefferson Amorin Oliveira
José Olímpio Schmidt 
Marcelo Neri da Silva 
Phelipe Luiz Winter da Silva
Priscila da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Coordenação dos Cursos
Auxiliares das coordenações
Fabiana Lange Patricio
Maria de Fátima Martins
Tânia Regina Goularte Waltemann
Coordenadores Graduação
Adriana Santos Rammê
Adriano Sérgio da Cunha 
Aloísio José Rodrigues 
Ana Luisa Mülbert 
Ana Paula R. Pacheco 
Bernardino José da Silva
Carmen Maria C. Pandini 
Catia Melissa S. Rodrigues
Charles Cesconetto 
Diva Marília Flemming 
Eduardo Aquino Hübler 
Eliza B. D. Locks
Fabiano Ceretta
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
Jorge Alexandre N. Cardoso
José Carlos N. Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto D. Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luciana Manfroi
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina Veit
Maria da Graça Poyer 
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça 
Myriam Riguetto
Nélio Herzmann 
Onei Tadeu Dutra 
Raulino Jacó Brüning 
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz M. Pinheiro
Tatiana Lee Marques
Thiago Coelho Soares
Valnei Campos Denardin
Roberto Iunskovski
Rose Clér Beche
Rodrigo Nunes Lunardelli
Coordenadores Pós-Graduação
Aloisio Rodrigues
Anelise Leal Vieira Cubas
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Nunes
Luiz Otávio Botelho Lento
Thiago Coelho Soares
Vera Regina N. Schuhmacher
Gerência Administração 
Acadêmica 
Márcia Luz de Oliveira (Gerente)
Fernanda Farias
Financeiro Acadêmico
Marlene Schauffer 
Rafael Back
Vilmar Isaurino Vidal
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Janaina Stuart da Costa
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Ricardo Mello Platt
 
Secretaria de Ensino a Distância 
Karine Augusta Zanoni 
(Secretária de Ensino) 
Giane dos Passos 
(Secretária Acadêmica)
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira 
Cristina Mara Shauffert
Djeime Sammer Bortolotti 
Douglas Silveira
Fabiano Silva Michels
Felipe Wronski Henrique
Janaina Conceição
Jean Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Maria José Rossetti 
Miguel Rodrigues da Silveira Junior
Monique Tayse da Silva
Patricia A. Pereira de Carvalho
Patricia Nunes Martins 
Paulo Lisboa Cordeiro
Rafaela Fusieger
Rosângela Mara Siegel 
Silvana Henrique Silva 
Vanilda Liordina Heerdt
 
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Naiara Jeremias da Rocha
Valmir Venício Inácio 
Gerência de Ensino, Pesquisa 
e Extensão
Moacir Heerdt (Gerente)
Aracelli Araldi Hackbarth
Elaboração de Projeto e 
Reconhecimento de Curso
Diane Dal Mago 
Vanderlei Brasil
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC) 
Mauro Faccioni (Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Clarissa Carneiro Mussi (Coord.)
Biblioteca 
Soraya Arruda (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Renan Felipe Cascaes
Rodrigo Martins da Silva
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Angelita Marçal Flores (Coord.)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Cláudia Behr Valente
Elaine Cristiane Surian
Juliana Cardoso Esmeraldino
Patrícia da Silva Meneghel 
Simone Perroni da Silva Zigunovas 
Monitoria e Suporte
Rafael da Cunha Lara (Coord.)
Anderson da Silveira
Angélica Cristina Gollo
Bruno Augusto Zunino
Claudia Noemi Nascimento
Débora Cristina Silveira
Ednéia Araujo Alberto 
Francine Cardoso da Silva
Karla F. Wisniewski Desengrini
Maria Eugênia Ferreira Celeghin
Maria Lina Moratelli Prado
Mayara de Oliveira Bastos
Patrícia de Souza Amorim
Poliana Morgana Simão
Priscila Machado
Gerência de Desenho 
e Desenvolvimento de 
Materiais Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Bruna de Souza Rachadel 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Desenho Educacional
Carmen Maria Cipriani Pandini 
(Coord. Pós)
Carolina Hoeller da S. Boeing 
(Coord. Ext/DAD) 
Silvana Souza da Cruz (Coord. Grad.) 
Ana Cláudia Taú 
Cristina Klipp de Oliveira 
Eloisa Machado Seemann 
Flávia Lumi Matuzawa
Gabriella Araújo Souza Esteves 
Giovanny Noceti Viana 
Jaqueline Cardozo Polla
Lis Airê Fogolari 
Lygia Pereira 
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marina Cabeda Egger Moellwald 
Marina Melhado Gomes da Silva 
Melina de la Barrera Ayres 
Michele Antunes Correa
Nágila Cristina Hinckel 
Roberta de Fátima Martins 
Sabrina Paula Soares Scaranto
Viviane Bastos 
Gerência de Logística 
Jeferson Cassiano A. da Costa 
(Gerente)
Andrei Rodrigues
Logística de Encontros Presenciais 
Graciele Marinês Lindenmayr (Coord.) 
Ana Paula de Andrade
Cristilaine Santana Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Edesio Medeiros Martins Filho
Fabiana Pereira
Fernando Oliveira Santos
Fernando Steimbach
Marcelo Jair Ramos
Logística de Materiais 
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraão do Nascimento Germano
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme Lentz
Pablo Farela da Silveira
Rubens Amorim
Gerência de Marketing 
Fabiano Ceretta (Gerente)
Alex Fabiano Wehrle
Sheyla Fabiana Batista Guerrer
Victor Henrique M. Ferreira (África)
Relacionamento com o Mercado
Eliza Bianchini Dallanhol Locks
Walter Félix Cardoso Júnior
Gerência de Produção 
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual 
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Adriana Ferreira dos Santos 
Alex Sandro Xavier
Alice Demaria Silva 
Anne Cristyne Pereira
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Frederico Trilha 
Higor Ghisi Luciano
Jordana Paula Schulka
Nelson Rosa
Patrícia Fragnani de Morais
Multimídia 
Sérgio Giron (Coord.)
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Dandara Lemos Reynaldo
Fernando Gustav Soares Lima 
Sérgio Freitas Flores
Portal
Rafael Pessi (Coord.)
Luiz Felipe Buchmann Figueiredo
Comunicação
Marcelo Barcelos
Andreia Drewes
Carla Fabiana Feltrin Raimundo
Produção Industrial
Francisco Asp (Coord.)
Ana Paula Pereira
Marcelo Bittencourt
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
James Marcel Silva Ribeiro (Gerente)
Atendimento
Maria Isabel Aragon (Coord.)
Andiara Clara Ferreira
André Luiz Portes
Bruno Ataide Martins
Holdrin Milet Brandao
Jenniffer Camargo
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Vanessa Trindade
Orivaldo Carli da Silva Junior
Estágio 
Jonatas Collaço de Souza (Coord.)
Juliana Cardoso da Silva
Micheli Maria Lino de Medeiros
Priscilla Geovana Pagani
Prouni
Tatiane Crestani Trentin (Coord.) 
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca| Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
matematica_financeira.indb 2 09/07/2010 11:10:19
Maurici José Dutra
Palhoça
UnisulVirtual
2010
Matemática Financeira
Livro didático 
Design Instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Revisão e atualização de conteúdo
Eduardo Alexandre Corrêa de Machado
8ª edição revista e atualizada
matematica_financeira.indb 3 09/07/2010 11:10:19
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
650.01513 
D97 Dutra, Maurici José
Matemática financeira : livro didático / Maurici José Dutra ; revisão 
e atualização de conteúdo Eduardo Alexandre Corrêa de Machado 
; design instrucional Daniela Erani Monteiro Will ; [assistente 
acadêmico Sabrina Paula Soares Scaranto]. – 8. ed. rev. e atual. – 
Palhoça : UnisulVirtual, 2010.
 266 p. : il. ; 28 cm. 
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 978-85-7817-123-0
1. Matemática financeira. I. Machado, Eduardo Alexandre 
Corrêa de. II. Will, Daniela Erani Monteiro. III. Scaranto, Sabrina 
Paula Soares. IV. Título.
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Maurici José Dutra
Revisão e Atualização de Conteúdo
Eduardo Alexandre Corrêa de Machado
(8ª edição revista e atualizada)
Design Instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Assistente Acadêmico
Sabrina Paula Soares Scaranto
(8ª edição revista e atualizada)
ISBN 978-85-7817-123-0
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Adriana Ferreira dos Santos
Delinea Tecnologia Educacional
(8ª edição revista e atualizada)
Revisão ortográfica e gramatical
B2B 
Copyright © UnisulVirtual 2010
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
matematica_financeira.indb 4 09/07/2010 11:10:19
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C . . . . . 17 
UNIDADE 2 – Fundamentos de matemática financeira . . . . . . . . . . . . . . . . 35
UNIDADE 3 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
UNIDADE 4 – Descontos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
UNIDADE 5 – Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
UNIDADE 6 – Taxas de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
UNIDADE 7 – Descontos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
UNIDADE 8 – Equivalência de capitais a juros compostos . . . . . . . . . . . 127
UNIDADE 9 – Sequência de capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
UNIDADE 10 – Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
UNIDADE 11 – Amortização de empréstimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
UNIDADE 12 – Inflação e correção monetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 219
Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Sumário
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matematica_financeira.indb 6 09/07/2010 11:10:19
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Matemática 
Financeira.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma 
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados 
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática 
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se de que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica caracterizada 
somente como a modalidade de ensino porque você optou para 
sua formação, pois, na relação de aprendizagem, professores e 
instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. Você 
tem à sua disposição diversas ferramentas e canais de acesso, 
tais como: telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de 
Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que 
for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e 
comodidade.
Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe 
atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
matematica_financeira.indb 7 09/07/2010 11:10:19
matematica_financeira.indb 8 09/07/2010 11:10:19
Palavras do professor
Caro aluno (a),
Gostaria de parabenizá-lo(a) pela sua escolha em fazer 
este curso. Certamente você terá condições de aprender 
tudo o que for necessário para o melhor aprimoramento 
em sua vida profissional.
A disciplina Matemática Financeira, na modalidade 
a distância, foi desenvolvida especialmente para você, 
levando em consideração os aspectos particulares da 
formação a distância. 
O material didático apresenta aspectos teóricos e cálculos 
financeiros dentre os quais destacamos: regimes de 
capitalização, descontos, depreciação, inflação e correção 
monetária e as diversas modalidades de empréstimos que 
são ferramentas fundamentais na gestão financeira de 
qualquer empresa ou pessoa.
Quanto ao seu rendimento e produtividade, sugerimos 
que antes de iniciar seus estudos, elabore um cronograma 
pessoal para que não se perca no tempo que irá despender 
com esta matéria.
Lembramos que você não está sozinho nesta caminhada, 
pois estaremos sempre à disposição para ajudá-lo.
Desejamos êxito na disciplina.
Bom estudo! 
 
Professor Maurici José Dutra
matematica_financeira.indb 9 09/07/2010 11:10:20
matematica_financeira.indb 10 09/07/2010 11:10:20
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo (a) no 
desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que 
o (a) ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a 
organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam, portanto a construção de competências 
se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
 � o livro didático.
 � o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA).
 � as atividades de avaliação (complementares, a 
distânciave presenciais).
 � o Sistema Tutorial.
Ementa
Juros simples e compostos. Descontos simples e 
compostos. Equivalência de capitais. Taxa: nominal, 
efetiva e equivalente. Empréstimos de curto e de longo 
prazos. Sistemas de dívidas. Correção monetária, 
amortização e depreciação. Equivalência de fluxo de 
caixa. 
Carga horária
4 créditos – 60 horas
matematica_financeira.indb 11 09/07/2010 11:10:20
12
Universidade do Sul de Santa CatarinaObjetivos da disciplina
Desenvolver os conceitos fundamentais e práticos da Matemática 
Financeira, fornecendo aos alunos um embasamento que servirá 
como pré-requisito para as futuras disciplinas nesta área.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação.
Unidades de estudo: 12
Unidade 1 - Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C
O uso da calculadora HP-12 em operações de matemática 
financeira é o tema desta unidade. Serão apresentadas operações 
básicas e a resolução de problemas financeiros com o auxílio da 
calculadora HP-12. 
Unidade 2 – Fundamentos de Matemática Financeira
Nesta unidade serão apresentados os conceitos e fundamentos 
da matemática financeira, como porcentagem, regime de 
capitalização e fluxo de caixa.
Unidade 3 – Juros Simples
Na Unidade 3 o tema será o regime de juro simples. Assim, serão 
apresentados a forma de calcular juros simples, comerciais e 
exatos, montante e valor atual e nominal.
Unidade 4 – Descontos Simples
Nesta unidade serão estudados os tipos de desconto simples, a relação 
entre os descontos simples racional e desconto simples bancário 
ou comercial e as taxas de desconto simples e de juros simples.
matematica_financeira.indb 12 09/07/2010 11:10:20
13
Matemática Financeira
Unidade 5 – Juros Compostos
O tema a ser desenvolvido nesta unidade será o regime de juros 
compostos. Serão apresentados a forma de realizar o cálculo do 
montande, do valor nominal e atual, dos juros, do capital, da 
taxa e do prazo e sua aplicabilidade em operações comerciais e 
financeiras.
Unidade 6 - Taxas de Juros
Existem diferentes formas de calcular as taxas de juros, as 
taxas equivalentes, taxas nominais e efetivas. Nesta unidade, 
você vai compreender de que forma realizar este cálculo e sua 
aplicabilidade.
Unidade 7 – Descontos Compostos
Os dois tipos de descontos compostos, o desconto racional ou por 
dentro além do desconto bancário ou comercial ou por fora e as 
taxas de descontos serão os assuntos abordados nesta unidade. 
Unidade 8 – Equivalência de Capitais a Juros Compostos
O tema de estudo desta unidade será as formas de equivalência 
de pagamentos, entre elas: equivalência de capitais a juros 
compostos, equivalência de dois capitais. A partir disso, você vai 
estudar também como calcular o valor atual de um conjunto de 
capitais.
Unidade 9 – Sequência de Capitais
Nesta unidade serão apresentadas as sequências uniformes de 
capitais. Com isso, você desenvolverá habilidade de cálculo, 
considerando as sequências estudadas: sequência uniforme 
de capitais, de termos postecipados, de termos antecipados, 
montante de uma sequência uniforme, diferida e sequência com 
parcelas adicionais.
Unidade 10 – Depreciação
Na unidade 10 você compreenderá o que é depreciação e as 
formas e métodos de realizar o cálculo deste fenômeno. Dentre 
os métodos, serão estudados o método de depreciação linear, de 
depreciação da taxa constante e o método de Cole. 
matematica_financeira.indb 13 09/07/2010 11:10:20
14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 11 – Amortização de Empréstimos
Serão apresentados, nesta unidade, os sistemas de amortização de 
empréstimos, o sistema de amortização constante, o sistema de 
amortização francês e o sistema de amortização americano e sua 
aplicabilidade.
Unidade 12 – Inflação e Correção Monetária
Na unidade 12 o tema de estudos é a inflação e as variáveis que a 
influenciam. Assim, você estudará, também, o índice de preço e a 
variação percentual de preço, a taxa de desvalorização da moeda, 
a taxa acumulada de inflação, a taxa aparente e a taxa real de 
juros e, por fim, a correção monetária.
Agenda de atividades/ Cronograma
 �Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura; 
da realização de análises e sínteses do conteúdo e da 
interação com os seus colegas e professor. 
 �Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 �Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
matematica_financeira.indb 14 09/07/2010 11:10:20
15
Matemática Financeira
Atividades obrigatórias 
Demais atividades (registro pessoal)
matematica_financeira.indb 15 09/07/2010 11:10:20
matematica_financeira.indb 16 09/07/2010 11:10:20
UNIDADE 1
Operações práticas com o uso 
da calculadora HP-12C
Objetivos de aprendizagem
� Utilizar corretamente as funções da calculadora HP-12C.
� Operar as funções básicas da calculadora HP-12C.
� Resolver os problemas financeiros usando a calculadora 
HP-12C.
Seções de estudo
Seção 1 Estudo da utilização da calculadora HP-12C
Seção 2 Operações básicas utilizando a calculadora 
HP-12C
Seção 3 Resolver problemas financeiros utilizando a 
calculadora HP-12C
1
matematica_financeira.indb 17 09/07/2010 11:10:20
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Caro aluno, nesta unidade, você estudará algumas operações 
práticas de matemática financeira utilizando a calculadora HP-
12C. Você aprenderá o manuseio básico desta calculadora, as 
suas operações básicas assim como a resolução de problemas 
financeiros mais complexos.
SEÇÃO 1 - Estudo da utilização da calculadora HP-12C 
Esta seção trata da utilização da calculadora HP-12C. Realizar 
cálculos financeiros sem uso de uma boa calculadora de qualidade 
é uma tarefa muito complicada. Uma calculadora muito utilizada 
por profissionais do mercado financeiro é a HP-12C, tendo em 
vista a facilidade de compreensão na realização de cálculos. A 
seguir, apresentaremos os procedimentos básicos necessários para 
o seu uso:
1. Para ligar a calculadora, pressione a tecla (ON).
2. Para apagar o que aparece no visor, pressione a tecla 
(CLX).
3. Para apagar todos os registros, pressione as teclas ( f ) 
(REG).
4. Para apagar as memórias financeiras, pressione as teclas 
( f ) (FIN).
5. Para introduzir um número no visor da calculadora, basta 
teclar o número e pressionar a tecla (ENTER).
6. Para armazenar um número na memória, tecle o número 
desejado e pressione as teclas (STO) e após qualquer 
dígito de “0” a “9” ou “.0” a “.9”.
7. Para buscar um número na memória, tecle (RCL) e o 
dígito que você usou para armazená-lo.
8. Para fixar a quantidade de casas decimais, tecle ( f ) e o 
dígito que vai representar o número de casas decimais 
desejada.
matematica_financeira.indb 18 09/07/2010 11:10:20
19
Matemática Financeira
Unidade 1
9. Para trocar no visor o ponto pela vírgula, deve-se 
desligar a calculadora e pressionar a tecla (.) juntamente 
com a tecla (ON) e soltar primeiramente a tecla (ON).
10. Para calcularmos o número de dias entre duas datas, 
limpe o visor da calculadora e digite a data inicial 
da seguinte maneira: dia mês e ano ( g ) (DMY) 
(ENTER) e digite a data final: dia mês e ano e use as 
teclas ( g ) ( ∆ DYS ).
1. Calcule o número de dias entre as datas: 03/01/2004 
e 23/08/2004.
Teclas Visor Observação
 Para limpar os registros.
03,012004 3,012004
23,082004 233,00 233 dias
SEÇÃO 2 - Operações básicas utilizando a calculadora 
 HP-12C
Nesta seção, você estudará algumas funções básicas da calculadora 
HP-12C, como operações aritméticas, o cálculo da potência, o 
cálculo do inverso de um número, o cálculo da raiz quadrada, o 
cálculo do logaritmo natural e o cálculo da porcentagem.
Operações aritméticas
Para efetuar as operações aritméticas simples, introduza o primeiro 
número e pressione a tecla (ENTER),introduza o segundo 
número e a operação a ser realizada. Os números deverão ser 
introduzidos obedecendo às regras das operações aritméticas.
matematica_financeira.indb 19 09/07/2010 11:10:22
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Calcule:
a) 80 X 5 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 80 (ENTER) 5 ( X ) 400 Produto
b) 16 – 18 6
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 16 (ENTER) 18( CHS ) 
(ENTER) 6 ( ) ( + ) 13
Apresenta o 
Resultado Final
Cálculo da potência
Para elevarmos um número a um expoente qualquer, basta 
pressionar as teclas: ( f ) (REG) ( Y ) (ENTER) ( X ) e Y X .
1. Calcule:
a) 36
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 3 (ENTER) 6 (Y X ) 729 Potência
b) 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 1(ENTER) 3 ( ) (ENTER) 5 Y X 0,004115 Potência
Cálculo do inverso de um número
Para calcular o inverso de um número basta introduzir um 
número X e pressionar a tecla 1
X
 .
matematica_financeira.indb 20 09/07/2010 11:10:25
21
Matemática Financeira
Unidade 1
1. Calcule o inverso de 12: 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 12 [ 1 X ] 0,083333 Inverso
Cálculo da raiz quadrada
Para calcular a raiz quadrada, utilizando a calculadora HP-12C, 
basta introduzir um número X > 0 e pressionar as teclas: ( g )
( X ).
1. Calcule a raiz quadrada de 16. 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 16 ( g ) X 4 Raiz quadrada
Atenção!
Quando queremos calcular raiz cúbica, raiz quarta, 
etc. de um número X, usamos o procedimento da 
potenciação.
1. Calcule a raiz cúbica de 27. 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 27 (ENTER) 3 ( 1 X ) (Y X ) 3 Raiz cúbica
Cálculo do logaritmo natural
Para calcularmos o logaritmo natural de um número X > 0, basta 
introduzir na calculadora HP-12C um número e pressionar as 
teclas: ( g ) ( ln ).
matematica_financeira.indb 21 09/07/2010 11:10:26
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Calcule o logaritmo natural do número 5. 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5 ( g ) ( ln ) 1,609438 Logaritmo natural
Cálculo de porcentagem
Para calcularmos a porcentagem de um número, basta digitar 
o número X e pressionar a tecla (ENTER) na calculadora, 
introduzir a porcentagem e pressionar ( % ).
1. Calcule 25% de 200. 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 200 (ENTER) 25 ( % ) 50 Valor da Porcentagem
2. Se uma mercadoria é vendida por R$1.800,00 para 
pagamento em 30 dias. Qual o valor à vista se a loja 
oferece um desconto de 12 %?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 1800 (ENTER) 12 ( % )( - ) 216 1584
SEÇÃO 3 - Resolver problemas financeiros utilizando a 
 calculadora HP-12C
Nesta seção, você estudará como calcular, utilizando a 
calculadora HP-12C, o regime de capitalização simples, o regime 
de capitalização composta, assim como as sequências uniformes 
de termos postecipados e antecipados.
matematica_financeira.indb 22 09/07/2010 11:10:26
23
Matemática Financeira
Unidade 1
Considere estas teclas da calculadora HP-12C como essenciais para a 
resolução de problemas financeiros
n = prazo
i = taxa de juros por período de capitalização
PV = valor presente (capital inicial)
PMT = valor da prestação da série uniforme
FV = valor futuro (montante)
Regime de capitalização simples
Para calcular os juros simples na HP-12C, execute procedimentos 
análogos aos exemplos seguintes. Lembre-se: a taxa deve ser 
anual e o prazo em dias.
1. Calcule os juros simples e o montante de um capital 
de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa de 15% a.a. 
durante 210 dias. 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital
210 ( n ) 210 Prazo
15 ( i ) 15 Taxa
( f ) ( INT ) 218,75 Juros
+ 2718,75 Montante
2. Calcule os juros simples exatos e o montante de 
um capital de R$ 2.500,00 aplicado durante 210 dias a 
uma taxa de 15% a.a.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital
210 ( n ) 210 Prazo
15 ( i ) 15 Taxa
( f ) ( INT ) ( R ↓ ) ( X Y<
> ) 215,75 Juros
+ 2715,75 Montante
matematica_financeira.indb 23 09/07/2010 11:10:28
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Regime de capitalização composta
No regime de capitalização composta, usamos as teclas brancas. 
Para calcular o regime de capitalização composta utilizando 
a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos 
exemplos seguintes.
1. Qual o montante obtido pela aplicação de um 
capital de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos 
de 2,5% a.m. durante 6 meses? 
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5000 ( CHS ) ( PV ) -5000 Capital
6 ( n ) 6 Prazo
2,5 ( i ) 2,5 Taxa
( F V ) 5798,47 Montante
2. Calcule os juros de um empréstimo de R$ 
100.000,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros 
compostos de 4,5% a.m.
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 100000 ( CHS ) ( PV ) -100000 Capital
8 ( n ) 8 Prazo
4,5 ( i ) 4,5 Taxa
( F V ) 142210,06 Montante
(RCL) (PV) ( + ) 42210,06 Juros
3. Se um capital de R$ 130.000,00 foi aplicado a 
juros compostos em um fundo que rende 1,8% 
a.m. e sabendo-se que o valor de resgate foi de R$ 
144.687,17, qual o prazo da aplicação?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 130000 ( CHS ) ( PV ) -130000 Capital
1,8 ( i ) 1,8 Taxa
144687,17 (FV) 144687,17 Montante
( n ) 6 Prazo
matematica_financeira.indb 24 09/07/2010 11:10:28
25
Matemática Financeira
Unidade 1
4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 300.000,00 para 
ser paga daqui a 2 anos. A taxa de juros do mercado é 
de 23% a.a. Quanto esta pessoa deverá depositar hoje 
para fazer frente a este compromisso?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 300000 ( CHS ) ( FV ) -300000 Montante
23 ( i ) 23 Taxa
2 ( n ) 2 Prazo
( PV ) 198294,66 Capital
5. Um capital de R$ 250.000,00 é emprestado a uma 
taxa de juros compostos de 16% a.a. pelo prazo de 3 
anos e 8 meses. Qual o montante pelas convenções 
linear e exponencial? 
Convenção Linear
(sem a letra c no visor)
 
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 250000 ( CHS ) ( PV ) -250000 Capital
3,666667 ( n ) 3,666667 Prazo
16 ( i ) 16 Taxa
( FV ) 431847,91 Montante
Convenção Exponencial
(Com a letra c no visor) 
Para cálculos pela convenção exponencial na HP-12C 
é necessário introduzir no visor a letra “ c ”. Para isto, 
basta pressionar as teclas (STO) (EEX).
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) (STO)(EEX) 0,000000 c Introdução da letra c
250000 (CHS) (PV) -250000 c Capital
3,666667 ( n ) 3,666667 c Prazo
16 ( i ) 16 c Taxa
( FV ) 430810,21 c Montante
matematica_financeira.indb 25 09/07/2010 11:10:28
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Sequências uniformes
As sequências uniformes de termos, postecipados e antecipados, 
também podem ser calculadas com a calculadora HP-12C. 
Sequência uniforme de termos postecipados
Para calcular a sequência uniforme de termos postecipados 
utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos 
análogos aos exemplos seguintes.
1. Uma loja vende uma mercadoria em 8 prestações 
mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga 
30 dias após a compra. A taxa de juros é de 4,5% a.m.. 
Qual o preço da mercadoria à vista?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 300(CHS) (PMT) -300 Prestação
8 ( n ) 8 Prazo
4,5 ( i ) 4,5 Taxa
( PV ) 1978,76 Preço à vista
2. Um correntista deposita ao final de cada mês a 
quantia de R$ 5.000,00. Durante 10 meses, o banco 
remunera com uma taxa de juros compostos de 2,8% 
a.m.. Qual o montante ao final do último depósito?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 5000 (CHS) (PMT) -5000 Prestação
10 ( n ) 10 Prazo
2,8 ( i ) 2,8 Taxa
( FV ) 56794,24 Montante
matematica_financeira.indb 26 09/07/2010 11:10:28
27
Matemática Financeira
Unidade 1
3. Um correntista deposita em um fundo durante 
10 meses uma certa quantia. O saldo final é de R$ 
50.000,00. Sabendo que o banco remunera com uma 
taxa de juros compostos 1,8% a.m., pergunta-se: qual 
o depósito mensal do correntista?
Tecla Visor Resultado
( f ) (REG) 50000 (CHS) (FV) -50000, Montante
10 ( n ) 10 Prazo
1,8 ( i ) 1,8 Taxa
( PMT ) 4608,24 Depósito
Sequência uniforme de termos antecipados
Nas sequências uniformesde termos antecipados, use as teclas 
( g ) (BEG), aparecendo no visor a expressão (BEGIN). Para 
calcular a sequência uniforme de termos antecipados, utilizando a 
calculadora HP-12C, execute procedimento análogo ao exemplo 
seguinte.
1. Uma loja vende uma mercadoria em 5 prestações 
mensais e iguais de R$580,00 sendo a primeira dada 
como entrada. A loja trabalha com uma taxa de juros 
compostos de 1,3% a.m.. Qual o preço da mercadoria 
à vista?
Tecla Visor Resultado
 ( g ) (BEG)
0,000000 
(BEGIN)
Introdução da 
palavra BEGIN
( f ) (REG) 580 (CHS) (PMT) -580 Prestação
5 ( n ) 5 Prazo
1,3 ( i ) 1,3 Taxa
( PV ) 2826,52 Preço à Vista
matematica_financeira.indb 27 09/07/2010 11:10:28
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Leia com atenção as questões propostas e resolva-as utilizando a 
calculadora HP-12C.
1) Resolva as expressões numéricas:
a) 1 10 5 2+ + . 
b) 5 729+
c) 27 2 3 23 + ÷.
d) 3 1
9
2 + 
e) ln ln2 15+ 
matematica_financeira.indb 28 09/07/2010 11:10:30
29
Matemática Financeira
Unidade 1
2) Calcule 15% de R$ 1.060,00. 
3) Uma mercadoria é vendida por R$ 18.000,00 para pagamento em 2 
meses. À vista, a loja oferece um desconto de 25%. Qual o preço da 
mercadoria à vista? 
 
4) Qual o número de dias entre as datas: 21/03/2004 e 25/09/2004? 
matematica_financeira.indb 29 09/07/2010 11:10:30
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Uma pessoa nasceu no dia 22/03/1972 e faleceu em 25/06/2004, 
quantos dias esta pessoa viveu?
 
6) Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 25.000,00 
aplicado a uma taxa de 12% a.a. durante 3 meses.
 
7) Quais os juros simples exatos de uma aplicação de R$ 4.320,00 durante 
830 dias a uma taxa de 30% a.a..
 
matematica_financeira.indb 30 09/07/2010 11:10:30
31
Matemática Financeira
Unidade 1
8) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 22.500,00 a uma taxa de 
juros compostos de 3,2% a.m., durante 25 meses.
 
9) Calcule os juros compostos de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 2 
anos e 3 meses a uma taxa de 5% a.t..
 
10) Maria aplicou R$ 35.500,00 em um banco que paga uma taxa de juros 
compostos de 26% a.a. durante 20 meses. Determine o montante 
recebido utilizando as convenções linear e exponencial. 
 
matematica_financeira.indb 31 09/07/2010 11:10:30
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Gustavo emprestou a quantia de R$ 1.545,00 a seu amigo. A taxa 
cobrada pelo empréstimo foi de 25% a.a. e o prazo de 3 anos e 5 
meses. Calcule o valor que Gustavo obteve pelas convenções linear e 
exponencial. 
 
12) Qual o montante obtido ao efetuarmos 20 depósitos de R$ 1.200,00 
iguais e mensais a uma taxa de 3,1% a.m.? 
 
13) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 12.000,00, mas a mesma 
pode ser financiada em 6 prestações mensais e iguais de R$ 2.400,00 
cada, sendo a primeira dada como entrada. Qual a taxa mensal de juros 
do financiamento? 
 
matematica_financeira.indb 32 09/07/2010 11:10:30
33
Matemática Financeira
Unidade 1
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C 
para resolver os problemas financeiros, tais como operações 
aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um 
número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural 
e o cálculo da porcentagem. Você também aprendeu como calcular 
o regime de capitalização simples, o regime de capitalização 
composta, assim como as sequências uniformes de termos 
postecipados e antecipados – utilizando a calculadora HP-12C.
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente o uso da calculadora 
HP-12C, utilize as seguintes bibliografias:
 � BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 
2002.
 � GUERRA, Fernando. Matemática financeira através 
da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997.
 � HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 � PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira, 
objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
 � SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
 � SHINODA, Carlos. Matemática financeira para 
usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
 � ZENTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP-12c. 
São Paulo: Atlas. 1994.
matematica_financeira.indb 33 09/07/2010 11:10:30
matematica_financeira.indb 34 09/07/2010 11:10:30
UNIDADE 2
Fundamentos de matemática 
financeira
Objetivos de aprendizagem
� Compreender os conceitos fundamentais de matemática 
financeira.
� Classificar e identificar os regimes de capitalização.
Seções de estudo
Seção 1 O que é porcentagem?
Seção 2 Regimes de formação dos juros
Seção 3 Fluxo de caixa
2
matematica_financeira.indb 35 09/07/2010 11:10:30
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, 
é necessário que você fique familiarizado com o significado 
de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da 
mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos 
relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como 
porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como 
realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - O que é porcentagem?
Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também 
conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática 
financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros. 
Porcentagem (percentagem)
A expressão por cento é usada para indicar uma fração cujo 
denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das 
razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é 
substituir o denominador 100 pelo símbolo %.
1. 
30
100
30= % (Trinta por cento).
2. 
5
100
5= % (Cinco por cento).
3. Transformação da forma porcentual para a forma 
unitária.
Forma porcentual Transformação Forma unitária
30%
30 
100 0,30
5%
5 
100 0,05
12,2%
122 
100 0,122
matematica_financeira.indb 36 09/07/2010 11:10:31
37
Matemática Financeira
Unidade 2
Como se calcula a porcentagem de uma quantia?
Quando estamos resolvendo um problema que envolva 
porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de 
proporção.
1. Qual é o valor de 35 % de 70?
Fórmula Teclas Visor Observação
35
100 70
35 70
100
24 5
=
= =
x
x . ,
 
(Aqui usando a
 forma porcentual)
35 35,00
70 2.450,00
100 24,50
ou
Teclas Visor Observação
70 70,00
35 24,50
 
2. Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à 
quantia de R$ 40,00?
Fórmula Teclas Visor Observação
160
40
1
40
160
0 25 25
=
= = =
x
x , %
 
(Agora usando a
 forma unitária)
40 40,00
160 0,25
100 25%
matematica_financeira.indb 37 09/07/2010 11:10:32
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
ou
Teclas Visor Observação
160 40,00
40 25,00 Igual a 25%.
3. Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos 
são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos 
são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais 
escrevendo a proporção)
Fórmula Teclas Visor Observação
x
x meninos
=
=
0 65 1600
1040
, . 0,65 0,65
1600 1.040,00
ou
Teclas Visor Observação
1600 1.600,00
65 1.040,00
matematica_financeira.indb 38 09/07/2010 11:10:33
39
Matemática Financeira
Unidade 2
Termos importantes usados na matemática financeira
Observe estes termos próprios da matemática financeira, abaixo, 
e a utilização destes, na sequência.
Capital (C) Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma determinada data.
Juros (J) Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo.
Prazo (n) Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado.
Montante (M) Soma do capital aplicado mais os juros. M C J= +
Taxa de juros (i)
É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A 
cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.i J
C
=
Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em 
uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a 
taxa de juros do período?
Fórmula Teclas Visor Observação
J
C
n meses
i
i
i a p
ou
=
=
=
= =
=
=
4500
60000
2
4 500
60 000
0 075
7 5
7 5
.
.
,
, % . .
, % aa b. .
4500 4.500,00
60000 0,075
100 7,50 7,5% a.b.
matematica_financeira.indb 39 09/07/2010 11:10:34
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
Comparações simples de operações aritméticas com 
quantias que estejam em datas diferentes ficam 
inviáveis, quando estudamos matemática financeira.
SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros
Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se 
aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa pre-
estabelecida por período, este capital se transformará em um 
valor chamado montante de acordo com duas convenções:
 � regime de juros simples;
 � regime de juros compostos.
Regime de juros simples
No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos 
levando sempre em conta somente o capital inicial (principal).
Regime de juros compostos
Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados 
ao capital inicial, formando um novo capital que participará da 
geração de juros no próximo período.
Atenção!
Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o 
regime de juros compostos passa a denominar-se 
regime de capitalização composta.
Exemplo
matematica_financeira.indb 40 09/07/2010 11:10:34
41
Matemática Financeira
Unidade 2
Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa 
de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, 
obtemos os seguintes resultados:
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0 - 3.000,00 - 3.000,00
1 360,00 3.360,00 360,00 3.360,00
2 360,00 3.720,00 403,20 3.763,20
3 360,00 4.080,00 451,58 4.214,78
4 360,00 4.440,00 505,77 4.720,56
SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa
Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma 
operação financeira é representado por um eixo horizontal no 
qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um 
instante inicial (origem).
As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas 
para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são 
representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas 
para baixo.
Modelo Simplificado 
(+) entrada
0 tempo (n)
(-) saída
matematica_financeira.indb 41 09/07/2010 11:10:35
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade 
bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. 
Apresente o fluxo de caixa na visão do aplicador e do 
captador.
Visão do aplicador
33.200
0 6
30.000
Visão do captador
 
Atividades de autoavaliação
Agora que você já estudou toda a unidade 2, realize as atividades de auto-
avaliação propostas.
1) Converta para a forma porcentual:
0,36 - ...................
1,25 - ...................
2) Converta para a forma unitária:
12% - ....................
212% - ..................
3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de 
juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na 
forma porcentual? 
matematica_financeira.indb 42 09/07/2010 11:10:35
43
Matemática Financeira
Unidade 2
 
4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos 
montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a 
uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta.
 
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0
1
2
3
4
5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa 
de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o 
fluxo de caixa na ótica do investidor e do captador. 
matematica_financeira.indb 43 09/07/2010 11:10:35
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Ao finalizar esta unidade, você deve ter compreendido os 
conceitos e regras apresentados, pois serão muito úteis na 
continuação da disciplina.
Você aprendeu alguns fundamentos da matemática financeira, 
como a porcentagem e certos termos importantes como capital, 
juros, prazo, montante e taxa de juros; o regime de formação de 
juros (juros simples e juros compostos); e o fluxo de caixa e sua 
representação gráfica.
Na próxima unidade você estudará mais profundamente cada 
regime de capitalização. Até lá!
Saiba mais
Para você aprimorar ainda mais seus conhecimentos acerca dos 
temas estudados nesta unidade, consulte os seguintes livros:
 � BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira 
aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.
 � CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 � HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 � MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
matematica_financeira.indb 44 09/07/2010 11:10:35
UNIDADE 3
Juros simples
Objetivos de aprendizagem
� Resolver problemas envolvendo juros simples e 
montante.
� Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros 
exatos e comerciais).
� Converter taxas de juros.
� Entender o conceito de valor atual e valor nominal e 
calculá-los.
Seções de estudo
Seção 1 Juros simples
Seção 2 Montante
Seção 3 Taxas proporcionais
Seção 4 Juros simples exatos e comerciais ou 
bancários
Seção 5 Valor nominal e valor atual
Seção 6 Equivalência de capitais a juros simples
3
matematica_financeira.indb 45 09/07/2010 11:10:35
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Uma vez que você já se habituou aos termos básicos desta 
disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você 
está pronto para aprofundá-los. Nesta unidade, você desenvolverá 
um estudo simplificado do regime de juro simples, considerando 
um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, 
montante e valor atual e nominal.
SEÇÃO 1 - Juros simples
Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros 
simples, ficou estabelecido que:
 � O juro é produzido unicamente pelo capital inicial 
(principal).
 � O juro é igual em todos os períodos (constantes).
Conheça, agora, como se calcula os juros simples.
Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples 
J C i
J C i C i C i
J C i C i C i C i
J C i n
Então
J
n
1
2
3
2
3
=
= + =
= + + =
=
.
. . .
. . . .
.
.
.
. .
:
== C i n. .
Atenção!
“Para calcular juros simples na capitalização simples da HP 
12C deveremos adotar o seguinte padrão: Quando inserir 
os dados nas teclas financeiras, o prazo (n) deverá ser 
sempre em dias e a taxa (i) deverá estar sempre em ano”.
matematica_financeira.indb 46 09/07/2010 11:10:36
47
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição 
bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 
2,4% a.m. Qual o juro auferido?
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a m
n meses
J C i n
J
J R
=
= =
=
=
=
=
15000
2 4 0 024
10
15000 0 024 10
, % , . .
. .
. , .
$$ ,3600 00
15000 15.000,00
0,024 0,024
10 3.600,00
ou
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros
15000 -15.000,00
2,4 2,40 Taxa juros mensal
12 28,80 Taxa juros anual
10 10,00 Período em meses
30 300,00 Período em dias
 3.600,00 Juros auferidos
matematica_financeira.indb 47 09/07/2010 11:10:37
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 
50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a t
n anos
n trimestres
J C i n
J
=
= =
= =
=
=
=
50000
6 0 06
3
12
50000 0
% , . .
. .
. ,, .
$ . ,
06 12
36 000 00J R=
50000 50.000,00
0,06 0,06
12 36.000,00
ou
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros
50000 -50.000,00
6 6,00 Taxa juros trimestral
4 24,00 Taxa juros anual
3 3,00 Período em anos
360 1.080,00 Período em dias
 36.000,00Juros auferidos
matematica_financeira.indb 48 09/07/2010 11:10:38
49
Matemática Financeira
Unidade 3
3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, 
sabendo-se que o rendimento obtido na operação 
será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato 
é de 2% a.m. durante 2 anos.
Fórmula Teclas Visor Observação
C
J
i a m
n anos
n meses
J C i n
C J
i n
C
=
=
= =
= =
=
=
=
=
?
% , . .
. .
.
2400
2 0 02
2
24
2400
00 02 24
5000 00
, .
$ ,C R=
2400 2.400,00
0,02 0,02
24 5.000,00
Atenção!
 � Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja 
colocada na forma unitária.
 � A taxa de juros e o número de períodos (n) devem 
estar sempre na mesma unidade de tempo.
 � Quando a taxa e o prazo estão em unidades de 
tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre 
o prazo.
 � Nada muda na forma de calcular os juros simples 
quando o período for fracionário.
matematica_financeira.indb 49 09/07/2010 11:10:39
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 2 - Montante
Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é 
montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um 
capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos 
juros.
Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de 
juros simples 
 
M C J então
como M C C i n
J C i n M C i n
= +
= +
= = +( )
:
: . .
. . .1
1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros 
simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o 
montante adquirido?
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a a
n anos
M
M C i n
M
M
=
= =
=
=
= +( )
= +( )
18000
6 0 06
3
1
18000 1 0 06 3
% , . .
?
.
, .
== +( )
=
=
18000 1 0 18
18000 1 18
21240 00
,
. ,
$ ,
M
M R
18000 18.000,00
1 1,00
0,06 0,06
3 21.240,00
ou
matematica_financeira.indb 50 09/07/2010 11:10:40
51
Matemática Financeira
Unidade 3
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros
18000 -18.000,00
6 6,00 Taxa juros anual
3 3,00 Período em anos
360 1.080,00 Período em dias
 3.240,00 Juros auferidos
21.240,00 Montante (capital + juros)
2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à 
taxa de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 
7.000,00. Determine o prazo da aplicação.
Fórmula Teclas Visor Observação
M
C
i a m
n
M C i n
i n M
C
i n M
C
n
M
C
=
=
= =
=
= +( )
+ =
= −
=
7000
4000
5 0 05
1
1
1
% , . .
?
.
.
.
−−
=
−
= −
= =
1
7000
4000
1
0 05
1 75 1
0 05
0 75
0 05
15
i
n
n
n meses
,
,
,
,
,
7000 7.000,00
4000 1,75
1 0,75
0,05 15,00 15 meses
matematica_financeira.indb 51 09/07/2010 11:10:41
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como podemos resolver este problema por 
outra forma:
Fórmula Teclas Visor Observação
M C J
J M C
J
J
J C i n
n J
C i
n
n
= +
= −
= −
=
=
=
=
=
7000 4000
3000
3000
4000 0 05
3
. .
.
. ,
0000
200
15n meses=
3000 3.000,00
4000 4.000,00
0,05 15,00 15 meses
SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais
Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais. Você 
sabe quando duas taxas são proporcionais?
Atenção!
Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples 
quando 
Em certas literaturas 
especializadas utiliza-se 
a nomenclatura taxas 
proporcionais ou 
equivalentes a juros simples.
matematica_financeira.indb 52 09/07/2010 11:10:42
53
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 
24% a.a.?
Fórmula Teclas Visor Observação
i
i
i a m
m
m
m
24
1
12
24
12
2
%
%
% .
=
=
=
24 24,00
12 2.00 2%
2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 
2% a.m.?
i
i a a
a
a
2
12
1
2 12 24
%
% . % . .
=
= =
SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou 
bancários
Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros 
simples comerciais ou bancários.
Juros simples exatos
Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes 
características:
 � o prazo é contado em dias;
 � mês = número real de dias conforme calendário;
 � ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto).
matematica_financeira.indb 53 09/07/2010 11:10:43
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você sabe como se deve contar os dias entre 
duas datas?
Para determinarmos o número de dias entre 
duas datas, devemos subtrair o número de dias 
correspondente à data posterior do número de dias 
da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos 
acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando 
o final do mês de fevereiro estiver envolvido no 
prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, 
comentaremos se o ano for bissexto.
Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
matematica_financeira.indb 54 09/07/2010 11:10:44
55
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Ache os juros simples auferidos em uma aplicação 
de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril 
de 2003 à 1ª de julho de 2003.
Usando a tabela temos:
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
 
 
 
 
 
matematica_financeira.indb 55 09/07/2010 11:10:44
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Fórmula Teclas Visor Observação
n
n
= −
=
182 110
72
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
15000 0 16 72
365
473 42
15000 15.000,00
0,16 0,16
72 72,00
365 473,42
ou
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros15000 -15.000,00
16 16,00 Taxa juros anual
72 72,00 Período em dias
 480,00 Juros auferidos
 473,42 Juros exatos acumulados
matematica_financeira.indb 56 09/07/2010 11:10:46
57
Matemática Financeira
Unidade 3
2. Determine o juro simples exato obtido em uma 
aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 
9% a.a.
Fórmula Teclas Visor Observação
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
13300 0 09 146
365
478 80
13300 13.300,00
0,09 0,09
146 146,00
365 478,80
ou
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros
13300 -13.300,00
9 9,00 Taxa juros anual
146 146,00 Período em dias
 485,45 Juros auferidos
 478,80 Juros exatos acumulados
matematica_financeira.indb 57 09/07/2010 11:10:47
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
Juros simples comercial
Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes 
características:
 � mês = 30 dias. 
 � ano civil = 360 dias.
Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, 
usaremos os juros comerciais.
1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação de 
R$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% 
a.m.?
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a m
i a m
n ano e meses
n meses
J C i n
J
=
=
=
=
=
=
66000
2 2
0 022
1 2
14
, % . .
, . .
. .
==
=
66000 0 022 14
20 328 00
. , .
$ . ,J R
66000 66.000,00
0,022 0,022
14 20.328.00
ou
matematica_financeira.indb 58 09/07/2010 11:10:48
59
Matemática Financeira
Unidade 3
Teclas Visor Observação
 0,00 Limpa registradores financeiros
66000 -66.000,00
2,2 2,20 Taxa juros mensal
12 26,40 Taxa juros anual
14 14,00 Período em meses
30 420,00 Período em dias
 20.328,00 Juros auferidos
2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 
3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00?
Fórmula Teclas Visor Observação
J
i a m
i a m
n ano e meses
n meses
J C i n
C J
i n
=
=
=
=
=
=
=
900
3
0 03
1 3
15
% . .
, . .
. .
.
CC
C R
=
=
900
0 03 15
2000 00
, .
$ ,
900 900,00
0,03 0,03
15 2.000.00
matematica_financeira.indb 59 09/07/2010 11:10:49
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual
Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um 
compromisso financeiro.
Valor nominal
O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do 
compromisso financeiro na data de seu vencimento.
Valor atual
O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso 
financeiro em uma data anterior a de seu vencimento.
Fluxo de caixa
O seguinte gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o 
valor nominal e o valor atual.
N
V 0 n
Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual 
no regime de juros simples 
 
 
 
N V J
N V V i n
N V i n
= +
= +
= +( )
. .
.1
V N
i n
=
+1 .
matematica_financeira.indb 60 09/07/2010 11:10:50
61
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. 
Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., 
calcule o seu valor atual nas seguintes datas:
a) hoje;
b) 2 meses antes do vencimento;
c) daqui a 3 meses. 
a) Hoje. 
 
 
48000
V=? 0
10
Fórmula Teclas Visor Observação
V N
i n
V
V
V R
=
+
=
+
= =
=
1
48000
1 0 02 10
48000
1 2
40 000 00
.
, .
,
$ . ,
48000 48.000,00
1 1,00
0,02 0,02
10 40.000,00
matematica_financeira.indb 61 09/07/2010 11:10:51
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) Dois meses antes do vencimento. 
 
 
48000
V=? 8
10
Fórmula Teclas Visor Observação
V N
i n
V
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 2
46 153 85
.
, .
$ . ,
48000 48.000,00
1 1,00
0,02 0,02
2 46.153,85
matematica_financeira.indb 62 09/07/2010 11:10:52
63
Matemática Financeira
Unidade 3
 
c) Daqui a 3 meses.
 
 
 
48000
V=? 3 10
Fórmula Teclas Visor Observação
V N
i n
V
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 7
42 105 26
.
, .
$ . ,
48000 48.000,00
1 1,00
0,02 0,02
7 42.105,26
2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor 
nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui 
a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de 
rentabilidade do aplicador? 
matematica_financeira.indb 63 09/07/2010 11:10:53
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Fórmula Teclas Visor Observação
N
V
n meses
N V i n
i
i
=
=
=
= +( )
= +( )
+ =
18000
16000
6
1
18000 16000 1 6
1 6 18
.
.
. 0000
16000
1 6 1 125
6 1 125 1
6 0 125
0 125
6
0 0208
2 08
+ =
= −
=
= =
=
i
i
i
i
i
,
,
,
, ,
, %% . .a m
18000 18.000,00
16000 1,125
1 0,125
6 0,0208
100 2,08 2,08% a.m.
SEÇÃO 6 - Equivalência de capitais a juros simples
Sejam os seguintes conjuntos de capitais e . 
Dizemos que dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros 
simples numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, 
quando apresentam valores atuais iguais.
Fluxo de caixa
matematica_financeira.indb 64 09/07/2010 11:10:54
65
Matemática Financeira
Atenção!
Se mudarmos a data focal, a equivalência dos 
conjuntos de capitais não será mantida.
1) Um empresário tem os seguintes compromissos a 
pagar:
 � R$ 3.000,00 daqui a 4 meses
 � R$ 5.000,00 daqui a 8 meses
 � R$ 12.000,00 daqui a 12 meses
O empresário propõe trocar esses débitos por dois 
pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro 
para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros 
simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular 
o valor de cada pagamento.
Fluxo de caixa
matematica_financeira.indb 65 09/07/2010 11:10:55
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Fórmula Teclas Visor Observação
1 1,00
0,05 0,05
3 1,15
Fórmula Teclas Visor Observação
3000 3.000,00
1 1,00
0,05 0,05
5 3.750,00
matematica_financeira.indb 66 09/07/2010 11:10:55
67
Matemática Financeira
Unidade 3
Fórmula Teclas Visor Observação
5000 5.000,00
1 1,00
0,05 5.250,00
Fórmula Teclas Visor Observação
12000 12.000,00
1 1,00
0,05 0,05
3 10.434,78
Fórmula Teclas Visor Observação
3750 3.750,00
5250 5.250,00
10434,78 19.434,78
matematica_financeira.indb 67 09/07/2010 11:10:56
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Fórmula Teclas Visor Observação
19434,78 19.434,78
2,15 9.039,43
Atividades de autoavaliação
A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades 
programadas para a sua autoavaliação.
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 
10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos? 
2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado 
a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 
6.728,00? 
matematica_financeira.indb 68 09/07/2010 11:10:56
69
Matemática Financeira
3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se 
obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. 
durante 24 meses? 
 
4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em 
regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa 
mensal obtida na aplicação?
 
5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação financeira 
no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro 
de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e 
comerciais da operação?
 
matematica_financeira.indb 69 09/07/2010 11:10:56
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições:
•	 R$	6.000,00	aplicados	por	180	dias	a	12%	a.a.
•	 R$	5.200,00	aplicados	por	230	dias	a	15%	a.a.
 
7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição 
bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros simples 
de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata?
 
8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do 
dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de 
juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com 
uma taxa de 16% a.a.?
matematica_financeira.indb 70 09/07/2010 11:10:56
71
Matemática Financeira
9) Hoje um comerciante tem duas dívidas: uma de R$ 6.000,00 com 
vencimentopara daqui a 35 dias e outra de R$ 10.000,00 que vence em 
48 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais com 
prazo de 60 e 120 dias, respectivamente. Considerando juros simples de 
12% a.a. e a data focal de (120° dia), calcule o valor de cada pagamento.
10) Uma empresa deve a uma instituição financeira as seguintes quantias:
 � R$ 6.500,00 daqui a 3 meses.
 � R$ 8.000,00 daqui a 8 meses.
Calcule o valor dessas dívidas considerando a taxa de juros simples de 
18% a.a. e a data focal (180° dia).
matematica_financeira.indb 71 09/07/2010 11:10:56
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você estudou com profundidade os diversos 
tipos de juros simples, os juros simples exatos e comerciais, bem 
como montante, equivalência de taxas além de valor atual e valor 
nominal. 
Você também aprendeu a calcular juros simples, exatos e 
comerciais, e a converter taxas de juros. Você ainda estudou a 
distinção entre valor atual e valor nominal e como calculá-los.
Na unidade seguinte, você estudará os diversos tipos de descontos 
simples. Bom estudo!
Saiba mais
Para você aprofundar-se ainda mais nos temas estudados na 
unidade, consulte as bibliografias:
 � ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e 
suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001. 
 � BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira 
aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.
 � CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 � HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 � MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
matematica_financeira.indb 72 09/07/2010 11:10:56
UNIDADE 4
Descontos simples
Objetivos de aprendizagem
� Compreender o conceito de desconto simples.
� Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples 
(comercial e racional).
� Relacionar os tipos de descontos simples.
� Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros 
simples.
Seções de estudo
Seção 1 Descontos
Seção 2 Relação entre desconto simples racional e 
desconto simples bancário (comercial)
4
matematica_financeira.indb 73 09/07/2010 11:10:57
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de 
desconto simples, a relação entre os descontos simples racional 
e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de 
desconto simples e de juros simples.
SEÇÃO 1 - Descontos
Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto 
simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário 
ou comercial (por fora). 
Descontos Simples
Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma 
dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do 
vencimento).
Nas operações financeiras serão utilizados títulos de 
créditos tais como:
 � Nota promissória
 � Duplicata
 � Letra de câmbio
 
d N V= −
onde: d = Desconto
 N = Valor nominal (no vencimento)
 V = Valor atual (antes do vencimento)
matematica_financeira.indb 74 09/07/2010 11:10:57
75
Matemática Financeira
Unidade 4
Desconto simples racional (por dentro)
O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro 
simples gerado pelo valor atual.
O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula:
d V i n
como N V i n V N
i n
d N V
d N N
i n
d N
i
r
r
r
r
=
= +( ) =
+
= −
= −
+
= −
+
. .
: .
.
.
1
1
1
1 1
1 ..
. .
.
n
d N i n
i nr






=
+1
1. Qual o valor do desconto racional simples de 
uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 
descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 
30% a.a.?
matematica_financeira.indb 75 09/07/2010 11:10:58
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
Fórmula Teclas Visor Observação
N
i a a a a
n dias
n do ano
d N i nr
=
= =
=
= =
=
24000
30 0 3
120
120
360
1
3
1
% . . , . .
. .
++( )
=
+
=
i n
d
d R
r
r
.
. , .
, .
$ ,
24000 0 3 1
3
1 0 3 1
3
2181 82
24000 24.000,00
0,3 0,30
1 1,00
3 2.400,00
 Valor armazenado na memória nº 1.
Fórmula Teclas Visor Observação
1 1,00
0,3 0,30
1 1,00
3 1,10
 Valor armazenado na memória nº 2.
matematica_financeira.indb 76 09/07/2010 11:10:59
77
Matemática Financeira
Unidade 4
Fórmula Teclas Visor Observação
 2,400,00 Recupera memória nº 1.
 1,10 Recupera memória nº 2.
2.181,82
2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um 
banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que 
o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a 
taxa mensal de desconto racional simples utilizada 
pelo banco?
Fórmula Teclas Visor Observação
N
V
n meses
N V i n
i n N
V
i n N
V
i
N
V
n
=
=
=
= +( )
+ =
= −
=
−
12000
11214 95
2
1
1
1
1
,
.
.
.
ii
i
i a m
=
−
=
=
12000
11214 95
1
2
0 035
3 5
,
,
, % . .
12000 12.000,00
11214,95 1,07
1 0,07
2 0,035
100 3,50 3,5% a.m.
matematica_financeira.indb 77 09/07/2010 11:11:00
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
Desconto simples bancário ou comercial (por fora)
O desconto simples bancário ou comercial (db) é o desconto mais 
utilizado pelos bancos na remuneração do capital.
Atenção!
O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro 
simples calculado sobre o valor nominal.
Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário 
ou comercial: 
d N i nb b= . . 
Onde:
N = valor nominal
b
i = taxa de desconto simples bancário
n = prazo
1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento 
no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco 
em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o 
desconto simples bancário da operação?
 
Fórmula Teclas Visor Observação
N
i a m
i a m
n dias meses
d N i n
d
c
c
b b
=
=
=
= =
=
15000
2 5
0 025
85 85
30
, % . .
, . .
. .
bb
bd R
=
=
15000 0 025 85
30
1062 50
. , .
$ ,
15000 15.000,00
0,025 0,025
85 85,00
30 1.062,50
matematica_financeira.indb 78 09/07/2010 11:11:01
79
Matemática Financeira
Unidade 4
E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate:
 
 
 
d N V
V N d N N i n
V N i n
b
b b
b
= −
= − = −
= −( )
. .
.1
1. Uma empresa descontou um título com valor de 
face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do 
vencimento com uma taxa de desconto bancário 
simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu 
líquido na operação?
Fórmula Teclas Visor Observação
V
N
i a m
i a m
n meses e dias
n meses
V
b
b
=
=
=
=
=
=
?
, % .
, . .
,
14500
2 4
0 024
3 15
3 5
== −( )
= −( )
=
N i n
V
V R
b. .
, . ,
$ ,
1
14500 1 0 024 3 5
13282 00
14500 14.500,00
1 1,00
0,024 0,024
3,5 13.282,00
A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário 
(comercial) é assim representada:
 
d V i n
d N i n
i n
d N i n
d
d
N i n
i n
N i n
d
d i
r
r
b
r
b
r
b
=
=
+
=
= +
=
+
. .
. .
.
. .
. .
.
. .
1
1
1
1 ..
.
n
d d i nb r= +( )1
matematica_financeira.indb 79 09/07/2010 11:11:03
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 
meses antes de seu vencimento em uma instituição 
financeira que trabalha com uma taxa de desconto 
simples de 3,2% a.m.. Determine:
a) O valor do desconto simples bancário
b) O valor do desconto simples racional 
a)
Fórmula Teclas Visor Observação
N
i a m
i a m
n
d
d R
b
b
=
=
=
=
=
=
48000
3 2
0 032
6
48000 0 032 6
9216 0
, % . .
, . .
. , .
$ , 00
48000 48.000,00
0,032 0,032
6 9.216,00
b) 
 
Fórmula Teclas Visor Observação
d d
i n
d
d R
r
b
r
r
=
+
=
+
=
1
9216
1 0 032 6
7731 54
.
, .
$ ,
9216 9.216,00
1 1,00
0,032 0,032
6 7.731,54
matematica_financeira.indb 80 09/07/2010 11:11:05
81
Matemática Financeira
Unidade 4
SEÇÃO 2 - Relação entre desconto simples racional e 
desconto simples bancário (comercial)
Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto 
simples e a taxa de juros simples. 
A relação entre a taxade desconto simples e a taxa de juros simples 
é formulada do seguinte modo:
iB = taxa de desconto simples
i = taxa de Juros Simples
J N V
V i n N V
i n N V
V
i n N
V
i n N
N d
i n
N N d
N d
c
b
b
b
= −
= −
= −
= −
=
−
−
=
− −( )
−
. .
.
.
.
.
1
1
oomo d N i n
então i n N i n
N N i n
i i
i n
b b
b
b
b
b
: . .
: . . .
. .
.
=
=
−
=
−1
matematica_financeira.indb 81 09/07/2010 11:11:05
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
 
1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo 
de vencimento em 3 meses foi descontada em um 
banco que trabalha com uma taxa de desconto 
simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate 
e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco?
Fórmula Teclas Visor Observação
N
i a m
i a m
n meses
V N i n
V
b
b
b
=
=
=
=
= −( )
= −
25500
3 2
0 032
3
1
25500 1
, % . .
, . .
.
00 032 3
23052 00
, .
,
( )
=V
25500 25.500,00
1 1,00
0,032 0,032
3 23.052,00
Fórmula Teclas Visor Observação
i i
i n
i
i
i a m
b
b
=
−
=
−
=
=
1
0 032
1 0 032 3
0 0354
3 54
.
,
, .
,
, % . .
0,032 0,032
1 1,00
0,032 0,032
3 0,0354
100 3,54 3,54% a.m.
matematica_financeira.indb 82 09/07/2010 11:11:07
83
Matemática Financeira
Unidade 4
2. Se uma empresa desconta uma duplicata com 
vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma 
taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de 
desconto simples bancário utilizada?
Fórmula Teclas Visor Observação
i 3,4% a.m. = 0,034 a.m.
n 3 meses
i i
i n
i
i
i i
i i
i
b
b
b
b
b b
b b
=
−
=
−
−( ) =
− =
1
0 034
1 3
0 034 1 3
0 034 0 102
.
,
.
, .
, , .
bb b
b
b
b
i
i
i
i a m
i
+ =
=
=
=
0 102 0 034
1 102 0 034
0 034
1 102
0 03085
, ,
, . ,
,
,
, . .
bb a m= 3 085, % . .
0,034 0,034
1,102 0,03085
100 3,085 3,085% a.m.
matematica_financeira.indb 83 09/07/2010 11:11:08
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, 
considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade.
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 
50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo 
que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário 
de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido? 
2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira 
de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento 
daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. 
Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada? 
matematica_financeira.indb 84 09/07/2010 11:11:08
85
Matemática Financeira
Unidade 4
3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi 
comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto 
simples de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, qual seria 
o valor deste desconto? 
 
4) Uma loja desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 
vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples de 6% a.m. Qual é 
o valor do desconto simples racional e comercial da operação?
 
5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma 
duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de 
desconto simples bancário equivalente utilizada?
 
matematica_financeira.indb 85 09/07/2010 11:11:08
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o conceito de desconto simples, 
seus diversos tipos e comparações. Relacionou as taxas de juros 
simples e de descontos simples bancário ou comercial. 
Na próxima unidade, você começará a estudar o regime de juros 
compostos. Continue em frente!
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente o assunto desconto 
simples, utilize as seguintes bibliografias:
 � BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira 
aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.
 � CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 � HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 � MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
 � MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para 
concursos. São Paulo: Atlas, 2003.
matematica_financeira.indb 86 09/07/2010 11:11:08
UNIDADE 5
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
� Conhecer os conceitos sobre juros compostos.
� Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.
� Usar corretamente as convenções exponencial e linear.
� Calcular valor nominal e valor atual.
Seções de estudo
Seção 1 Juros compostos
Seção 2 Convenção exponencial e linear
Seção 3 Valor nominal e valor atual 
5
matematica_financeira.indb 87 09/07/2010 11:11:08
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao 
regime de juros simples. Nesta unidade você estudará o regime 
de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações 
comerciais e financeiras.
SEÇÃO 1 - Juros compostos
Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao 
final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo 
capital para o período seguinte.
A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do 
montante, juros, capital, taxa e prazo:
Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos: 
M Montante
C Capital
i Taxa
n Prazo
M C J
M C C i
M C i
M C
=
=
=
=
= +
= +
= +( )
=
1
1
2
1
.
11 1
1 1 1
1 1
2
2
3
2 2
+( ) + +( )
= +( ) +( ) = +( )
= +( ) + +( )
i C i i
M C i i C i
M C i C i i
.
.
.
MM C i i C i
M C i n
3
2 31 1 1
1
= +( ) +( ) = +( )
= +( )
. .
. .
. .
matematica_financeira.indb 88 09/07/2010 11:11:09
89
Matemática Financeira
Unidade 5
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: 
M C J
J M C
J C i C
J C i
n
n
= +
= −
= +( ) −
= +( ) − 
1
1 1
Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: 
M C i
C M
i
n
n
= +( )
=
+( )
1
1
Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i M
C
i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+ = 



= 



−
1
1
1
1
1
1
Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i N
C
n i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+( ) = 



+( ) = 



1
1
1
1
ln ln
. ln ln
==




+( )
ln
ln
M
C
i1
matematica_financeira.indb 89 09/07/2010 11:11:11
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
1. O fator 1+( )i n é chamado fator de acumulação de 
capital.
2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma 
unidade de tempo.
1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 
4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a 
uma taxa de 3,5% a.m.?
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a m
i a m
n meses
M C i
M
n
=
=
=
=
= +( )
= +(
4500
3 5
0 035
9
1
4500 1 0 035
, % . .
, . .
, ))
= ( )
=
=
9
94500 1 035
4500 1 362897
6133 04
M
M
M R
,
. ,
$ ,
 Para limpar os registros.
4500 -4.500,00
3,5 3,50
9 9,00
6.133,04
2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros 
compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule 
os juros auferidos na aplicação.
Fórmula Teclas Visor Observação
C
i a m a m
n meses
J C i
J
n
=
= =
=
= +( ) − 
= +
12000
2 0 02
6
1 1
12000 1 0
% . . , . .
,002 1
12000 1 02 1
12000 1 126162 1
12000
6
6
( ) − 
= ( ) − 
= −( )
=
J
J
J
,
,
.. ,
$ ,
0 126162
1513 95J R=
 Para limpar os registros.
12000 -12.000,00
2 2,00
6 6,00
13.513,95
 1.513,95
Os juros (J) são a diferença 
entre o valor futuro (FV) e 
o valor presente (PV).
matematica_financeira.indb 90 09/07/2010 11:11:13
91
Matemática Financeira
Unidade 5
3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa 
de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 
após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”.
Fórmula Teclas Visor Observação
M
i a m
i