Slides 5 - Distância, Norma, ângulo

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AULA Nº 5
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Prof. Pedro L. Fagundes
Distância, Norma e Ângulo
Distância, Norma e Ângulo
Esta fixado um sistema de coordenadas cartesianas para o plano e para o espaço , que serão identificados com respectivamente.
Dados dois pontos , no espaço , a distância entre e é dada pelo comprimento do vetor , com coordenadas:
Vamos calcular esta distância:
Distância, Norma e Ângulo
Distância, Norma e Ângulo
A distância de até , que coincide com a norma do vetor que é o comprimento do segmento de reta é dado por:
Distância, Norma e Ângulo
Exemplo:
Dados os pontos , calcule a distância entre .
Distância, Norma e Ângulo
Dados dois vetores em e um número real , temos:
a) 
b) 
c) 
Distância, Norma e Ângulo
Ex: Dados os vetores e , determine o vetor e sua norma. 
Distância, Norma e Ângulo
Os vetores possuem a mesma direção, se e só se, existe um número real , tal que .
Ou seja, se existir tal que:
Também dizemos, neste caso, que são vetores paralelos.
Se , dizemos que possuem o mesmo sentido, se eles possuem sentidos opostos.
Distância, Norma e Ângulo
Verifique se os vetores possuem a mesma direção. Caso possuam verifique se possuem o mesmo sentido ou sentidos opostos.
a) 
Existe , tal que ?
Logo não possuem a mesma direção.
Distância, Norma e Ângulo
b) 
Existe , tal que ?
Logo possuem mesma direção.
Como , eles possuem o mesmo sentido.
Distância, Norma e Ângulo
2) Determine o valor de para que os seguintes vetores: tenham a mesma direção:
Seja , tal que 
Logo , e , assim 
Distância, Norma e Ângulo
Soma de ponto e vetor.
Dados um ponto e um vetor , definimos a soma do ponto de com como sendo o único ponto tal que . Notação: 
Ou seja,
Distância, Norma e Ângulo
Exemplo: 
Determine , onde .
.
.
Distância, Norma e Ângulo
Definimos o ângulo entre dois vetores não nulos , como sendo o menor ângulo formado por representantes de com a mesma origem
Distância, Norma e Ângulo
Dadas as coordenadas cartesianas de dois vetores não nulos , o cosseno do ângulo entre eles pode ser calculado pela expressão:
Distância, Norma e Ângulo
Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores:
 e 
Da propriedade anterior, temos:
 e 
Distância, Norma e Ângulo
Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores:
 e 
Logo .
Distância, Norma e Ângulo
Dois vetores não nulos , são ortogonais se, e só se: 
Distância, Norma e Ângulo
Exemplo: Verifique se são ou não ortogonais:
a) 
, não são ortogonais.
b) 
, são ortogonais.