8_Resp_desbal_rotativo

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8 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Desbalanceamento rotativo 
 
 
Introdução 
Modelo matemático 
Respostas no tempo e em freqüência 
Whirling de eixos rotativos 
Questionário 
Problemas 
 
Teoria: Rao 3.7; 9.5 (até 9.5.3) 
Problemas: Rao 3.51 a 3.61; 9.15 a 9.21 
 
 
8.1 Introdução 
 
 O desbalanceamento de máquinas rotativas é uma das principais causas de vibração. Consideraremos, nesta 
apostila, a situação mais simples de um sistema que pode mover-se somente em uma só direção, ficando assim assegurada a 
condição de apenas 1 GDL. Também trataremos de um fenômeno que ocorre quando massas rotativas desbalanceadas 
giram em eixos, provocando a sua flexão. 
 
 
8.2 Modelo matemático 
 
 Consideremos o sistema da fig. 8.1, no qual duas massas desbalanceadas giram em sentidos opostos. Cada uma 
das massas desbalanceadas vale m/2 e M é a massa total do sistema, incluídas as massas desbalanceadas, as quais se 
encontram a uma distância e do centro de rotação, denominada excentricidade. O produto massa desbalanceada x 
excentricidade é denominado desbalanceamento. Devido à não coincidência dos centros de massa com os eixos de rotação, 
duas forças centrífugas surgirão, sendo que as suas componentes horizontais anular-se-ão, enquanto que as suas 
componentes verticais somar-se-ão. 
 
 
Fig. 8.1 Desbalanceamento rotativo. 
 
 A fig. 8.2 mostra o diagrama de corpo livre: 
 
 
Fig. 8.2 Diagrama de corpo livre. 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-2
 Aplicando a 2a Lei de Newton, chegamos ao modelo matemático 
 
 (8.1) 
 
 Comparando a eq. (8.1) com a equação diferencial obtida para a excitação harmônica atuando diretamente sobre a 
massa, repetida abaixo 
 
 (8.2) 
 
concluímos que podemos aproveitar a solução já obtida, fazendo as seguintes adaptações: 
 
 
 
 
 
 
 
8.3 Respostas no tempo e em freqüência 
 
 Realizando as substituições acima nas equações da resposta à excitação harmônica atuando diretamente sobre a 
massa, obtemos as equações seguintes: 
 (8.3) 
 
 
Amplitude: (8.4) 
 
 
 
 
 
Ângulo de Fase: (8.5) 
 
 
Formas adimensionais: 
 
 
Fator de amplificação (8.6) 
 
 
onde agora temos no numerador o fator r2. O significado físico, entretanto, continua o mesmo: a relação entre o efeito 
dinâmico da aplicação da força harmônica F(t)= meω2senωt e o efeito estático da aplicação da amplitude dessa mesma 
força. Já a expressão do ângulo de fase é a mesma obtida anteriormente. A fig. 8.3 ilustra o gráfico do fator de 
amplificação: 
 
Fig. 8.3 Resposta em freqüência do fator de amplificação. 
222
2
)2()1( rr
r
me
MX
FA
ς+−
==
tsenmekxxcxM
2
...
ωω=++
tcosF)t(Fkxxcxm 0
...
ω==++
tsentcos
meF 
Mm 
2
0
ωω
ω
←
←
←
)t(Xsen)t(x p φω −=
( ) ( )222
0
cmk
F
X
ωω +−
=






−
=
2
r1
r2
arctg
ς
φ
( ) ( )222
2
cMk
me
X
ωω
ω
+−
=






−
=
2
r1
r2
arctg
ς
φ
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-3
 Examinando o gráfico acima, podemos extrair algumas observações interessantes. Essas curvas mostram que o 
fator de amortecimento tem uma grande influência na amplitude, principalmente na zona de freqüências próxima à 
ressonância, logo nessa região devemos usar grandes fatores de amortecimento para minimizar os efeitos da ressonância. Já 
para r ≥ 3 o uso de amortecimento é praticamente desnecessário, pois todas as curvas tendem a coincidir nessa faixa de 
freqüências. 
 
 Na ressonância, ou seja, quando r = 1, podemos substituir esse valor nas equações da amplitude e do ângulo de 
fase obtendo: 
 
 (8.7) 
 
 (8.8) 
 
 
 Verificamos, também, que o máximo valor do FA (e, em conseqüência, da amplitude), ocorre um pouco à direita 
da ressonância. Para determinarmos o valor da relação de freqüências em que ocorre esse valor máximo, assim como esse 
último, aplicamos a teoria de máximos e mínimos, ou seja, derivamos a eq. (8.6) em relação a r e a igualamos a zero, 
chegando, respectivamente, a: 
 
 (8.9) 
 
 
 
 (8.10) 
 
 
 Analisando a expressão de rmax, concluímos que quanto maior o valor de ζ maior o valor de rmax, ou seja, mais para 
a direita se localiza o valor máximo da resposta em freqüência, o que é confirmado pelo gráfico. 
 
 
Ex. 8.1) (Rao Ex. 3.5) - Turbina Francis - Determinar o diâmetro do eixo da turbina Francis da fig. 8.4, de tal modo que 
sempre exista uma folga radial de 5 mm entre rotor e estator para toda a faixa de operação. 
 
Dados: 
Massa do rotor = 250 kg 
Desbalanceamento = 5 kg.mm 
Faixa de operação da turbina: 600 a 6000 rpm 
Amortecimento desprezível 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
Fig. 8.4 Turbina Francis. 
 
Solução 
 
 
para simplifica (8.4) eq. a logo 0, nto,amortecime há não Como =c 
 
 
A favor da segurança, devemos trabalhar na pior situação, ou seja a de menor ω
ω
ω
menor⇒
n
 logo, 
0
res 90=φ
M
me
X res
ς2
=
1
21
1
2
>
−
=
ς
máxr
2
max
12
1
)(
ςς −
=





=
máxme
MX
FA
 
 
( ) ( )
2
2
222
2
ω
ω
ωω
ω
Mk
me
X
cMk
me
X
−
=⇒
+−
=
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-4
ω = 600 rpm = 20 π rad/s. 
 
Então: 
 
Por outro lado, a rigidez é dada por 
 
mm 127 m 127,0
)1007,2)(3(
)2)(61,990906)(64(
3
6464
3
3
4
11
33
4
3
4
3
==
×
=⇒=⇒==
ππ
π
d
E
kl
d
l
d
E
l
EI
k 
 
 
Ex. 8.2 (Rao 3.51) – Um compressor de ar monocilíndrico de massa 100 kg está montado sobre almofadas de borracha, as 
quais têm rigidez 106 N/m e coeficiente de amortecimento 2000 N.s/m. de acordo com a fig. 8.5. O desbalanceamento do 
compressor equivale a uma massa de 0,1 kg localizada na extremidade da manivela (ponto A). Sendo r = 10 cm e l = 40 
cm, determinar a resposta permanente do compressor quando ele opera a 3000 rpm. 
 
 
 
Fig. 8.5 Compressor de ar monocilíndrico. 
 
Solução 
 
Resposta no tempo: xp(t) = Xsen(ωt - φ) (a) 
 
 
onde 
 
 
 
 
 onde π
π
ω
ω
===
100
10
100
6n
r e 1,0
)100)(10(2
2000
2 6
===
kM
c
ζ 
 logo 
 
 
Substituindo na eq. (a): xp(t) = Xsen(ωt - φ) = 1,11 x 10
-4 sen (100πt + 0,0707) 
 
 
N/m 61,990906
)20)(250(
)20(105
105
2
23
3 =⇒
−
×
=×
−
−
k
k π
π
( ) ( ) [ ] [ ]
m 1011,1
)100)(2000()100)(100(10
)100)(01,0( 4
2226
2
222
2
−×=
+−
=
+−
=
ππ
π
ωω
ω
cMk
me
X






−
=
2
r1
r2
arctg
ς
φ
rad 0707,0
1
))(1,0)(2(
2
−=





−
=
π
π
φ arctg
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-5
Ex. 8.3 (Rao 3.58) – Um motor elétrico desbalanceado, de velocidade variável, é montado sobre um isolador de vibrações. 
Conforme aumenta a velocidade, observa-se que a amplitude da vibração do motor é de 0,55 in na ressonância e 0,15 in 
muito além da ressonância. Determinar o fator de amortecimento do isolador. 
 
Solução 
 
in 15,0
in 55,01
=⇒∞→
=⇒=
∞Xr
Xr res 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4 Whirling de eixos rotativos 
 
 Um dos grandes problemas de vibrações que acontecem em máquinas rotativas refere-se à vibração transversal de 
eixos rotativos nos quais está montado um disco girante. Os eixos rotativos apresentam a tendência a curvar quando 
atingem certas velocidades e a girar de um modo complicado. A vibração transversal de eixos rotativos é sintetizada através 
do termo inglês "Whirling", o qual já se encontra consagrado também em português. Whirling, pois, é definido como a 
rotação do plano formado pelo eixo curvado e pela reta que passa pelos centros dos mancais, em torno dessa última, 
conforme fig. 8.6: 
 
 
Fig. 8.6 Whirling de eixos rotativos. 
 
 As causas do whirling são várias, tais como o desbalanceamento da massa rotativa, a existência de forças 
giroscópicas, o atrito fluido nos mancais, etc. A seguir, apresentaremos o conceito de velocidade crítica e logo após 
desenvolveremos o modelo matemático para o fenômeno do whirling síncrono,que é aquele no qual a velocidade de 
rotação do plano formado pelo eixo curvado e pela reta que passa pelos centros dos mancais é igual à velocidade de rotação 
do eixo. Por fim, deduziremos uma expressão para a deformação transversal do eixo, de grande importância em aplicações 
práticas. 
1364,0 :(b) e (a) Resolvendo
(b) curvas)(ver 1
)15,0(
(a) 
2
1)55,0(
1
)2()1( 222
2
=
⇒=⇒∞→
=⇒=
+−
==
ζ
ζ
ς
me
M
r
me
M
r
rr
r
me
MX
FA
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-6
Velocidade crítica 
 
 No caso do sistema da fig. 8.6, é fácil depreender que, se a velocidade de rotação do sistema aumentar, aumentará 
também a amplitude do whirling. Por amplitude de whirling entendemos a deformação transversal que sofre o eixo na 
posição de montagem do disco, também conhecida como "flecha", ou seja, a distância entre as posições estática (eixo 
parado) e dinâmica (eixo em movimento). 
 
 Podemos considerar o sistema da figura acima como um sistema massa-mola-amortecedor, no qual a massa é 
representada pela massa do disco, a mola pelo eixo que trabalha como viga bi-apoiada à flexão e o amortecimento pelo 
atrito viscoso. Se a velocidade de rotação do eixo igualar a freqüência angular natural do sistema, ocorrerá o fenômeno da 
ressonância e grandes amplitudes de whirling podem ser esperadas. Quando isso acontece, ou seja, quando a velocidade de 
rotação ω iguala a freqüência angular natural ωn do sistema, dizemos que o eixo está trabalhando na sua velocidade crítica: 
 
 ω = ωn ⇒ ω = ωcrít (8.11) 
Modelo matemático 
 
 Vamos aqui tratar apenas o caso mais simples de whirling, o da rotação síncrona, em que a velocidade de rotação 
do eixo é igual à de whirling, causado por desbalanceamento. Vamos considerar que o disco de massa m esteja montado a 
meia distância entre os mancais, conforme fig. 8.7: 
 
 
 
Fig. 8.7 Modelagem matemática do whirling síncrono. 
 
 Na parte esquerda da fig. 8.7 o centro de gravidade do disco, G, está situado a uma distância e (excentricidade) do 
centro geométrico S, o qual, por sua vez, dista OS do centro de rotação O, durante o movimento de rotação com velocidade 
constante ω. No caso de whirling síncrono, os pontos O, S e G permanecem fixos, uns em relação aos outros. A parte 
direita da mesma figura nos dá uma vista frontal do disco. Em geral, os pontos O, S e G formam um triângulo, de modo que 
podemos definir o ângulo formado pelo prolongamento da reta OS e a reta SG como o ângulo de fase φ. 
 
 Vamos adotar o sistema de referência Oxy, em relação ao qual as coordenadas do centro de gravidade G são dadas 
por 
 x = xS + e cos ωt (8.12) 
 
 y = yS + e sen ωt (8.13) 
 
onde xS e yS são as coordenadas do ponto S. Num instante qualquer, o disco está submetido às forças da mola e do 
amortecedor, de modo que podemos escrever a 2a Lei de Newton nas direções x e y, respectivamente: 
 
 ( )..
...
cos texmxckxxmF SSSx ω+=−−⇒= (8.14) 
 ( )..
...
sen teymyckyymF SSSy ω+=−−⇒= (8.15) 
Ordenando: 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-7
 tmekxxcxm SSS ωω cos
2
...
=++ (8.16) 
 tmekyycym SSS ωω sen
2
...
=++ (8.17) 
 
que constituem o modelo matemático para tal sistema. 
 
Flecha e ângulo de fase 
 
 Examinando as eqs. (8.16) e (8.17), vemos que são as mesmas equações do desbalanceamento rotativo, motivo 
pelo qual podemos aproveitar os resultados já obtidos anteriormente e escrever 
 
 
( ) ( )
)cos()(
222
2
φω
ωω
ω
−
+−
= t
cmk
me
txS (8.18) 
 
 
( ) ( )
)(sen)(
222
2
φω
ωω
ω
−
+−
= t
cmk
me
tyS (8.19) 
onde φ é o ângulo de fase, dado por 
 
2
arctg
ω
ω
φ
mk
c
−
= (8.20) 
 
 Em geral, estamos mais interessados na flecha OS : 
 
 22 SS YXOS += (8.21) 
 
 Levando em conta as expressões de xS e yS: 
 
 
( ) ( )222
2
ωω
ω
cmk
me
OS
+−
= (8.22) 
 
 Semelhantemente ao que tem sido feito, podemos reescrever as expressões para o ângulo de fase e para a flecha 
em termos adimensionais: 
 
21
2
arctg
r
r
−
=
ς
φ (8.23) 
 
 
( ) ( )222
2
21 rr
r
e
OS
ς+−
= (8.24) 
 
onde r é a já conhecida relação de freqüências. 
 
 
Ex. 8.4 (Rao 9.15) - Um volante desbalanceado, de peso 100 lbf e excentricidade 0,5 in, está montado no centro de um eixo 
de aço de diâmetro 1 in. Sendo o comprimento do eixo entre mancais de 30 in e a velocidade de rotação do volante de 1200 
rpm, determinar: 
 
(a) velocidade crítica; 
 
(b) flecha; 
 
(c) força transmitida a cada mancal. 
 
Solução 
 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-8
(a) 
rad/s 578,100
4,386
100
2618
lbf/in 2618
30
64
1
)1030)(48(
48
crít
3
4
6
3
====
=







 ×
×
==
m
k
l
EI
k
nωω
π
 
in 39,1
0)25,11(
)25,1)(5,0(
)2()1(
 
25,1
578,100
40
 
/ 40
60
2
1200 rpm 1200 (b)
22
2
222
2
=
+−
=
+−
=
===
=×==
rr
er
OS
r
srad
n
ζ
π
ω
ω
π
π
ω
 
 
(c) lbf 5,1819
2
)39,1)(2618(
2
===
OS
kF 
 
 
 
 
Questionário 
 
 
1. Conceitue excentricidade e desbalanceamento de uma máquina rotativa desbalanceada. Quais são suas unidades 
SI? 
 
 
 
 
 
2. Existe diferença entre as expressões do fator de amplificação para o caso em que a excitação harmônica externa se 
dá diretamente na massa e o caso em que existe desbalanceamento rotativo? Qual é? E quanto ao ângulo de 
defasagem? 
 
 
 
 
 
 
3. Qual o significado físico do fator de amplificação? 
 
 
 
 
4. Em qual região da resposta em freqüência devemos usar grandes fatores de amortecimento? Por quê? 
 
 
 
 
 
5. Há necessidade de usar fortes amortecimentos para r ≥ 3? Por quê? 
 
 
 
 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-9
6. Examinando os gráficos da resposta em freqüência do FA dos 2 casos estudados (excitação atuando diretamente na 
massa e desbalanceamento rotativo), cite diferenças entre eles que nos possibilitam identificá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
7. Descreva o fenômeno do whirling de eixos rotativos. Cite algumas causas. 
 
 
 
 
 
 
8. Conceitue velocidade crítica e flecha no fenômeno do whirling. 
 
 
 
 
 
 
9. O que caracteriza o whirling síncrono? 
 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
8.1 – Para que valor de m o sistema da figura entrará em ressonância? 
 
Resp.: 120 kg 
 
8.2 (Steidel 7.7) - A figura mostra o registro da vibração livre (obtido experimentalmente) de uma estrutura que suporta um 
motor a jato. Estimar: 
 
(a) fator de amplificação MX/me, na ressonância; 
(b) fator de amplificação MX/me, quando o motor girar a 2200 rpm. 
 
 
Resp.: (a) 10,5; (b) 1,23. 
 
 
 
8.3 (Rao 9.17) – Um eixo de aço de diâmetro 25 mm e comprimento 1 m apóia-se sobre dois mancais. No centro do eixo 
está montado um disco de turbina de massa 20 kg e excentricidade 5 mm que opera a 6000 rpm. O amortecimento do 
sistema equivale a um amortecimento viscoso com ζ = 0,01. Determinar a amplitude do whirling: 
 
a) na velocidade de operação; 
b) na velocidade crítica; 
c) na velocidade de 1,5 vezes a velocidade crítica. 
 
Resp.: (a) 5,124 mm; (b) 60,74 mm; (c) 8,457 mm. 
 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-10 
8.4 (Steidel 7.2) - Um motor elétrico de massa 25 kg está montado na extremidade livre de uma viga horizontal em 
balanço. Dando um deslocamento inicial vertical de 16 mm no motor, observamos que a amplitude da vibração livre cai 
para 1 mm em 4 ciclos. Estimar o valor do fator de amplificação MX/me na ressonância. 
 
Resp.: 4,56 
 
 
8.5 (Steidel 7.5) - O gráfico mostra a resposta em 
freqüência de uma máquina rotativa desbalanceada. 
Estimar o fator de amortecimento do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 0,0577 
 
 
 
8.6 - Um compressor de ar é acionado por um motorelétrico, tendo o conjunto uma massa de 27 kg. Quando o conjunto é 
montado sobre isoladores de borracha de fator de amortecimento 0,2 os mesmos sofrem uma deflexão estática de 5 mm. O 
motor gira com velocidade constante de 1750 rpm. O pistão do compressor tem um curso de 50 mm. O pistão e as demais 
peças móveis têm massa 0,5 kg. Considerando o movimento do pistão do compressor como harmônico simples, determinar 
a amplitude da vibração. 
 
Resp.: 0,49 mm 
 
 
8.7 – A armadura de um motor elétrico pesa 88,96 N e seu centro de massa está deslocado de 0,254 mm em relação ao eixo 
de rotação. O motor, de peso total 266,88 N, apóia-se sobre 4 molas de rigidez 26,3 x 103 N/m cada. Achar a velocidade 
crítica do motor e a amplitude vertical da sua vibração quando girando a uma velocidade igual ao triplo da sua velocidade 
crítica. 
 
Resp.: 594 rpm; 0,0953 mm. 
 
 
8.8 - Uma máquina rotativa de massa 65 kg tem um desbalanceamento de 0,15 kg.m. Ela opera na freqüência 125 Hz e está 
montada sobre uma fundação de rigidez 2x106 N/m e fator de amortecimento 0,12. Calcular a amplitude da resposta 
permanente. 
 
Resp.: 2,43 mm. 
 
 
8.9 (Steidel 7.14) - A figura mostra a resposta em freqüência de um sistema mecânico. Considerando o valor máximo igual 
ao valor na ressonância, pedem-se: 
 
 
(a) freqüência natural do sistema, em rpm; 
(b) fator de amortecimento. 
 
Resp.: (a) 600 rpm; 0,0727. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Resposta ao desbalanceamento rotativo. Whirling de eixos rotativos. 8-11 
8.10 - Uma máquina desbalanceada está montada sobre uma suspensão composta de molas e amortecedores. O sistema 
apresenta um fator de amortecimento de 0,02. Durante a operação da máquina, o sistema entrou em ressonância na 
freqüência 9 Hz. Como conseqüência, a amplitude da vibração tornou-se inaceitavelmente grande. A fim de aliviar o 
problema, as seguintes soluções de projeto foram propostas: 
 
(a) Dobrar o fator de amortecimento do sistema; 
(b) Aumentar em 40% a massa do sistema; 
(c) Aumentar em 40% a rigidez da suspensão do sistema. 
 
Qual dessas estratégias produzirá a maior redução na amplitude da vibração? Justifique através de cálculos. 
 
Resp.: a melhor alternativa é a (c), pois é a que resulta no menor fator de amplificação. 
 
 
8.11 - A massa do volante de uma máquina é de 40 kg, sendo que o mesmo apresenta uma excentricidade de 12 mm. Ele 
deve ser montado no centro de um eixo de aço (módulo de Young = 207 x 109 Pa) de comprimento 1 m e que trabalha bi-
apoiado sobre mancais rígidos. Considerando um fator de amortecimento de 0,05, calcular o diâmetro do eixo de tal modo 
que a amplitude do whirling fique limitada a 1,2 mm em todas as velocidades de rotação entre 1000 e 2000 rpm. 
 
Resp.: 79,3 mm 
 
 
8.12 - Um eixo de aço (E = 207 x 109 Pa) de diâmetro 2,5 cm e comprimento 1 m está bi-apoiado sobre mancais e opera a 
6000 rpm. Exatamente a meia distância entre os mancais está montado um disco de uma turbina, de massa 20 kg e 
excentricidade 5 mm. Considerando um fator de amortecimento 0,01 determinar a flecha na 
 
(a) velocidade de operação; 
(b) velocidade crítica; 
(c) velocidade 50% acima da velocidade crítica. 
 
Resp.: (a) 5,124 mm; (b) 60,74 mm; (c) 8,457 mm. 
 
 
8.13 - Um eixo de alumínio (E = 83 x 109 Pa) de diâmetro 2,5 cm e comprimento 1 m está bi-apoiado sobre mancais e 
opera a 6000 rpm. Exatamente a meia distância entre os mancais está montado um disco de uma turbina, de massa 20 kg e 
excentricidade 5 mm. Considerando um fator de amortecimento 0,01 determinar as máximas tensões devidas à flexão na 
 
(a) velocidade de operação; 
(b) velocidade crítica; 
(c) velocidade 50% acima da velocidade crítica. 
 
Resp.: (a) 0,5497 x 108 Pa; (b) 6,4698 x 108 Pa; (c) 0,9012 x 108 Pa.