ANÁLISE-COMBINATÓRIA-I.2ºano.2020

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ANÁLISE COMBINATÓRIA (I) 
 
 Princípio Fundamental da Contagem 
 
Suponha que um evento seja composto por duas etapas sucessivas A e B. Considere, para a etapa A, m possibilidades e 
para a etapa B, n possibilidades, para cada umas das m possibilidades de A. Então, o número de maneiras distintas de 
realizarmos o evento completo é dado por m . n. 
 
O quadro abaixo ilustra o exposto acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTES DE SALA 
 
1. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(2ª Aplic.)-ENEM/2019].(Q.140) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para 
transmitir músicas a partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras e 
cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência 
diferente de transmissão. 
 
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 24. 
 
 
 
2. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(2ª Aplic.)-ENEM/2018].(Q.179) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas 
placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, 
foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem 
ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a 
criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade 
de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero. 
 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado). 
 
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a 
 
a) 263 + 94 
b) 263 × 94 
c) 263(104 – 1) 
d) (263 + 104) – 1 
e) 263 × 104) – 1 
 
Data:22/10/20 
Colégio Santo Antônio 
 Aluno(a): 
 Componente Curricular: 
Lista de Atividade – III Ciclo 
Professor(a): André Reis 
Ano/Série: 2ª Turma: 
 Nº: 
 
 
 
 
 
3. [Conhec. Ger. Cont.-(1ª Fase)-(M1)-BAHIANA/2014.2].(Q.45) Visando angariar fundos para ajudar as vítimas de uma 
catástrofe, uma associação beneficente promoveu um sorteio para o qual foram vendidos bilhetes numerados, sendo que 
em cada bilhete foi impresso um número com três dígitos, variando de 0 a 5. 
 
Nessas condições, o número máximo de bilhetes com numeração par, em que o primeiro e o último dígitos são diferentes, que 
pode ser impresso é 
 
1) 16 
2) 36 
3) 54 
4) 72 
5) 90 
 
 
 
4. [Matemática-(Medicina)-(1ª Fase)-(T1)-BAHIANA/2020.1-Strix].(Q.36) Três estudantes – X, Y e Z – conseguiram estágio em 
uma clínica, na qual cada um deles deve trabalhar dois turnos semanais. Para compatibilizar o horário de trabalho com os 
respectivos horários de aulas, considerou-se que 
 
 em cada turno, apenas um deles trabalharia. 
 cada um dos estudantes trabalharia apenas um turno por dia. 
 os dias de trabalho deveriam ser às terças, quintas ou sábados, pela manhã ou à tarde. 
 
Com base nestas informações, é correto afirmar que o número máximo de formas distintas de compor o horário de trabalho 
é igual a 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(2ª Aplic.)-ENEM/2015-Unidades Prisionais].(Q.158) A bandeira de um estado é 
formada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura. 
 
A B 
C 
 D 
 E 
 
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam 
pintadas com a mesma cor. 
 
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é 
 
a) 1 x 2 x 1 x 1 x 2. 
b) 3 x 2 x 1 x 1 x 2. 
c) 3 x 2 x 1 x 1 x 3. 
d) 3 x 2 x 1 x 2 x 2. 
e) 3 x 2 x 2 x 2 x 2. 
 
 
 
 Fatorial de um número natural 
 
n! = n . (n – 1).(n – 2) ... (3).(2).(1) n ≥ 2; n  IN 
Exemplos: 
 0! = 1 
 1! = 1 
 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 336 x 120 = 40320 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTO 
 
 Arranjos simples 
 
Os agrupamentos diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos elementos. 
 
Dica: 
 
 
Ex) [Matemática/RL-(Medicina)-(M1)-UNIG-Nova Iguaçu/2018.2-AIETEC-Inst. Consultec].(Q.32) Para organizar o 
fichário de uma Clínica, um funcionário escreveu n números de 3 algarismos com os símbolos 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
Calculando, corretamente, pode-se afirmar que n é igual a 
 
01) 48 
02) 60 
03) 96 
04) 120 
05) 240 
 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 Permutações simples 
 
São casos particulares de arranjos simples nos quais todos elementos disponíveis são utilizados para formar o 
agrupamento. 
 
Ex) [Matemática/RL-(Medicina)-(M1)-UNIG-Nova Iguaçu/2018.2-AIETEC-Inst. Consultec].(Q.32) Para organizar o 
fichário de uma Clínica, um funcionário escreveu n números de 5 algarismos com os símbolos 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
Calculando, corretamente, pode-se afirmar que n é igual a 
 
01) 48 
02) 60 
03) 96 
04) 120 
05) 240 
 
 
 
Note que: 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 Permutações com repetição 
 
Ex) Quantos números de 6 algarismos podemos formar, permutando todos os dígitos do conjunto A = {2, 2, 3, 3, 4, 5}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 Permutação circular 
 
Ex) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
TESTES DE SALA 
 
6. [Matemática/RL-(Cad. 91768)-Medicina-UNIG-Nova Iguaçu/2019.2-AIETEC-Inst. Consultec].(Q.35) Numa competição com dez 
nadadores, serão classificados o 1º, o 2º e o 3º lugares. 
 
Com base nessa informação, pode-se afirmar que o número de resultados distintos dessa competição é igual a 
 
01) 720 
02) 480 
03) 360 
04) 240 
05) 120 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. [Matemática-(1º dia)-UESB/2019-AIETEC-Inst. Consultec].(Q.37) Um rapaz criou uma senha para seu computador, tomando sua 
data de nascimento, 22/12/1998, e embaralhando-se, ao acaso, seus dígitos, sem as barras. 
 
Desse modo, o número de possibilidades distinta de senha que ele pode ter obtido é igual a 
 
01) 5610 
02) 4150 
03) 3260 
04) 2440 
05) 1680 
 
 
 
 
 
 
 
8. [Matemática-(Medicina)-(1º dia)-FASA-2016.2-Consultec].(Q.44) Em um laboratório, são realizados testes experimentais com 
o cruzamento de quatro casais de Hamsters, dispostos em torno de uma mesa redonda. 
 
Sabendo-se que cada casal deve permanecer sempre junto, é correto afirmar que o número de maneiras distintas que se 
pode acomodar esses Hamsters, nessa mesa, é 
 
01) 96 
02) 192 
03) 480 
04) 5068 
05) 10136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(1ª Aplic.)-ENEM/2015].(Q.170) Uma família composta por sete pessoas adultas, após 
decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava 
quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas 
disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
Disponível em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 
 
a) 
!2
!9
 
b) 
!2!7
!9
x
 
c) 7! 
d) !4
!2
!5
 
 
e) 
!3
!4
!2
!5
 
 
 
TESTES DE REVISÃO 
 
10. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(1ª Aplic.)-ENEM/2017].(Q.167) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou 
a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mais que se unem formando 
a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, 
azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes. 
 
 
 
Disponívelem: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado) 
 
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? 
 
a) 15 
b) 30 
c) 108 
d) 360 
e) 972 
 
 
11. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 7-Azul)-(1ª Aplic.)-ENEM/2016].(Q.168) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As 
letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras 
e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
 
a) 10²  26² 
b) 10²  52² 
c) 10²  52² 
!2
!4
 
d) 10²  26² 
!2!2
!4

 
e) 10²  52² 
!2!2
!4

 
 
 
 
 
12. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 7-Azul)-(2ª Aplic.)-ENEM/2016].(Q.172) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o 
seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte 
somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? 
 
 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 72 
 
 
13. [Conhec. Ger. Contemp.-(1ª Fase)-BAHIANA/2011.2].(Q.13) O estado de saúde de pacientes internados em UTIs costuma ser 
informado aos familiares por mio de boletins, escritos ou transmitidos pessoalmente por profissionais que atuam na UTI. Esses 
últimos são mais satisfatórios, pois o contato direto propicia a certeza de que as informações dadas serão compreendidas 
corretamente, as dúvidas esclarecidas e possíveis erros de interpretação corrigidos. 
 
Suponha que, no horário estabelecido por um hospital, seis familiares de pacientes internados na UTIs aguardam a equipe 
médica, que falará sobre o estado clínico de cada doente. Para tanto, é utilizada uma sala que possui duas fileiras de 
poltronas com cinco cadeiras em cada uma delas. 
 
Considerando-se que a equipe médica é composta pelo chefe da UTI, que ficará de pé, e de dois assistentes, que deverão 
obrigatoriamente ocupar assentos na mesma fileira, pode-se afirmar que o número máximo de formas distintas que as 
cadeiras poderão ser ocupadas é igual a: 
 
01) 6A5,2 
02) 8C5,2 
03) 2A5,2A8,6 
04) 3A5,2C8,2 
05) C10,8C5,2 
 
14. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(1ª Aplic.)-ENEM/2017].(Q.140) Uma empresa construirá sua página na internet e 
espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha 
com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no 
quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. 
 
Opção Formato 
I LDDDDD 
II DDDDDD 
III LLDDDD 
IV DDDDD 
V LLLDD 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das 
opções. 
 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número 
esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. 
 
A opção que mais se adequa às condições da empresa é 
 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
15. [Matemática-(2º dia)-(Cad. 5-Amarelo)-(1ª Aplic.)-ENEM/2015].(Q.142) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV 
e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir 
somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as 
notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no 
quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a 
divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria. 
 
Quesitos 1. Fantasia e Alegoria 2. Evolução e Conjunto 3. Enredo e Harmonia 4. Bateria 
Total 
Jurado A B A B A B A B 
Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55 
 
Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66 
Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50 
Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68 
Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54 
 
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola 
II? 
 
a) 21 
b) 90 
c) 750 
d) 1 250 
e) 3 125 
 
 
 
 
16. (UEFS-2009.1) O número de anagramas da palavra PROVA que não apresenta as duas vogais juntas é 
 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 60 
e) 72 
 
 
 
 
17. (UEFS-2007.1) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos quais 5 são de Matemática. A quantidade máxima de 
maneiras que se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos, 
é: 
 
a) 4! 4! 
b) 5! 4! 
c) 4! 5! 
d) 5! 5! 
e) 14! 
 
 
 
 
18. (ENEM-2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga 
de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem 
numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados 
números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. 
 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é 
 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
e) 89. 
 
 
 
 
19. [Matemática-(Medicina)-(2º dia)-(M1)-UNEB/2017.2-AIETEC-Inst. Consultec].(Q.8) Buscando incentivar a participação e 
estimular a criatividade, o Departamento de Relações Humanas, (RH), de uma Empresa, promoveu um sorteio entre seus 
funcionários, de modo que o número n sorteado tivesse quatro algarismos distintos e não nulos, isto é, n = pqrs, e que o 
possuidor do número sorteado n só pudesse receber o prêmio se soubesse calcular o seu valor. 
 
Além disso, sabe-se que o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de quatro algarismos obtidos, permutando-se 
os algarismos de n. 
 
Nessas condições, para S = p + q + r + s, pode-se afirmar que o valor do prêmio, em função de S, é 
 
 
01) 3030S 
02) 3333S 
03) 6060S 
04) 6666S 
05) 9090S