PROVA A1 SERVOMECANISMO

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PAULO GABRIEL PEREIRA CASAES 
20103503 
 
Observações: As respostas finais estão grifadas de amarelo. Na questão 3, as 
referências bibliográficas são: “Controle Automático de Processos – Fernando 
Mariano Bayer” e “SENAI CPM – instrumentação” 
 
(Questão 1 – a) 
 
 
 - Etapa (I): Elimina-se a malha 1 e simplifica. 
 Teremos: G4+G2G3 
 - Etapa (II): conduzindo o ponto de bifurcação B atrás do bloco G4+G2G3 
 Teremos 2 expressões: 
𝐺4+𝐺2𝐺3
1+𝐻2(𝐺4+𝐺2𝐺3)
 ; 
𝐺2𝐻1
𝐺4+𝐺2𝐺3
 
 - Etapa (III): Teremos uma cascáta e uma realimentação , sendo assim elimina-se a malha 3 
 Teremos a expressão: 
𝐺1(𝐺4+𝐺2𝐺3)
1+𝐺1𝐺2𝐻1+𝐻2(𝐺4+𝐺2𝐺3)
 
 - Etapa (IV): Restará agora uma realimentação. Logo a expressão final da função de 
transferência será: 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 
𝐺1+(𝐺4+𝐺2𝐺3)
1+𝐺1𝐺2𝐻1+𝐻2(𝐺4+𝐺2𝐺3)+𝐺1(𝐺4+𝐺2𝐺3)
 
 Logo iremos substituir os valores da expressão. 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 
1
𝑠+1
∙(2+
𝑠
𝑠+2
 ∙𝑠)
1+(
1
𝑠+1 
 ∙ 
𝑠
𝑠+2 
 ∙10𝑠)+
10
𝑠+1
∙(2+
𝑠
𝑠+1
 ∙ 𝑠)+
1
𝑠+1
 ∙ (2+
𝑠
𝑠+2
 ∙ 𝑠)
 = 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
 = 
1
𝑠+1
∙(2+
𝑠2
𝑠+2
)
1+(
𝑠
𝑠2+3𝑠+2
 ∙ 10𝑠)+
10
𝑠+1
 ∙ (2+
𝑠2
𝑠+2
)+
1
𝑠+1
 ∙ (2+
𝑠2
𝑠+2
)
 
 = 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1
𝑠 + 1 ∙ (2 +
𝑠2
𝑠 + 2)
1 + (
10𝑠2
𝑠2+ 3𝑠 + 2
 ) +
10
𝑠 + 1 ∙ (2 +
𝑠2
𝑠 + 2) +
1
𝑠 + 1 ∙ (2 +
𝑠2
𝑠 + 2)
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
(
1
𝑠 + 1 ∙
𝑠2+ 2𝑠 + 4
𝑠 + 2 )
[1 + (
10𝑠2
𝑠2 + 3𝑠 + 2
 ) +
10
𝑠 + 1 ∙ (2 +
𝑠2
𝑠 + 2)+
1
𝑠 + 1 ∙ (2 +
𝑠2
𝑠 + 2)]
=
 
 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
(
1
𝑠 + 1 ∙
𝑠2 + 2𝑠 + 4
𝑠 + 2 )
(22𝑠2+ 25𝑠 + 46)
(𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
= 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 
𝑠2+2𝑠+4
(𝑠+1)∙(𝑠+2)
∙
(𝑠+1)∙(𝑠+2)
(22𝑠2+25𝑠+46)
= 
Função de transferência desse sistema será: 
𝒀(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟒
𝟐𝟐𝒔𝟐+𝟐𝟓𝒔+𝟒𝟔
 
 
 
b) 
 
- Etapa (I): Teremos uma realimentação e, portanto eliminaremos a malha 1. 
 Logo teremos: 
𝐺2
1+𝐺2𝐻2
 
- Etapa (II): Agora teremos uma realimentação e uma cascata. 
 Logo teremos: 
𝐺1𝐺2
1+𝐺2𝐻2
 e 𝐻3 +
𝐻1(1+𝐺2𝐻2)
𝐺2
 
 - Etapa (III): Calculando a realimentação das expressões acima teremos 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺1𝐺2
1 + 𝐺2𝐻2 + 𝐺1𝐺2𝐻3+ 𝐺1𝐻1+ 𝐺1𝐺2𝐻1𝐻2
 
 Logo iremos substituir os valores da expressão. 
 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
𝑠+1
∙
1
𝑠+2
1+
1
𝑠+2
 ∙ 8+
𝑠
𝑠+1
 ∙ 
1
𝑠+2
 ∙ 
1
𝑠
+
𝑠
𝑠+1
 ∙10𝑠+
𝑠
𝑠+1 
 ∙ 
1
𝑠+2
∙10𝑠∙8
 = 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
(𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
 
1 +
8
𝑠 + 2
 +
𝑠
𝑠 ∙ (𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
+
10𝑠2
𝑠 + 1
+
80𝑠2
(𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
 
= 
 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
(𝑠+1) ∙ (𝑠+2)
 
 
[𝑠 ∙ (𝑠+1) ∙ (𝑠+2)]+{8[𝑠 ∙ (𝑠+1)]}+𝑠+{10𝑠2 ∙ [𝑠 ∙ (𝑠+2)]}+80𝑠3
𝑠∙(𝑠+1)∙(𝑠+2)
 
 = 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
= =
𝑠
(𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
 
 𝑠3+ 3𝑠2+ 2𝑠 + 8𝑠2+ 8𝑠 + 𝑠 + 10𝑠4+ 20𝑠3 + 80𝑠3
𝑠 ∙ (𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
 
 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
(𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
10𝑠4+ 101𝑠3 + 11𝑠2+ 11𝑠
𝑠 ∙ (𝑠 + 1) ∙ (𝑠 + 2)
= 
 = ( 𝑠
(𝑠+1)∙(𝑠+2)
) ∙ (
 𝑠∙(𝑠+1)∙(𝑠+2)
10𝑠4+101𝑠3+11𝑠2+11𝑠
) = 
Função de transferência desse sistema será: 
𝒀(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝒔𝟐
𝟏𝟎𝒔𝟒+𝟏𝟎𝟏𝒔𝟑+𝟏𝟏𝒔𝟐+𝟏𝟏𝒔
=
𝒔∙(𝒔)
𝒔∙(𝟏𝟎𝒔𝟑+𝟏𝟎𝟏𝒔𝟐+𝟏𝟏𝒔+𝟏𝟏)
 
 
(Questão 2-a) 
𝑦⃛(𝑡) − 7 ẏ(𝑡) − 14 𝑦(𝑡) = 12 𝑢(𝑡) 
𝑌(𝑠) ∙ (𝑠3 − 7𝑠 − 14) = 𝑈(𝑠) ∙ (12) = 
Função de transferência: 
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝟏𝟐
𝒔𝟑−𝟕𝒔−𝟏𝟒
 
Equação diferencial ordinária de 3ª ordem, ou seja, 3 estados. 
Estados: {
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑥2(𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑥3(𝑡) = 𝑦(𝑡)
 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) → �̇�1(𝑡) = �̇�(𝑡)= �̇�𝟏(𝒕) = 𝒙𝟐(𝒕) 
𝑥2(𝑡) = 𝑦(𝑡) → �̇�2(𝑡) = �̈�(𝑡) = �̇�𝟐(𝒕) = 𝒙𝟑(𝒕) 
𝑥3(𝑡) = 𝑦(𝑡) → �̇�3(𝑡) = 𝑦(𝑡) = �̇�3(𝑡) = 𝟏𝟐𝒖(𝒕) + 𝟕�̇�(𝒕) + 𝟏𝟒𝒚(𝒕) 
�̇�3(𝑡) = 𝟏𝟐𝒖(𝒕) + 𝟕𝒙𝟐(𝒕) + 𝟏𝟒𝒙𝟏(𝒕) 
 
 
𝒙(𝒕) = [
 �̇�𝟏(𝒕)
 �̇�𝟐(𝒕)
�̇�𝟑(𝒕)
] = [
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝟏𝟒 𝟕 𝟎
] ∙ [
𝒙𝟏(𝒕)
𝒙𝟐(𝒕)
𝒙𝟑(𝒕)
] + [
𝟎
𝟎
𝟏𝟐
] ∙ 𝒖(𝒕) → Representação no Espaço de Estados 
𝒚(𝒕) = [𝟏 𝟎 𝟎] ∙ [
𝒙𝟏(𝒕)
𝒙𝟐(𝒕)
𝒙𝟑(𝒕)
] + [𝟎] ∙ 𝒖(𝒕) → Representação no Espaço de Estados 
b) �̈̈�(𝑡) + 5 𝑦(𝑡) + 2 ÿ(𝑡)– 10 ẏ(𝑡) + 8 𝑦(𝑡) = − 7 𝑢(𝑡)– 10 �̇�(𝑡) 
 𝑌(𝑠) ∙ (𝑠4 + 5𝑠3 + 2𝑠2 − 10𝑠 + 8) = 𝑈(𝑠)(−10𝑠 − 7) = 
 Função de transferência → 
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
−𝟏𝟎𝒔−𝟕
𝒔𝟒+𝟓𝒔𝟑+𝟐𝒔𝟐−𝟏𝟎𝒔+𝟖
 
 
 {
�̇�1(𝑡) = 𝑥2(𝑡)
�̇�2(𝑡) = 𝑥3(𝑡)
�̇�3(𝑡) = 𝑥4(𝑡) − 10𝑢(𝑡)
�̇�4(𝑡) = −8𝑥1 − 2𝑥2(𝑡) + 10𝑥3(𝑡) − 5𝑥4(𝑡) + 43𝑢(𝑡)
 
𝒙(𝒕) = [
�̇�𝟏(𝒕)
�̇�𝟐(𝒕)
�̇�𝟑(𝒕)
�̇�𝟒(𝒕)
] = [
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
 𝟎 𝟎
−𝟖 −𝟐
 𝟎 𝟏
𝟏𝟎 −𝟓
] ∙ [
𝒙𝟏(𝒕)
𝒙𝟐(𝒕)
𝒙𝟑(𝒕)
𝒙𝟒(𝒕)
] + [
𝟎
𝟎
−𝟏𝟎
𝟒𝟑
] ∙ 𝒖(𝒕) → Representação no Espaço de 
Estados 
𝒚(𝒕) = [𝟏 𝟎 𝟎 𝟎] ∙ [
𝒙𝟏(𝒕)
𝒙𝟐(𝒕)
𝒙𝟑(𝒕)
𝒙𝟒(𝒕)
] + [𝟎] ∙ 𝒖(𝒕) →Representação no espaço de estados 
 
(Questão 3-a) - Exemplo 1: Sistema de aquecimento de água a vapor. Consiste em aquecer a 
temperatura da água, através da vazão do vapor. A variável controlada é a temperatura da 
água e a variável manipulada é a vazão do vapor. 
- Exemplo 2: Sistema de controle de temperatura ou termostato. Consiste em manter 
constante a temperatura de um determinado sistema, através de regulação automática. A 
variável controlada é a temperatura e a variável manipulada é a corrente elétrica. 
b) As principais vantagens dos sistemas de malha aberta são a simplicidade e o baixo custo. 
As desvantagens são a imprecisão devido à falta de realimentação, além da intervenção 
humana. Já os sistemas de malha fechada apresenta como vantagens a compensação de 
erros, saída constante e robustez (menor sensibilidade a distúrbios). A complexidade e o 
maior custo são desvantagens. 
 
 
(Questão 4) �̇�(𝑡) = [
0 1 0
0 −3 −1
0 1 −3
] ∙ 𝑥(𝑡) + [
0
1
1
] ∙ 𝑢(𝑡) 
 𝑦(𝑡) = [1 1 −1] ∙ 𝑢(𝑡) 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= [1 1 −1] ∙ (𝑠 ∙ [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] − [
0 1 0
0 −3 −1
0 1 −3
])
−1
∙ [
0
1
1
] + 0 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= [1 1 −1] ∙ [
𝑠 −1 0
0 𝑠 + 3 1
0 −1 𝑠 + 3
]
−1
∙ [
0
1
1
] 
𝐸 = [
𝑠 −1 0
0 𝑠 + 3 1
0 −1 𝑠 + 3
] ; 𝐸−1 =? ; |𝐸| = [
𝑠 −1 0
0 𝑠 + 3 1
0 −1 𝑠 + 3
]
𝑠 −1
0 𝑠 + 3
0 −1
= 
|E|= 𝑠 ∙ (𝑠 + 3)2 + 𝑠 
𝐸11 = (−1)1+1 ∙ [
𝑠 + 3 1
−1 𝑠 + 3
] = (𝑠 + 3)2 + 1 
𝐸12 = (−1)1+2 ∙ [
0 1
0 𝑠 + 3
] = 0 
𝐸13 = (−1)1+3 ∙ [
0 𝑠 + 3
0 −1
] = 0 
𝐸21 = (−1)2+1 ∙ [
−1 0
−1 𝑠 + 3
] = 𝑠 + 3 
𝐸22 = (−1)2+2 ∙ [
𝑠 0
0 𝑠 + 3
] = 𝑠 ∙ (𝑠 + 3) 
𝐸23 = (−1)2+3 ∙ [
𝑠 −1
0 −1
] = 𝑠 
𝐸31 = (−1)3+1 ∙ [
−1 0
𝑠 + 3 1
] = −1 
𝐸32 = (−1)3+2 ∙ [
𝑠 0
0 1
] = −𝑠 
𝐸33 = (−1)3+3 ∙ [
𝑠 −1
0 𝑠 + 3
] = 𝑠 ∙ (𝑠 + 3) 
𝐸−1 =
[𝐶𝑂𝐹𝐴𝑇 (𝐸)]𝑇
𝐷𝐸𝑇(𝐸)
= 𝐸−1 =
[
(𝑠+3)2+1 𝑠+3 −1
0 𝑠∙(𝑠+3) −𝑠
0 𝑠 𝑠∙(𝑠+3)
]
𝑠∙(𝑠+3)2+𝑠
= 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= [1 1 −1] ∙
[
(𝑠 + 3)2 + 1 𝑠 + 3 −1
0 𝑠 ∙ (𝑠 + 3) −𝑠
0 𝑠 𝑠 ∙ (𝑠 + 3)
]
𝑠(𝑠 + 3)2 + 𝑠
 ∙ [
0
1
1
] 
 
 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= 
[(𝑠 + 3)2 + 1) ∙ (𝑠 + 3 + 𝑠2 + 3𝑠 − 𝑠) ∙ (−1 − 𝑠 − 𝑠2 − 3𝑠)]
𝑠 ∙ (𝑠 + 3)2 + 𝑠
 ∙ [
0
1
1
] = 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
 = 
 [(𝑠 + 3)2 + 1) ∙ (𝑠2 + 3𝑠 + 3) ∙ (𝑠2 − 4𝑠 − 1)]
𝑠 ∙ (𝑠 + 3)2 + 𝑠
 ∙ [
0
1
1
] = 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
(𝑠2+3𝑠+3)+(𝑠2−4𝑠−1)
𝑠3+6𝑠2+10𝑠
 = 
Função de transferência →
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝟐𝒔𝟐−𝒔+𝟐
𝒔𝟑+𝟔𝒔𝟐+𝟏𝟎𝒔
 
 
(Questão 5-a) Observando o gráfico, pode-se calcular o T multiplicando a amplitude (2) pela 
constante de tempo (0,632) ou (63,2%). 
0,632 ∙ 2 = 1,264 
Agora analisando o gráfico, chega-se a conclusão de que o valor do parâmetro T é 
aproximadamente 1. 
 
Logo 𝑻 ≅ 𝟏𝒔 
 
b) Utilizando o conceito de sistemas de primeira ordem 
1
𝑇𝑠+1
 , Tem-se: 
𝐺(𝑠) =
3𝐾
6𝑇 + 12
=
3𝐾
12 ∙ (
𝑇𝑠
2 + 1
)
=
3𝐾
12
𝑇𝑠
2 + 1
 
Simplificando a expressão 
3𝐾
12
=
𝐾
4
 
Iguala-se a expressão simplificada por 2 
𝐾
4
= 2 
Usando a regra da multiplicação: 𝐾 = 4 ∙ 2 → 𝑲 = 𝟖 
 
c) 𝑬𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎 (𝟏 +
𝟏
𝒏
)
 
= 
lim
𝑛→∞
(
 
 
 𝑠 ∙
1
𝑠 
1 + (
2𝑠
2
+ 1
) 
)
 
 
 
 
= 
1
1
3
1
= 
1
1
∙
1
3
=
1
3
 
ess = 
𝟏
𝟑