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Superfícies Quádricas (Resumo) 
 
Seja a equação de 2º grau a três variáveis 
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, 
onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são constantes reais tais que A, B, C, D, E, ou F é diferente de 
zero, e x, y, z são variáveis reais. 
 
As superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superfícies dadas pelas equações de 2º 
grau a três variáveis acima, onde cada quádrica tem sua equação padrão dada pela tabela seguinte: 
 
Superficie Equação Padrão 
Esfera x2 + y2 + z2 = r2 
Elipsóide 
12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x 
Hiperbolóide de uma folha 
12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
Hiperbolóide de duas folhas 
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x 
Parabolóide elíptico 
z
b
y
a
x
±=+ 2
2
2
2
 
Parabolóide Hiperbólico 
z
b
y
a
x
=− 2
2
2
2
 
Cone 2
2
2
2
2
z
b
y
a
x
=+ 
 
Cilindro Reto 
Base circular Equação do círculo 
Base elíptica Equação da elipse 
Base Parabólica Equação da Parábola 
Base Hiperbólica Equação da Hipérbole 
 
 
Obs: A equação x2 + y2 = 1 em , por exemplo, representa uma circunferência centrada na origem 
de raio unitário. Entretanto, esta mesma equação em representa um cilindro circular reto de base 
na circunferência cuja equação em é x2 + y2 = 1 (Ver figura abaixo). Desse modo, o cilindro 
cuja base é uma elipse será chamado de cilindro elíptico. 
2
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
Elipsóide: 12
2
2
2
=+
c
z Hiperbolóide de Uma Folha: 2
2
+
b
y
a
x 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
 
 
 
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
xHiperbolóide de Duas folhas: Parabolóide Elíptico: z
b
y
a
x
±=+ 2
2
2
2
 
 
 
z
b
y
a
x
=− 2
2
2
2
Parabolóide Hiperbólico: Cone: 22
2
2
2
z
b
y
a
x
=+ 
 
 
 
 
 
Cilindro de Base Parabólica Cilindro de Base Hiperbólica 
 
 
Exercícios: 
1) Seja S uma superfície de equação x2 + y2 + z2 + 3x -7y + 4z – 3 = 0. 
erifique se abaixo dad superfíci
 R(0, 2, 1) 
.2) Identifique a superfície S e faça um esboço da mesma. 
2) Discutir e construir o elipsóide cuja equ
1.1) V cada ponto o está sobre a e S. 
 O(0, 0, 0) P(1, 5, 2) Q(1, 1, 1) 
1
 
 ação é dada: 
a) 12
22
=++ zyx b) 
9
1
32
22
2 =++
zyx 
4
c) 36x2 + 9y2 + 4z2 = 36 d) 4x2 + y2 + z2 – 8x= 36 
3) Discutir e construir o hiperbolóide uja
a) 
 
c equação é dada: 
1
94
22
2 =−+
zyx b) 1
94
22
2 =−−
zyx 
c) x2 + y2 – 2z2 = 4 d) x2 – y2 – 2z2 = 4 
e co bo
a) x y2 = 4z b) x2 – y2 = z c) x2 + y2 – 4x – 6y – 18z + 13 = 0 d) x2 – y2 = 4z 
 (x, y ão dada a seguir: 
100y2 – 4z2 – 50x – 24z = 111 ) (x – 4)2 + 4(y + 3)2 – 16 = 0 
 
4) Discutir nstruir o para lóide cuja equação é dada: 
2 + 2
 
5) Identifique o conjunto dos pontos , z) que satisfazem a cada equaç
a) 25x2 – b
c) x2 + y 
 
 
 
 
 
1. Identifique e faça um esboço gráfico das seguintes superfícies:
(a) x+ y + z = 1 (f)
(
y = 3
z = 4
(b) y = 3 (g) x2 + (y − 2)2 = 1
(c) z = 4 (h) z = y2
(d)
(
x+ y = 1
z = 3
(i) z = 4− x2
(e)
(
x+ y = 1
z = 0
(j) z = 4− x2 − y2
2. Identifique e faça um esboço gráfico de cada uma das seguintes superfícies quádricas:
(a) x2 + 2y2 + z2 = 1
(b) x2 + z2 = 9
(c) x2 + y2 + z2 = −2z
(d) x2 + y2 = 4− z
(e) (z − 4)2 = x2 + y2
(f) y = x2
(g)
(
z = 2− y2
x ≥ 2
(h) x2 + 2y2 − z2 = 1
(i) x2 − y2 − z2 = 9
3. Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições:
(a) x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2
(b) x2 + y2 ≤ 4 e x2 + y2 ≥ (z − 6)2
(c) x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x+ y
(d) 0 ≤ z ≤ 2 e x2 + y2 − z2 ≤ 1
4. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de IR3:
(a) V =
©
(x, y, x) ∈ IR3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 6x+ 3y + 2z ≤ 12ª
(b) V =
©
(x, y, x) ∈ IR3 : x2 + y2 = 6y e x2 + y2 + z2 ≤ 36ª
(c) V =
n
(x, y, x) ∈ IR3 : 4 + z ≥ x2 + y2 e 2− z ≥px2 + y2o
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