Cálculo de EDO de 1a ordem

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia
MATA04 Cálculo C
EDO de 1a ordem
(1) Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 de galões (aproximadamente 4.550.000 litros)
de água e uma quantidade desconhecida de um produto qúımico indesejável. O lago recebe água
contendo 0,01 grama dessa mesma substância por galão a uma taxa de 300 galões por minuto. A
mistura sai a mesma taxa, de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha
que o produto qúımico está distribúıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equação diferencial cuja solução é a quantidade de produto qúımico no lago em
um instante qualquer.
(2) Sua piscina, contendo 60.000 galões (cerca de 273.000 litros) de água, foi contaminada por 5 kg de
uma tinta não tóxica que a deixa a pele de um nadador com uma cor verde nada atraente. O sistema
de filtragem da piscina pode retirar a água, remover a tinta e devolver água para a piscina a uma
taxa de 200 gal/min (atenção com as unidades de medida).
(a) Seja q(t) a quantidade de tinta na piscina em qualquer instante de tempo t. Modele q(t) através
de uma equação diferencial.
(3) Nos itens abaixo, determine a ordem da equação diferencial e classifique em linear ou não-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sent.
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et.
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1.
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0.
(e)
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sent.
(f)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2 t)y = t3.
(4) Nos itens abaixo, verique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação
diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et y2 = cosh t.
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t y2(t) = et.
(c) ty′ − t = t2; y = 3t+ t2.
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) =
t
3
y2(t) = e
−t +
t
3
.
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2 y2(t) = t−1.
(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t
−2 y2(t) = t
2 ln t.
(g) y′′ + y = sec t, 0 < t < π2 ; y = (cos t) ln cos t+ tsent.
(h) y′ − 2ty = 1; y = et2
∫ t
0
e−s
2
ds+ et
2
.
1
2
(5) Com relação a Questão 2.
(a) Resolva a EDO que modela o problema.
(b) Você convidou alguns amigos para uma festa em torno da piscina que está marcada para começar
em 4 horas. Você já verificou que o efeito da tinta é impercept́ıvel se a concentração é menor
do que 0,02 g/gal. Seu sistema de filtragem é capaz de reduzir a concentração de tinta a esse
ńıvel em 4 horas?
(c) Encontre o instante t em que a concentração de tinta alcance, pela primeira vez, o valor de
0,02 g/gal.
(d) Qual deveria ser a taxa do fluxo de água no filtro suficiente para obter a concentração de
0,02 g/gal dentro de 4 horas?
(6) Encontre a solução da EDO linear de 1a ordem com condição inicial.
(a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1.
(b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0.
(c) ty′ + 2y = t2 − t+ 1, t > 0, y(1) = 1/2.
(d) y′ +
2
t
y =
cos(t)
t2
, t > 0, y(π) = 0.
(e) y′ − 2y = e2t, y(0) = 2.
(f) ty′ + 2y = sen(t), t > 0, y(π/2) = 1.
(g) t3y′ + 4t2y = e−t, t > 0, y(−1) = 0.
(h) ty′ + (t+ 1)y = t, t > 0, y(ln(2)) = 1.
(7) Mostre que a EDO é separável e encontre a solução.
(a) y′ =
x2
y
.
(b) y′ + y2sen(x) = 0.
(c) y′ = (cos2(x))(cos2(2y)).
(d)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
.
(e) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6.
(f)
dr
dθ
=
r2
θ
, r(1) = 2.
(g) y′ =
2x
1 + 2y
, y(2) = 0.
(h) y′ =
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(8) Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
(a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0.
(b) 3x2 − 2xy + 2 + (6y2 − x2 + 3)dy
dx
= 0.
(c) 2xy2 + 2y + (2x2y + 2x)y′ = 0.
(d)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
(e) (exsen(y)− 2y sen(x))dx+ (ex cos(y) + 2 cos(x))dy = 0.
(f) (yexy cos(2x)− 2exysen(2x) + 2x)dx+ (xexy cos(2x)− 3)dy = 0
(g)
(y
x
+ 6x
)
dx = (2− ln(x))dy, x > 0.
(h)
x
(x2 + y2)3/2
dx+
y
(x2 + y2)3/2
dy = 0.
(9) Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0.
(b) y′ = e2x + y − 1.
(c) dx+ (x/y − sen(y)) dy = 0.
(d) y + (2xy − e−2y)y′ = 0.
(10) Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
(a)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
.
(b)
dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
.
(c)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
.
(d)
dy
dx
= −4x+ 3y
2x+ y
.
(e)
dy
dx
=
x+ 3y
x− y
.
(f) (x2 + 3xy + y2) dx− x2 dy = 0.
(g)
dy
dx
=
x2 − 3y2
2xy
.
(h)
dy
dx
=
3y2 − x2
2xy
.
3
(11) Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
(a) x
dy
dx
+ y = y−2, x 6= 0.
(b)
dy
dx
= y(xy3 − 1), x 6= 0.
(c) t2
dy
dt
+ y2 = ty, t 6= 0.
(d) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0.
Respostas
(1) (a)
dq
dt
= 300(10−2 − q10−6)
(2) (a) q′ = − q
300
q(0) = 5000 g
(3) (a) segunda ordem, linear
(b) segunda ordem, não-linear
(c) quarta ordem, linear
(d) primeira ordem, não-linear
(e) segunda ordem, não-linear
(f) terceira ordem, linear
(4) (a) sim e sim
(b) sim e sim
(c) não
(d) sim e sim
(e) sim e sim
(f) sim e não
(g) sim
(h) sim
(5) (a) q(t) = 5000e−t/300
(b) Não
(c) t = 300 ln(25/6) ∼= 7, 136 h
(d) 250 ln(25/6) ∼= 256, 78 gal/min
(6) (a) y = 3et + 2(t− 1)e2t
(b) y = (t2 − 1)e−2t/2
(c) y = (3t4 − 4t3 + 6t2 + 1)/12t2
(d) y = (sen(t))/t2
(e) y = (t+ 2)e2t
(f) y = t−2
[
(π2/4)− 1− t cos(t) + sen(t)
]
(g) y = −(1 + t)e−t/t4
(h) y = (t− 1 + 2e−t)/t
(7) (a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0
(b) y = 0 ou y−1 + cos(x) = c se y 6= 0
(c) y = ±(2n+ 1)π/4 ou 2 tg(2y)− 2x− sen(2x) = c se cos(2y) = 0
(d) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = c; para y + ey 6= 0
(e) y = 1/(x2 − x− 6)
(f) r = 2/ [1− 2 ln(θ)]
(g) y = −12 +
1
2
√
4x2 − 15
(h) y = −34 +
1
4
√
65− 8ex − 8e−x
(8) (a) x2 + 3x+ y2 − 2y = c
(b) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c
(c) x2y2 + 2xy = c
(d) ax2 + 2bxy + cy2 = k
(e) y = 0 ou ex sen(y) + 2y cos(x) = c
(f) exy cos(2x) + x2 − 3y = c
(g) y ln(x) + 3x2 − 2y = c
(h) x2 + y2 = c
4
(9) (a) µ(x) = e3x; (3x2y + y3)e3x = c
(b) µ(x) = e−x; y = cex + e2x + 1
(c) ν(y) = y; xy + y cos(y)− sen(y) = c
(d) ν(y) = e
2y
y ; y = 0 e xe
2y − ln |y| = c
(10) (a) arctg(x/y)− ln |x|
(b) x2 + y2 − cx3 = 0
(c) y = x ou y = 3x
(d) y = −x ou y = −4x
(e) y = −x ou 2x/(x+ y) + ln |x+ y| = c
(f) y = −x ou x/(x+ y) + ln |x| = c
(g) |x3||x2 − 5y2| = c
(h) c|x3| = |y2 − x2|
(11) (a) y = 3
√
1 + cx−3
(b) y−3 = x+ 13 + ce
3x
(c) et/y = ct
(d) y = ±
[
5t/(2 + 5ct5)
]1/2