Cap6_Met_Mat_Apl_Engenharia_2020

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Caṕıtulo 1
Aplicação do Teorema de Reśıduos
para o Cálculo da Transformada de
Laplace
Teorema: Sejam f e f ′ funções seccionalmente cont́ınuas em [0,+∞), de ordem ex-
pondencial γ0 para t ≥ 0. Se F (s) = L{f(t)} então:
f(t) = L−1{F (s)} = 1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
estF (s)ds .
É importante notar que a integral é calculada ao longo de uma reta, de γ − iR até
γ + iR com R→ +∞.
Observe a figura.
Para obter o valor da integral, iremos aplicar o Teorema dos Reśıdulos.
1
2
Consideremos o contorno fechado C = LR ∪CR, onde LR é a reta unindo os pontos
s = γ− iR e s = γ+ iR e CR é a semi-circunferência obtida da circunferência de centro
em s = γ e raio R, conforme ilustrado na figura.
De modo que para R > 0 suficientemente grande, o contorno C contenha todas as
singularidades do integrando estF (s) .
O contorno C é chamado de contorno de Bromwich.
Teorema: Seja F (s) = L{f(t)} uma função que possui um número finito de
singularidades isoladas s1, s2, . . . , sk à esquerda da reta vertical dada por Re(s) = γ e
seja C o contorno de Bormuwich. Se F (s) for limitada em CR quando R→∞, então:
L−1{F (s)} =
k∑
j=1
Res(estF (s), sj) .
OBS: Podemos mostrar que as condições do teorema são satisfeitas para funções
racionais onde o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Essas funções
são as que interessam ao nosso curso.
Exemplo 1.1. Obtenha
(a) L−1
{
1
s− 2
}
.
Solução:
A singularidade é s = 2 .
Temos que L−1
{
1
s− 2
}
= Res
(
est
1
s− 2
, 2
)
.
Primeiro, classificamos a singularidade.
lim
s→2
(s− 2)m e
st
s− 2
= e2t , se, e só se, m = 1 .
3
Portanto, s = 2 é pólo simples e Res
(
est
1
s− 2
, 2
)
= e2t .
(b) L−1
{
1
(s+ 1)(s− 2)2
}
.
Solução:
Há duas singularidades: s = −1 e s = 2 .
Portanto,
L−1
{
1
(s+ 1)(s− 2)2
}
= Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
,−1
)
+Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
, 2
)
.
Cálculo de Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
,−1
)
:
Temos,
lim
s→−1
(s+ 1)mest
(s+ 1)(s− 2)2
=
e−t
9
, se, e só se, m = 1 .
Portanto, s = −1 é pólo simples e Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
,−1
)
=
e−t
9
.
Cálculo de Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
, 2
)
:
Temos,
lim
s→2
(s− 2)mest
(s+ 1)(s− 2)2
=
e2t
3
, se, e só se, m = 2 .
Portanto, s = 2 é polo de ordem 2 .
E,
Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
, 2
)
= lim
s→2
1
(2− 1)!
d
ds
[
(s− 2)2est
(s+ 1)(s− 2)2
]
.
Portanto,
Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
, 2
)
= lim
s→2
d
ds
[
est
s+ 1
]
= lim
s→2
test(s+ 1)− est
(s+ 1)2
.
Assim,
Res
(
est
(s+ 1)(s− 2)2
, 2
)
=
3te2t − e2t
9
.
Logo,
L−1
{
1
(s+ 1)(s− 2)2
}
=
e−t
9
+
te2t
3
− e
2t
9
.
4
Exerćıcios
1. Usando o Teorema dos Reśıduos, obtenha:
(a) L−1
{
s− 2
s2 − 4s+ 13
}
(b) L−1
{
2
(s+ 3)(s− 1)2
}
Resolução dos Exerćıcios
1. (a) Singularidades, s = 2 + 3i e s = 2− 3i.
Temos,
lim
s→2+3i
(s− (2 + 3i))n=1 e
st(s− 2)
(s− (2 + 3i))(s− (2− 3i))
=
e(2+3i)t
2
.
Logo, s = 2 + 3i é polo simples e Res(estF (s), 2 + 3i) =
e(2+3i)t
2
.
Também,
lim
s→2−3i
(s− (2− 3i))n=1 e
st(s− 2)
(s− (2 + 3i))(s− (2− 3i))
=
e(2−3i)t
2
.
Logo, s = 2− 3i é polo simples e Res(estF (s), 2− 3i) = e
(2−3i)t
2
.
Portanto, f(t) =
e(2+3i)t + e(2−3i)t
2
= e2t cos(3t).
(b) Singularidades, s = −3 e s = 1.
Temos,
lim
s→−3
(s+ 3)n=1
est2
(s+ 3)(s− 1)2
=
e−3t
8
.
Portanto, s = −3 é polo simples e Res(estF (s),−3) = e
−3t
8
.
Também, lim
s→1
(s− 1)n=2 e
st2
(s− 3)(s− 1)2
= −et.
Portanto, s = 1 é polo duplo eRes(estF (s), 1) =
1
1!
lim
s→1
d
ds
(s−1)2 e
st2
(s+ 3)(s− 1)2
=
tet .
Portanto, f(t) =
e−3t + (4t− 1)et
8
.
	
	
	
	
	
	Aplicação do Teorema de Resíduos para o Cálculo da Transformada de Laplace