PERT+avancado

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Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 1
PERT
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PERT
• O CPM assume que as estimativas de tempo para 
um projeto são certas (determinísticas);
• A duração de cada atividade na prática, contudo, 
pode ser diferente daquela prevista no projeto;
• Existem muitos fatores praticamente impossíveis 
de serem previstos que podem adiantar ou atrasar a 
duração de uma atividade, tais como, falta de 
pessoal, intempéries climáticas, atrasos na entrega 
de materiais ou acidentes.
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PERT
• A fim de se obter um planejamento mais confiável, 
faz-se necessário considerar as incertezas sobre a 
duração de cada atividade;
• Para incorporar essas incertezas no diagrama de 
rede, são utilizadas estimativas probabilísticas de 
tempo;
• Na metodologia PERT, a duração de cada atividade 
é tratada como uma variável aleatória com alguma 
distribuição de probabilidade associada.
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PERT
• O PERT utiliza 3 estimativas de duração de uma 
atividade para determinar os parâmetros da distribuição de 
probabilidade:
mm: estimativa mais provável da duração de uma atividade;
aa: estimativa otimista da duração de uma atividade;
bb: estimativa pessimista da duração de uma atividade.
• Essas 3 estimativas de tempo fornecem informação 
suficiente para estimar a probabilidade de uma atividade 
ser realizada dentro do cronograma.
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PERT
• A partir das 3 estimativas de tempo, deve-se calcular 
a média e a variância para cada atividade;
• No PERT, o tempo de duração de cada atividade é 
tratado como uma variável aleatória oriunda de uma 
distribuição beta de probabilidades;
• Esse tipo de distribuição pode ter várias formas onde 
a estimativa mais provável (m) apresenta a maior 
probabilidade de ocorrência e está localizada entre as 
estimativas pessimista (b) e otimista (a).
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PERT
• A partir das 3 estimativas de tempo, deve-se calcular 
a média e a variância para cada atividade;
• No PERT, o tempo de duração de cada atividade é 
tratado como uma variável aleatória oriunda de uma 
distribuição beta de probabilidades;
• Esse tipo de distribuição pode ter várias formas onde 
a estimativa mais provável (m) apresenta a maior 
probabilidade de ocorrência e está localizada entre as 
estimativas pessimista (b) e otimista (a).
A distribuição beta pode ser utilizada para 
descrever uma ampla variedade de variáveis 
aleatórias e é uma escolha adequada para 
descrever o comportamento dos tempos de 
duração das atividades de um projeto 
quando suas verdadeiras distribuições de 
probabilidades são desconhecidas.
Tempo
Pr
ob
ab
ili
da
de
Médiama b
PERT
m é a moda da
distribuição beta. 
Ou seja, é o valor 
com a maior
probabilidade de 
ocorrência.
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PERT
• A utilização das três estimativas de tempo (m, a e b), depende 
do atendimento de dois outros pressupostos:
i) assume-se que as três estimativas podem ser estimadas com 
precisão;
ii) assume-se que o desvio-padrão, σ, da duração da atividade é 
1/6 da amplitude b – a. Assim, a probabilidade do tempo real de 
duração da atividade está localizado entre a e b, é alta.
• Mesmo com esses pressupostos, o cálculo da média e da 
variância da distribuição de probabilidade de cada atividade é 
bastante complexo.
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PERT
• A duração média esperada (te) e a variância σ2 de 
cada atividade são determinadas por:
6
4 bmate
++
=
2
2
6





 −=
abσ
A variância cresce com o aumento da diferença entre a e b. A variância cresce com o aumento da diferença entre a e b. 
Ou seja, quanto menos certa estiver uma pessoa sobre os Ou seja, quanto menos certa estiver uma pessoa sobre os 
tempos para uma atividade, maior será a variância.tempos para uma atividade, maior será a variância.
O tempo mais provável tem um O tempo mais provável tem um 
peso 4 vezes maior do que os peso 4 vezes maior do que os 
tempos otimistas e pessimistas.tempos otimistas e pessimistas.
(tempo esperado da atividade)
(variância da atividade)
Média (Média (µµ) da ) da 
distribuição beta.distribuição beta.
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PERT
• Suponha que para o caso da construção do hospital, 
tenha-se chegado às seguintes estimativas de tempo para a 
atividade B:
a = 7 semanas; m = 8 semanas; b = 15 semanas
Qual o tempo esperado para conclusão da atividade e sua 
variância?
Atividade B
Otimista Provável Pessimista
(a) (m) (b)
7 8 15
A F
I
C G
D
E
HB J
K
te = = 9 semanas
7 + 4(8) + 15
6
σ2 = = 1,78( )15 - 76
2
PERT
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PERT
Atividade a m b te σ2
A 11 12 13
B 7 8 15 9 1,78
C 5 10 15
D 8 9 16
E 14 25 30
F 6 9 18
G 25 36 41
H 35 40 45
I 10 13 28
J 1 2 15
K 5 6 7
Calcular o tempo esperado e a variância para cada atividade.
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Atividade a m b te σ2
A 11 12 13 12 0,11
B 7 8 15 9 1,78
C 5 10 15 10 2,78
D 8 9 16 10 1,78
E 14 25 30 24 7,11
F 6 9 18 10 4,00
G 25 36 41 35 7,11
H 35 40 45 40 2,78
I 10 13 28 15 9,00
J 1 2 15 4 5,44
K 5 6 7 6 0,11
PERT
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PERT
• A partir da tabela anterior, observa-se que a 
atividade que apresenta duração com maior grau de 
incerteza é a atividade I (σ2 = 9,00), seguida das 
atividade E e G (σ2 = 7,11);
• Essas atividades devem ser foco de atenção para que 
se possa identificar as fontes de incerteza;
• Ações devem, então, serem tomadas para reduzir a 
variância nas respectivas estimativas de tempo.
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PERT
• Com os valores da tabela anterior pode-se, por exemplo, 
construir o pior cenário, ou seja, determinar o caminho 
crítico utilizando as durações pessimistas.
Caminho
A - F - K 13 + 18 + 7 = 38
A - I - K 13 + 28 + 7 = 48
A - C - G - J -K 13 + 15 + 41 + 15 + 7 = 91
B - D - H - J - K 15 + 16 + 45 + 15 + 7 = 98
B - E - J - K 15 + 30 + 15 + 7 = 67
Tempo previsto (semanas)
Qual a probabilidade que este cenário ocorra?Qual a probabilidade que este cenário ocorra?
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PERT
• Para obter a distribuição de probabilidade do tempo de conclusão 
do projeto, faz-se necessário conhecer o tempo médio esperado (TE) 
de conclusão do caminho crítico, bem como sua variância;
TTEE = = Σ Σ(Tempos esperados das atividades do caminho)(Tempos esperados das atividades do caminho)
• Considerando o Teorema do Limite Central:
“a soma de “a soma de nn valores individuais tende a valores individuais tende a 
seguir o modelo Normal de distribuição de probabilidade, seguir o modelo Normal de distribuição de probabilidade, 
independentemente da distribuição dos independentemente da distribuição dos nn valores individuais”valores individuais”
• Assume-se que a forma da distribuição de probabilidades da 
duração do projeto (caminho crítico) é uma distribuição Normal e:
TTEE = média da distribuição normal= média da distribuição normal
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PERT
• Para o cálculo da variância do caminho crítico, assume-se que:
1. Os tempos de duração das atividades que compõem o caminho 
são variáveis aleatórias independentes, e;
2. São identicamente distribuídas.
• O pressuposto 1 considera que o tempo de duração de uma 
atividade não depende do tempo de nenhuma outra;
• O pressuposto 2 considera que os tempos de duração de cada 
atividade seguem a mesma função de probabilidade.
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PERT
• A partir dos pressupostos anteriores, a variância do caminho crítico 
pode ser obtida de forma similar ao cálculo do tempo esperado de
conclusão:
σσ22 = = Σ Σ(Variâncias das atividades do caminho)(Variânciasdas atividades do caminho)
• Esse processo pode ser generalizado para os demais caminhos;
• A média e a variância da distribuição de probabilidade de um 
determinado caminho dentro da rede podem ser estimadas somando-
se os tempos esperados e as variâncias das atividades ao longo do 
mesmo.
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PERT
∑= eE tT
∑= 22 σσ
Para determinar a probabilidade de um projeto exceder um 
tempo Tx, utiliza-se a distribuição normal padronizada:
2σ
Ex TTz −= σ µµ = 0= 0
σσ22 = 1= 1
Tempo esperado de Tempo esperado de 
conclusão de um conclusão de um 
caminho dentro da rede.caminho dentro da rede.
Somatório dos tempos Somatório dos tempos 
esperado de conclusão de esperado de conclusão de 
cada atividade no cada atividade no 
caminho considerado.caminho considerado.
Variância do caminho.Variância do caminho.
Variância das Variância das 
atividades no caminho.atividades no caminho.
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PERT
( ) ( ) ( )zZPzZPTTP x >−=≤=≤ 1
A probabilidade de um projeto 
ser concluído até o tempo desejado Tx, é:
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PERT
Duração do Projeto (semanas)
TE Tx
Probabilidade
de T ≤ Tx
Duração
esperada do 
caminho
crítico
Distribuição
Normal:
Média = TE; 
σ2 = Σσ2
Probabilidade
de T >Tx
0 z
Probabilidade
de Z ≤ z
Distribuição Normal 
padronizada:
Média = 0; 
σ2 = 1
Probabilidade
de Z >z
( ) ( ) ( )zZPzZPTTP x >−=≤=≤ 1
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Observações
• P (T ≤ Tx) é uma aproximação da verdadeira
probabilidade do projeto atender ao prazo estipulado;
• Como se está trabalhando com valores médios, P (T 
≤ Tx) geralmente é maior do que a real probabilidade;
• Sendo assim, deve-se considerar P (T ≤ Tx) como 
um valor de referência que pode estar superestimando 
a probabilidade do projeto atender aos prazos.
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PERT
Calcular a probabilidade do hospital entrar em 
funcionamento em 72 semanas utilizando:
a) o caminho crítico, e;
b) o caminho A-C-G-J-K.
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PERT
a) Caminho crítico B-D-H-J-K
TE = 69 semanas
σ2 = 11,89
87,0
45,3
3
89,11
6972
==
−
=z
Da tabela de estatísticas
σσ22 = 1,78 + 1,78 + 2,78 + 5,44 + 0,11 = 11,89= 1,78 + 1,78 + 2,78 + 5,44 + 0,11 = 11,89
Tx
ΤΤΕΕ = 9 + 10 + 40 + 4 + 6 = 69= 9 + 10 + 40 + 4 + 6 = 69
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PERT
A partir da tabela da distribuição normal padronizada:
A probabilidade do caminho crítico durar no 
máximo 72 semanas é de aproximadamente 0,81.
Ou seja, existe 19% de probabilidade do projeto 
levar mais que 72 semanas para ser finalizado.
P(P(TT>72>72) = ) = P(P(Z>Z>00,87) = 1 ,87) = 1 –– P(Z P(Z ≤≤0,87) = 1 0,87) = 1 –– 0,81 =0,81 = 0,190,19
P(TP(T≤≤72) = 72) = P(ZP(Z≤≤0,87) 0,87) ≈≈ 0,810,81
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PERT
A partir da tabela da distribuição normal padronizada:
A probabilidade do caminho crítico durar no 
máximo 72 semanas é de aproximadamente 0,81.
Ou seja, existe 19% de probabilidade do projeto 
levar mais que 72 semanas para ser finalizado.
P(P(TT>72>72) = ) = P(P(Z>Z>00,87) = 1 ,87) = 1 –– P(Z P(Z ≤≤0,87) = 1 0,87) = 1 –– 0,81 =0,81 = 0,190,19
P(TP(T≤≤72) = 72) = P(ZP(Z≤≤0,87) 0,87) ≈≈ 0,810,81
Duração do Projeto (semanas)
69 72
Probabilidade
de cumprir o 
prazo (Tx) é de 
0,8078
Duração
esperada do 
caminho
crítico
Distribuição Normal: 
Média = 69 semanas; 
σ = 3,45 semanas
Probabilidade de 
exceder as 72 
semanas é de 
0,1922 
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Observações
• O gerente do projeto deve ficar atento ao caminho crítico 
pois, em função da variabilidade dos tempos de duração 
das atividades que compõem o caminho, existe uma 
probabilidade de 19% de atraso;
• Atenção maior deve ser dispensada à atividade J que 
apresenta o maior grau de incerteza (σ2 = 5,44).
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PERT
b) Caminho A-C-G-J-K
TE = 67 semanas
σ2 = 15,55
27,1
94,3
5
55,15
6772
==
−
=z
Da tabela de estatísticas
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PERT
A partir da tabela da distribuição normal padronizada:
A probabilidade do caminho A-C-G-J-K durar no máximo 
72 semanas é de aproximadamente 0,90.
Ou seja, existe 10% de probabilidade desse caminho 
atrasar o projeto.
Atenção especial deve ser dada às atividades G (σ2 = 7,11) 
e J (σ2 = 5,44), devido à incerteza inerente às mesmas.
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EXERCÍCIO
Calcular a probabilidade do hospital entrar em 
funcionamento em 70 semanas em todos os caminhos.
Caminho Σσ2 z P(T<70) P(T>70)
A - F - K 12 + 10 + 6 = 28 4,22 20,45 ≈ 100% 0
A - I - K 12 + 15 + 6 = 33 9,22 12,19 ≈ 100% 0
A - C - G - J -K 12 + 10 + 35 + 4 + 6 = 67 15,55 0,76 0,7764 0,2236
B - D - H - J - K 9 + 10 + 40 + 4 + 6 = 69 11,89 0,29 0,6141 0,3859
B - E - J - K 9 + 24 + 4 + 6 = 43 14,44 7,11 ≈ 100% 0
Tempo esperado (Σte)
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Observações sobre o PERT
• Um problema com a utilização do PERT diz 
respeito à identificação do caminho crítico como 
sendo o caminho mais longo do projeto;
• Na realidade, atividades que não pertencem ao 
caminho crítico podem oferecer maiores riscos de 
atrasar o projeto do que aquelas no caminho crítico;
• Considere a rede de atividades apresentada na 
seqüência.
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Observações sobre o PERT
C
A
B
D
a=2
m=4
b=6
t =4
v=0.444
a=8
m=9
b=10
t =9
v=0.111
a=3
m=5
b=7
t =5
v=0.444
a=2
m=8
b=14
t =8
v=4.0
Caminho: Tempo esperado: Variância:
A - B - D
A - C - D
4 + 9 + 5 = 18
4 + 8 + 5 = 17
1.000
4.889
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Observações sobre o PERT
Distribuições dos Tempos de Conclusão
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Tempo de conclusão do caminho
D
en
si
da
de
 d
e 
Pr
ob
ab
ili
da
de
Caminho crítico
A-B-D
Caminho "não-crítico"
A-C-D
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Observações sobre o PERT
• Observando-se a distribuição de probabilidade do 
caminho crítico, verifica-se que, praticamente, não existe 
chance do projeto terminar em mais de 21 períodos de 
tempo:
TE = 18 unidades de tempo
σ2 = 1,00
00,3
00,1
3
00,1
1821
==
−
=z
P(P(TT>21>21) = ) = P(P(Z>Z>33,00) = 1 ,00) = 1 –– P(Z P(Z ≤≤3,00) = 1 3,00) = 1 –– 1 =1 = 00
P(TP(T≤≤21) = 21) = P(ZP(Z≤≤3,00) 3,00) ≈≈ 11
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Observações sobre o PERT
• Conclui-se, de acordo com os conceitos do PERT, que o 
projeto pode com quase toda certeza ser finalizado dentro 
do prazo estipulado (21 períodos de tempo);
• Contudo, a distribuição de probabilidades dos tempos do 
caminho não-crítico A-C-D indica uma probabilidade 
maior do que a do caminho crítico de durar mais de 21 
períodos de tempo para ser concluído:
TE = 17 unidades de tempo
σ2 = 4,889
81,1
21,2
4
889,4
1721
≅=
−
=z
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Observações sobre o PERT
• Conclui-se, de acordo com os conceitos do PERT, que o 
projeto pode com quase toda certeza ser finalizado dentro 
do prazo estipulado (21 períodos de tempo);
• Contudo, a distribuição de probabilidades dos tempos do 
caminho não-crítico A-C-D indica uma probabilidade 
maior do que a do caminho crítico de durar mais de 21 
períodos de tempo para ser concluído:
TE = 17 unidades de tempo
σ2 = 4,889
81,1
21,2
4
889,4
1721
≅=
−
=z
P(P(TT>21>21) = ) = P(P(Z>Z>11,81) = 1 ,81) = 1 –– P(Z P(Z ≤≤1,81) = 1 1,81) = 1 –– 0,96 = 4%0,96 = 4%
P(TP(T≤≤21) = 21) = P(ZP(Z≤≤1,81) 1,81) ≈≈ 0,960,96
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Observações sobre o PERT
• Desta forma, pode-se questionar: qual dos dois caminhos 
é realmente o crítico?
• É aquele com o tempo de conclusão esperado mais longo 
ou aquele com a menor probabilidade de ser finalizado noprazo?
• Ainda pode-se perguntar: qual atividade no projeto 
analisado é mais crítica – B ou C?
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Observações sobre o PERT
• Pelo exposto, constata-se que atividades que não 
pertencem ao caminho crítico podem, de fato, serem mais 
críticas para o tempo de conclusão de um projeto do que 
atividades identificadas como críticas;
• De fato, todas as atividades de um projeto apresentam 
alguma probabilidade de tornarem-se críticas;
• O gerenciamento eficaz de um projeto deve focar nas 
atividades que apresentam a maior probabilidade de serem 
críticas, independentemente de pertencerem ao caminho 
crítico.
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Observações sobre o PERT
• Para avaliar o impacto da variabilidade nos tempos das 
atividades no caminho crítico e no tempo de conclusão de um 
projeto, pode-se utilizar a técnica da simulação;
• Na simulação são gerados tempos aleatórios de 
distribuições de probabilidade apropriadas para cada 
atividade;
• Para o conjunto de tempos aleatórios de duração das 
atividades, determina-se o caminho crítico e o tempo 
necessário para finalizar o projeto.
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Observações sobre o PERT
• Repetindo-se o processo várias vezes, pode-se determinar a 
freqüência com que as atividades do projeto pertencem ao 
caminho crítico;
• Aquelas atividades que estiveram no caminho crítico com 
maior freqüência devem, então, ser foco de maior atenção;
• Pode-se também analisar a distribuição de probabilidade 
dos tempos de conclusão resultante para estimar com maior 
precisão a probabilidade de completar o projeto em um 
determinado prazo.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 41
Observações sobre o PERT
• Apesar da deficiência teórica na determinação do 
verdadeiro caminho crítico de um projeto em uma rede 
PERT, que assume como caminho crítico o caminho com a 
soma dos tempos médios das atividades mais longa, a sua 
utilização não é invalidada;
• Felizmente, quando o pressuposto do caminho crítico 
médio não é atendido, o verdadeiro caminho crítico, 
usualmente, não apresenta tempo de conclusão muito 
superior ao caminho médio (conforme exemplo anterior).
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 42
Observações sobre o PERT
• Contudo, para aqueles que dependem do cálculo da 
probabilidade de conclusão de um projeto em um 
determinado prazo, utilizar o procedimento PERT pode levar 
a uma tomada de decisão errada;
• Uma opção é usar a simulação para melhor estimar essa 
probabilidade;
• Esse parece ser o método prático mais comumente 
utilizado para suplantar essa deficiência do PERT.
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Exercício de aplicação 1
• Considerando as seguintes informações a respeito do projeto da 
empreiteira, qual a probabilidade do projeto terminar em 47 semanas?
Atividade a m b
A 1 2 3
B 2 3,5 8
C 6 9 18
D 4 5,5 10
E 1 4,5 5
F 4 4 10
G 5 6,5 11
H 5 8 17
I 3 7,5 9
J 3 9 9
K 4 4 4
L 1 5,5 7
M 1 2 3
N 5 5,5 9
O 0,5 1 1,5
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Exercício de aplicação 1
Atividade a m b te σ2
A 1 2 3 2 0,11
B 2 3,5 8 4 1,00
C 6 9 18 10 4,00
D 4 5,5 10 6 1,00
E 1 4,5 5 4 0,44
F 4 4 10 5 1,00
G 5 6,5 11 7 1,00
H 5 8 17 9 4,00
I 3 7,5 9 7 1,00
J 3 9 9 8 1,00
K 4 4 4 4 0,00
L 1 5,5 7 5 1,00
M 1 2 3 2 0,11
N 5 5,5 9 6 0,44
O 0,5 1 1,5 1 0,03
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Caminho Σσ2
A - B - C - I - J - K - N - O 2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 4 + 6 + 1 = 42 7,58
A - B - C - I - J - L - N - O 2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 5 + 6 + 1 = 43 8,58
A - B - C - E - F - J - K - N - O 2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 4 + 6 + 1 = 44 8,03
A - B - C - E - F - J - L - N - O 2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 5 + 6 + 1 = 45 9,03
A - B - C - E - H - M - O 2 + 4 + 10 + 4 + 9 + 2 + 1 = 32 9,69
A - B - C - D - G - H - M - O 2 + 4 + 10 + 6 + 7 + 9 + 2 + 1 = 41 11,67
Tempo esperado (semanas)
Exercício de aplicação 1
• Caminho A-B-C-E-F-J-L-N-O:
TE = 45 semanas; σ2 = 9,03
Tx = 47 semanas
67,0
03,9
4547
=
−
=z P(T ≤ 47) = P(Z ≤ 0,67) ≈ 0,7486
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Exercício de aplicação 1
Assim:
A probabilidade do caminho A-B-C-E-F-J-L-N-O durar 
no máximo 47 semanas é de aproximadamente 0,75.
Ou seja, existe 25% de probabilidade desse caminho 
atrasar o projeto.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 47
Exercício de aplicação 2
• Considerando as seguintes informações a respeito de um projeto, qual 
a probabilidade do mesmo finalizar em 50 semanas? Qual a 
probabilidade de todos os caminhos terminarem no prazo especificado?
Atividade Predecessora(s) a m b
A - 2 3 5
B A 3 4 6
C B 2 3 7
D B 8 10 14
E D 6 8 10
F D 3 4 5
G D 4 6 8
H C, E, F, G 7 8 10
I H 4 5 7
J H 3 5 9
K I 3 4 6
L J 1 2 4
M K, L 3 4 6
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 48
H 8
L 2
K 4
E 8
G 6
F 4
C 3
B 4
Exercício de aplicação 2
A 3
D 10
I 5
J 5
M 4
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 49
Exercício de aplicação 2
Atividade te σ2
A 3,17 0,25
B 4,17 0,25
C 3,50 0,69
D 10,33 1,00
E 8,00 0,44
F 4,00 0,11
G 6,00 0,44
H 8,17 0,25
I 5,17 0,25
J 5,33 1,00
K 4,17 0,25
L 2,17 0,25
M 4,17 0,25
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 50
Exercício de aplicação 2
Caminho Te Σσ2 z P(T<50) P(T>50)
A - B - C - H - I - K - M 32,50 2,19 11,83 ≈ 100% 0,00%
A - B - C - H - J - L - M 30,67 2,94 11,27 ≈ 100% 0,00%
A - B - D - E - H - I - K - M 47,33 2,94 1,55 93,94% 6,06%
A - B - D - E - H - J - L - M 45,50 3,69 2,34 99,04% 0,96%
A - B - D - F - H - I - K - M 43,33 2,61 4,13 ≈ 100% 0,00%
A - B - D - F - H - J - L - M 41,50 3,36 4,64 ≈ 100% 0,00%
A - B - D - G - H - I - K - M 45,33 2,94 2,72 99,67% 0,33%
A - B - D - G - H - J - L - M 43,50 3,69 3,38 99,96% 0,04%
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 51
Diagrama de rede do projeto do hospital
K 6
J 4
G 35C 10
E 24
D 10
A 12
B 9
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 52
Considerações de Custo na Rede
• Manter os custos do projeto em níveis aceitáveis é tão 
importante quanto completá-lo no tempo planejado;
• A realidade do gerenciamento de projetos é que sempre 
existirá o trade-off custo-tempo;
• Por exemplo, um projeto pode ser finalizado antes do 
planejado através da contratação de mais pessoal ou 
através de horas extras menos tempo e maiores custos.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 53
Considerações de Custo na Rede
• Os custos totais do projeto são a soma dos custos diretos, 
indiretos e penalidades por atraso;
• custos diretos → mão-de-obra, materiais e demais custos 
diretamente relacionados com as atividades de projeto;
• custos indiretos → administração, depreciação, despesas 
financeiras e outros custos variáveis.
Quanto menor a duração do projeto, menores serão os custos indirQuanto menor a duração do projeto, menores serão os custos indiretos.etos.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 54
Considerações de Custo na Rede
• Penalidades → são custos gerados pelo atraso na 
conclusão do projeto;
Por outro lado, se o projeto Por outro lado, se o projeto 
acabar antes da data prevista, acabar antes da data prevista, 
pode existir um bônus pelo seu pode existir um bônus pelo seu 
adiantamento.adiantamento.
• Cabe ao gerente do projeto decidir acelerar (crash) 
algumas atividades para reduzir o tempo total do projeto, 
bem como seus custos associados.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 55
Considerações de Custo na Rede
• Para avaliar se a aceleração de atividades é benéfica (em 
relação a tempo ou custos), faz-se necessário conhecer os 
seguintes tempos e custos:
Tempo normal (TN) → tempo para completar a atividade em 
condições normais
TN = te
Custo normal (CN) → é o custo da atividade associado ao TN
Tempo acelerado (TA) → é o menor tempo possível para 
completar a atividade
Custo acelerado (CA)→ é o custo associado ao TA.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 56
Considerações de Custo na Rede
Normal 
(N)
Acelerada 
(A)
Tempo 
Normal
Tempo 
Acelerada
Custo 
Normal
Custo 
Acelerada
Duração da atividade
Custo
da atividade
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 57
Considerações de Custo na Rede
• Assume-se que acelerar parcialmente uma atividade em um 
tempo qualquer, resultará em uma combinação de tempo e custo 
que estará localizada em algum ponto entre os pontos N e A;
• Assim, se uma atividade for acelerada em um tempo que seria 
metade do tempo total que ela poderia ser acelerada, esse ponto 
estaria localizado na metade do segmento de reta entre o ponto N
e o ponto A;
• Essa aproximação simplificada reduz a coleta de dados à
estimação de duas situações: condição normal e condição 
totalmente acelerada.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 58
Considerações de Custo na Rede
• Considere que para a atividade C, no caso do hospital:
TNC = teC = 10 (semanas);
CN = $ 4.000
• Acelerando a atividade C:
TA = 5 (semanas);
CA = $ 7.000
Redução de 5 semanasRedução de 5 semanas
Aumento de $3.000Aumento de $3.000
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 59
Considerações de Custo na Rede
• Acelerar a atividade C custa:
$ 3.000/5 = $ 600/semana
• Desta forma, se a atividade C fosse acelerada em 2 
semanas (redução de 10 p/ 8 semanas):
CA = $ 4.000 + 2.($ 600) = $ 5.200
Pressuposto da Pressuposto da 
linearidade dos custos linearidade dos custos 
marginaismarginais
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 60
Considerações de Custo na Rede
• Para qualquer atividade, o custo de acelerar uma 
atividade na unidade de tempo considerada:
• Retomando o exemplo de reduzir a atividade C de 10 
para 5 semanas, tem-se:
TA-TN
CN-CA empoacelerar/t para Custo =
semana/600$
5
3000
5-10
4000-7000 emacelerar/s para Custo ===
Redução de tempo desejada para a atividadeRedução de tempo desejada para a atividade
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 61
Considerações de Custo na Rede
Tmax CA
Atividade TN CN ($) TA CA ($) redução (por semana )
A 12 12.000 11 13.000
B 9 50.000 7 64.000
C 10 4.000 5 7.000
D 10 16.000 8 20.000
E 24 120.000 14 200.000
F 10 10.000 6 16.000
G 35 500.000 25 530.000
H 40 1.200.000 35 1.260.000
I 15 40.000 10 52.500
J 4 10.000 1 13.000
K 6 30.000 5 34.000
Total 1.992.000 2.209.500
Calcular os custos para acelerar cada atividade do projeto do 
hospital, conforme tabela abaixo:
ttee aa
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 62
Considerações de Custo na Rede
Tmax CA
Atividade TN CN ($) TA CA ($) redução (por semana )
A 12 12.000 11 13.000 1 1.000
B 9 50.000 7 64.000 2 7.000
C 10 4.000 5 7.000 5 600
D 10 16.000 8 20.000 2 2.000
E 24 120.000 14 200.000 10 8.000
F 10 10.000 6 16.000 4 1.500
G 35 500.000 25 530.000 10 3.000
H 40 1.200.000 35 1.260.000 5 12.000
I 15 40.000 10 52.500 5 2.500
J 4 10.000 1 13.000 3 1.000
K 6 30.000 5 34.000 1 4.000
Total 1.992.000 2.209.500
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 63
Considerações de Custo na Rede
• O objetivo da análise de custo é determinar o tempo de 
conclusão do projeto que minimiza os custos totais; 
• Suponha que para o projeto do hospital, os custos 
indiretos sejam de $ 8.000/semana;
• Suponha, também, que se o projeto durar mais de 65 
semanas, existe uma multa de $ 20.000/semana;
• Como o caminho crítico do projeto é de 69 semanas, o 
hospital está sujeito à incidência de altos custos, por durar 
mais de 65 semanas.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 64
Considerações de Custo na Rede
• Para cada semana de redução do projeto, até 65 semanas, 
o hospital economiza:
1 semana de multa + custos indiretos/semana
$ 20.000 + $ 8.000 = $ 28.000/semana
• Assim, reduzindo o projeto em 4 semanas, haveria uma 
economia de $ 28.000 × 4 = $ 112.000
• Para cada semana de redução, abaixo das 65 semanas de 
prazo, o hospital economiza $ 8.000/semana (custos ind.).
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 65
Considerações de Custo na Rede
• O processo para determinar o plano que gere o menor 
custo consiste dos seguintes passos:
Passo 1: determine o(s) caminho(s) crítico(s) do projeto;
Passo 2: encontre a atividade ou atividades no caminho crítico 
com o menor custo para acelerar;
Passo 3: reduza o tempo para essa atividade até a) que não 
possa mais ser reduzido; b) outro caminho torne-se crítico, ou; 
c) o aumento nos custos diretos exceda a economia de reduzir o 
projeto. Se mais de um caminho for crítico, o tempo para uma 
atividade de cada caminho deve ser reduzida.
Passo 4: repita esse procedimento até que o aumento nos custos 
seja superior à economia gerada pela aceleração do projeto.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 66
Considerações de Custo na Rede
• Determinar o plano de custo mínimo para o projeto do 
hospital:
O tempo de conclusão projetado é de 69 semanas;
custos diretos = $ 1.992.000
custos indiretos = 69 × $ 8.000 = $ 552.000
multa = (69 – 65) × $ 20.000 = $ 80.000
Custo total = $ 2.624.000Período além Período além 
do exigidodo exigido
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 67
Considerações de Custo na Rede
• Os cinco caminhos na rede têm os seguintes tempos 
normais:
Caminho
A - F - K 12 + 10 + 6 = 28
A - I - K 12 + 15 + 6 = 33
A - C - G - J -K 12 + 10 + 35 + 4 + 6 = 67
B - D - H - J - K 9 + 10 + 40 + 4 + 6 = 69
B - E - J - K 9 + 24 + 4 + 6 = 43
Tempo previsto (semanas)
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 68
K 6
J 4
G 35C 10
E 24
D 10
Caminho Crítico
A 12
B 9
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 69
Considerações de Custo na Rede
• Observe que se todas as atividades no caminho A-C-G-J-
K forem aceleradas, sua duração seria de 47 semanas;
• Acelerar as atividades do caminho B-D-H-J-K, reduz o 
caminho para 56 semanas;
• Os tempos normais para os demais caminhos são sempre
menores que os tempos mínimos dos outros dois 
caminhos;
• Portanto, pode-se desconsiderar esses dois caminhos pois 
nunca serão críticos, independentemente das reduções de 
tempo que se possa dar às suas atividades.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 70
Considerações de Custo na Rede
• Estágio 1:
Passo 1: caminho crítico B-D-H-J-K;
Passo 2: a atividade com menor custo de aceleração por semana é a J, 
a um custo de $ 1.000/semana (< custos indiretos = $ 28.000/semana)
Passo 3: pode-se acelerar a atividade J o máximo possível (3 semanas) 
pois o caminho crítico mantém-se inalterado.
Os novos tempos esperados para os caminhos considerados são:
A-C-G-J-K = 64 semanas; B-D-H-J-K = 66 semanas
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 71
K 6
J 1
G 35C 10
E 24
D 10
Caminho Crítico
A 12
B 9
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 72
Considerações de Custo na Rede
A economia devido a redução de tempo da atividade J é de:
3 × $ 28.000 – 3 × $ 1.000 = $ 81.000
Os custos totais do projeto passam a ser de:
$ 2.624.000 - $ 81.000 = $ 2.543.000
Custo semanal do Custo semanal do 
projeto além do prazo projeto além do prazo 
de 65 semanas.de 65 semanas. Custo da aceleração por Custo da aceleração por 
semana do projeto.semana do projeto.
73
Considerações de Custo na Rede
• Estágio 2:
Passo 1: caminho crítico ainda é B-D-H-J-K;
Passo 2: a atividade com menor custo de aceleração por semana agora 
é a D, a um custo de $ 2.000/semana
Passo 3: acelerar a atividade D em 2 semanas. A redução na primeira 
semana implica em um economia de $ 28.000, pois elimina uma 
semana de multa + custos indiretos.
A próxima semana de redução de tempo para a atividade D, gera uma 
economia de apenas $ 8.000 (custos indiretos) pois não há mais multa 
para um prazo igual ou inferior a 65 semanas.
Os novos tempos esperados para os caminhos considerados são:
A-C-G-J-K = 64 semanas; B-D-H-J-K = 64 semanas
Esse caminho nãoé afetado pela aceleração da atividade DEsse caminho não é afetado pela aceleração da atividade D
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 74
K 6
J 1
G 35C 10
E 24
D 8
Caminho Crítico
A 12
B 9
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 75
Considerações de Custo na Rede
A economia devido a redução de tempo da atividade D é de:
$ 28.000 + $ 8.000 – 2 × $ 2.000 = $ 32.000
Os custos totais do projeto passam a ser de:
$ 2.543.000 - $ 32.000 = $ 2.511.000
Custo semanal para 1 Custo semanal para 1 
semana além do prazo semana além do prazo 
de 65 semanas.de 65 semanas.
Custo da aceleração por Custo da aceleração por 
semana do projeto.semana do projeto.Custo semanal para 1 semana Custo semanal para 1 semana 
dentro do prazo de 65 semanas.dentro do prazo de 65 semanas.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 76
Considerações de Custo na Rede
• Estágio 3:
Passo 1: caminhos críticos são B-D-H-J-K e A-C-G-J-K. Ambos 
precisam ser acelerados para obter alguma economia, pois se apenas 
um deles for reduzido a duração do projeto mantém-se inalterada;
Passo 2: pode-se acelerar os seguintes conjuntos de atividades –
(A,B), (A, H), (C, B), (C, H), (G, B), (G, H), ou a atividade K que 
pertence aos 2 caminhos.
Considera-se apenas aquelas atividades às quais os custos de 
aceleração são inferiores à economia potencial de $ 8.000. Ou seja, 
CA<$ 8.000/semana.
As únicas alternativas viáveis são: (C, B) com CA = $ 7.600/semana e 
K com CA = $ 4.000/semana.
Opta-se pela atividade K.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 77
Considerações de Custo na Rede
• Estágio 3 (continuação):
Passo 3: reduz-se a atividade K em 1 semana (maior tempo possível).
Os novos tempos esperados para os caminhos considerados são:
A-C-G-J-K = 63 semanas; B-D-H-J-K = 63 semanas
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 78
K 5
J 1
G 35C 10
E 24
D 8
Caminho Crítico
A 12
B 9
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 79
Considerações de Custo na Rede
A economia devido a redução de tempo da atividade K é de:
$ 8.000 – $ 4.000 = $ 4.000
Os custos totais do projeto passam a ser de:
$ 2.511.000 - $ 4.000 = $ 2.507.000
Custo da aceleração por Custo da aceleração por 
semana do projeto.semana do projeto.Custo semanal para 1 semana Custo semanal para 1 semana 
dentro do prazo de 65 semanas.dentro do prazo de 65 semanas.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 80
Considerações de Custo na Rede
• Estágio 4:
Passo 1: caminhos críticos ainda são B-D-H-J-K e A-C-G-J-K;
Passo 2: a única alternativa viável nesse estágio é acelerar as 
atividades B e C a um custo CA = $ 7.600/semana < $ 8.000 (custos 
indiretos)
Passo 3: acelerar as atividades B e C em 2 semanas (limite para 
atividade B).
Os novos tempos esperados para os caminhos considerados são:
A-C-G-J-K = 61 semanas; B-D-H-J-K = 61 semanas
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 81
K 6
J 1
G 35C 8
E 24
D 8
Caminho Crítico
A 12
B 7
F 10
H 40
I 15
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 82
Considerações de Custo na Rede
A economia devido a redução de tempo da atividade D é de:
2 × $ 8.000 – 2 × $ 7.600 = $ 800
Os custos totais do projeto passam a ser de:
$ 2.507.000 - $ 800 = $ 2.506.200
Custo da aceleração por Custo da aceleração por 
semana do projeto.semana do projeto.Custo semanal para 1 semana Custo semanal para 1 semana 
dentro do prazo de 65 semanas.dentro do prazo de 65 semanas.
Este é o estágio final !Este é o estágio final !
Qualquer outra combinação de atividades Qualquer outra combinação de atividades 
para aceleração para aceleração ⇒⇒ CA > Custos indiretos.CA > Custos indiretos.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 83
Considerações de Custo na Rede
Resultados:
O tempo mínimo para conclusão do projeto é de 61 semanas
a um custo de $ 2.506.200
Atividades aceleradas:
B, D, J, K e C
Esse plano custa $ 117.800 menos do que o 
plano original (tempo normal).
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 84
Exercício de aplicação 3
• Informações sobre um projeto são dadas na tabela seguinte. Os 
custos indiretos do projeto somam $250 por dia. Existe uma multa
de $100 por dia de atraso além do prazo de 14 dias.
• Pergunta-se: i) qual a duração do projeto considerando apenas os 
tempos normais? ii) qual o plano de custo mínimo? iii) qual o 
caminho crítico para esse plano?
Atividade Predecessoras TN (dias) CN ($) TA (dias) CA ($)
A - 5 1000 4 1200
B - 5 800 3 2000
C A, B 2 600 1 900
D B 3 1500 2 2000
E C, D 5 900 3 1200
F E 2 1300 1 1400
G E 3 900 3 900
H G 5 500 3 900
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 85
Exercício de aplicação 3
E 5
D 3
A 5
B 5
C 2
F 2
G 3 H 5
Caminho TE
A - C - E - F 14
A - C - E - G - H 20
B - C - E - F 14
B - C - E - G - H 20
B - D - E - F 15
B - D - E - G - H 21
A duração do projeto A duração do projeto 
considerando os tempos considerando os tempos 
normais é de 21 dias.normais é de 21 dias.
Prof. Antônio S. G. Falcão Pesquisa Operacional II 86
Exercício de aplicação 3
Tmax CA
Atividade TN CN ($) TA CA ($) redução (por semana )
A 5 1.000 4 1.200 1 200
B 5 800 3 2.000 2 600
C 2 600 1 900 1 300
D 3 1.500 2 2.000 1 500
E 5 900 3 1.200 2 150
F 2 1.300 1 1.400 1 100
G 3 900 3 900 0 -
H 5 500 3 900 2 200
Total 7.500 10.500
A duração mínima do projeto é de 17 dias a um custo de $12.750, A duração mínima do projeto é de 17 dias a um custo de $12.750, 
o que gera uma economia de $700 em relação ao plano original.o que gera uma economia de $700 em relação ao plano original.
Para tanto devePara tanto deve--se acelerar as atividades E e H em 2 dias.se acelerar as atividades E e H em 2 dias.