Modelo SVAR

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Modelo SVAR
Motivação e Definições:
· O que o SVAR traz de novo para nós? A grande utilidade do VAR (em forma reduzida) é fazer previsões onde há causalidade de Granger entre suas variáveis. Contudo, o VAR (por definição) não pode ser utilizado para avaliar relações contemporâneas entre as variáveis. Em particular, o VAR não é capaz de fazer análise de sensibilidade ao longo do tempo: Choque em no período , o que acontece com nos períodos para 
	Para isso, vamos usar o VAR estrutural (SVAR) onde as relações contemporâneas, além das autoregressivas, serão modeladas.
· VAR Forma Reduzida vs. Forma Estrutural: no SVAR modelamos explicitamente relações contemporâneas entre as variáveis através da matriz 
onde o vetor de choques estruturais é não correlacionado, ou seja, com diagonal. Note que isso é diferente da VAR em forma reduzida que vimos na aula anterior (onde os erros poderiam ser correlacionados entre equações!).
· Se for invertível, podemos pré-multiplicar a expressão original por , tal que
onde para . Assim recuperamos o VAR na forma reduzida 
· Exemplo de um SVAR: Considere o seguinte modelo de oferta e demanda 
Podemos reescrever como , onde
Ou seja,
Considerando que B é invertível, teríamos 
onde e .
Identificação e Estimação de um SVAR:
· Problema de Identificação do SVAR: o grande problema de um SVAR é a identificação da matriz (ou ). Considere o caso de SVAR mais simples (sem parte autoregressiva e média nula)
ou
Na verdade, é um sistema de equações simultâneas com incógnitas. Podemos normalizar a diagonal de para e ficamos com incógnitas +2 relacionadas aos erros. Ou, equivalentemente, normalizamos os choques estruturais e não normalizamos . Desta forma, temos
No caso geral (com média e termos autoregressivos) ainda temos e, portanto, ainda temos a relação
No qual o sistema matricial acima tem incógnitas (entradas da matriz ) e apenas equações, já que é simétrica por ser um matriz de variância-covariância. Precisaremos de restrições em (equações adicionais) para que o sistema tenha solução única (identificação paramétrica).
· De volta no exemplo da oferta-demanda: com precisamos de apenas restrição na matriz ou !
· Podemos fazer ou ou ainda ter um relação do tipo de forma a obter equações a incógnitas e identificar todas as entradas de via 
· Para o caso do exemplo teríamos o seguinte sistema não linear
· não é observável mas pode ser consistentemente estimado através dos resíduos da forma reduzida.
· Restrições no SVAR: Toda a arte do SVAR está na imposição das restrições em ou . O resto é feijão com arroz:
· A econometria em si não vai te ajudar aqui. Assim como não te ajuda a encontrar instrumentos, apenas em como usá-los.
· Existe uma literatura enorme sobre possíveis estratégias de identificação de VAR. A maioria delas baseadas em teoria econômica.
· Vamos cobrir a mais “mecânica” delas, conhecida por identificação via Decomposição de Cholesky.
· Diagonalização dos impulsos - Decomposição de Cholesky: Para toda matriz simétrica e positiva definida , há uma única matriz triangular inferior , tal que 
 Os elementos da diagonal principal de são todos positivos.
· Este é um resultado puramente matemático! Nada tem a ver com econometria.
· De fato, uma matriz triangular é uma matriz com restrições de exclusão totalmente ad hoc.
· Assim, basta fazer e pronto!
· Identificação por Cholesky: 
· PROBLEMA: A matriz não é única, depende da ordem que colocamos as variáveis no VAR. Além disso, nada nos garante que a matriz não seja “cheia”.
· Por definição, é triangular inferior (a inversa de uma matriz triangular é também triangular), portanto, no caso da primeira variável não é permitido nenhum feedback contemporâneo no choque das outras variáveis.
· No caso de , por exemplo, teríamos
· Na prática: Se a interpretação da magnitude do impacto é muito importante temos uma possível amenização: Colocar as variáveis mais “exógenas” primeiro no vetor do VAR. No caso de modelos estruturais, essa decomposição correta vai vir da teoria econômica.
· Estimação do SVAR - MQO + achar zeros: uma vez que o SVAR esteja corretamente identificado, ou seja, as restrições foram impostas, o procedimento de estimação é simples. Podemos facilmente estimar o VAR reduzido por MQO e obter e resolver o sistema de equações para obter dado por sujeita as restrições. Assim, podemos estimar para . 
· Na prática, as pessoas não reportam as estimativas ou e sim as funções reposta ao impulso (FRI).
Função Resposta ao Impulso (FRI)
· Função Resposta ao Impulso (FRI): 
· A matriz das relações contemporâneas (ou ) é o que nos dá as informações úteis em um SVAR. 
· O que realmente faz do SVAR importante é a função de resposta ao impulso.
· Como a variável reage a um choque (impulso) no choque estrutural da equação da variável ? 
· A função resposta ao impulso é dada pela sequência
Similar ao multiplicador do ARDL, com a diferença que o choque aqui ocorre no erro da , e não propriamente em 
· FRI no contexto de um SVAR: 
· Colocando o SVAR sem média na forma temos onde , ou seja
· O elemento da matrix , denotado por é a FRI da variável ao impulso estrutural da variável no horizonte 
· A FRI então é, simplesmente, o gráfico de para 
· Daí a necessidade de conhecermos (estimarmos) os coeficientes matriz (ou ).
· FRI para um SVAR(1): Para o caso particular onde a parte regressiva do SVAR é apenas um VAR(1), como no nosso exemplo de oferta e demanda, temos
Assim, a resposta da variável ao choque no erro da variável no horizonte é dado por 
· FRI para um SVAR(p): Para um com é melhor transfomar em um como fizemos com o . Neste caso teremos
onde e Nesta forma sabemos que . Assim, a resposta da variável ao choque da variável no horizonte é dado por 
Em geral, as FRI são plotadas para um horizonte fixo com variáveis normalizadas (com média zero e variância unitária), assim, os choques são interpretados como desvio de um erro-padrão.
· Exemplo: VAR Macroeconômico para Economia Brasileira: Céspedes, Brisne, Lima, Elcyon, Maka, Alexis. (2008)
· O que significa FRI em um VAR reduzido: Qual o significado da função resposta ao impulso no contexto de um VAR na forma reduzida?
· Se e são correlacionados (matriz não diagonal), faz sentido olhar para um choque sem olhar para o outro? 
· Num modelo estrutural, talvez, mas em geral temos que redefinir o que é impulso e redefinir o que é choque.
· A forma de impor as restrições é onde um trabalho econométrico envolvendo um SVAR recebe suas críticas ou ceticismos.
· Um VAR reduzido, em geral, está “certo” mas suas conclusões são limitadas (basicamente previsão). Já um SVAR nos permite conclusões mais interessantes mas devem ser tomados com cautela, principalmente se forem somente frutos de restrições de exclusão arbitrárias.