Modelo ARDL

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Modelo ARDL
Motivação:
· Relações entre séries Temporais: Até o momento nos concentramos em estudar a dinâmica de uma série temporal por vez. Contudo, grande parte do estudo de séries temporais envolve justamente a relação entre elas assim como sua relação com seu passado. Assim, sejam e duas séries temporais quaisquer. Poderíamos postular um modelo de regressão linear simples como:
Isso faz sentido? Qual a interpretação de ? Como estimá-lo? São algumas perguntas que vamos tentar responder.
· Modelo Estático: Para ajudar a fixar os conceitos, imagine que você está interessado na relação entre o preço da gasolina e o preço do petróleo e você postula um modelo estático linear na forma 
Ou seja, estamos modelando a relação de duas séries, de tal forma que uma afeta a outra em um único período. 
Quem é ? Pode ser qualquer coisa... mas se for o parâmetro da melhor projeção linear de em , então 
e pode ser consistentemente estimado por MQO (desde que as séries sejam ergódicas). 
E se for definido como uma causalidade? Neste caso, não pode estar relacionado com .
· Modelo de Defasagens Distribuídas: Pode ser que o preço da gasolina não seja apenas contemporaneamente influenciado pelo preço do petróleo, afinal, pode ser que o preço do petróleo passado afete o preço da gasolina hoje. Neste caso podemos modelar como 
Neste caso, temos um efeito dinâmico já que, se assumirmos
, então
 e:
· Modelo Autoregressivos de Defasagens Distribuídas: Ainda podemos vislumbrar a possibilidade do próprio preço passado da gasolina afetar o preço corrente, mesmo levando em consideração o impacto do preço contemporâneo do petróleo e seus possíveis lags. Neste caso podemos modelar como
Neste caso temos um efeito dinâmico tanto via quanto via que em geral vai ser equivalente a um efeito de toda a série passada dos preços do petróleo na gasolina já que
Formalização do Modelo ARDL
· Modelo de Defasagens Distribuidas (DL): Um modelo genérico é escrito na forma 
 não sabemos nada sobre , mas sabemos que sua série afeta . Assim, apresenta correlação serial, mas não podemos dizer nada sobre .
Usando o operador lag , 
Em um 
· Modelo ARDL: Um modelo é a combinação de um :
ou usando o operador lag , 
CUIDADO: A estrutura é parecida com o , mas a parte está aplicada na variável e não no termo de erro . Além disso, o erro nem sempre é assumido ruído branco como no caso do . Em geral, é assumido estacionário.
· Invertendo um : Se todas as raízes da parte (zeros de ) estiverem fora do círculo unitário, podemos inverter a parte do processo e obter
se definirmos e lembrando que (aplicar defasagem em uma constante, pelo fato de ser uma constante, é a mesma coisa que aplicar no próprio período. Não há mudanças ao longo do tempo) temos
Exemplo:
Tal que e 
Tal que Soma de PG.
· Multiplicadores de um ARDL Se para todo (exogeneidade estrita) então
Assim fica fácil definir o multiplicador de impacto no instante :
Ou ainda o impacto de longo prazo
Para a última igualdade lembre-se que 
Gráfico de é muito informativo, e é o que interessa.
· Modelo com mais de uma variável explicativa: Podemos generalizar a classe de modelos para variáveis explicativas na forma 
onde é o polinômio autoregressivo de para . Se é invertível então temos:
onde 
Se para todo então
Assim fica fácil definir o multiplicador de impacto da variável no instante como:
onde e. E o impacto de longo prazo de é dado por
· Relação de Equilíbrio de Longo Prazo: Se e são estacionários podemos passar o operador esperança de ambos ao lados de
e concluir que , ou
o que representa uma relação de longo prazo entre e já que a havíamos definido como o multiplicador de longo prazo da variável .
A média de é uma constante somada à média de multiplicada pelo multiplicador de longo prazo.
Modelagem e Estimação:
· Estimação: Suponha que seja o DGP (modelo verdadeiro – com dinâmica). O que representa os parâmetros de um modelo linear (erroneamente assumido – sem dinâmica) do tipo:
Se for inversível temos que o DGP se torna
onde e. Se e são estacionários e:
· apresenta correlação serial (viés de variável omitida) e/ou (endogeneidade), temos inconsistência do estimador de MQO (para ).
· apresenta correlação serial somente via mas para todo então temos que corrigir o erro padrão das estimativas.
Se estimarmos um ARDL menor que o razoável, os estimadores serão inconsistentes (como é o caso acima).
· Estimação do Modelo Verdadeiro: Suponha que estimemos por MQO o modelo verdadeiro, ou seja
Mesmo com a especificação correta, e assumindo um ruído branco precisamos de algo que nos garanta que para todo . (se isso é verdade, é uma relação causal).
	Intuitivamente isso acontece porque será correlacionado com infinitos lags de nessa formulação, e todos eles devem ser não correlacionados com o erro.
ARDL é uma correlação
· Escolha da ordem e do : Os procedimentos para a ordem de e nos modelos é muito similar a escolha da ordem de um . Temos procedimentos complementares
· Utilizando um critério de Informação (AIC, BIC, HQ);
· Teste de não correlação dos resíduos (LM, Box Pierce,..);
· Começa com um lag grande para p e q e vai reduzindo e testando a exclusão no maior lag um por vez.
Como vocês já viram nem sempre esses critérios dizem a mesma coisa. Eu diria: “Um bem especificado é o menor que você não rejeita a hipótese nula de que não há autocorrelação nos resíduos.
ARDL para solucionar autocorrelação nos erros:
· como correção de autocorrelação : A visão mais ortodoxa sobre autocorrelação nos resíduos é má especificação. De fato, considere o seguinte modelo
Substituindo no modelo linear estático temos ():
Rearranjando ficamos um modelo 
com a restrição de que . Note ainda que podemos escrever
· como correção de autocorrelação : Este mesmo argumento pode ser usado caso o erro seja um para 
Substituindo o temos:
O que nada mais é que um modelo com as restrições . Note ainda que podemos escrever
Ou, mais concisamente:
· como correção de autocorrelação : Mesmo um modelo com os resíduos na forma
Onde e . Multiplicando por temos
onde e, o que nada mais é que um modelo .
· como correção de autocorrelação : Se o a estrutura de correlação do erro, além da parte , tem também um componente , ou seja, o termo de erro é 
se for invertível, podemos escrever onde . Multiplicando por temos 
onde e , o que nada mais é que um modelo .
Se há autocorrelação no resíduos, seu modelo está mal especificado, você deve colocar mais lags.