Lista Isomorfismos e Matrizes de Transformações Lineares

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Álgebra Linear - Lista de Isomorfismos e Matrizes de Transformações Lineares
Professor: João A. M. Gondim
Exerćıcio 1. Prove que as seguintes transformações lineares são isomorfismos e determine suas inversas.
(a) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y − z,−x+ 2z, 2x+ 2y + 3z).
(b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ y + 3z,−x+ y − 2z).
(c) T : P2(R)→ R3 dada por T (a+ bx+ cx2) = (a+ b, 2b+ c, a− c).
(d) T : R3 → P2(R) dada por T (a, b, c) = (a+ b+ c) + (−a+ b+ c)x+ (a+ c)x2.
Exerćıcio 2. Dadas T : V →W linear, α base de V e β base de W , calcule [T ]αβ .
(a) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y − z,−x+ 2z, 2x+ 2y + 3z), α = {(1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}
e β = {(1,−1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
(b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y+ z, 2x+ y+ 3z,−x+ y− 2z), α = {(1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}
e β = {(1,−1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
(c) T : P2(R) → R3 dada por T (a + bx + cx2) = (a + b, 2b + c, a − c), α = {1 + x2, 1, 1 + x + x2} e
β = {(1,−1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
(d) T : R3 → P2(R) dada por T (a, b, c) = (a+b+c)+(−a+b+c)x+(a+c)x2, α = {(1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}
e β = {1− x+ x2, x+ x2, x2}.
Exerćıcio 3. Dadas as transformações lineares T e S, calcule S ◦ T .
(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x− 2y) e S : R2 → R2 dada por S(x, y) = (−x+ 2y, x+ y).
(b) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (2x+ 3y,−y) e S : R2 → R2 dada por S(x, y) = (x+ 3y,−x− y).
(c) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (−x+4y, 2x+y) e S : R2 → R3 dada por S(x, y) = (x+y, x+2y, x+3y).
(d) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x + y − z, 2x + y − 3z,−x + y + z) e S : R3 → R2 dada por
S(x, y, z) = (−x− 2y + 3z, 4x+ z).
Exerćıcio 4. Dados espaços vetoriais V e W , bases α de V e β de W , [T ]αβ e v ∈ V , calcule T (v) matrici-
almente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(a) V = W = R2, α = {(1, 1), (1, 2)}, β = {(0, 1), (−1, 1)} e [T ]αβ =
[
1 1
1 −3
]
, v = (1, 0).
(b) V = R2, W = P1(R), α = {(1,−1), (1, 1)}, β = {x, 1 + x}, [T ]αβ =
[
2 −1
3 −4
]
, v = (0, 1).
(c) V = R3, W = P1(R), α = {(1,−1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}, β = {1, 1 − 2x}, [T ]αβ =
[
1 2 3
4 5 6
]
, v =
(0, 1, 1).
(d) V = P1(R), W = R3, α = {1− x, 1 + x}, β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, [T ]αβ =
 1 −14 2
1 2
, v = 2x.
1
Gabarito
1a. T−1(x, y, z) = (−4x/5− y + 2z/5, 7x/5 + y − z/5,−2x/5 + z/5)
1b. T−1(x, y, z) = (5x− 3y − 2z,−x+ y + z,−3x+ 2y + z)
1c. T−1(a, b, c) = (2a− b− c) + (−a+ b+ c)x+ (2a− b− 2c)x2
1d. T−1(a+ bx+ cx2) = (a/2− b/2, a− b,−a/2 + b/2 + c)
2a. [T ]αβ =
 0 1 11 0 2
4 1 4

2b. [T ]αβ =
 2 1 37 3 9
−12 −5 −14

2c. [T ]αβ =
 1 1 22 1 5
−3 −1 −7

2d. [T ]αβ =
 2 1 32 0 4
−2 0 −5

3a. S ◦ T (x, y) = (x− 5y, 2x− y)
3b. S ◦ T (x, y) = (2x,−2x− 2y)
3c. S ◦ T (x, y) = (x+ 5y, 3x+ 6y, 5x+ 7y)
3d. S ◦ T (x, y, z) = (−6x+ 2y + 8z, 3x+ 5y − 3z)
4a. T (x, y) = (−5x+ 4y, 6x− 4y)
4b. T (x, y) = (−x/2− 7y/2,−5y)
4c. T (a, b, c) = (6a+ b+ 9c) + (−9a− b− 12c)x
4d. T (a+ bx) = (9a/2− 3b/2, 9a/2− b/2, 3a− 2b)
2