1.5 Raciocínio lógico

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SUMÁRIO 
NÚMEROS IRRACIONAIS.......................................................................................................................1 
DEFINIÇÃO.....................................................................................................................................2 
NÚMEROS REAIS....................................................................................................................................2 
DEFINIÇÃO.....................................................................................................................................2 
INTERVALOS REAIS.......................................................................................................................3 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS..................................................................................................3 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO.....................................................................................................................4 
APROFUNDANDO NO QUE CAI.............................................................................................................5 
QUESTÃO EXTRA...................................................................................................................................8 
GABARITO...............................................................................................................................................9 
RESUMÃO LJORTANO...........................................................................................................................11 
 
 
 
 
 
ENTÃO VAMOS LÁ, LJORTANOS.... 
 
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NÚMEROS IRRACIONAIS 
DEFINIÇÃO 
Número Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos que não podem ser 
representados por meio de frações irredutíveis, ou seja, aqueles que não são racionais. 
Ex.: 
a) 1,23456... 
b) π = 3,14159265... 
c) √2 (raízes não exatas em geral) 
 
NÚMEROS REAIS 
DEFINIÇÃO 
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra 
maiúscula R, que inclui os conjuntos dos números Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e 
Irracionais (I). 
O diagrama a baixo representa o conjunto dos Números Reais. 
 
 
 
 
 
 
 
INTERVALOS REAIS 
Definição: 
Dados dois números reais “a” e “b”, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números 
reais compreendidos entre “a” e “b”, podendo incluir “a” e “b”. Os números “a” e “b” são os limites 
do intervalo, sendo a diferença “a – b”, chamada amplitude do intervalo. 
Podemos representar conjuntos, subconjuntos e soluções de equações pela notação de 
intervalo. Intervalo significa que o conjunto possui cada número real entre dois extremos 
indicados. 
 
 
 
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A tabela abaixo apresenta os tipos de intervalos: 
TIPOS DE INTERVALO REPRESETAÇÃO OBSERVAÇÃO 
Fechado [a ; b] = {x Є R; a ≤ x ≤ b} Inclui os limites a e b 
Aberto (a ; b) = {x Є R; a < x < b} Exclui os limites a e b 
Fechado à Esquerda [a ; b) = {x Є R; a ≤ x < b} Inclui a e exclui b 
Fechado à Direita (a ; b] = {x Є R; a < x ≤ b} Exclui a e inclui b 
Semifechado [a ;∞) = {x Є R; x ≥ a} Valores maiores ou iguais a a 
Semifechado (−∞ ; b] = {x Є R; x ≤ b} Valores menores ou iguais a b 
Semiaberto (−∞ ; b) = {x Є R; x < b} Valores menores do que b 
Semiaberto (a ; ∞) = {x Є R; x > a} Valores maiores do que a 
Observação: O conjunto dos Número Reais pode ser representado na forma de intervalo como R = (−∞ ; ∞). 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
União (∪): Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A ∪ B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}. 
Ex.: A = {1, 2, 4} e B = {4, 5 ,6} A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6} 
Interseção (∩): Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A ∩ B = {x; x ∈ A e 
x∈ B}, ou seja, são os elementos comuns aos dois conjuntos. 
Ex.: A = {1, 2, 4, 6} e B = {4, 5 ,6} A ∩ B = {4, 6} 
Diferença (-): Dados os conjuntos A e B, temos que A - B = {x; x ∈ A e x ∉ B}, ou seja, são 
aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. 
Ex.: A = {1, 2, 4, 6} e B = {4, 5 ,6} A − B = {1, 2} 
 B – A = {5} 
Partição de um conjunto: Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e 
representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado 
simbolicamente por P(A)), que satisfaz às seguintes condições: 
1. nenhum dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 
2. a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 
3. a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. 
Ex.: Seja A = {2, 3, 5} 
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } 
Número de elementos da união de dois conjuntos: Sejam A e B dois conjuntos, tais que o 
número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Representando o 
número de elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A∪B 
por n(A ∪ B), temos que, o número de elementos na união dos conjuntos A e B é igual ao número 
de elementos em A mais o número de elementos em B menos a número de elementos na 
interseção dos conjuntos A e B. 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
Ex.: seja A = {1, 2, 4, 6} e B = {4, 5 ,6} n(A ∪ B) = 4 + 3 – 2 = 5 n(A ∪ B) = {1, 2, 4, 5, 6} 
n(A) = 4 , n(B) = 3 , n(A∩B) = 2 
 
 
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EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. (CONSULPLAN) Numa barbearia foram atendidos 63 clientes em um dia, dos quais 41 tiveram 
suas barbas aparadas e 35, seus cabelos cortados. Quantos clientes tiveram seus cabelos 
cortados e suas barbas aparadas? 
 
A) 13. 
B) 22. 
C) 25. 
D) 28. 
E) 30. 
 
2. (QUADRIX) Observe atentamente os conjuntos A e B na figura a seguir: 
 
Assinale a alternativa que contém o conjunto C, sabendo-se que C = {A∪B}. 
 
A) C = {2, 5, 7, 9, 12} 
B) C = {3, 4, 5, 7, 11} 
C) C = {2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12} 
D) C = {5, 7} 
E) C = {2, 3, 4, 9, 11, 12} 
 
 
3. (FCC) Em uma escolha com 150 alunos, são oferecidos cursos de Inglês e Francês. Conforme 
um levantamento, 15 alunos desta escola não estão frequentando estes cursos e 90 frequentam o 
curso de Inglês. Se 72 alunos frequentam o curso de Francês, então o número de alunos que 
frequenta um e somente um dos cursos é igual a: 
 
A) 126 
B) 144 
C) 138 
D) 132 
E) 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APROFUNDANDO NO QUE CAI 
 
1. (ESPCEX) Sejam A, B e C conjuntos finitos, o número de elementos de A  B é 25, o número de 
elementos de A  C é 15 e o número de elementos de A  B  C é 10. Então o número de elementos 
de A  (B  C) é: 
 
A) 30 
B) 10 
C) 40 
D) 20 
E) 15 
 
2. (EEAr-2004) No diagrama, o hachurado é o conjunto: 
 
A) complementar de (M  N) em relação a U. 
B) complementar de (M - N) em relação a U. 
C) complementar de (M  N) em relação a U. 
D) (M - N)  (N - M). 
 
3. (EPCAR) Seja x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. Analise as proposições 
abaixo e marque a alternativa correta. 
 
I) ( √𝟐 . x ) pode ser racional. 
II) y² é sempre irracional. 
III) y³ nem sempre é irracional. 
 IV) √𝒙 é sempre um número real. 
 
São verdadeiras somente as proposições: 
 
A) I e IV 
B) II e III 
C) I e III 
D) II e IV 
 
4. (AFA) Assinale a alternativa que contém a afirmação correta. 
 
 
 
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5. (CMRJ) Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA. 
A) Seja a um número real não nulo. Então, 𝑎−1 −  R. 
B) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual ao próprio 
número. 
C) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número. 
D) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro negativo. 
E Todo número real negativo possui inverso. 
 
6. (ESPCEX) É correto afirmar que: 
 
A) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
B) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre umnúmero inteiro. 
C) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
D) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
E) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
7. (EEAR) Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
É falso afirmar que: 
 
A) 1/a > 1/b 
B) a . b < a 
C) b/a < 1 
D) a – b < 0 
 
8. (UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. 
Alguns resultados dessa pesquisa foram: 
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. 
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, 
ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de: 
A) 25%. 
B) 30%. 
C) 35%. 
D) 40%. 
 
9. Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 4, 5, 6, 8}, qual o resultado de: 
(A - C) ∩ (B - C)? 
A) ∅ 
B) {0, 1, 3, 4, 5} 
C) {1, 3, 5} 
D) {2, 3, 4, 5} 
E) {3, 5, 6, 8} 
 
 
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10. (PMRJ) Um paciente é diagnosticado com uma determinada doença se, e somente se, 
apresentar os sintomas A e B. Entre 324 pessoas examinadas, verificou-se que: 
- 157 pessoas apresentaram o sintoma A; 
- 201 apresentaram o sintoma B; 
- 49 não apresentaram nenhum desses dois sintomas; 
 O número de pessoas examinadas que efetivamente contraíram a doença foi igual a: 
A) 83 
B) 85 
C) 87 
D) 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO EXTRA 
 
(UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa 
turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo 
chegado ao seguinte resultado: 
 
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos 
torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, 
teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é 
 
A) 49. 
B) 50. 
C) 47. 
D) 45. 
E) 46. 
 
 
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GABARITO 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. A 
2. C 
3. E 
 
APROFUNDANDO NO QUE CAI 
1. A 
2. B 
3. C 
4. D 
5. B 
6. C 
7. C 
8. C 
9. A 
10. A 
 
QUESTÃO EXTRA 
 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
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RESUMÃO LJORTANO: O QUE EU NÃO POSSO ESQUECER? 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
Número Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos que não podem ser 
representados por meio de frações irredutíveis. 
Ex.: 
a) 1,23456... 
b) π = 3,14159265... 
c) √2 (raízes não exatas em geral) 
 
NÚMEROS REAIS 
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, 
que inclui os conjuntos dos números Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I). 
 
INTERVALOS REAIS 
TIPOS DE INTERVALO REPRESETAÇÃO OBSERVAÇÃO 
Fechado [a ; b] = {x Є R; a ≤ x ≤ b} Inclui os limites a e b 
Aberto (a ; b) = {x Є R; a < x < b} Exclui os limites a e b 
Fechado à Esquerda [a ; b) = {x Є R; a ≤ x < b} Inclui a e exclui b 
Fechado à Direita (a ; b] = {x Є R; a < x ≤ b} Exclui a e inclui b 
Semifechado [a ;∞) = {x Є R; x ≥ a} Valores maiores ou iguais a a 
Semifechado (−∞ ; b] = {x Є R; x ≤ b} Valores menores ou iguais a b 
Semiaberto (−∞ ; b) = {x Є R; x < b} Valores menores do que b 
Semiaberto (a ; ∞) = {x Є R; x > a} Valores maiores do que a 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
União (∪): Unir todos os elementos em um único conjunto sem repetição. 
Interseção (∩): São os elementos comuns aos dois conjuntos. 
Diferença (-): São aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao 
segundo. 
Partição de um conjunto: Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e 
representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A. 
Número de elementos da união de dois conjuntos: União dos conjuntos A e B é igual ao 
número de elementos em A mais o número de elementos em B menos a número de elementos 
na interseção dos conjuntos A e B. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)