Estudos de Localização em Sistemas de Medição

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Módulo 3
Estudos de localização 
(calibração) de sistemas de 
medição.
Conteúdos deste módulo
� Ensaios de localização (ou centralização):
� Estudo da estabilidade
� Estudos da tendência:
• Método da carta de controle
• Método da amostra independente
� Estudo da linearidade
� Exercícios
� Uso de planilhas
� Conceitos de estatística a serem usados nos cálculos do MSA:
� Histograma e normalidade; Cartas de controle;
� Testes de hipóteses paramétricos.
Estabilidade - Condução do estudo
1. Obtenha 1 peça e determine seu padrão de referência em relação a 
um padrão rastreável (ver slide 4).
2. Periodicamente (diariamente, semanalmente, etc), medir a peça de 
3 a 5 vezes (n, tamanho da amostra), em diferentes horários ao 
longo do dia (k períodos).
3. Representar os resultados em uma carta de controle média e 
amplitude (X e R) ou média e desvio padrão (X e S). A carta da 
amplitude (R) é mais fácil que a do desvio padrão (S), embora 
menos precisa.
4. Calcular os limites de controle do processo e analisar eventuais 
sinais de instabilidades (regras do CEP, slide 6).
Estabilidade - Análises
Instabilidade no Gráfico R ou S (amplitude ou desvio padrão):
• Problemas com o equipamento de medição (repetitividade)
Instabilidade no Gráfico X (média):
• Necessidade de calibração do equipamento, ou
• Treinamento para os operadores
LSC
LIC
Padrão não rastreável
� Obtenção da referência:
� Tirar todo tipo de rebarba e outras irregularidades superficiais
� Limpar bem a peça (óleo, sujeira, fuligem, corrosão, etc)
� Levá-la ao laboratório metrológico e esperar até que atinja a
temperatura do local
� Marcar a peça numa região e medi-la 10 vezes no mesmo
ponto.
� Tirar a média dessas medidas; ela será a referência.
� Não sendo possível ter o padrão rastreável, obter 1
peça na metade da faixa de variação do processo e
obter seu valor de referência (abaixo). Seria
desejável, mas não obrigatório, um estudo com outras
2 peças (começo e fim da faixa).
CEP - Limites de controle das cartas
( )
( )1)n
XX
S
2
i
−
−∑
=n
X
X i
∑
=
RAXLSC 2X ⋅+=
RDLSC 4R ⋅=
RAXLIC 2X ⋅−=
RDLIC 3R ⋅=
SAXLSC 3X ⋅+=
SBLSC 4S ⋅=
SAXLIC 3X ⋅−=
SBLIC 3S ⋅=
a) Em cada amostra (média X e amplitude R, ou desvio padrão S):
c) Limites das cartas:
menormaior XXR −=
b) Média das médias, e média das amplitudes ou desvios padrões:
k
X
X i
∑
=
k
R
R i
∑
=
k
S
S i
∑
=
ou
ou
Média e 
amplitude
Média e 
desvio padrão
Tabelas de CEP
 Carta Carta 
A2 d2 D3 D4 A3 C2 B3 B4
2 1,880 1,128 - 3,267 2,659 0,7979 - 3,267
3 1,023 1,693 - 2,574 1,954 0,8862 - 2,568
4 0,729 2,059 - 2,282 1,628 0,9213 - 2,266
5 0,577 2,326 - 2,114 1,427 0,9400 - 2,089
6 0,483 2,534 - 2,004 1,287 0,9515 0,030 1,970
7 0,419 2,704 0,076 1,924 1,182 0,9594 0,118 1,882
8 0,373 2,847 0,136 1,864 1,099 0,9650 0,185 1,815
9 0,337 2,970 0,184 1,816 1,032 0,9693 0,239 1,761
10 0,308 3,078 0,223 1,777 0,976 0,9727 0,284 1,716
11 0,285 3,173 0,256 1,744 0,927 0,9754 0,321 1,679
Tamanho 
Amostra
Cartas ( e R ) Cartas ( e S )
Carta R Carta S
__
X
__
X__
X
__
X
Constantes das fórmulas dos limites, em função de n 
(tamanho da amostra):
CEP - Sinais de instabilidade
Ponto acima do LSC ou abaixo do LIC 
(LSC e LIC são os limites de controle)
7 ou mais ciclos consecutivos entre os 
limites
Muitos (ou poucos) pontos 
concentrados perto da média (ideal: 2/3 
dos pontos no terço central)
Tendência crescente (ou decrescente) 
de 7 ou mais pontos consecutivos
7 ou mais pontos consecutivos acima 
(ou abaixo) da linha média, mesmo 
estando entre os limites
Histograma - Construção
� Coletar N dados da variável em estudo (ideal: N ≥ 80).
� Calcular a amplitude total, ou range (R):
� Calcular o número de classes (K):
� Calcular a amplitude das classes (H):
� Escrever as classes e anotar, para cada uma, o número de valores
observados (freqüência Fi).
� Fazer a tabela de freqüências (sugestiva).
� Posteriormente, construir o histograma e analisar a normalidade.
� Os.: Estes cálculos podem ser feitos automaticamente, por softwares, como o
Excell e o Minitab (recomendado).
R = Xmáx – Xmín
K = 1 + 3,3 . log N
H = R / K
847872666054
35
30
25
20
15
10
5
0
Diâmetro
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
Média 70,03
D.Padrão 4,967
N 125
Histograma do Diâmetro
Histograma e Normalidade
Histograma, com 125 dados, 
divididos em 10 classes, cada uma 
com amplitude 3mm (H), tendo 
média de 70,03mm, desvio padrão 
de 4,97mm e amplitude total de 
30mm (R = 84 – 54) 
Os 125 dados, plotados no PPN 
(papel de probabilidade da 
Normal), com baixa dispersão em 
torno da linha média, com um 
ótimo valor de Pvalue (≥ 0,05), 
caracteriza uma Normal. 
85807570656055
99,9
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0,1
Diâmetro
FR
A
 (
%
)
Média 70,03
D.Padrão 4,967
N 125
P-Value 0,847
PPN do Diâmetro
847872666054
35
30
25
20
15
10
5
0
Diâmetro
Fr
e
q
u
ê
n
c
ia
Média 70,03
D.Padrão 4,967
N 125
Histograma do Diâmetro
F R A ( % )
PPN (Papel de probabilidade da Normal), cuja construção é
trabalhosa (recomendado usar algum software)
847872666054
35
30
25
20
15
10
5
0
Diâmetro
Fr
e
q
u
ê
n
c
ia
Média 70,03
D.Padrão 4,967
N 125
Histograma do Diâmetro
PPN (Papel de probabilidade da Normal)
Estabilidade – Exercício (1)
� Os dados a seguir, em centésimos de mm, foram utilizados para construir uma carta de
controle (média e amplitude), a partir da medição de uma peça, cujo valor de referência
foi determinado no laboratório de metrologia. A peça foi medida 5 vezes por dia durante
12 dias, totalizando 12 subgrupos. A característica medida foi a altura do rasgo de
chaveta, cuja especificação é de 117,80 ± 0,15mm. Pede-se construir a carta e analisar
a estabiidade do sistema de medição, conforme procedimento apresentado. São dados,
para n = 5: A2 = 0,577; D4 = 2,115; D3 = não existe (tabela slide 7), bem como os
cálculos da média e da amplitude de cada subgrupo (fórmulas do slide 6).
385566458894R
81,679,078,280,880,480,079,878,679,478,277,880,0Xbarra
818076817782797880757478M5 
827581788176788178747582M4
808378828181807681828381M3
837677808381808075787680M2
828179838080827883828179M1
121110987654321Dia
48,79
60
4769
n
X
X i ≅=
∑
= 97483XXR menormaior =−=−=
Estabilidade – Histograma (2)
1481,8 / 83,1
1280,5 / 81,8
1079,2 / 80,5
1177,9 / 79,2
276,6 / 77,9
575,3 / 76,6
674,0 / 75,3
FiClasses� Elaboração da tabela de freqüências:
ou seja, 7 classes, cada uma com amplitude 1,3.
� Desenhar o histograma.
K = 1 + 3,3 . log N = 1 + 3,3 . log 60 ≅ 7
H = R / K = 9 / 7 ≅ 1,3
R = Xmáx – Xmín = 83 – 74 = 9
84,481,879,276,674,0
14
12
10
8
6
4
2
0
Medidas
Fr
e
q
u
ê
n
c
ia
s
Média 79,48
D. Padrão 2,561
N 60
Histograma (com curva Normal) de Medidas
A curva normal ajustada ao 
histograma mostra uma leve 
assimetria à esquerda do 
histograma, não sendo então 
uma normal perfeita, talvez 
por se trabalhar com poucos 
dados (ideal seria ≥ 80).
Estabilidade - Normalidade (3)
88868482807876747270
99,9
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0,1
Medidas
P
e
rc
e
n
tu
a
l
Média 79,48
D. Padrão 2,561
N 60
P-Value <0,005
PPN de Medidas
O teste de normalidade 
de Anderson Darling
(PPN) resultou num valor 
de Pvalue baixo (<0,005), 
caracterizando que a 
distribuição dos dados 
não é mesmo uma norma 
(seria normal para Pvalue ≥
0,05)
Todos os cálculos e gráficos deste exercício foram feitos no 
software Minitab.
A seguir, construir as cartas de controle e analisá-las (5 regras)
Estabilidade – Cartas (4)
� Tendo calculado a média e a amplitude de cada subgrupo, temos que tirar a
média das médias e a média das amplitudes, obtendo:
� Então, calculamos os limites de controle das 2 cartas:
� Construímos, a seguir, as 2 cartas, e interpretamos (5 regras do CEP), para
ver se tem algum sinal de instabilidade.
82,90 5,92 . 0,577 79,48 RAXLSC 2X ≅+=⋅+=
12,51 5,92 . 2,115 RDLSC 4R ≅=⋅=
76,07 5,92 . 0,577 - 79,48RAXLIC 2X ≅=⋅−=
0 RDLIC 3R =⋅=
48,79
12
80,953
k
X
X i ≅=
∑
= 5,9212
71 
k
R
R i ≅=
∑
=
Resolução - Cartas de controle (5)
121110987654321
82
80
78
76
A mostra
M
é
d
ia
 a
m
o
s
tr
a
l
__
X=79,483
LSC =82,896
LIC =76,071
121110987654321
12
9
6
3
0
A mostra
A
m
p
li
tu
d
e
 a
m
o
s
tr
a
l
_
R=5,92
LSC =12,51
LIC =0
Carta da média e da amplitude de Medidas
Vemos que não há nenhum sinal de instabilidade (se houvesse, o Minitab
indicaria pontos em vermelho).
Conclusão: sistema de medição estável.
� A tendência do sistema de medição deve ser próxima de zero
(estatisticamente igual a zero), e menor que o critério de aceitação
do procedimento de calibração.
� Quando se avalia a tendência, o valor obtido da tendência não é
exatamente o valor real. Existe um intervalo de valores onde
provavelmente a tendência está.
Estudo da tendência
Tendência
Valor de 
referência
Valor médio 
observado
Intervalo de confiança
da tendência
Tendência - Método da amostra independente (1)
1. Obtenha 1 peça e estabeleça seu valor de referência, em relação a
um padrão, rastreável ou determinado pela metrologia (conceito já
citado).
2. Com um único operador meça a peça 10 vezes ou mais em
condições normais de uso.
3. Faça um histograma e analise se existem sinais de anormalidades
ou causas especiais presentes (slides anteriores). Cuidado com a
interpretação, quando n < 30.
4. Calcule a média das medições:
n
x
X
i∑
=
Tendência - Método da amostra independente (2)
5. Determine o desvio padrão da repetitividade:
� onde: d2* é tirado da tabela do Anexo A (slide 24),
com g = 1 e m = n (número de leituras)
6. Determine a estatística t (Student) para a tendência:
( )
*
2
*
2
mínimomáximo
r d
R
d
XX
σ =
−
=
referênciadeValorXTendência −=
n
σ
σ
r
b =
bσ
Tendência
t = n = nº de leituras
Tendência - Método da amostra independente (3)
7. Execute um teste de hipótese bilateral da estatística t (ver
explicação no slide 22), com um dado nível de significância (α,
usualmente 5%), utilizando as hipóteses a seguir.
H0: Tendência = 0 H1: Tendência ≠ 0
8. Comparar o valor de t calculado em 6, com o valor tabelado de
Student, com υ graus de liberdade (Anexo B, slide 25). A
hipótese H0 será validada se esse valor de t calculado não cair
nas regiões críticas do gráfico (caudas).
onde: ν é tirado da 
tabela do Anexo A 
(slide 24), com g = 1 e 
m = n, e tυ,α é tirado 
da tabela do Anexo B 
(slide 25).
t tabelado
t=0
αααα/2 αααα/2
Tendência - Método da amostra independente (4)
9. Alternativamente, calcular o intervalo de confiança da tendência:
onde: ν é tirado da tabela do Anexo A (slide 24), com g = 1 e m =
n, e tν,α é tirado da tabela do Anexo B (slide 25), com α%.
10. Se o zero estiver contido no intervalo acima, podemos concluir que
a tendência não é significantemente diferente de zero e, portanto:
Tendência Adequada. Para o zero estar contido, o valor menor do
intervalo deve ser negativo e o maior positivo.
( )[ ]
αυ,b tσ Tendência ±
Testes de hipóteses paramétricos (1)
� Representam uma regra de decisão, para aprovar ou rejeitar uma hipótese
feita sobre um parâmetro populacional, usando dados de uma amostra, com
uma dada margem de erro (usualmente 5%).
� Existem sempre 2 hipóteses:
� Ho= hipótese nula, aquela a se testar (por convenção, é sempre uma igualdade);
� H1= hipótese alternativa, aquela que contraria H0 (maior ou menor ou diferente).
� Região crítica, RC (ou de rejeição): região do gráfico do estimador amostral
que, em se caindo nela, a hipótese H0 será rejeitada, e H1 será aceita.
� Existem 3 tipos de RC (unilateral à direita, ou unilateral à esquerda ou
bilateral), cuja escolha depende do sinal de H1:
Bilateral
αα
α/2α/2
H1: ≠≠≠≠ ou H1: > ou H1: <
Bilateral Unilateral à direita Unilateral à esquerda
Testes de hipóteses paramétricos (2)
� Os limites das regiões críticas são tirados de tabelas estatísticas, como as
mostrada nos Anexos B e C (Tabelas de Student e Snedecor), para um dado
nível de significância α (também chamado de margem de erro).
� Para se entrar nas mesmas, deve-se utilizar o valor de α dado, em %, e um
grau de liberdade (υ), normalmente dado, ou com υ = n – 1.
� Roteiro para se fazer um teste de hipóteses:
� Escrever as hipóteses, H0 e H1;
� Adotar um valor de α;
� Identificar a variável do teste (fórmula, diferente para cada parâmetro);
� Desenhar a RC (tipo depende do sinal de H1);
� Delimitar a RC, com o uso da tabela apropriada;
� Com os dados da amostra, calcular o valor da variável do teste e colocá-lo no
gráfico que foi desenhado;
� Tomar a decisão: aprovar Ho se não se cair na RC, e rejeitar H0, aprovando H1, em
caso contrário.
αα
α/2α/2
Anexo A
-t
α/2
α/2
0 t
α/2
α/2
Anexo B – Tabela de Student
Entrando com α (%) 
e com o grau de 
liberdade υ, a tabela 
fornece o t
α/2, de 
cada lado (teste 
bilateral)
Tendência – Am. indep. – Exercício (1)
� Para uma peça da produção, foi determinado o valor de referência (15,50 mm) e foi
realizado um estudo de tendência medindo-a 15 vezes (dados na tabela a seguir).
Calcular a tendência (amostra independente). Usar alfa de 5%.
1. Histograma e análise de normalidade. Cuidado: usamos < 30 dados.
Aproximadamente uma Normal, pois Pvalue = 0,387 ≥ 0,05
15,5315,5215,4915,4915,4215,5015,4215,5715,4715,4215,5915,6015,4715,4415,45
15,6515,6015,5515,5015,4515,4015,35
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Medida
P
e
rc
e
n
tu
a
l
Média 15,49
D. Padrão 0,06014
N 15
P-Value 0,387
PPN de Medida
15,6215,5815,5415,5015,4615,4215,38
5
4
3
2
1
0
Medida
Fr
e
q
u
ê
n
c
ia
Média 15,49
D. Padrão 0,06014
N 15
Histograma de Medida
K=1+3,3.log15≅5 H=0,18/5=≅0,04R=15,60–15,42=0,18
Tendência – Am. indep. – Exercício (2)
2. Média das n medições = 15,492mm e R = 0,18mm (tirados do slide anterior).
3. Desvio padrão da repetitividade:
onde: d*2 = 3,553 (tabela do anexo A, slide 24, com g = 1 e m = n = nº de
leituras = 15
4. Estatística t:
0,051
3,553
0,18
d
Rσ *
2
r ===
-0,00815,50-15,492referênciadeValorXTendência ==−=
0,013150,051/
n
σ
σ rb ≅==
0,651
0,013
0,008
σ
Tendt
b
−≅−==
Tendência – Am. indep. – Exercício (3)
5. Teste de hipótese bilateral da estatística t, com αααα = 5%, usando as hipóteses:
H0: Tendência = 0 H1: Tendência ≠ 0
Como o t calculado (-0,651) não caiu na região crítica, aceitamos a hipótese
H0, ou seja a tendência é estatisticamente igual a zero, e o sistema de
medição está aprovado quanto a tendência.
6. Alternativamente, vamos efetuar o intervalo de confiança:
Obtemos: intervalo de: -0,037 até 0,021. Como o zero está contido nesse
intervalo, negativo à esquerda e positivo à direita, concluímos que a
tendência é estatisticamente igual a zero (mesma resposta de 5).
Tabela Student (Anexo B, slide 25),
com αααα = 5% e υυυυ = 10,8 ≅≅≅≅ 11, obtemos:
tcrítico = 2,201.-2,201
2,5%2,5%
2,2010
-0,651
( )[ ] 2,201 x 0,013 0,008tσ Tendência
αυ,b ±−=±
Tendência – Am. indep. – Exercício (4)
Solução do exercício, usando planilha (veja que o resultado é o mesmo!).
Tendência - Método da carta de contr. (1)
1. Similar ao método da amostra independente, porém aproveita os
resultados do estudo de estabilidade da carta da média e amplitude
(X e R) ou da média e do desvio padrão (X e S).
Obs.: Somente pode ser usado se o estudo de estabilidade não
apresentar problemas.
2. Deve-se, aqui, obter 1 peça e determinar seu valor de referência
(rastreável ou não).
3. A partir dos dados das cartas, fazer um histograma e analisar se
existem sinais de anormalidades ou causas especiais presentes.
(ver slides anteriores).
Obs.: Cuidado com a interpretação, quando n < 30.
4. Calcule a tendência, usando X da carta de controle:
referênciadeValorXTendência −=
Tendência - Método da carta (2)
5. Determine o desvio padrão da repetitividade, usando R da carta:
6. Determine a estatística t para a tendência e efetuar um teste de
hipóteses, tal qual o método anterior.
6. Alternativamente,calcular o intervalo de confiança da tendência, tal
qual método anterior. Se o zero estiver contido no intervalo, podemos
concluir que a tendência não é significantemente diferente de zero, e,
portanto, a tendência é adequada.
*
2
r
d
R
σ = d
*
2 é tirado da tabela do Anexo A (slide 24), com: 
m = tamanho da amostra e g = nº de amostras
g.m
σ
σ
r
b =
bσ
Tendência
t =
g = nº de amostras
m = nº medições por amostra
g . m = n (nº total de dados)
( )[ ]
αυ,t Tendência bσ±
Tendência – Mét. da carta – Exercício (1)
� Com relação ao exercício de estabilidade que vimos (slide 12), analisar a
tendência do sistema de medição (método da carta de controle), supondo que
o valor de referência é 117,80 mm. Adotar α = 5% e resolver por intervalo de
confiança e por teste de hipótese.
1. Já vimos o histograma e a normalidade e concluímos que, embora não seja
boa a normalidade, não existem sinais de instabilidade nas cartas.
2.
3.
4. H0: tendência = 0 H1: tendência ≠ 0 α = 5%
0,528079,48referência deValor XTendência −=−=−=
2,531
2,339
5,92
d
R
σ
*
2
r ===
onde = 2,339 (Anexo A, slide 24, com m = tamanho
amostra = 5 e g = nº de amostras = 12)
0,327
60
2,531
n
σ
σ
r
b === onde = n = número de dados = 12 x 5 = 60
,5901
0,327
0,52
σ
Tendência
t
b
−≅
−
==
Tendência – Mét. da carta – Exercício (2)
Conclusão: como t = -1,590 não caiu na região crítica, aceita-se H0, ou
seja, a tendência é zero.
5. Alternativamente, por intervalo de confiança:
Chegamos ao intervalo: -1,17 até 0,14. Como o zero está contido nesse
intervalo, concluímos que a tendência é estatisticamente igual a zero
(mesma resposta anterior).
Tabela de Student (Anexo B, 
slide 25), com αααα = 5% e υυυυ = 43,7 
≅≅≅≅ 45, obtemos: tcrítico = 2,014
2,5%2,5%
-2,014 0 2,014 
-1,590
( )[ ] 2,014) x (0,3270,52tσ Tendência
αυ,b ±−=±
Tendência – Mét. da carta – Exercício (3)
Solução do exercício, usando planilha (veja que o resultado é o mesmo!).
Linearidade - Condução do estudo (1)
1. Selecione 5 peças ou mais, que cubram toda a faixa de medição do
instrumento, e determine o valor de referência de cada peça.
2. Meça cada peça pelo menos 10 vezes, por um operador que normalmente
realiza as medições. As peças devem ser medidas aleatoriamente, para
evitar qualquer tendência nas medições.
3. Calcule a tendência de cada medição (Yij), e a média da tendência de cada
peça.
referênciadeValorXTendênciaY ji,ji,ji, −==
i
m
1j
ji,
i Tendência
m
Tendência
Y ==
∑
=
onde: i = número da peça, j = nº da medição, m = nº de medições de cada peça
Linearidade - Condução do estudo (2)
4. Represente as tendências individuais e a média de cada peça.
5. Calcule a reta que melhor se ajusta aos dados, bem como o
coeficiente de explicação (R 2). Linearidade
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12
Valor de referência
T
e
n
d
ê
n
c
ia
bXaY ii +⋅=
( )22 X.
g.m
1
X
Y . X.
g.m
1
(X.Y)
a
∑∑
∑∑∑
−






−
=
Xa.Yb −=
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )








−








−






−
=
∑∑∑∑
∑∑∑
n
Y
Y . 
n
X
X
n
Y.X
X.Y
R
2
2
2
2
2
2
R2 varia de 0 a 1 (0% a 100%) 
e indica quanto os valores 
medidos estão próximos da 
reta estimada.
Linearidade - Condução do estudo (4)
6. Calcule o intervalo de confiança da reta (I.C.), aplicando as
fórmulas a seguir, para cada valor de referência X0.
7. Represente: a reta ajustada, o I.C., e a reta de tendência zero.
2m . g
(X.Y)a.Yb.Y
S
2
−
−−
=
∑ ∑∑
( )
( )
S . 
XX
XX
g.m
1
 . t a.Xb:tosDeslocamen
2
i
2
0
αυ,0 







−
−
+±+
∑
onde:
Linearidade
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12
Valor de referência
T
e
n
d
ê
n
c
ia O sistema de medição 
será aceitável se a 
reta de tendência zero 
estiver contida no 
intervalo de confiança
Linearidade - Condução do estudo (5)
8. Se a análise gráfica indicar que a linearidade é aceitável, as
hipóteses a seguir serão verdadeiras.
� H0: a = 0 ⇒ tendência é igual ao longo da faixa de medição
(inclinação zero); hipótese é verdadeira se:
� H0: b = 0 ⇒ tendência é zero (deslocamento zero); hipótese é
verdadeira se:
( )
αυ,
2
i
t
.S
XX
X
gm
1
b
t ≤








−
+
=
∑
( )
αυ,
2
j
t
XX
S
a
t ≤








−
=
∑
ν = g.m - 2
Linearidade – Exercício (1)
� Para um estudo de linearidade de um paquímetro de 100mm de comprimento,
foram usadas 5 peças, com os valores de referência dados (12, 30, 51, 70 e
91 mm). Cada peça foi medida 10 vezes e os resultados são apresentados na
tabela (tendências dadas). Determine se o sistema de medição é adequado.
0,8191,812,9772,97-0,2750,732,6532,65-1,6310,3710
0,2091,203,3573,35-0,3950,613,0933,090,4712,479
0,2791,270,4670,460,1851,18-0,8829,12-3,408,608
1,6292,622,6172,610,0951,092,4832,48-2,249,767
1,0892,08-1,3568,650,1151,111,2431,24-0,3511,656
1,9892,98-0,1669,840,7251,72-0,4629,54-1,3910,615
-1,0189,991,7571,751,4052,400,0230,02-1,5510,454
-0,0990,911,0571,05-0,2250,78-0,1129,89-0,7411,263
-0,1790,833,9573,950,8551,851,1031,10-1,8310,172
2,2493,240,2970,290,4451,440,1230,120,0812,081
Tend.ValorTend.ValorTend.ValorTend.ValorTend.ValorMedições
91,0070,0051,0030,0012,00Valor refer.
54321Peças
Linearidade – Exercício (2)
� Calculadas as tendências, construímos uma tabela auxiliar de cálculos,
colocando numa coluna (Y) esses 50 valores de tendência calculados e
numa outra (X), os 5 valores de referência (12, 30, 51, 70 e 91), repetidos 10
vezes cada um. A seguir, efetuar os cálculos, linha por linha, de: X.Y, X2, Y2 e
(X – X)2, e obter os somatórios de todas as colunas: ΣΣΣΣY = 21,43 / ΣΣΣΣX = 2540 /
ΣΣΣΣ(X.Y) = 1950 / ΣΣΣΣX2 = 168260 / ΣΣΣΣY2 = 121,34 / ΣΣΣΣ(X-X)2 = 39228.
� Calcular a equação da reta média e do coeficiente R2.
0,689
50
2540
0,022.
50
21,43
Xa.Yb −≅−=−= 0,022X0,689X . abŶ +−=+=
( ) ( )
022,0
2540.
5.10
1
168260
3.2540.21,4
5.10
1
1950
x .
g.m
1
X
Y)( . X)( .
g.m
1
(X.Y)
a
222
≅
−






−
=
−






−
=
∑∑
∑∑∑
( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
17%0,17
50
21,43
121,34.
50
2540
168260
50
2540.21,43
1950
n
Y
Y . 
n
X
X
n
YX
XY
R
22
2
2
2
2
2
2
2
=≅






−





−






−
=








−








−






−
=
∑∑∑∑
∑∑∑ Valor 
baixo
Linearidade – Exercício (3)
� Calcular os I.C., para cada um dos 5 valores de referência, e, a seguir,
colocá-los no gráfico das tendências, indicando ainda a linha de tendência
zero (próximo slide).
Na Tabela t (Anexo B, slide 25), com α = 5% e ν = 48 graus ≅ 50, vem: tυ,α =
2,0086.
394,1
25.10
.1950022,0,430,0689).21(121,34
2m . g
).Y(Xa.Yb.Y
S
iii
2
i
≅
−
−−−
=
−
−−
=
∑ ∑∑
( )
( )
.....1,394
39228
)
50
2540
12
5.10
1
86.0,022.2,000,689S . 
XX
XX
g.m
1
 . t a.Xb:tosDeslocamen
2
2
i
2
0
αυ,0 ≅


















−
+±−=








−
−
+±+
∑
Linearidade – Exercício (4)
A reta de tendência zero não 
fica integralmente dentro do 
intervalo de confiança, donde 
concluímos que o sistema tem 
linearidade somente até
aproximadamente 51mm.
Linearidade – Exercício (5)
( )
2,0086120,3
XX
S
a
t
2
j
>≅








−
=
∑
( )
2,0086683,1
.S
XX
X
gm
1
b
t
2
i
<≅








−
+
=
∑
� Teste de hipóteses para o parâmetro b:
H0: b = 0 ⇒ tendência é zero
Hipótese é verdadeira se |t| ≤ tυ,α = 2,0086
� Teste de hipóteses para o parâmetro a:
H0: a = 0 ⇒ tendência é igual ao longo da faixa de medição
Essa hipótese é verdadeira se |t| ≤ tυ,α = 2,0086
Tendência não é igual ao 
longo da faixa de medição.
Tendência é zero.
Linearidade – Exercício (6)
Solução do exercício, 
usando planilha (veja 
que o resultado é o 
mesmo!).
Fim do Módulo 3
Estudos de localização 
(calibração) de sistemas de 
medição.