UNIASSELVI - prova analise matematica

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10/12/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Alessandra Kramer Butzen (1931660)
Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:649880) ( peso.:1,50)
Prova: 27240673
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
( ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
( ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número
primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e
somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número
primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e
maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se
que existem infinitos números primos.
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) III - I - II.
 b) III - II - I.
 c) II - I - III.
 d) I - III - II.
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2. Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente
parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de
uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo
que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um
fato simples, a multiplicação de números naturais, analise as sentenças que são provadas
matematicamente:
I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p.
II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p.
III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças I e II estão corretas.
 b) Somente a sentença I está correta.
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 d) As sentenças II e III estão corretas.
3. No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar
objetos, etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na
matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma,
podemos definir um conjunto enumerável se:
 a) Ser o conjunto de partida de uma função linear.
 b) Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
 c) Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
 d) Ser um subconjunto dos números reais.
4. O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes
aos números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua
posição dentro do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é
praticamente o mesmo que entender os números naturais. A respeito dos procedimentos do
método indutivo, analise as sentenças a seguir:
I- Verificar se P(1) é verdadeira.
II- Negar P(n).
III- Supor válida P(n).
IV- Concluir P(n+1) válida.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças I, III e IV estão corretas.
 b) As sentenças I e IV estão corretas.
 c) As sentenças III e IV estão corretas.
 d) As sentenças I, II e III estão corretas.
5. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da
matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo.
Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a
alternativa CORRETA:
 a) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
 b) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 c) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
 d) Teorema de Tales.
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6. Dizemos que A é um conjunto finito se A for um conjunto vazio ou se existe uma função
bijetora dos naturais no conjunto A. Dessa forma, se A for um conjunto vazio, dizemos que A
tem zero elementos e, se A for um conjunto não vazio finito, dizemos que A tem n elementos.
Análogo a isso, podemos dizer também que, se um subconjunto não vazio dos naturais é
finito, então ele é limitado. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma implicação
direta destas duas afirmações:
 a) Este subconjunto é unitário.
 b) Este subconjunto possui um maior elemento.
 c) Este subconjunto é bem ordenado.
 d) Este subconjunto possui um menor elemento.
7. Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo
diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Porém, seu início
se dá em um estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é de fundamental
importância no estudo dos conceitos anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto
às propriedades dos conjuntos numéricos a seguir, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) V - V - F - F.
 b) F - V - V - F.
 c) V - F - F - V.
 d) F - F - V - V.
8. Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos,
têm propriedades que muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história.
Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da análise matemática para comprovar
que um conjunto é infinito. Sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F
para as falsas para concluir que um conjunto é infinito e a seguir assinale a alternativa
CORRETA:
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 a) F - V - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - V - V - F.
 d) V - V - V - F.
9. Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função
que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida provamos
que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das
seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 5, 14, 30, ...}
é enumerável?
 a) (n²+1)n(2n+1)/6
 b) (n+1)n²(2n+1)/6
 c) (n+1)n(2n²+1)/6
 d) (n+1)n(2n+1)/6
10.Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo
diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Seu início, porém,
dá-se em um estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é fundamental no estudo
dos conceitos anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos
conjuntos numéricos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
( ) Não existebijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - V.
 b) V - F - F - V.
 c) V - V - F - F.
 d) F - V - V - F.
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