Aula 5 - Tensões induzidas no solo por cargas externas

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D I S C I P L I N A : M E C Â N I C A D O S S O L O S I I 
C U R S O : 6 º P E R Í O D O D E E N G E N H A R I A C I V I L
TENSÕES INDUZIDAS NO SOLO 
POR CARGAS EXTERNAS
INTRODUÇÃO 
• As tensões no interior de um maciço de solo
são caudadas por:
• Peso Próprio
• Cargas externas
INTRODUÇÃO
Tensões devido ao peso próprio do solo:
• Se
• A superfície do terreno for horizontal;
• A natureza do solo não muda muito horizontalmente
• Então
• Os planos horizontais e Verticais são os principais
• Ou seja, nestes planos não há tensão
cisalhante.
TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO DO 
SOLO
TENSÕES EFETIVAS 
• Onde:
• ’ =tensão efetiva;
•  = tensão total;
• u = pressão neutra.
• Todos os efeitos mensuráveis oriundos da variação do estado 
de tensão, tais como compressão e variação da resistência 
ao cisalhamento são devido a variação do estado de tensões 
efetivas.
u '
ACRÉSCIMO DE TENSÕES DEVIDO A 
UMA SOBRECARGA EXTRA
•Condição inicial
• vo
• uo
• ’vo
• T = 0
ACRÉSCIMO DE TENSÕES DEVIDO A 
UMA SOBRECARGA EXTRA
• Após o carregamento
• v
• u
• vf = vo +v
• ’vf = vf – uo
• T ≠ 0
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO
• Ao se aplicar uma carga na superfície de um
terreno, numa área bem definida, os acréscimos
de tensão numa certa profundidade não se
limitam à projeção da área carregada.
• Nas laterais da área carregada também ocorrem
aumentos de tensão, que se somam às anteriores
devidas ao peso próprio.
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO
TENSÕES DE ESPRAIAMENTO OU 
HIPÓTESE SIMPLES 
• Esse método deve ser entendido como uma estimativa 
grosseira, pois as tensões em uma determinada 
profundidade não são uniformemente distribuídas, mas 
se concentram na proximidade do eixo de simetria da 
área carregada, apresentando a forma de um sino
ACRÉSCIMO DE TENSÕES DEVIDO A 
UMA SOBRECARGA EXTRA
• Para determinar a variação das tensões no
subsolo lança-se mão da Teoria da
Elasticidade, isto é, da teoria matemática
que fornece condições de calcular as
variações das tensões devido a um
carregamento.
DISTRIBUIÇÃO BASEADA NA TEORIA 
DA ELASTICIDADE 
• Metodologia simples de aplicação;
• Permite uma avaliação satisfatória da magnitude das
tensões induzidas por carregamentos superficiais
Consideram o solo como um material:
• Homogêneo: mesmas propriedades em todos os pontos;
• Isotrópico: mesmas propriedades em todas as direções;
• Elástico: obedece a Lei de Hooke, σ= E x ε(tensões
proporcionais às deformações);
• O solo é um material contínuo;
• O carregamento é flexível, ou seja, a distribuição de tensões é
uniforme.
TENSÃO CAUSADA POR CARGA 
PONTUAL
SOLUÇÃO DE BOUSSINESQ
• A equação de Boussinesq determina os acréscimos
de tensões verticais devidos a uma carga pontual
aplicada na superfície;
• Não leva em considerações os parâmetros
elásticos do Solo E (módulo de elasticidade) e 
(coeficiente de Poisson).
TENSÃO CAUSADA POR CARGA 
PONTUAL
EXEMPLO – CARGA PONTUAL
Determinar o acréscimos de pressões no plano situado a 2,0m de profundidade,
a uma distância horizontal de 0, 2,0 e 4,0m, quando se aplica na superfície do
terreno uma carga concentrada de 1300 KN.
EXEMPLO – CARGA PONTUAL
Tensão a 0m:
Relação r/z = 0
Ip = 0,478 
Δσ = (1300/(2²)*0,478 = 155kN/m² 
Tensão a 2m:
Relação r/z = 2/2 = 1
Ip = 0,084
Δσ = (1300/(2²)*0,084 = 27,3kN/m² 
Tensão a 4m:
Relação r/z = 4/2 = 2
Ip = 0,009
Δσ = (1300/(2²)*0,009 = 2,925kN/m²
TENSÃO CAUSADA POR UMA LINHA DE 
CARGA VERTICAL 
• Linha de carga vertical de comprimento infinito que tem uma
intensidade q/unidade de comprimento na superfície de uma
massa de solo semi-infinita. O aumento de tensão vertical
dentro da massa de solo pode ser determinada:
TENSÃO CAUSADA POR UMA LINHA DE 
CARGA VERTICAL 
A equação anterior pode ser reescrita como:
Esta equação esta na forma adimensional. Utilizando-a, pode-
se calcular a variação de Δσz/(q/z) com x/z dada na tabela a
seguir. O valor de Δσz calculado é a tensão adicional no solo
causada pela linha de carga. O valor de Δσz não inclui a
pressão da sobrecarga do solo sobre o ponto A.
TENSÃO CAUSADA POR UMA LINHA DE 
CARGA VERTICAL 
TENSÃO VERTICAL CAUSADA POR UMA 
LINHA DE CARGA HORIZONTAL 
A figura mostra uma linha de carga horizontal na
superfície de uma massa de solo semi-infinita. O
aumento de tensão vertical no ponto A na massa de
solo pode ser dado como:
TENSÃO VERTICAL CAUSADA POR UMA 
LINHA DE CARGA HORIZONTAL 
• A tabela a seguir dá a variação de Δσz/(q/z) com 
x/z: 
TENSÃO VERTICAL CAUSADA POR UMA 
LINHA DE CARGA HORIZONTAL 
TENSÃO VERTICAL CAUSADA POR UMA 
LINHA DE CARGA HORIZONTAL 
TENSÃO VERTICAL CAUSADA POR UMA 
LINHA DE CARGA HORIZONTAL 
TENSÃO VERTICAL ABAIXO DO CENTRO DE UMA 
ÁREA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARREGADA
• Seja a intensidade da
pressão na área
circular de raio R igual
a q. O aumento da
tensão no ponto
causado pela área
carregada inteira é:
TENSÃO VERTICAL ABAIXO DO CENTRO DE UMA 
ÁREA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARREGADA
• A variação de Δσz/q com z/R é dada na tabela abaixo. O
valor de Δσz diminui rapidamente com a profundidade e em
z = 5R é cerca de 6% de q, que é a intensidade de pressão na
superfície.
TENSÃO VERTICAL EM QUALQUER PONTO ABAIXO 
DE UMA ÁREA CIRCULAR UNIFORMEMENTE 
CARREGADA 
ÁREA RETANGULAR - ÁBACO DE 
NEWMARK
• Determina σz a uma profundidade z abaixo de uma vertical 
passando pela aresta da área retangular. 
• São definidas as seguintes relações com os parâmetros me n:
• Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é: 
ÁBACO DE NEWMARK
ÁBACO DE NEWMARK
• Considera-se a tensão como uma função dos
parâmetros m e n e toda a expressão acima pode
ser tabelada, de forma que: σz= p.I , sendo que I
se encontra tabelado.
ÁBACO DE NEWMARK
ÁBACO DE NEWMARK
ÁBACO DE NEWMARK
• Para o cálculo em qualquer outro ponto, divide-se
a área carregada em retângulos com uma aresta
na posição do ponto considerado e calcula-se
separadamente o efeito de retângulo.
• σz será a soma das ações de cada uma das áreas.
ÁBACO DE NEWMARK
• Ponto central de área retangular carregada
)()()()()( efcbehifedghebade zzzzz 
ÁBACO DE NEWMARK
• Ponto fora de área retangular carregada:
)()()()()( cbefcbhicadfcagic zzzzz 
EXEMPLO: ÁREA CIRCULAR E 
RETANGULAR 
• A área flexível
mostrada na
figura é
uniformemente
carregada.
Considerando-se
q = 150 kN/m²,
determine o
aumento da
tensão vertical
no ponto A.
EXEMPLO: ÁREA CIRCULAR E 
RETANGULAR 
A área flexível
mostrada na
figura anterior é
dividida em três
partes na figura
abaixo:
EXEMPLO: ÁREA CIRCULAR E 
RETANGULAR 
EXEMPLO: ÁREA CIRCULAR E 
RETANGULAR 
TENSÃO VERTICAL INDUZIDA POR 
ÁREA IRREGULAR (NEWMARK, 1942)
• Newmark sugeriu um ábaco onde cada quadrado
possui a mesma influência no acréscimo da tensão
vertical em uma profundidade definida.
• Para seu uso, é necessário fazer, em papel
transparente, um desenho em escala do
carregamento (a escala é apresentada no ábaco).
CARGA QUALQUER (NEWMARK, 1942)
CARGA QUALQUER (NEWMARK, 1942)
EXEMPLO... 
• A seção transversal e a
planta de uma sapata
de um pilar são
mostrados na figura
abaixo. Encontre o
aumento da tensão
vertical produzido pela
sapata do pilar no ponto
A. O ponto A esta
localizado a uma
profundidade de 3
metros abaixo do fundo
da sapata.
EXEMPLO... 
• A planta da sapata
quadrada foi
desenhada
novamente com
uma escala AB = 3m
e colocada no
gráfico de influencia
ao lado, de tal modo
que o ponto A da
planta caia
diretamente sobre o
centro do gráfico.
EXEMPLO... 
• O número de elementos dentro do perímetro da 
planta é de cerca de 48,5. Portanto: