Engenharia Reversa Diagrama de Bode

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Controle
2 de dezembro de 2020
1 Problema
Dado o sistema apresentado na Figura 1, encontrar a loca-
lização dos polos e zeros, frequência natural e frequência de
amortecimento de polos complexos, se existirem, ganho do sis-
tema, ganho de margem e ganho de fase.
Figura 1: Sistema original e sua aproximação.
2 Desenvolvimento
2.1 Considerações Iniciais
A notação adotada para polos e zeros foi s
ωi
+1. Para sistemas
de segunda, o padrão foi de s
2
ω2n
+ 2ξ s
ωn
+ 1. Esse padrão foi
adotado pela conveniência para algumas aproximações.
2.2 Analise Preliminar
Uma rápida análise no gráfico indica a presença de dois po-
los complexos, um polo na origem e um zero. Por inspeção do
diagrama de fase, percebe-se que o sistema inicia em 90º, isso
indica que o zero esta no semiplano direito. Nota-se também que
após os polos complexos, o decaimento é de −80 dB
dec
, ao invés de
−60 dB
dec
, indicando a presença de um polo perto dos polos com-
plexos. No total, existem quatro polos e um zero. Como já se
sabe a existência de um polo na origem, sua influencia do gráfico
é removida.
2.3 Encontrando o ganho
Sem a influência do polo na origem, sobrou uma linha reta an-
tes dos polos complexos, essa linha indica o ganho. Respeitando
o padrão de polos/zeros nas considerações iniciais, o ganho será
exatamente o valor dessa linha convertido dos decibéis. A linha
encontra-se perto de −7.5350dB, o que daria um ganho inicial de
aproximadamente 0.42. Utilizando o padrão de notação de polos
e zeros visto em aula, o ganho do sistema será K =
G0ωpω
2
n
ωz
.
2.4 Encontrando o zero
Para decidir onde existia um zero, tirou-se uma derivada da
curva de ganho (dB) em relação a frequência (em décadas). Li-
mitando uma faixa entre 5000 rad
s
à 10000 rad
s
, onde se é certo que
o zero estaria. Itera-se sobre os zeros dentro da região especifi-
cada, e, analisa-se a derivada partir de 447Hz (onde a influencia
do amortecimento não é mais sentida). O melhor zero escolhido
foi aquele cujo cada valor de derivada após 447Hz era próximo
a −60 dB
dec
.
2.5 Encontrando os três últimos polos
Encontrado o zero, sua influencia é também subtráıda do
gráfico, e por conveniência, a influência do ganho é também re-
movida (deixando a linha inicial em 0dB). Visto que o polo real
está muito próximo aos polos complexos, sua análise fica difi-
cultada, portanto, itera-se o polo real de 80 a 130, removendo
a influência do candidato a polo real, e calcula-se a frequência
natural e amortecimento dos polos complexos que sobraram no
gráfico. Usando o mesmo critério de seleção do zero, o trio de po-
los cuja subtração do gráfico atual melhor se aproximou do zero
foi selecionado. Para o cálculo dos polos complexos, assumiu-
se 1
s2
ω2n
+2ξ s
ωn
+1
, pois essa configuração permite uma conveniente
aproximação de ωn = ω
√
|G(jω)|
1+|G(jω)| para ω >> ωn, ou seja,
obtendo-se o ganho em uma frequência maior que ωn, é posśıvel
deduzir ωn. Sabendo ωn, encontra-se ξ =
1
2|G(jωn)| . Devido a
granularidade, é improvável que o ωn calculado exista nas amos-
tras, portanto uma aproximação linear é feita para encontrar o
ganho do sistema na frequência natural estimada.
2.6 Ganhos de margem e fase
Devido a granularidade da amostra do sistema original, não
existem pontos onde o ganho seja 0dB ou a fase seja 180º. Por-
tanto, foram colhidos pontos do sistema original na vizinhança
de 0dB e 180º, e uma aproximação linear foi feita, a fim de en-
contrar as margens.
3 Resultados
Seja:
G(s) = G0
( s
ωz
−1)
( s
ωp
+1)( s
2
ω2n
+2ξ s
ωn
+1)
ou
G(s) = K (s−ωz)
(s+ωp)(s2+2ξωn+ω2n)
Por extenso Variável Valor
Ganho G0 0.42
Ganho K K 68.84
Fator de Amortecimento ξ 0.24
Frequência Natural ωn 97.27
rad
s
Frequência do Polo ωp 111.91
rad
s
Frequência do Zero ωz 6460.397
rad
s
Frequência de Crossover (Original) ω0dB 0.42
rad
s
Frequência em 180º (Original) ω180 944.80 rads
Margem de Ganho (Original) 125.35dB
Margem de Fase (Original) -90.35º
Frequência de Crossover (Sistema Aprox.) ω0dB 0.42
rad
s
Frequência em 180º (Sistema Aprox. ω180 1020 rads
Margem de Ganho (Sistema Aprox.) 128dB
Margem de Fase (Sistema Aprox.) -90.3º
Esse sistema é marginalmente estável em malha fechada ape-
nas com ganho 0, para ganhos acima de 0, como é o caso desse
sistema, ele é instável em malha fechada, pois seu polo na ori-
gem, e seus polos complexos tendem em direção ao semiplano
direito.
P.S.: Devido ao tamanho máximo do relatório, as explicações
foram muito sucintas, logo, me disponibilizo para mais esclare-
cimentos, se estes forem necessários. Obrigado.
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