Aula 11 09 2020-Progressão aritmética (PA)

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Progressão aritmética (PA)
Prof. Jackson
Uma nova linha do metrô, ainda em construção, tinha 12 km no início de janeiro do ano passado. De lá para cá, construiu-se 0,5 km dessa linha ao mês.
A sequência a seguir apresenta os comprimentos, em quilômetro, dessa linha do metrô, mês a mês, a partir do início de janeiro do ano passado:
(12; 12,5; 13; 13,5; 14; 14,5; ...)
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética, porque, adicionando a cada um de seus termos uma mesma constante, obtemos o termo seguinte; nesse caso, adicionamos 0,5 a cada termo.
(12; 12,5; 13; 13,5; 14; 14,5; ...)
Podemos definir, de modo geral, que:
Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.
O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
Exemplos:
a) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39) é uma PA finita de razão .
b) (18, 10, 2, -6, -14, ...) é uma PA infinita de razão .
c) (4, 4, 4, 4, 4, ...) é uma PA infinita de razão .
 
 Considere uma PA qualquer de razão r:
Observe que:
Ou seja, a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual à razão r.
Exercícios Resolvidos
1) Calcular a razão da PA que tem termos e . 
Exercícios Resolvidos
2) Verificar se as sequências abaixo são progressões aritméticas ou não.
a) 
b) 
c) tal que 
d) tal que 
a) 
 b) 
c) tal que 
d) tal que 
Classificação de uma PA
Podemos classificar as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante.
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é positiva.
Exemplo
(6, 10, 14, 18, ...) é uma PA crescente. Observe que sua razão é positiva: .
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é negativa.
Exemplo
(13, 8, 3, -2, -7, ...) é uma PA decrescente. Observe que sua razão é negativa: .
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Isso só ocorre quando a razão é nula.
Exemplo
 é uma PA constante. Note que sua razão é nula: .
Exercícios Resolvidos
1) Calcule a razão de cada uma das progressões aritméticas e classifique em crescente, decrescente ou constante. 
a) (0, 2, 4, 6, 8, ...)
b) (10, 7, 4, 1, -2, ...)
c) 
d) (-7, -7, -7, -7, ...)
e) 
a) (0, 2, 4, 6, 8, ...)
b) (10, 7, 4, 1, -2, ...)
c) 
d) (-7, -7, -7, -7, ...)
e) 
2) Considere a PA de razão e . Determine o termo . 
3) (PUC-MG) Três números naturais, a, b e c, estão, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 2. Se , a soma é igual a:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 32
e) 36
Representação genérica de uma PA
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar uma PA de maneira genérica. Mostramos a seguir algumas dessas representações:
A sequência é uma PA de três termos e razão r, para quaisquer valores de 
A sequência é uma PA de três termos e razão r, para quaisquer valores de x e r. Essa representação é mais adequada quando se pretende determinar uma PA de três termos, conhecendo-se a soma deles.
Representação genérica de uma PA
A sequência é uma PA de quatro termos e razão r, para quaisquer valores de x e r.
A sequência é uma PA de quatro termos e razão 2r, para quaisquer valores de x e r. Essa representação é mais adequada quando se pretende determinar uma PA de quatro termos, conhecendo-se a soma deles.
Exercícios Resolvidos
1) Determinar a PA decrescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e o produto deles . 
2) Em uma PA crescente de quatro termos, a soma de todos os termos é 16 e o produto do segundo pelo terceiro termo é 12. Determinar essa PA.
3) As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:
a) 68°
b) 72°
c) 76°
d) 80°
e) 82°
Fórmula do termo geral de uma PA
Fórmula do termo geral de uma PA
Exercícios Resolvidos
1) Determinar o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22, ...).
2) Obter a razão da PA tal que e .
3) Determinar o número de termos da PA (2, 10, 18, ..., 250).
4) Qual é a razão e o 1º termo da PA tal que e ?
1) Determinar o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22, ...).
2) Obter a razão da PA tal que e .
3) Determinar o número de termos da PA (2, 10, 18, ..., 250).
4) Qual é a razão e o 1º termo da PA tal que e ?
Bons estudos!!