apostila_sistemas_de_energia

Prévia do material em texto

See	discussions,	stats,	and	author	profiles	for	this	publication	at:	https://www.researchgate.net/publication/282290664
Modelagem	e	análise	de	sistemas	elétricos	em
regime	permanente
Research	·	September	2015
DOI:	10.13140/RG.2.1.4931.1207
CITATIONS
0
READS
122
1	author:
Sérgio	Haffner
Universidade	Federal	do	Rio	Grande	do	Sul
56	PUBLICATIONS			888	CITATIONS			
SEE	PROFILE
All	content	following	this	page	was	uploaded	by	Sérgio	Haffner	on	29	September	2015.
The	user	has	requested	enhancement	of	the	downloaded	file.
https://www.researchgate.net/publication/282290664_Modelagem_e_analise_de_sistemas_eletricos_em_regime_permanente?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_2&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/publication/282290664_Modelagem_e_analise_de_sistemas_eletricos_em_regime_permanente?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_1&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/profile/Sergio_Haffner2?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/profile/Sergio_Haffner2?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/institution/Universidade_Federal_do_Rio_Grande_do_Sul?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/profile/Sergio_Haffner2?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf
https://www.researchgate.net/profile/Sergio_Haffner2?enrichId=rgreq-c4695981231cd004379868e023f3b9bf-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI4MjI5MDY2NDtBUzoyNzkwMjc2ODExMjAyNjdAMTQ0MzUzNjc5MTU3NA%3D%3D&el=1_x_10&_esc=publicationCoverPdf
 
Modelagem e Análise de 
 
Sistemas Elétricos em 
 
Regime Permanente 
 
 
Sérgio Haffner 
 
http://slhaffner.phpnet.us/ 
haffner@ieee.org 
slhaffner@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvido para ser utilizado como notas de 
aula para o primeiro curso na área de Sistemas 
de Energia em nível de graduação ou pós-
graduação. 
 
 
Setembro 2007 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Introdução – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 4 
 
 
 
Sumário 
 
 
 Introdução [1 página] 4 
 
I Fundamentos para solução de circuitos elétricos [22 páginas] 1 
 I.1 Representação fasorial 1 
 I.2 Impedância [ ΩΩΩΩ] e admitância [ ΩΩΩΩ-1 ou siemens] 4 
 I.3 Associação de impedâncias 5 
 I.4 Potência complexa 6 
 I.5 Sentido do fluxo de potência 9 
 I.6 Fonte trifásica ideal 10 
 I.7 Carga trifásica ideal 11 
 I.8 Potência complexa em circuitos trifásicos equilibra dos 11 
 I.9 Análise por fase e diagrama unifilar 14 
 I.10 O sistema por unidade (pu) 17 
 
II O balanço de potência [7 páginas] 1 
 II.1 Capacidade de transmissão 1 
 II.2 Dependência da carga com a tensão e freqüência 3 
 II.3 O balanço de potência ativa e seus efeitos sobre a freqüência 5 
 II.4 O balanço de potência reativa e seus efeitos sobre a tensão 5 
 
III A linha de transmissão [16 páginas] 1 
 III.1 Tipos de condutores 1 
 III.2 Resistência série 2 
 III.3 Indutância série 3 
 III.4 Capacitância em derivação 6 
 III.5 O modelo da linha de transmissão 11 
 
IV O transformador [27 páginas] 1 
 IV.1 Transformador ideal de dois enrolamentos 1 
 IV.1.1 Transformador ideal em regime permanente senoidal 3 
 IV.1.2 Modelo do transformador ideal em pu 4 
 IV.2 Circuito equivalente do transformador real de dois 
enrolamentos 
5 
 IV.3 Transformador com relação não-nominal 14 
 IV.4 Transformador de três enrolamentos 16 
 IV.5 Autotransformador 17 
 IV.6 O modelo do transformador em fase 19 
 IV.7 O modelo do transformador defasador 25 
 IV.8 Expressões gerais dos fluxos de corrente e de potên cia 26 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Introdução – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 4 
 
 
 
V Geradores, reatores, capacitores e cargas [5 páginas] 1 
 V.1 Geradores 1 
 V.2 Reatores 1 
 V.3 Capacitores 2 
 V.4 Cargas 2 
 
VI O estudo do fluxo de carga [12 páginas] 1 
 VI.1 Definição do problema do fluxo de carga 1 
 VI.2 As equações das correntes dos nós 6 
 VI.3 Formulação matricial 8 
 
VII Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos [47 páginas] 1 
 VII.1 Formulação do problema básico 1 
 VII.2 Resolução de sistemas algébricos não lineares pelo método 
de Newton-Raphson 
10 
 VII.3 Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson 15 
 VII.4 Métodos desacoplados 24 
 VII.4.1 Método de Newton desacoplado 24 
 VII.4.2 Desacoplado rápido 31 
 VII.4.3 Apresentação formal dos métodos desacoplados 35 
 VII.5 Controles e limites 38 
 
VIII Fluxo de carga linearizado [7 páginas] 1 
 VII.1 Linearização 1 
 VIII.2 Formulação matricial 3 
 VIII.3 Representação das perdas no modelo linearizado 5 
 
 Bibliografia [1 página] 1 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Introdução – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 4 
 
Introdução 
 
Estas notas de aula têm como objetivo apresentar, de forma resumida, o conteúdo integral da disciplina 
introdutória na área de Sistemas de Energia para um curso em nível de graduação em Engenharia Elétrica 
(parcial para uma disciplina em nível de pós-graduação em Engenharia Elétrica) que consiste na análise de 
sistemas de energia elétrica em regime permanente senoidal. Estas notas não detalham em profundidade 
todos os aspectos relacionados com o tema, mas podem ser utilizadas para balizar estudos nesta área, cuja 
bibliografia em português não é muito abundante, em função da retirada dos títulos já esgotados dos 
catálogos das editoras. 
 
A análise de sistemas elétricos em regime permanente é de extrema importância, pois é desta forma que as 
redes operam quase na totalidade do tempo. Nestas condições, busca-se que todos os equipamentos elétricos 
(geradores, transformadores, linhas de transmissão, alimentadores, motores, etc.) estejam operando dentro de 
seus limites (tensão, freqüência, potência, etc.) e, se possível, de forma ótima (visando maximizar a 
segurança e minimizar o custo de geração, as perdas de transmissão, etc.). 
 
Para efetuar esta análise, em cada condição de carga e geração possível para o sistema ou sub-sistema 
elétrico, deve-se conhecer: 
• O carregamento nas linhas de transmissão e nos transformadores, visando verificar se há sobrecarga 
ou elementos ociosos; 
• A potência gerada em cada unidade de geração, visando efetuar uma análise de custos; 
• A potência consumida em cada unidade, visando efetuar projeções do crescimento do consumo; 
• A tensão nos diversos pontos do sistema, para verificar se existem tensões muito acima ou abaixo 
dos valores nominais; 
• As perdas de transmissão, visando compara alternativas de alimentação das cargas; 
• As conseqüências, em regime permanente, da perda de algum equipamento, visando verificar se o 
estado de operação é seguro. 
 
Desta forma, é possível verificar com objetividade a forma de operação que o sistema elétrico se encontra. A 
avaliação destes indicadores é a base dos métodos empregados na definição das alterações necessárias para 
modificar o ponto de operaçãodo sistema com o objetivo melhorar sua forma de funcionamento em regime 
permanente. 
 
O conteúdo está dividido em oito capítulos, da seguinte forma. 
 
No Capítulo I é feita uma revisão dos conceitos necessários da análise de circuitos em regime permanente 
senoidal juntamente com a apresentação da notação empregada nos demais capítulos. Adicionalmente, 
descrevem-se o sistema por unidade e a análise por fase, muito freqüente em sistemas de energia, quando o 
sistema pode ser considerado equilibrado. 
 
No Capítulo II é feita uma breve análise do balanço de potência e suas implicações com a magnitude da 
tensão nas barras e com a abertura angular das linhas e dos transformadores. 
 
Os Capítulos III, IV e V são dedicados para apresentar a forma pela qual os elementos do sistema de energia 
elétrica são modelados para análise por fase (aplicada para circuitos equilibrados). 
 
Nos Capítulos VI e VII o problema denominado Fluxo de Carga (ou Fluxo de Potência) não-linear que 
consiste, basicamente, na determinação das tensões nodais (em módulo e fase) é formulado e resolvido. 
 
No Capítulo VIII é descrito o modelo linearizado para o problema do Fluxo de Carga, que consiste em uma 
simplificação do modelo não-linear que é muito utilizada em estudos de planejamento. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Bibliografia – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 1 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 
1. Alcir J. Monticelli (1983). Fluxo de carga em redes de energia elétrica. Edgar Blücher. 
2. Alcir J. Monticelli, Ariovaldo V. Garcia (2003). Introdução a sistemas de energia elétrica. Editora da 
Unicamp. 
3. Alcir Monticelli, Ariovaldo Garcia, Osvaldo Saavedra (1990). Fast decoupled load flow: hypothesis, 
derivations and testing, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431. 
4. Arthur R. Bergen, Vijay Vittal (2000). Power systems analysis. Prentice Hall. 
5. Charles A. Gross (1986). Power system analysis. J. Wiley. 
621.3191 G878p 
6. Dorel Soares Ramos (1982). Sistemas elétricos de potência: regime permanente. Guanabara Dois. 
621.3191 R175s 
7. IEEE recommended practice for industrial and commercial power systems analysis (1997). IEEE. 
621.31042 I42i 
8. John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. (1994). Power system analysis. McGraw-Hill. 
621.3191 G743 
9. J. Arrillaga, N. R. Watson (2001) Computer modelling of electrical power systems. John Willey & Sons 
Ltd. 
10. Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 697p. 
11. O. I. Elgerd (1981). Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. McGraw Hill do Brasil. 
621.3191 E41ib (Edição 1981) 
621.3191 E41ia (Edição 1978) 
621.3191 E41i (Edição 1970) 
12. Syed A. Nasar (1991). Sistemas eléctricos de potencia. McGraw-Hill. 
13. Turan Gonen (1988). Modern power system analysis. J. Wiley. 
621.3191 G638m 
14. W. D. Stevenson Jr. (1986). Elementos de análise de sistemas de potência. McGraw-Hill. 
621.3191 S847eb (edição de 1981) 
621.3191 S847ea (edição de 1978) 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 22 
 
I – Fundamentos para solução de circuitos elétricos 
I.1 – Representação fasorial 
Nos circuitos elétricos assintoticamente estáveis1, a análise do regime permanente senoidal pode ser 
realizada através da simples operação com números complexos por intermédio da transformada fasorial. Na 
análise fasorial, todas as correntes e tensões senoidais são representadas por números complexos que 
quantificam a amplitude e o ângulo de fase das senóides, sendo a freqüência destas considerada 
implicitamente. 
 
Qualquer função do tipo senoidal pode ser representada pela função 
 
 ( ) ( )φω += tGtg cos 
 
através da escolha dos valores adequados para: 
 
 G – valor máximo (amplitude); 
 
T
f
ππω 22 == – velocidade angular [rad/s]; 
 f – freqüência [Hz]; 
 T – período [s]; 
 φ – ângulo de fase [rad]. 
 
A Figura I.1 apresenta o gráfico de uma função senoidal genérica, indicando os valores de G e φ. 
t 
[rad] 
g(t) 
−φ 
G 
-G 
ω 
 
Figura I.1 – Função tipo senoidal. 
 
Observar que quando o ângulo de fase φ é igual a 2π− , a função cosseno transforma-se em um seno, 
conforme mostra a Figura I.2, ou seja, são válidas as seguintes relações: 
 




 +=
2
sencos
πωω tt 




 −=
2
cossen
πωω tt 
 
1 Circuitos assintoticamente estáveis são aqueles que não apresentam nenhuma das raízes de sua equação 
característica no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a 
zero: 
( ) 0lim =∞→ tynt 
e a resposta completa tende à sua resposta forçada: 
( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 22 
 
π/2 ω t [rad] 
cos 
sen 
 
Figura I.2 – Relação entre as funções seno e cosseno. 
 
 
Define-se como defasagem a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma 
velocidade angular ω. Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg e ( )








−+=
876 2
122 cos
φ
αφωtGtg , a defasagem entre ( )tg1 e 
( )tg2 é dada por ( ) ααφφφφ =−−=− 1121 , conforme ilustra a Figura I.3. 
α 
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
 
Figura I.3 – Defasagem entre duas funções senoidais. 
 
Assim, pode-se dizer que: 
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg2 do ângulo αααα e 
( )tg2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα. 
 
Considere a função senoidal geral: 
( ) ( )φω += tYty cosmax (I.1) 
 
Note que a função tem três parâmetros: maxY – amplitude 
 ω – velocidade angular 
 φ – ângulo de fase 
 
Observar que qualquer função senoidal pode ser representada através da escolha adequada de maxY , ω e φ . 
 
Utilizando a identidade de Euler: θθθ sencos je j += 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 22 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ]












=
===+++=
+=+=
+
tj
Y
j
tjjtj
ee
Y
eeYeYtjYtY
tYtYty
ωφ
ωφφωφωφω
φωφω
48476
2
Re2
ReResencosRe
cosRecos
max
maxmaxmaxmax
maxmax
 
 ( ) ( )tjeYty ωRe2= (I.2) 
onde φje
Y
Y
2
max= é definido como a representação fasorial de ( )ty ou a transformada fasorial da função 
senoidal ( )ty . 
 
Observar que a transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio dos 
números complexos, que também é chamada de domínio da freqüência, já que a resposta envolve 
implicitamente uma função senoidal de freqüência ω. 
 
Notar que Y contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ . Considerando 
2
maxYY = , o valor RMS2 
de ( )ty , tem-se: 
 
 φφ YYeY j == (I.3) 
 
A representação gráfica em um sistema coordenado de um fasor genérico encontra-se na Figura I.4. 
 
φcosY
φsenY
φYY =
Im 
Re 
φ
 
Figura I.4 – Representação gráfica do fasor Y 
 
Observar que o fasor é diferente de um vetor porque a posição angular do fasor representa posição no 
tempo; não no espaço. 
Resumo: 
 ( ) ( )φω += tYty cosmax ou ( ) ( )tjeYty ωRe2= 
φφ YYeY j == Forma polar 
2
maxYY = 
φφ sencos jYYY += Forma retangular 
2
maxYY = 
 
2 “Root Mean Square” ou valor quadrático médio (eficaz). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 22 
 
I.2 – Impedância [ ΩΩΩΩ] e admitância [ ΩΩΩΩ-1 ou siemens] 
A impedância Z de um componente ou circuito é a relação entre os fasores tensão ecorrente (vide 
convenção de sinais da Figura 1.5): 
 
( )



=
=
+==
∆
reatância
aresistênci
X
R
jXR
I
V
jZ ω (I.4) 
 
A admitância Y de um componente ou circuito é o inverso de sua impedância: 
 
( )
( ) 

=
=
+===
∆
iasusceptânc
acondutânci1
B
G
jBG
V
I
jZ
jY
ω
ω (I.5) 
 
 
Circuito 
linear 
invariante 
em regime 
permanente 
senoidal 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2=
+ 
– 
( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( )
Y
jZ
1=ω
 
Figura I.5 – Definição de impedância e admitância. 
 
 
Um resumo das relações entre tensão e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1. 
 
 
Tabela I.1 – Relação tensão/corrente dos elementos simples. 
 
Elemento Equações Relação de fase 
Forma fasorial: 
( ) [ ]tjeIti ωRe2= 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2= 
Diagrama 
fasorial 
Relação no 
tempo 
( )tv
+
–
( )ti
R
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) ( )φω += tIti cosmax 
( )ti e ( )tv 
em fase 
IRV = 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
L
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 




 −+=
2
cosmax
πφωtIti 
( )ti atrasada 
de ( )tv de 90° 
ILjV ω= 
 
LX L ω= I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
C
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 




 ++=
2
cosmax
πφωtIti 
( )ti adiantada 
de ( )tv de 90° 
I
Cj
V
ω
1= 
 
C
X C ω
1= 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 5 de 22 
 
I.3 – Associação de impedâncias 
Para a associação série de impedâncias (vide Figura I.6), a impedância equivalente é dada pela soma das 
impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 neq ZZZZ +++= K21 (I.6) 
 – 
V 
+ 
– 
1V+ – I 2V+ – nV + 
1Z 2Z nZ
V 
+ 
– 
I
eqZ ≡ 
 
Figura I.6 – Diagrama para associação série de impedâncias. 
 
A expressão (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões, da forma como segue: 
 n
nn
eq ZZZ
I
V
I
V
I
V
I
VVV
I
V
Z +++=+++=+++== KKK 212121
LKT
 
Sabendo que 
Y
Z
1= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação série, a partir 
da expressão (I.6): 
 
n
eq
neq
YYY
Y
YYYY 111
11111
21
21 +++
=⇒+++=
K
K 
 
Para a associação paralela de impedâncias (vide Figura I.7), a impedância equivalente é dada pelo inverso 
da soma dos inversos das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 
n
eq
neq
ZZZ
Z
ZZZZ 111
11111
21
21 +++
=⇒+++=
K
K (I.7) 
 
V 
+ 
– 
I
1Z 2Z nZ
V 
+ 
– 
I
eqZ≡ 
1I 2I nI
 
Figura I.7 – Diagrama para associação em paralelo de impedâncias. 
 
A expressão (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como 
segue: 
 
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
V
Z
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=
+++
==
KK
K
 
Novamente, sabendo que 
Y
Z
1= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação 
série, a partir da expressão (I.7): 
 neq YYYY +++= K21 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 6 de 22 
 
I.4 – Potência complexa 
Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal. 
 
 
+ 
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
- 
)(tv
)(ti 
φ 
V
I
 θ 
Re
Im
φ
2
maxVV =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA 
 
Figura I.8 – Sistema em regime permanente senoidal. 
 
A potência instantânea fornecida para o sistema é dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (I.8) 
 
mas ( ) bababa sensencoscoscos −=+ , daí 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θφωθφωθφωθφωθφω sensencoscossensencoscoscos +++=−+−−+=−+ ttttt (I.9) 
Substituindo (I.9) em (I.8), 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )φωφωθφωθ
θφωθφωφω
++++=
=++++=
ttIVtIV
tttIVtp
sencossencoscos
sensencoscoscos
maxmax
2
maxmax
maxmax (I.10) 
Mas 
2
2cos1
cos2
a
a
+= e aaa cossen22sen = , logo: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
2
22sen
sencos
22cos1
2
1
cos2
φωφωφω
φωφω
+=++
++=+
t
tt
tt
 (I.11) 
Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a: 
 ( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax ++++= t
IV
t
IV
tp 
Definindo 
2
maxVV = e 
2
maxII = como os valores eficazes da tensão e da corrente senoidais, 
 VI
IVIV
==
222
maxmaxmaxmax 
chega-se à seguinte expressão: 
 
 ( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (I.12) 
 
A forma de onda da potência instantânea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a θcosVI , e 
uma parcela variável e alternada variante no tempo, igual a ( ) ( )φωθφωθ 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja 
freqüência corresponde exatamente ao dobro da freqüência da tensão e da corrente. 
 
Quando a tensão está em fase com a corrente, os gráficos das funções tensão, corrente e potência 
instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência instantânea é oscilante e 
apresenta sempre valores positivos. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 7 de 22 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v(
t)
, 
i(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.9 – Gráfico da potência no tempo – corrente em fase com a tensão. 
 
Quando a corrente está atrasada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência é oscilante e 
apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v(
t)
, 
i(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.10 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 90o em relação à tensão. 
 
Quando a corrente está adiantada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a função potência é 
oscilante e apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v(
t)
, 
i(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.11 – Gráfico da potência no tempo – corrente adiantada de 90o em relação à tensão. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 8 de 22 
 
Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo, 
30°, conforme Figura a seguir). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a 
predominância dos positivos. 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v(
t)
, 
i(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.12 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 30o em relação à tensão. 
 
A partir da expressão (I.12) é fácil determinar o valor da potência ativa (eficaz ou útil , que produz trabalho) 
que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema: 
 ( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
00
22sensen22cos1cos
1
)(
1
 φωθφωθ 
 θcos VIP = [W] (I.13) 
 
A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em ( )φω 22sen +t da potência instantânea: 
 θθ sensenI VIVQ =∆ [var] (I.14) 
 
para a qual adota-se a seguinte convenção3: 
INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 22 QPVIS +== [VA] (I.15) 
 
As expressões (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das 
impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. 
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA
 
Figura I.13 – Triângulodas potências. 
 
 
3 Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa 
apresenta valor médio nulo, ou seja, não existem geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve 
energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o 
indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 9 de 22 
 
O fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 
 θθ coscos ===
VI
VI
S
P
FP 
 
Utilizando-se os fasores tensão e corrente, 
 
θφ
φ
−=
=
II
VV
 
pode-se definir a potência complexa através do produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente: 
 
 jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos
*
 (I.16) 
 
Notar que desta forma, o ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ), conforme 
ocorre nas expressões (I.13), (I.14) e (I.15). 
 
I.5 – Sentido do fluxo de potência 
Considere os dois sistemas elétricos interligados mostrados na Figura I.14. 
 
+ 
- 
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA 
A 
SISTEMA 
B 
 
Figura I.14 – Situação geral do fluxo de potência em circuitos CA. 
 
De acordo com a notação da Figura I.14, a potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A é 
dada por: 
 
 ( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos* 
 
O sentido do fluxo de potência ativa P e reativa Q entre os dois sistemas para βαψ −= variando de 0 a 
360o está mostrado na Figura I.15. 
 
oo 900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
oo 18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
 
oo 360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
oo 270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
 
P [W] 
Q [var] 
βαψ −= 
αVV =
βII =
 
Figura I.15 – Sentido dos fluxos de potência ativa (P) e reativa (Q) entre os Sistemas A e B. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 10 de 22 
 
Na Figura I.15, observar que quando o ângulo de abertura é igual a 100o ( o100=ψ ), o valor de ψcos é 
negativo e, portanto, o fluxo de potência ativa de A para B também é pois ψcosVIP = . Isto significa que o 
fluxo de potência ativa neste caso é de B para A. Por outro lado, o valor de ψsen é positivo e, portanto, o 
fluxo de potência reativa de A para B também é, pois ψsenVIQ = . Isto significa que o fluxo de potência 
reativa neste caso é de A para B. Observar que dependendo do ângulo de abertura existente entre os fasores 
tensão e corrente é possível qualquer combinação de fluxo de potências ativa e reativa entre os dois sistemas. 
 
I.6 – Fonte trifásica ideal 
Uma fonte trifásica ideal é constituída por três fontes de tensão em conexão estrela ou triângulo, conforme 
ilustra a Figura I.16. 
 
BNV
ANV
+ 
+ 
N 
CNV
+ 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
+ 
– 
– 
+ 
(opcional) 
A 
B 
C 
 
 
ABV
BCV
CAV
+ 
+ + 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
– 
– 
+ 
+ 
N 
 
(a) Conexão estrela (b) Conexão triângulo. 
Figura I.16 – Fonte trifásica, ligação estrela. 
 
As diferenças de potencial entre as fases e o neutro (referência) são denominadas tensões de fase; as 
diferenças de potencial entre as fases 2 a dois são denominadas tensões de linha. Na seqüência ABC, o 
sistema é formado pelas seguintes tensões de fase ( )CNBNAN VVV ,, e de linha 
( )ACCACBBCBAAB VVVVVV −=−=−= ,, , ilustradas na Figura I.17: 
0φVV AN = 
oo 30303 LBNANAB VVVVV ==−= φ 
o120−= φVV BN 
oo 90903 −=−=−= LCNBNBC VVVVV φ 
o120φVV CN = 
oo 1501503 LANCNCA VVVVV ==−= φ 
 
Tensões de Fase (φ): 
ANV
ω CNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω 
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
 
Tensões de Linha (L): 
CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
 
Figura I.17 – Tensão de fase e de linha em um sistema trifásico simétrico (seqüência ABC). 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 11 de 22 
 
A constante que relaciona a magnitude da tensão de fase com a de linha ( )φVVL 3= pode ser obtida, 
conforme mostrado na Figura I.18. 
 
ANV
BNV
BNANAB VVV −=
o120
o30
o30 φVV
VVVV
L
ANANABL
3
330cos2
=
=== o
BNV−
o60
 
Figura I.18 – Relação entre as tensões de fase e de linha. 
 
I.7 – Carga trifásica ideal 
A carga trifásica ideal é constituída por três impedâncias de igual valor conectadas em estrela ou triângulo, 
conforme mostra a Figura I.19. 
 
N 
YZ
YZ
YZ
A 
B 
C 
 
 
N 
∆Z
∆Z
∆Z
A 
B 
C 
 
(a) Ligação estrela. (b) Ligação malha ou triângulo. 
Figura I.19 – Carga trifásica equilibrada. 
 
A equivalência entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em triângulo é: 
YZZ 3=∆ (I.17) 
 
I.8 – Potência complexa em circuitos trifásicos equ ilibrados 
Para um sistema trifásico qualquer (a três ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o 
ilustrado na Figura I.20, a potência complexa fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dada por: 
 333322221111
*
33
*
22
*
113 βαβαβαφ −+−+−=⋅+⋅+⋅= IVIVIVIVIVIVS NNNNNN 
Substituindo iii βαθ −= e separando a parte real da imaginária, chega-se a: 
 ( ) 33322211133 coscoscosRe θθθφφ IVIVIVSP NNN ++== 
 ( ) 33322211133 sensensenIm θθθφφ IVIVIVSQ NNN ++== 
 φφφ 333 jQPS += 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 12 de 22 
 
 
 
1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+ 
NV 2
+ 
NV 3
+ 
N 
Sistema A 
Sistema B 
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
 
 
 
Figura I.20 – Sistema trifásico para a determinação da potência complexa. 
 
O fator de potência médio da potência fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dado por: 
 
φ
φ
3
3
médio S
P
FP = 
As potências aparentes fornecidas pelas fases são dadas por: 
 11
2
1
2
11 IVQPS N=+= 
 22
2
2
2
22 IVQPS N=+= 
 33
2
3
2
33 IVQPS N=+= 
e os fatores de potência desenvolvidos em cada uma das fases são dados por: 
 1
1
1
1 cosθ== S
P
FP 
 2
2
2
2 cosθ== S
P
FP 
 3
3
3
3 cosθ== S
P
FP 
Quando o sistema trifásico é simétrico e alimenta uma carga equilibrada, os ângulos de defasagem entre os 
fasores tensão e corrente das fases são iguais ( )θθθθ === 321 e as potências ativa, reativa e aparente totais 
são dadas por: 
 
 θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP == 
 θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ == 
 LLL IVIVS 333 == φφ 
 
sendo o fator de potência expresso por: 
 
 θ
φ
φ
φ cos
3
3
3 == S
P
FP 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 13 de 22 
 
Ainda, para um sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada, tem-se4: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )θφωφω
θφωφω
θφωφω
−++=++=
−−+=−+=
−+=+=
oo
oo
120cos120cos
120cos120cos
coscos
maxmax
maxmax
maxmax
tItitVtv
tItitVtv
tItitVtv
CC
BB
AA
 
 
Utilizando a definição de potência instantânea, tem-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp AAA coscosmaxmax (I.18) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −−+−+== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp BBB (I.19) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++++== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp CCC (I.20) 
 
sendo a potência total dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )tptptptp CBA ++=φ3 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[
( ) ( )]θφωφω
θφωφωθφωφωφ
−+++++
+−−+−++−++=
oo
oo
120cos120cos
120cos120coscoscos3
tt
ttttIVtp mm
 (I.21) 
 
Das expressões (I.18), (I.19) e (I.20), têm-se5: 
 
 
( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]o
ooo
o
ooo
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1
120cos120cos
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1
120cos120cos
22coscos
2
1
coscos
−−++=
=−+++=−++++
+−++=
=−−++=−−+−+
−++=−++
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθθφωφω
t
ttt
t
ttt
ttt
 
 
Substituindo as expressões anteriores na expressão (I.21), chega-se a: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos
2
3cos3
2
1
12022cos12022cos22coscos3
2
1
1
0
3
VIP
IV
IV
tttIVtp
mm
mm
mm
====
=








−−+++−++−++=
= 4444444444444 84444444444444 76
oo
 
 
Deste modo, a potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado6, através de tensões 
simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das 
fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante. 
 
4 Foi utilizada a seqüência ABC mas o resultado permanece válido para a seqüência ACB. 
5 Lembrar que: ( ) ( )[ ]bababa ++−= coscos
2
1
coscos 
6 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas 
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões 
simétricas, é constante. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 14 de 22 
 
I.9 – Análise por fase e diagrama unifilar 
No estudo do regime permanente do sistema de energia elétrica, utiliza-se a análise por fase pois o sistema é 
considerado equilibrado, da geração ao consumo, ou seja: 
a) as fontes do sistema são consideradas simétricas; 
b) as impedâncias das fases são consideradas iguais e 
c) as cargas são consideradas equilibradas. 
 
Desta forma, o resultado (tensão, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se 
façam os ajustes de fase necessários. 
 
 
Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo. 
 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
 
Solução Exemplo I.1: 
 
a) Inicialmente, determina-se o fasor potência complexa referente a cada uma das cargas: 
 
Carga 1: kVA 3001 carga3 =φS 
 kW 2403008,01 carga31
1 carga
3 =×=×= φφ SFPP 
 ( ) ( ) kvar 180240300 2221 carga321 carga31 carga3 =−=−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 36,9300kVA 1802401 carga3 o=+= jS φ 
Carga 2: kW 1442 carga3 =φP 
 kVA 240
6,0
144
2
2 carga
32 carga
3 === FP
P
S φφ 
 ( ) ( ) kvar 192144240 2222 carga322 carga32 carga3 −=−=−−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 53,1240kVA 1921442 carga3 o−=−= jS φ 
 
Para a Fase A, tem-se: 
Carga 1: ( ) kVA 36,9100kVA 6080
3
1 carga
31 o=+== jSS A φ 
Carga 2: ( ) kVA 15380kVA 6448
3
2 carga
32 o,j
S
S A −=−== φ 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 15 de 22 
 
Solução Exemplo I.1 (continuação): 
Conhecendo o valor da tensão de fase da Fase A, V 0
3
2400
0
3
oo == LAN
V
V , e a expressão da potência 
desenvolvida na Fase A: 
 
*
*






=⇒=
AN
A
AAANA
V
S
IIVS 
pode-se determinar a corrente desenvolvida nas Cargas 1 e 2, como segue: 
 ( ) A 30,437457A 36,92,72
0
36,9100000
*
3
2400
*1
1
j,
V
S
I
AN
A
A −=−=








=








= o
o
o
 
 ( ) A 19,4664,34A 3,157,57
0
1,5380000
*
3
2400
*2
2
j
V
S
I
AN
A
A +==







 −
=








= o
o
o
 
 
Para o equivalente em estrela, 
 ( ) Ω+=Ω=
−
== 52,1136,15 36,92,19
36,92,72
0
3
2400
1
1
j
I
V
Z
A
AN
Y
o
o
o
 
 ( ) Ω−=Ω−=
−
== 2,194,14 3,1524
3,157,57
0
3
2400
2
2
j
I
V
Z
A
AN
Y
o
o
o
 
 
O circuito equivalente para a Fase A encontra-se na Figura I.21. 
 
V 0
3
2400 o
AI
+ 
2
AI
1
AI
Ω 36,15
Ω 52,11j
Ω 4,14
Ω− 2,19j
 
Figura I.21 – Circuito equivalente para a Fase A. 
 
b) De acordo com o diagrama da Figura I.21, a corrente de linha da Fase A é dada por: 
 ( ) A 8,14,92A 89,238,9219,4664,3430,43745721 o=+=++−=+= jjj,III AAA 
Levando em conta a simetria do sistema trifásico e a seqüência ABC, tem-se: 
 
 A 2,11892,4A 1208,14,92 ooo −=−=BI 
 A 8,12192,4A 1208,14,92 ooo =+=CI 
 
 
Observar que quando se realiza análise por fase é melhor empregar o circuito equivalente em estrela; se a 
conexão do equipamento é em triângulo, pode-se converter para o seu circuito equivalente em estrela. Como 
conseqüência, as linhas de baixo dos circuitos equivalentes por fase representam o neutro, as tensões são as 
de fase e as correntes são de linhas (na conexão estrela, a corrente de fase é igual à corrente de linha). 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 16 de 22 
 
Na Figura I.22, observa-se a representação de um sistema de energia elétrica através do diagrama unifilar, do 
diagrama trifásico (trifilar) de impedâncias e do diagrama de impedância por fase. No diagrama unifilar é 
possível representar a topologia do sistema (ligações), os valores das grandezas elétricas dos componentes e 
sua forma de conexão. O diagrama trifilar de impedâncias representa o circuito elétrico equivalente ao 
sistema de energia elétrica. O diagrama de impedância por fase representa uma simplificação do diagrama 
trifásico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas elétricas do sistema para uma fase 
(posteriormente, este resultado é estendido para as demais fases). 
 
 
G1 
G2 
1 2 3 
4 
T1 T2 
Y-Y Y-Y 
• • • • 
(a) Diagrama unifilar. 
• • • • 
• • • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
(b) Diagrama trifilar de impedância. 
• • • 
• • • 
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu). 
Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e Gerador 2 
G1 
G1 
G1 
G1 
G2 
G2 
G2 
G2 
Linha de 
Transmissão 
 
Figura I.22 – Representação do sistema de energia elétrica. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 17 de 22 
 
Exercício I.1 – Uma fonte trifásica, 13,8 kV, seqüência ABC, alimenta por intermédio de uma linha com 
impedância série de ( )Ω+ 44 j , duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 500 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 150 kvar, capacitivo. 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
I.10 – O sistema por unidade (pu) 
Freqüentemente, na análise de sistemas de energia elétrica ao invés de serem utilizadas as unidades originais 
para as grandezas envolvidas (tensão, corrente, potência, etc.) são utilizadas unidades relativas (por unidade 
ou, simplesmente, pu), obtidas através da normalização dos valores originais destas grandezas (em V, A, W, 
etc.) por valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta 
normalização em todas as grandezas do sistema, é possível: 
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto, 
erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência 
(valor de base), pode-se verificar apartir do valor normalizado da tensão (em pu) sua distância do valor 
desejado (nominal). Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; 
valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação. 
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico. 
• A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade. 
• Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para 
cada uma das grandezas). 
Para realizar a transformação das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou 
seja: 
 
basevalor 
atualvalor 
pu emvalor = (I.22) 
O valor de base deve ser um número real; o valor atual pode ser um número complexo (se for utilizada a 
forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ângulo na unidade original). 
A grandeza de base definida para todo o sistema de energia elétrica é a potência elétrica, base3φS 
(geralmente 100 MVA): 
 basebase3
base3
base 33 φφ
φ
φ SS
S
S =⇔= [MVA] (I.23) 
A tensão base, baseV , geralmente corresponde à tensão nominal do sistema na região de interesse: 
 base base 
base 
base 3
3
φφ VV
V
V L
L =⇔= [kV] (I.24) 
A corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ , são obtidas a partir da potência e da tensão de base: 
 
base 
base 3
base 
base 3
base 
base 
base base 
3
3
3
LL
YL
V
S
V
S
V
S
II φ
φ
φ
φ ==== [kA] (I.25) 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 18 de 22 
 
 
base 
base 3base 
base 33 L
L
V
SI
I φ==∆ [kA] (I.26) 
 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base 
φ
φ
S
V
I
V
Z L
Y
Y == [Ω] (I.27) 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base base 333
φ
φ
S
V
I
V
ZZ L
Y
Y ===∆ [Ω] (I.28) 
 
Têm-se, assim, duas classes de grandezas de base: 
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que 
varia em função da tensão nominal da região em análise. 
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em 
função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como 
tensão base na região em análise. 
Existem outras formas de normalização possível, com definições diversas de grandezas nas classes grandezas 
primárias e secundárias, entretanto esta é a forma usual na análise de sistemas de energia elétrica. 
 
Uma operação bastante freqüente na modelagem de sistemas elétricos é a mudança de base de valores de 
impedâncias. Um exemplo clássico da necessidade de mudança de base é a compatibilização do valor das 
impedâncias dos transformadores, usualmente fornecidos em seu valor percentual, tendo como potência base 
a potência nominal do equipamento e como tensões base as tensões terminais dos enrolamentos. 
 
Para realizar a mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z , deve-se 
proceder como segue: 
 ( ) ( )
2 base
1 base
1 basepu 2 basepu 
Z
Z
ZZ = (I.29) 
 ( ) ( )
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L






= (I.30) 
 
Exemplo I.2 – Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =φS e kV 4,2base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
Solução Exemplo I.2: 
a) Utilizando as expressões (I.23), (I.24), (I.25) e (I.27) tem-se: 
 kVA 100
3
300000
3
base3
base ===
φ
φ
S
S 
 V 1386
3
2400
3
base 
base ===
LVVφ 
 A 2,72
1386
100000
base 
base 
base ===
φ
φ
V
S
IY 
 Ω=== 2,19
2,72
1386
base 
base 
base 
Y
Y I
V
Z φ 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 19 de 22 
 
Solução Exemplo I.2 (continuação): 
b) De acordo com os valores obtidos no Exemplo I.1, tem-se: 
 ( ) pu 6,08,0pu 36,91
2,19
36,92,19
base 
1
1
pu j
Z
Z
Z
Y
Y
Y +==== o
o
 
 ( ) pu 00,175,0pu 3,1525,1
2,19
3,1524
base 
2
2
pu j
Z
Z
Z
Y
Y
Y −=−=
−
== o
o
 
 ( ) pu 01pu 01
1386
0
3
2400
base 
pu j
V
V
V ANAN +==== o
o
φ
 
O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23. 
 
pu 01 o
pu AI
+ 
2
pu AI
1
pu AI
pu 8,0
pu 6,0j
pu 75,0
pu 00,1j−
 
Figura I.23 – Circuito equivalente para a Fase A em pu. 
 
c) Do circuito da Figura I.23, tem-se: 
 ( ) pu 6,08,0pu 87,361
6,08,0
011
pu j
j
I A −=−=
+
= o
o
 
 ( ) pu 64,048,0pu 13,538,0
00,175,0
012
pu j
j
I A +==
−
= o
o
 
 ( ) pu 04,028,1pu 8,128,164,048,06,08,02 pu 1 pu pu jjIII AAA +==++−=+= o 
 ( ) A 89,238,92A 8,192,472,28,128,1base pu jIII YAA +==×== oo 
Observar que o valor obtido em ampères é o mesmo calculado no Exemplo I.1. 
 
 
Exemplo I.3 – A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico. 
 
G1 
1 2 3 4 T1: 12 : NN 
Y-Y Y-Y 
T2: 
′′
21 : NN 
2,4 kV 24 kV 12 kV 
1000 A 
 
Figura I.24 – Diagrama unifilar do Exemplo I.3. 
 
Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do 
gerador φ3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal ( )A 1000=LI 
alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA 
(2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por 
um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar: 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 20 de 22 
 
a) A potência base. 
b) A tensão de linha base. 
c) A impedância base. 
d) A corrente base. 
e) Resuma os valores base em uma tabela. 
f) Os valores das correntes em A. 
g) A corrente em pu. 
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova base. 
i) O valor pu das tensões das Barras 1,2 e 4. 
j) A potência aparente nas Barras 1,2 e 4. 
 
 
 
Solução Exemplo I.3: 
a) A potência base é selecionada arbitrariamente como: kVA 2080base 3 =φS . 
b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de kV 5,2base =LV . As demais tensões de base são 
calculadas utilizando as relações de transformação de T1 e T2: 
 210
2
1
2
1 =′
′
=
N
N
N
N
 
 Assim, para os demais circuitos: 
 Circuito em 24 kV: kV 25base =LV 
 Circuito em 12 kV: kV 5,12base =LV 
 
c) As impedâncias de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: Ω=== 005,3
2080000
25002
base 3
2
base 
base 
φS
V
Z LY 
 Circuito em 24 kV: Ω=== 5,300
2080000
250002
base 3
2
base 
base 
φS
V
Z LY 
 Circuito em 12 kV: Ω=== 1,75
2080000
125002
base 3
2
base 
base 
φS
V
Z LY 
 
d) As correntes de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: A 480
25003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I φ 
 Circuito em 24 kV: A 48
250003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I φ 
 Circuito em 12 kV: A 96
125003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I φ 
Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedância e 
corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 21 de 22 
 
 
Solução Exemplo I.3 (continuação):e) Os valores base estão sumarizados na Tabela I.2. 
 
Tabela I.2 – Valores base do Exemplo I.3. 
 [ ]kV NOMINAL LV [ ]kV base LV [ ]Ω base YZ [ ]A base LI 
2,4 2,5 3,005 480 
24 25 300,5 48 
12 12,5 75,1 96 
kVA 2080base 3 =φS 
 
f) Conhecendo-se a corrente que sai do gerador A 1000kV 4,2 =LI , pode-se determinar os valores das 
correntes que circulam na linha e na carga: 
 Circuito em 24 kV: A 1001000
10
1kV 4,2
1
2kV 24 === LL IN
N
I 
 Circuito em 12 kV: A 200100
1
2kV 24
2
1kV 5,12 ==′
′
= LL I
N
N
I 
 
g) A corrente por unidade é a mesma para todos os circuitos: 
Circuito em 2,4 kV: pu 08,2
480
1000
kV 4,2
base 
kV 4,2
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Circuito em 24 kV: pu 08,2
48
100
kV 24
base 
kV 24
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Circuito em 12 kV: pu 08,2
96
200
kV 5,12
base 
kV 5,12
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Observar que o valor em pu obtido neste item poderia ser outro caso fossem escolhidos outros valores de 
base nos itens (a) e (b). 
 
h) Utilizando a expressão de conversão de base, considerando que os dados do transformador se encontram 
na base deste (base 1: valores nominais de potência e tensão), tem-se: 
 ( ) ( ) pu 0128,0
6000000
2080000
2500
2400
04,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T1pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L =


=





=
φ
φ 
 ( ) ( ) pu 0192,0
4000000
2080000
12500
12000
04,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T2pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L =


=





=
φ
φ 
Verificar que o resultado é o mesmo para o lado de alta tensão. 
 
i) A Figura I.25 apresenta o diagrama de impedância por fase do sistema da Figura I.24, indicando os 
fasores tensão de interesse. 
 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
• • 
G1 
pu 0128,0T1 jZ = pu 0192,0T2 jZ =
pu 08,2=I
• • 
1 2 3 4 
1V 2V 3V 4V
 
Figura I.25 – Diagrama de impedância por fase (em pu) do sistema da Figura I.24. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 22 de 22 
 
 
Solução Exemplo I.3 (continuação): 
 
Para o gerador, que opera em tensão nominal, tem-se: 
 pu 096,0
2500
02400
base 
NOMINAL 
1
o
o
===
L
L
V
V
V 
Considerando que a corrente que circula no circuito está atrasada de 90o em relação à tensão (pois o circuito 
é constituído exclusivamente por reatâncias indutivas): 
 pu 093,09008,20128,0096,01132 ooo =−×−=−== jIZVVV T 
 ( ) ( ) pu 089,09008,20192,00128,0096,0211224 ooo =−×+−=+−=−= jjIZZVIZVV TTT 
 
j) A potência complexa pode ser obtida a partir dos fasores tensão e corrente: 
 
[ ]
[ ]
[ ] pu 85,1pu 9085,19008,2089,0
pu 93,1pu 9093,19008,2093,0
pu 00,2pu 9000,29008,2096,0
4
**
444
2
**
2232
1
**
111
=⇒=−==
=⇒=−===
=⇒=−==
SIVS
SIVSS
SIVS
ooo
ooo
ooo
 
 
Observar que a potência aparente entregue pelo gerador é de 2,00 pu e que na carga chega é de 1,85 pu, 
sendo a diferença “consumida”7 pelas reatâncias dos transformadores. 
 
 
Exercício I.2 – Considere o sistema do Exercício I.1. Supondo que kVA 100base3 =φS e kV 8,13base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
 
 
 
 
7 De acordo com a convenção de sinais para potência reativa, os indutores consomem e os capacitores geram. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 7 
 
II – O balanço de potência 
O objetivo fundamental de um sistema de energia elétrica é fornecer energia para as cargas existentes em 
uma determinada região geográfica. Quando o sistema é adequadamente planejado e operado, deve atender 
aos seguintes requisitos: 
• Fornecer energia nos locais exigidos pelos consumidores. 
• Como a carga demandada pelos consumidores varia ao longo do tempo (horas do dia, dias da semana e 
meses do ano), o sistema deve estar apto a fornecer potências ativa e reativa variáveis, conforme esta 
demanda. 
• A energia fornecida deve obedecer a certas condições mínimas, relacionadas com a “qualidade”. Entre os 
fatores que determinam esta qualidade se destacam: freqüência, magnitude da tensão, forma de onda e 
confiabilidade. 
• O sistema deve buscar custos mínimos (econômicos e ambientais). 
 
Neste capítulo, serão descritos os mecanismos que atuam no controle das potências ativa e reativa do sistema 
de energia elétrica. 
 
II.1 – Capacidade de transmissão 
Considere uma linha de transmissão do sistema elétrico, representada pela sua reatância série kmx , conectada 
entre duas barras, conforme mostrado na Figura II.1. 
 
 
k kmI
kmkm jxZ = m 
kkk VV θ= mmm VV θ=
kmS 
Figura II.1 – Linha de transmissão do sistema elétrico. 
 
Os fluxos de corrente kmI e potência kmS podem ser obtidos a partir dos fasores tensão das barras k e m 
( kkk VV θ= e mmm VV θ= , respectivamente): 
 
km
mk
km
mk
km
jx
VV
Z
VV
I
−=−=
 
( ) ( ) ( )
( )[ ]
km
kmkmmkk
km
kmmkk
km
mkmkk
km
mmkkk
km
mkkj
j
km
mk
VV
kk
km
mk
k
km
mk
kkmkkm
x
jVVVj
x
VVVj
x
VVVj
x
VVVj
xj
VVVj
jx
VVVV
jx
VV
V
jx
VV
VIVS
kk
θθ
θθθθθ
sencos2
222
2
*2*****
*
22
+−
=
=
−
=
−−
=
−−
=
=
−




 −
=
−
−=








−
−=





 −==






×
==
876
 
 
( )
km
kmmkkkmmk
km
x
VVVjVV
S
θθ cossen 2 −+
= (II.1) 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 7 
 
 
Quando todas as tensões das expressões anteriores correspondem aos valores de linha em kV e reatância 
estiver em Ω, todas as potências obtidas serão os valores trifásicos dados em MW e Mvar. Obviamente, por 
outro lado, quando todas as grandezas estão representadas em pu, os resultados das expressões anteriores 
também estarão em pu (neste caso não há distinção entre valores de fase/linha e por fase/trifásico). 
 
Definindo mkkm θθθδ −== , como a abertura angular da linha de transmissão, e separando as partes real e 
imaginária, chega-se a: 
 
 { } δθ sensenRe
km
mk
km
km
mk
kmkm x
VV
x
VV
SP === (II.2) 
 { }
km
mkk
km
kmmkk
kmkm x
VVV
x
VVV
SQ
δθ coscos
Im
22 −
=
−
== (II.3) 
 
As equações (II.2) e (II.3) descrevem a forma pela qual as potências ativa e reativa são transferidas entre 
duas barras de um sistema. De acordo com (II.2), pode-se observar que para valores constantes1 de tensões 
terminais kV e mV o fluxo de potência ativa obedece à seguinte expressão: 
 
 δsenmaxkmkm PP = 
 
sendo 
km
mk
km x
VV
P =max o maior valor de potência ativa transmitida pela linha de transmissão km (capacidade de 
transmissão estática) ou seu limite de estabilidade estática, somente atingido quando 1sen ±=δ , ou seja, 
quando o90±=δ . Assim, a potência ativa transmitida por uma linha de transmissão está intimamente 
relacionada com sua abertura angular δ, conforme ilustra a Figura II.2. 
-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150
-100
-50
0
50
100
 [ ]max de % kmkm PP
][ okmθδ =
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de m para k 
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de k para m 
Região de 
instabilidade 
Região de 
instabilidade 
 
Figura II.2 – Potência ativa em uma linha de transmissão em função de sua abertura angular. 
 
1 Observar que as tensões de operação em regime permanente dos sistemas de energia elétrica, usualmente, não sofrem 
variações acentuadas e permanecem próximas aos seus valores nominais. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página3 de 7 
 
 
A capacidade de transmissão de uma linha é proporcional ao quadrado da tensão de operação e inversamente 
proporcional à sua reatância. Tais características são muito importantes na especificação das linhas de 
transmissão, ou seja, na definição de suas características nominais (nível de tensão, geometria das torres e 
condutores). Entretanto, na prática, o sistema opera longe do limite de estabilidade estática, pois à medida 
que nos aproximamos deste limite o sistema torna-se eletricamente fraco, ou seja, cada vez são necessários 
maiores incrementos no ângulo de abertura para um mesmo incremento na potência transmitida. Assim, 
raramente as linhas operam com ângulos superiores a 30° ou 45°. 
 
 
Exemplo II.1 – Determinar a capacidade de transmissão estática de duas linhas de transmissão cujo 
comprimento é de 200 km: 
• Linha 1: 230 kV, 1 condutor por fase com reatância 0,5 Ω/km. 
• Linha 2: 765 kV, 4 condutores por fase com reatância 0,35 Ω/km. 
 
Solução Exemplo II.1: Para ambas as linhas, consideram-se que as tensões terminais são iguais aos seus 
valores nominais. 
Para a Linha 1, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 100km 2005,0 km1x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( )
MW 529
 100
kV 230 2
1
11max
1 =Ω
==
x
VV
P mk 
Para a Linha 2, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 70km 20035,0 km2x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( )
MW 8360
 70
kV 765 2
2
22max
2 =Ω
==
x
VV
P mk 
Desta forma, a linha de 765 kV é capaz de transportar o equivalente a mais de 15 linhas de 230 kV. 
 
II.2 – Dependência da carga com a tensão e freqüênc ia 
Embora, individualmente, as cargas existentes no sistema elétrico sejam altamente aleatórias, quando 
concentradas por conjuntos de consumidores apresentam caráter previsível. Quanto maior o número de 
cargas agrupado, maior será a possibilidade de realizar tal previsão. Além disto, as cargas concentradas 
variam com o tempo de maneira também previsível, em função da hora do dia (horário de maior consumo e 
horário de menor consumo), do dia da semana (dia útil, final de semana e feriados) e das estações do ano, 
conforme ilustrado na Figura II.3 que representa a curva de carga diária de um alimentador. 
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
Alimentador RS--P 16/10/2002 (quarta-feira) kW
Alimentador RS--Q 16/10/2002 (quarta-feira) kvar
 
Figura II.3 – Curva de carga de um alimentador. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 7 
 
 
Na curva de carga de potência ativa da Figura II.3 observa-se um baixo consumo até as 7:00 horas, quando 
se inicia um processo de crescimento até o horário do almoço, por volta das 12:00 horas. A partir deste 
intervalo o consumo quase se estabiliza em um patamar para iniciar um novo processo de crescimento a 
partir das 18:00 horas. O processo de redução inicia-se perto das 21:00 horas, sendo contínuo até as 24:00 
horas. A curva de potência reativa segue de forma aproximada a curva de potência ativa, sendo seu valor 
inferior à metade do anterior. Pode-se notar o caráter industrial/comercial da carga, em função do elevado 
consumo durante o horário comercial e também a presença de residências, em função do aumento de 
consumo no horário da ponta (freqüentemente evitado pelas indústrias em função da tarifa maior). 
 
Outra característica importante das cargas de uma maneira geral é seu caráter indutivo, ou seja, a carga típica 
consome potência reativa pois é a participação das cargas motoras é significativa. Desta forma, pode-se dizer 
que a carga típica de um sistema de energia elétrica pode ser representada de forma simplificada pela 
associação série RL da Figura II.4. 
 
L 
I
+ 
 
 
 
 
 
 
 
– 
V
R 
SISTEMA 
Fonte 
 
Figura II.4 – Carga RL série. 
 
Sendo fπω 2= a velocidade angular da fonte, a potência complexa consumida pela carga RL é dada por: 
 
( )
( )LjR
LR
V
Z
Z
V
Z
V
Z
V
VIVS
Z
Z
ω
ω
+
+
===





==
×
22
2
2
2
*
2*
*
 
Isolando as partes real e imaginária, tem-se: 
 { } ( )
( )
2
22
,Re V
LR
R
VfSP
ω
ω
+
=== (II.4) 
 { } ( )
( )
2
22
,Im V
LR
L
VgSQ
ω
ωω
+
=== (II.5) 
Assim, conclui-se que: 
• P e Q crescem com o quadrado da tensão, característica típica de cargas constituídas por impedâncias e 
• P diminui e Q aumenta com o aumento da freqüência. Uma carga típica deve possuir um fator de 
potência perto da unidade para evitar penalizações, logo o valor da resistência deve ser muito maior do 
que o da reatância indutiva, ou seja, ( ) 222 RLRLR →+⇒>> ωω . 
 
Para cargas compostas, uma relação funcional do tipo (II.4) e (II.5), via de regra, não é possível de ser 
determinada. Neste caso, para pequenas variações na velocidade angular, ∆ω, ou na magnitude da tensão, 
∆V, tem-se: 
 V
V
PP
P ∆
∂
∂+∆
∂
∂≈∆ ω
ω
 (II.6) 
 V
V
QQ
Q ∆
∂
∂+∆
∂
∂≈∆ ω
ω
 (II.7) 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 5 de 7 
 
sendo as quatro derivadas parciais 





∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
V
QQ
V
PP
 e , ,
ωω
 obtidas empiricamente. Estas derivadas fazem o 
papel dos parâmetros da carga, descrevendo a natureza desta em torno dos níveis nominais de freqüência e 
tensão. Um exemplo de uma carga típica pode apresentar a seguinte composição: 
 
• Motores de indução: 60% 
• Motores síncronos 20% 
• Outras: 20% 
 
Neste caso, os parâmetros correspondentes seriam: 
 
( )
3,11
disponível não1
≈
∂
∂≈
∂
∂
∂
∂≈
∂
∂
V
Q
V
P
QP
ωω
 
 
II.3 – O balanço de potência ativa e seus efeitos s obre a freqüência 
A freqüência em um sistema de energia elétrica deve ser mantida dentro de limites rigorosos pois: 
• A maioria dos motores de corrente alternada gira com velocidades diretamente relacionadas com a 
freqüência e 
• O sistema pode ser mais efetivamente controlado se a freqüência for mantida dentro de limites estreitos. 
 
O mecanismo carga-freqüência opera da seguinte maneira, envolvendo tempos da ordem de segundos: 
• Sob condições normais, os geradores operam em sincronismo, gerando a potência que a cada instante 
está sendo consumida mais as perdas ativas de transmissão. 
• Para um aumento de carga o sistema elétrico estaria, momentaneamente, com suas máquinas motrizes 
gerando pouca energia mecânica, o que provocaria uma redução na velocidade dos geradores, 
inversamente proporcional a sua inércia. Isto produziria uma redução na freqüência do sistema. 
• Para uma redução de carga o sistema elétrico estaria, momentaneamente, com suas máquinas motrizes 
gerando muita energia mecânica, o que provocaria um aumento na velocidade dos geradores, 
inversamente proporcional a sua inércia. Isto produziria um aumento na freqüência do sistema. 
 
Desta forma, o controle da velocidade dos geradores pode ser utilizado a cada instante de tempo para ajustar 
a quantidade de energia produzida à demanda do momento. Tal controle é realizado pelo regulador de 
velocidade das máquinas motrizes dos geradores (constituídas, principalmente, por turbinas hidráulicas e 
térmicas) que regulam a potência mecânica fornecida ao eixo do gerador de modo a manter sua velocidade 
constante (por intermédio do controle do fluxo de água ou vapor). Este controle é empregado para corrigir 
pequenos déficits ou superávits de potencia ativa no sistema; o despacho dos geradores, ou seja, a 
definição de quanto cada unidade irá produzir em cada hora do dia, é estabelecida a priori, considerando a 
carga prevista, a disponibilidade dos geradores, o melhor uso da água e o custo de geração. 
 
II.4 – O balanço de potência reativa e seus efeitos sobre a tensão 
De forma análoga ao caso anterior, no quala manutenção da freqüência no sistema é a melhor garantia de 
que o balanço da potência ativa está sendo mantido no sistema, um perfil constante de tensão em todo 
sistema garante que o equilíbrio entre a potência reativa “produzida” e “consumida” está sendo mantido. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 6 de 7 
 
Considere o seguinte sistema, sem perdas ativas, no qual a tensão da barra k é mantida constante e igual a 
kV , a impedância da linha é kmkm jxZ = , conforme mostrado na Figura II.5. 
 
 
k kmI
kmkm jxZ = m 
o0kk VV = mmm VV θ=
jQPS +=
 
Figura II.5 – Sistema de duas barras. 
 
Para o sistema da Figura II.5, a tensão na barra m pode ser obtida por: 
 
 kmkmkkmkmkm IjxVZIVV −=−= (II.8) 
 
Supondo que as perdas de potência reativa na linha sejam desprezíveis, a potência entregue para a carga é a 
mesma que está sendo transmitida de k para m e a corrente pela linha é dada por: 
 
 ⇒==
*
kmkkm IVSS
kkkk
km
V
jQP
V
jQP
V
jQP
V
S
I
−=−=−=






≈
o0*
*
 (II.9) 
 
Substituindo (II.9) em (II.8), tem-se a seguinte expressão, cujo diagrama fasorial encontra-se na Figura II.6: 
 
 
}
P
V
x
jQ
V
x
V
V
jQP
jxVV
k
km
k
km
k
I
k
km
V
km
km
k
−−=−−=
48476o0
 
 
kmkmIjx
o0kk VV =
Q
V
x
k
km
kmI
mmm VV θ=
P
V
x
j
k
km
 
Figura II.6 – Diagrama fasorial do sistema de duas barras. 
 
Conclui-se, daí, que: 
• Uma variação na potência ativa P afeta o fasor queda de tensão que é perpendicular a kV , afetando 
significativamente a fase do fasor mV . 
• Uma variação na potência reativa Q afeta o fasor queda de tensão que está em fase com kV , afetando 
significativamente o módulo do fasor mV . 
 
 
Exercício II.1 – Considerando o sistema de duas barras da Figura II.5, completar a Tabela II.1 com o 
diagrama fasorial correspondente a cada uma das situações de carga (P e Q podendo ser positivos ou 
negativos) e sinal da reatância da linha de transmissão (indutiva, com 0>kmx , ou capacitiva, com 0<kmx ). 
Representar, no mínimo os fasores kV , kmI , mV e suas componentes. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime P ermanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 7 de 7 
 
 
Tabela II.1 – Diagramas fasoriais do Exercício II.1. 
 
 0>kmx 0<kmx 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0<P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
 
 
Exercício II.2 – Efetuar análise similar à realizada na Seção II.4, supondo que a impedância da linha seja 
igual a kmkmkm jxrZ += . Considerar três casos distintos kmkm xr >> , kmkm xr ≈ e kmkm rx >> . 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 16 
 
III – A linha de transmissão 
As linhas de transmissão são os equipamentos empregados para transportar grandes blocos de energia por 
grandes distâncias, entre os centros consumidores e os centros geradores. No Brasil, em função do parque 
gerador ser baseado na energia hidrelétrica, o sistema de transmissão desempenha um papel muito 
importante pois as distâncias entre os centros consumidores e geradores são elevadas. 
 
Os dados do setor elétrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informações Empresariais 
do Setor de Energia Elétrica (SIESE) que é parte do Sistema Integrado de Informações Energéticas (SIE) da 
Secretaria Geral do Ministério das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatório, referente às linhas de 
transmissão encontra-se no Quadro III.1. 
 
Quadro III.1 – Extensão das linhas de transmissão do setor elétrico brasileiro. 
 
EXTENSÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO - km
 Em 31.12 2001 
 1999 2000 2001 Entradas Retiradas
69 kV 40.023,0 39.973,0 39.973,0 0,0 0,0
88 kV 3.290,7 3.290,7 3.290,7 0,0 0,0
138 kV 55.723,2 56.080,1 56.080,1 0,0 0,0
230 kV 33.869,9 34.040,7 34.072,7 32,0 0,0
345 kV 8.952,3 8.952,3 8.952,3 0,0 0,0
440 kV 6.384,4 6.497,6 7.002,6 505,0 0,0
500 kV 16.952,7 18.617,2 18.721,5 104,3 0,0
600 kV (corrente contínua) 1.612,0 1.612,0 1.612,0 0,0 0,0
750 kV 2.114,0 2.379,0 2.683,0 304,0 0,0
 Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). 
 
Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros básicos: resistência série, indutância 
série, capacitância em derivação e condutância em derivação. Estes parâmetros influem diretamente no seu 
comportamento como componente de um sistema de energia elétrica mas, a condutância em derivação 
(utilizada para representar a fuga pelos isoladores e corona de linhas aéreas ou isolação dos cabos 
subterrâneos) geralmente é desprezada por ser muito pequena. 
 
Assim, para a análise do regime permanente de uma linha de transmissão serão considerados apenas três 
parâmetros: resistência série, indutância série e capacitância em derivação. 
 
III.1 – Tipos de condutores 
Na construção de linhas de transmissão são empregados largamente os condutores de alumínio devido aos 
seguintes fatores: 
• Menor custo e peso; 
• Maior diâmetro que equivalente em cobre (portanto menor densidade de fluxo elétrico na superfície 
proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendência à ionização do ar – efeito corona). 
 
Os tipos mais comuns de condutores de alumínio são: 
CA Condutor de Alumínio ≡ AAC All Aluminium Conductor 
CAA Condutor de Alumínio com alma de Aço ≡ ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforced 
 
Os nomes código dos cabos CA são nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 
Orchid) e dos cabos CAA são nomes de aves (por exemplo: 1 AWG Robin; 636 MCM Grosbeak; 1590 
Falcon). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 16 
 
III.2 – Resistência série 
A resistência série é a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmissão. 
 
Em corrente contínua (CC) a resistência de um condutor é dada por: 
 
A
l
RCC ρ= [Ω] (III.1) 
onde: 
ρ – Resistividade do condutor1 [Ωm] 
l – Comprimento [m] 
A – Área da seção transversal [m2] 
 
Na determinação da resistência dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos: 
• Para a faixa normal de operação, a variação da resistência de um condutor metálico é praticamente 
linear, ou seja: 
 
10
20
12 TT
TT
RR
+
+
= (III.2) 
onde: 
1R – Resistência à temperatura 1T [Ω] 
2R – Resistência à temperatura 2T [Ω] 
0T – Constante do material
2 [o C] 
 
• Em cabos encordoados, o comprimento dos fios periféricos é maior que o comprimento do cabo (devido 
ao encordoamento helicoidal). Isto acresce à resistência efetiva em 1 a 2%. 
 
Em corrente alternada (CA), devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfície 
do condutor. Isto provoca um acréscimo na resistência efetiva (proporcional à freqüência) observável a 60 
Hz (em torno de 3%). 
 
 
Exemplo III.1 – Para o cabo de alumínio Marigold 1113 MCM ( mm 432,361× ), a resistência em CC a 
20oC é igual a 0,05112 Ω/km e a resistência CA-60 Hz a 50
oC é 0,05940 Ω/km. Determinar: 
a) O acréscimo percentual na resistência devido ao encordoamento. 
b) O acréscimo percentual na resistência devido ao efeito pelicular. 
 
Solução Exemplo III.1: 
a) A área da seção transversal do condutor é: 
 24
23
2 m 10643,5
2
10432,3
61 −
−
×=




 ×== ππrNA 
Utilizando a expressão (III.1), tem-se: 
 km24
km
m
8 05015,0
m10643,5
1000
m1083,2 Ω−
− =
×
Ω×==
A
l
RCC ρ 
Portanto, o acréscimo devido ao encordoamento , enc∆ , é: 
 % 9,1019,1
 05015,0
 05112,0
enc
km
km =∆⇒==
Ω
Ω
CC
ef
CC
R
R
 
 
1 Para o alumínio têmpera duraa 20o C, m 1083,2 8 Ω×= −ρ . 
2 Para o alumínio têmpera dura a 20o C, C 2280
o=T . 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 16 
 
Solução Exemplo III.1 (continuação): 
 
b) Utilizando a expressão (III.2), tem-se: 
 km
0
02050 05730,0
20228
50228
05112,0
20
50 Ω=
+
+=
+
+
=
T
T
RR CCCC 
Portanto, o acréscimo devido ao efeito pelicular, pel∆ , é: 
 % 7,3037,1
05730,0
05940,0
pel50
50
=∆⇒==
CC
CA
R
R
 
 
III.3 – Indutância série 
Um condutor constituído de dois ou mais elementos ou fios em paralelo é chamado condutor composto – 
observar que isto inclui os condutores encordoados e também os feixes (bundles) de condutores. 
 
Sejam os dois condutores compostos arranjados conforme a Figura III.1. O condutor x é formado por n fios 
cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente nI e o condutor de retorno Y é formado por M fios 
cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente MI . 
 
a 
Condutor x 
b 
c 
n 
A B 
C 
M 
Condutor Y 
bnD bC
D
 
Figura III.1 – Seção transversal de uma linha monofásica constituída por dois condutores compostos. 
 
Considerando as distâncias indicadas na Figura III.1, a indutância dos fios a e b que fazem parte do condutor 
x são dadas por: 
 
n
anacaba
M
aMaCaBaA
a
DDDr
DDDD
nL
L
L
′
= ln
2π
µ
 [H/m] 
 
n
bnbcbab
M
bMbCbBbA
b
DDDr
DDDD
nL
L
L
′
= ln
2π
µ
 [H/m] 
onde: 
0µµµ r= – Permeabilidade do meio3 (para o vácuo, kmH
4
m
H7
0 104 104
−− == ππµ ) [H/m] 
αβD – Distância entre os fios α e β [m] 
αr ′ – Raio de um condutor fictício (sem fluxo interno) porém com a mesma indutância que o 
condutor α, cujo raio é αr (para condutores cilíndricos, 4
1−
⋅=′ err αα ) [m] 
 
Nas expressões anteriores, é imprescindível que αβD e αr ′ estejam na mesma unidade (em metros, por 
exemplo). 
 
 
3 Geralmente é utilizada a permeabilidade do vácuo pois, para o ar, a permeabilidade relativa é unitária: 1≈rµ . 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 16 
 
A indutância do condutor composto x é igual ao valor médio da indutância dos fios dividido pelo número de 
fios (associação em paralelo), ou seja: 
 
2
médio 
n
LLLL
n
n
LLLL
n
L
L ncba
ncba
x
x
++++
=
++++
==
K
K
 [H/m] 
Segue daí que: 
 
( )( ) ( )
( )( ) ( )2ln2 n nnnbnabnbbbaanabaa
Mn
nMnBnAbMbBbAaMaBaA
x
DDDDDDDDD
DDDDDDDDD
L
LLLL
LLLL
π
µ= [H/m] (III.3) 
onde ααα rD ′= . O numerador da expressão (III.3) é chamado de Distância Média Geométrica (DMG) e é 
notado por mD ; o denominador é chamado de Raio Médio Geométrico (RMG) e é notado por sD . Assim, 
 
s
m
x D
D
L ln
2π
µ= [H/m] (III.4) 
com: 
mD – Distância Média Geométrica (DMG): 
( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAm DDDDDDDDDD LLLL= [m] 
sD – Raio Médio Geométrico (RMG): 
( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= [m] 
 
Sendo f a freqüência de operação da linha, a reatância indutiva é dada por: 
 xL fLX π2= [Ω/m] 
Em uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico, a indutância das fases é diferente e o circuito é 
desequilibrado. Por intermédio da transposição da linha, é possível restaurar o equilíbrio das fases, do ponto 
de vista dos terminais da linha. A transposição consiste em fazer com que cada fase ocupe cada uma das 
posições nas torres por igual distância (para uma linha trifásica, três são as posições possíveis e deve-se fazer 
com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das três posições). 
 
Considere a linha trifásica transposta com espaçamento assimétrico mostrada na Figura III.2. 
 
 
3 
1 
2 
Condutor A 
13D
12D
23D
Condutor A 
Condutor A Condutor B 
Condutor C 
Condutor C 
Condutor B 
Condutor C 
Condutor B Posição 1 
Posição 2 
Posição 3 
1/3 comprimento 
1/3 comprimento 
1/3 comprimento 
T
ra
ns
po
si
çã
o 
T
ra
ns
po
si
çã
o 
 
Figura III.2 – Linha trifásica com um ciclo de transposição. 
 
Para a linha da Figura III.2, a indutância média por fase é dada por: 
 
s
eq
D
D
L ln
2π
µ= [H/m] (III.5) 
onde: 
eqD – Distância média geométrica entre condutores 3 312312 DDDDeq = [m] 
sD – Raio médio geométrico do condutor [m] 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 5 de 16 
 
Observar a semelhança entre as expressões (III.4) e (III.5). Em linhas constituídas por mais de um condutor 
por fase, o raio médio geométrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja: 
( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= 
e os termos empregados no cálculo da distância média geométrica ( )312312 e , DDD correspondem às 
distâncias médias geométricas entre cada uma das combinações das fases, ou seja, xYD é dado por: 
( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAmxY DDDDDDDDDDD LLLL== 
Os valores do raio médio geométrico de cada condutor (Daa, Dbb, etc.) podem ser obtidos diretamente nas 
tabelas dos fabricantes, juntamente com os demais dados dos cabos (nome código, seção transversal, 
formação, número de camadas, diâmetro externo e resistência elétrica), ou podem ser determinados por 
intermédio da seguinte expressão: 
gKDD ×= ααα 5,0 
onde αD é o diâmetro externo do condutor α e Kg uma constante que depende de sua formação (quantidade 
e tipo de fios), cujos valores encontram-se no Quadro III.2. 
 
Quadro III.2 – Valores de Kg para a determinação do raio médio geométrico de um cabo. 
 
Formação 
(número de fios) 
Fator de formação 
(Kg) 
7 0,7256 
19 0,7577 
37 0,7678 
61 0,7722 
Condutor de Alumínio 
(CA) 
91 0,7743 
Formação 
(fios alumínio/aço) 
Fator de formação 
(Kg) 
22/7 0,7949 
26/7 0,8116 
30/7 0,8250 
45/7 0,7939 
54/7 0,8099 
Condutor de Alumínio com 
alma de Aço 
(CAA) 
54/19 0,8099 
Fonte: Overhead, Pirelli Technical Manuals 
(disponível em http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf) 
 
Para condutores de alumínio, observar que à medida que o número de fios aumenta o fator de formação (Kg) 
se aproxima do valor determinado para condutores cilíndricos maciços, que corresponde a 7788,04
1
=
−
e . 
 
 
Exemplo III.2 – Determinar o raio médio geométrico do condutor de alumínio com alma de aço Pheasant 
1272 MCM, formado por 54 fios de alumínio e 19 de aço (54/19) que possui um diâmetro externo de 
3,5103 cm. 
 
Solução Exemplo III.2: Do Quadro III.2, tem-se que o fator de formação correspondente (54/19) é dado 
por Kg =0,8099. Substituindo na expressão, tem-se: 
cm4215,18099,0cm5103,35,05,0 =××=×= gKDD ααα 
Observar que um valor equivalente pode ser encontrado na tabela do fabricante. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Pe rmanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 6 de 16 
 
III.4 – Capacitância em derivação 
Para uma linha de transmissão monofásica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3, 
a capacitância entre os dois fios desta linha é dada por: 
 
r
D
k
Cab
ln
π= [F/m] 
onde k é a permissividade do meio ( kmF
9
m
F12
0 1085,8 1085,8
−− ×=×=k , é a permissividade do vácuo, 
geralmente empregada no cálculo de linhas aéreas). 
 
 a b 
D 
Figura III.3 – Seção transversal de uma linha monofásica. 
 
 
Assim, a capacitância de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor determinado pela 
expressão anterior (associação série de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4. 
 
 
a 
Capacitância linha/linha 
b 
abC a 
Capacitância linha/neutro 
b 
aNC bNC
N 
abbNaN CCC 2==
 
Figura III.4 – Capacitâncias linha/linha e linha neutro. 
 
 
Desta forma, a expressão da capacitância entre linha/neutro, para uma linha monofásica é dada por: 
 
r
D
k
CN
ln
2π= [F/m]