APOSTILA_DIGITAL_CAPITULO_5

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PLAY NO 
PARQUINHO
Fala, pessoal! 
 No nosso capítulo 4 falamos sobre impostos e boletos (aqueles temidos 
boletos... rs). Se você ainda não leu, clique aqui e leia o nosso material.
 Para darmos sequência em nossa apostila não convencional (CHAMA!), 
abordaremos um tema muito falado na boca do povo: o famigerado 
JUROS! Então prepara o café, quem é do café, prepara o chá para quem é o do 
chá ou bate aquele achocolatado maroto que hojé é dia de descobrir como que o 
juros funciona (haja coração, meu filho!)
 Se você ainda não viu as nossas edições anteriores, não tem problema, 
clique aqui e conheça os assuntos que já abordamos. E não preciso comentar 
que é importante você me seguir lá nas redes sociais para ficar atento em nossos 
lançamentos e memes (sim, gostamos de memes!) @canaldosuperleo. 
https://mailchi.mp/a017f0c9bb44/2iu55r5wrv
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 Você já parou pra pensar de onde os bancos tiram tanto dinheiro?
 É claro que uma pergunta tão complexa não poderia ter uma resposta muito 
simples (afinal, se fosse fácil ganhar dinheiro, todo mundo teria zilhões na conta, 
não é mesmo?). Mas há um conceito financeiro fundamental para entender 
esse processo: o de juros compostos. E este, por sua vez, está diretamente 
relacionado a um conceito matemático: o de potenciação. Vamos relembrar 
um pouco?
 A operação matemática denominada potenciação surgiu com o objetivo de 
simplificar o cálculo da multiplicação de fatores repetidos. Por exemplo, 
observe a tabela abaixo:
43210
168421
5
32
6 7
12864
8
256
9
512
10
1024
11 1212 13
2048 4096 8192
http://A
 Repare que a linha superior segue uma sequência aditiva: partindo do 0, os 
números vão aumentando de 1 em 1. É o que chamamos PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA. Já a linha inferior segue um padrão multiplicativo: partindo do 
1, os números vão sempre dobrando, isto é, multiplicados por 2. Chamamos 
isso de PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. Note que os valores iniciais de cada 
linha NÃO são aleatórios: o 0 é o que chamamos de ELEMENTO NEUTRO da 
adição, pois quando adicionamos 0 a um número “n”, o resultado é o próprio n. 
Vale o mesmo para o 1, em relação à multiplicação.
 Essa ideia super simples e, ao mesmo tempo genial, nos permite fazer 
uma correspondência entre a adição e a multiplicação de fatores repetidos. 
 Por exemplo, imagine que você tivesse que multiplicar 128 x 64 numa 
época em que não havia calculadora (muito menos seu celular Megatop 
Masterblaster®). Daria algum trabalho, certo? Agora, se você fizer a 
correspondência entre as duas linhas, vai ver que o 128 está na coluna do 
7, e o 64, na coluna do 6. Se fizermos 7 + 6, acharemos 13. Daí é só olhar 
a coluna do 13, que obteremos o produto: 128 X 64 = 8192. Bem mais fácil, 
não acha?
De modo geral, podemos definir esta operação de potenciação por meio da 
igualdade b =p, onde b é a chamada base da potenciação; x é o expoente; 
e o resultado p é chamado de potência. A potenciação pode ser resumida em 
três propriedades:
1) QUALQUER número elevado a zero é igual a 1. Qualquer um, mesmo. 
Inclusive o próprio zero! Para entender melhor, dá uma olhadinha nesse vídeo:
x
ARRASTAAAAA! 
Quanto é zero elevado a zero? 
Canal do Super Leo
ENTENDA MELHOR
https://www.youtube.com/watch?v=793Dms3zpZk
https://www.youtube.com/watch?v=H1J06Reai5U
https://www.youtube.com/watch?v=H1J06Reai5U
2) O produto de potências de mesma base é feito por meio da soma dos 
expoentes. Ou seja, b.b = b
3) Como consequência da propriedade 2, potências sucessivas são obtidas 
multiplicando-se os expoentes, isto é, (b ) = b
 No nosso exemplo, dizemos que 2 .2 = 2 . Este resultado, que equivale 
a 2 , é o que chamamos “décima terceira potência de dois”. Em outras 
palavras: partindo do 1 (sempre ele!), se multiplicarmos por 2 exatamente 
13 vezes, o resultado será 8192.
x y x+y
m n m.n
7 6 7+6
13
Para ilustrar a situação, observe esta pegadinha 
do Mallandro imagem que virou meme:
“Mas, Leo, o que isso tem a ver com 
os juros?”
GRANDEZA É 
CONTINUAR LENDO RS
 Bem ilustrativo, não? O banco empresta o equivalente a um copo de água 
mineral e, 10 anos depois, a dívida é equivalente a um carro popular. 
E tudo isso por causa dos juros compostos: observe que o valor emprestado 
no começo foi de um real, o que denominamos CAPITAL INICIAL.
(Não era a ESSE Capital Inicial a que eu me referia, mas tudo bem...)
 Na tabela, podemos observar que o ÍNDICE (também chamado “taxa”) de 
juros, representado usualmente pela letra i, é de 15,44% ao mês. Assim, 
um mês depois do momento do empréstimo, você já deve R$ 1,15 ao banco: 
esses 15 centavos correspondem ao que chamamos de juros, o valor que o 
banco te cobra pelo empréstimo. O valor total (1 real de empréstimo + 15 
centavos de juros) é chamado de MONTANTE.
 Não, quem dera! Juros constantes, calculados com base apenas no capital 
inicial são chamados de JUROS SIMPLES. Eles existem apenas em 
algumas poucas situações, tais como multas por atraso de pagamento de 
contas (os temidos boletos, que abordamos no capítulo 4). Mas quando 
se trata de empréstimos e outras transações bancárias, o que ocorre são 
JUROS COMPOSTOS: por serem calculados com base no montante atual, e 
não sobre o capital inicial, os juros compostos aumentam exponencialmente a 
cada período de tempo.
“Então, Leo, quer dizer que a cada mês o 
montante aumenta 15 centavos?”
 No exemplo, a dívida acumulada aumentou 18 centavos do mês 1 para o 
mês 2. Isso ocorre porque a taxa de 15,44% incidiu sobre o montante de 
R$ 1,15. Explicamos, no capítulo 3, como se faz este cálculo, mas vamos 
relembrar rapidinho: 15,44% é o mesmo que 0,1544, que multiplicado por 
1,15 dá 0,17756 (o banco ainda “arredonda” esses milésimos pra cima!).
 Em outras palavras: como o montante aumenta 15,44% a cada mês, isso 
significa que, no mês 2, o valor da dívida será 115,44% do que era no mês 
1 (os 100%, referentes ao mês anterior, mais os 15,44% dos juros), e assim 
sucessivamente. Portanto, o que temos aqui é uma multiplicação de fatores 
repetidos. Isso te lembra alguma coisa?
 Acertou! Como o capital inicial era de 1 real, a dívida, no mês “t”, 
pode ser calculada por meio da potência (1,1544) . Detalhe importante: 
como nem todo mundo tem um programa pra colocar o expoente 
pequenininho ali em cima, também se usa a forma escrita (1,1544)^t, 
com o acento circunflexo indicando que é uma potenciação. É assim, 
por exemplo, nas calculadoras de alguns celulares.
 No caso da poupança, o raciocínio é bem parecido, mas os juros são de 
míseros 0,3% ao mês; isso significa que, no mês 2, o valor do “investimento” 
será 100,3% do que era no mês 1. Como não existem milésimos de real, o 
banco “arredonda” 1,003 pra 1,01 (Viu como é bonzinho este Itaú? Até te 
deu um centavo de graça!). Em resumo: a cada mês, o montante é 
multiplicado por 1,003. Portanto, no mês “t”, o valor total será de (1,003) .
 Agora, pense conosco: se existe uma fórmula para calcular o montante 
em qualquer mês, podemos dizer que o montante é uma função do tempo? 
Claro que sim! Já temos a lei de formação, que é a potência; o domínio, 
em geral, é o conjunto dos números naturais, já que não faz sentido falar 
em tempo “negativo”; já o contradomínio seria o conjunto dos racionais 
(na verdade, um subconjunto específico, pois nosso dinheiro tem no 
máximo duas casas decimais).
t
t
https://mailchi.mp/50f36534d6f8/matematica-raiz-3
 Eu estava mesmo esperando que você fizesse essa pergunta! É um tipo 
de função que não havíamos abordado até agora: a função exponencial. 
 Ela recebe esse nome por conter a variável no expoente. Observe como ficaria 
o gráfico desta função, feito no Geogebra:
“Mas, Leo, que tipo de função é essa?”
SIMBORAAAA!
 Para saber mais sobre construção de gráficos usando o software Geogebra: 
VAAAAAAAA
AAAAAAAAA
AAAAAAAAI!Funções afins no Geogebra 
Canal do Super Leo
ENTENDA MELHOR
 Note que, até o vigésimo mês, a curva cresce bem devagar: a dívida sequer 
chega a 20 reais. Em compensação, a partir do mês 36, a curva cresce tão 
rápido que chega a sair da tela. Essa é uma característica do crescimento 
exponencial: não é à toa que a evolução das pandemias, como a da COVID-19, 
segue um comportamento parecido, conforme abordamos neste vídeo:
Função Exponencial, juros com-
postos e coronavírus | Canal do 
Super Leo
ENTENDA MELHOR
https://www.youtube.com/watch?v=25GxM2eDrfg
https://www.youtube.com/watch?v=S71Sy_krZm8
CHAMBRA NO 
PROBLEMINHA
 Um detalhe importante: em qualquer situação, os juros são sempre 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ao capital inicial (vale a pena rever o 
capítulo 2!). Por exemplo, se o valor emprestado fosse de 2 reais, 
bastaria dobrar todos os valores da dívida acumulada na tabela.
 Agora, uma observação importante: nos juros compostos, ao contrário do que 
acontece com os juros simples, o montante NÃO é proporcional ao tempo. Há 
várias maneiras de demonstrar isso, por exemplo: no instante zero, o montante 
não é zero (ele é igual ao capital inicial); de um mês pra outro, o acréscimo no 
montante vai sempre aumentando; por fim, lembra do teste do dobro? Em geral, 
se a gente dobra um período de tempo, a dívida não necessariamente dobra. 
Observe na tabela que, após 12 meses, a dívida era de R$ 5,60, enquanto no 
mês 24, já havia acumulado em R$ 31,37!
De quanto seria a dívida exatamente 100 meses após o empréstimo?
EXERCÍCIO
“Leo, então quando a gente dobra o tempo, a 
dívida é sempre maior que o dobro?”
 Não necessariamente, pequeno gafanhoto! Dá pra observar isso, na tabela, 
comparando-se os meses 2 e 4, por exemplo. Nesse tipo de situação, existe um 
tempo específico para que o montante dobre. Acompanhe: se começamos com 
1 real, queremos saber quando o resultado da potência (1,1544) será igual a 2. 
Ou, em outras palavras, queremos resolver a equação (1,1544) =2 
t
t
https://mailchi.mp/3377e7184342/matematicaraiz2
 Atenção que agora eu vou falar de alguns conceitos mega importantes!
Primeiro: a equação ali em cima é chamada de equação exponencial (vale a 
mesma explicação que vimos pra função exponencial). 
Segundo: para resolver este tipo de equação, precisamos conhecer o conceito de 
logaritmo.
DESSA VEZ você aprende 
logaritmo! - Propriedades 
logarítmicas | Canal do Super Leo
ENTENDA MELHOR
TÁ CHEGANDO!
https://www.youtube.com/watch?v=OOSiE6N67uk
JAJÁ CHEGA O
PÃO COM CAFÉ! 
 Se você ainda não viu o vídeo, é feio, bobo e cara de mamão, eu vou resumir aqui: 
logaritmo é nada mais, nada menos do que um outro nome que damos à 
palavra “expoente”. Assim, a solução “x” de uma equação exponencial do tipo b = p 
é chamada de logaritmo de p na base b, e é representada matematicamente desta 
forma: p 
 É muito comum termos um número irracional como solução de uma equação 
exponencial. Isso significa que sua representação decimal, além de infinita, é não 
periódica. Portanto, é impossível escrever o número de uma forma exata. O máximo 
que podemos descobrir, usando uma calculadora, são suas primeiras casas 
decimais. Mas não se preocupe: na maioria dos problemas, isso é suficiente 
para encontrarmos uma boa solução.
 O que eu vou explicar agora vale para a calculadora científica do Windows (no 
caso do Android e do iOs, os botões podem ser diferentes, mas a matemática é a 
mesma). Existem duas teclas logarítmicas: a log, que significa “logaritmo de base 
10”, e a ln, que significa “logaritmo natural”. Esse último tem como base a 
constante de Euler, comumente representada pela letra e, um número irracional 
que vale 2,7182...(falamos sobre a constante de Euler no vídeo sobre juros 
compostos, se eu fosse você daria uma olhada!).
 Acontece que nossa equação ali de cima envolve uma base bem mais esquisita: 
1,1544. Então eu vou explicar pra vocês qual é a matemática por trás desse 
problema. Eu sei que, no dia da prova ou do ENEM, você não vai ter tempo de 
lembrar disso tudo, por isso fiz um resumão ali adiante. Mas vale a pena ler essa 
explicação bem explicada!
 Pra começar: já que só temos duas bases como opção, vamos escrever o número 
1,1544 como potência de uma delas. Eu escolho o 10, mas se você quiser fazer com 
a constante de Euler, o raciocínio é exatamente o mesmo. 
 Vamos lá: se 10 = 1,1544, então dizemos que x é o 1,1544. Uma observação: 
sempre que você encontrar uma expressão com log, onde a base não aparece 
escrita, pode ter certeza que é 10. Os matemáticos convencionaram desta maneira, 
já que esse logaritmo decimal é o mais utilizado. É por isso que a tecla log da 
calculadora tem a base dez.
 Então, se digitarmos 1,1544 e apertarmos a tecla log, encontraremos o resultado 
0,06235... e mais um monte de casas decimais, mas julgamos suficiente usar só as 5 
primeiras.
t
x
https://www.youtube.com/watch?v=S71Sy_krZm8
VEM NENEM! 
DICAS 
QUENTES
DICAS 
QUENTES
 Se fizermos o log de 11544, sem a vírgula, obteremos 4,06235... olha, que mágico! 
É igual o resultado com a vírgula, mas com o 4 no lugar do zero.
 Bom, isso não é mágica: é matemática! Reparem que 4 é exatamente o número 
de casas decimais que a gente “andou” com a vírgula. Esse 4 é chamado de 
“característica” do logarítmo, isso é, o número de digitos que vêm depois do 
primeiro algarismo. Na época em que não se usava calculadora, saber característica 
era muito importante! 
 Já a parte decimal 0,06235... era chamada “mantissa”. Como já vimos, ela tem 
infinitas casas, por isso é impossível calculá-la com exatidão. Mas havia tábuas de 
logarítmos onde se poderia encontrar a mantissa de um monte de números, 
normalmente com 4 ou 5 digitos. Legal, né? 
 Agora, lembre-se que nosso objetivo é encontrar o logaritmo de 2, certo? 
Isso é fácil: basta digitar na calculadora o 2 e a tecla log. O resultado será 
aproximadamente 0,30103.
 Então agora vamos voltar à nossa equação: se (1,1544) =2, substituindo os 
logaritmos que encontramos acima, podemos reescrevê-la assim: 
(10 ) = 10
 Agora é só lembrar daquela propriedade 3 que a gente viu lá em cima e multiplicar 
os expoentes. Então a equação fica:
(10 = 10
t
0,06235 t
0,06235t
0,30103
0,30103
 Aí fica fácil: é só cortar o 10. Calma, deixa eu explicar uma coisa primeiro: a 
função exponencial é injetora (lembra do capítulo 1?). Isso significa que, se os 
resultados das potências (de mesma base) são iguais, automaticamente os 
expoentes serão iguais também. É por isso que a galera “corta” o 10:
0,06235 t = 0,30103
 Pra encontrar o valor de t, basta dividir 0,30103 por 0,06235. O resultado será 
“4,8”. Ou seja: a partir do quinto mês, o valor do montante já terá dobrado. 
Você pode conferir isso na tabela lá em cima!
Se b = p, então x = p (e vice-versa!)
xy = x + y 
 = x - y 
x = y. x 
x = 
I)
II)
III)
IV)
V) xb
y
x
CONTINUA! 
CONTINUA! 
“Vai, Leo, libera o resumão pra nós!”
(Aprecie com moderação!!!)
x
y
 Tente demonstrar os itens II, III e IV usando as propriedades das potências. Se sentir 
dificuldade, manda um e-mail pro canaldosuperleo@gmail.com e a gente te ajuda!
 Bom, como diria o comentarista Ale Oliveira, “não faço conta com dinheiro dos 
outros”. Mas procurei fazer aqui foi mostrar a matemática por trás dessas transações 
bancárias. Se um dia você precisar realmente de um empréstimo bancário, tente pelo 
menos encontrar a menor taxa de juros possível. E quanto à poupança, pode ser uma 
maneira interessante de guardar dinheiro por um período curto (por exemplo, 
pra planejar sua viagem de férias ou comprar aquele celular Megatop Masterblaster®). 
 Mas se você realmente estiver com dinheiro sobrando e quiser fazer um investimento, 
há opções mais rentáveis. Em ambos os casos, o que você nunca deve esquecer é que 
o montante sempre aumenta de forma exponencial!
TÁ CONCLUINDO! 
EXERCÍCIO
“Mas, Leo, então quer dizer que nunca devo 
pegar um empréstimo no banco?Nem colocar dinheiro na poupança?”
(será que o banco aceita essa mensagem motivacional como parte do pagamento?)
mailto:canaldosuperleo@gmail.com
 Um empréstimo foi feito à taxa mensal i%, usando juros compostos, em oito parcelas 
fixas e iguais a P.
 O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer mo-
mento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5 
parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6 parcela. 
 A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
 Para entender o problema: Essa questão apresenta uma linguagem bastante 
confusa pra quem não está familiarizado com os termos bancários ou com as 
expressões algébricas. Mas eu vou explicar direitinho.
 O primeiro conceito fundamental para entendermos esta questão é o de desconto 
composto. O que chamamos de desconto, aqui, é o inverso dos juros: quando você 
quita um empréstimo, depois de um tempo, paga juros, certo? Mas quando você 
quita uma ou mais parcelas ANTES do tempo, tem direito ao desconto.
 Outro conceito fundamental (que, inclusive, abordamos no capítulo 3) é o de 
porcentagem: uma taxa de i % significa que dividimos o número 1 por 100, pra 
obtermos o número a ser multiplicado (no caso dos juros) ou dividido (no caso do 
desconto). Como já vimos lá no início, este número seria 100% mais i %. Na forma 
decimal: 1 + i / 100.
 Então agora basta calcular as prestações: a do mês corrente (no caso, o sexto) é 
igual a P, como foram todas as anteriores. Como estamos pagando também a 
sétima parcela com um mês de antecedência, temos direito ao desconto, que é 
obtido dividindo P por (1 + i / 100). E em relação à oitava parcela, esse desconto é 
aplicado duas vezes (uau!), já que são dois meses de antecedência. 
Então teríamos de dividir P por (1 + i / 100)².
 O que o ENEM fez, na hora de escrever as alternativas, foi “colocar o P em 
evidência”: já que a primeira parcela é P, a segunda é P / (1 + i / 100), e a terceira 
é P / (1 + i / 100)², podemos escrever o P fora dos colchetes, e deixar dentro 
apenas a soma dos fatores. Por isso, a opção correta é a A.
 O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo 
reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, 
uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado produto. 
No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou 
a produção em 50%. 
 Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo 
um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos 
fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
 Se a estimativa for alcançada, qual é a expresão que determina o número de 
unidades produzidas P em funão de t, para t _< 1?
CHEGANDO LÁ...
https://mailchi.mp/50f36534d6f8/matematica-raiz-3
 Para entender o problema: o número anual de produtos fabricados (variável 
dependente) é uma função do tempo (variável independente), expresso em anos.
 De acordo com as informações do problema, no ano 1 (t = 1), a quantidade de 
produtos (P) foi de 8000 unidades. Sabemos também (vide exemplo anterior) que 
este é um crescimento multiplicativo, o que já eliminaria as opções A, B e C.
 Considerando um aumento anual de 50%, no ano 2 (t = 2), a quantidade de 
produtos (P) deve ser 12000 unidades. Substituindo nas alternativas restantes, 
vemos que a resposta correta só pode ser a E, já que 8000 x (1,5) = 8000 x 
(1,5) = 12000.
 Sem considerar as alternativas, poderíamos montar a expressão da seguinte 
maneira: a cada ano, a quantidade P equivale a 150% do ano anterior (100% + 
aumento de 50%), o que equivale a 150/100, ou seja, 1,5. Ou seja, partindo do 
ano “zero”, onde a produção foi de 8000 produtos, encontramos as produções 
seguintes sempre multiplicando por 1,5. Como o enunciado considera este como o 
“ano um”, o expoente deve ser “t – 1”.
VAMOOOOS! 
2-1
1
Se você tivesse aquele salário médio de trabalhador com ensino superior 
(R$ 4.911,66), quanto você receberia após o desconto do IRPF?
Vamos relembrar a tabela:
 O pagamento pode até ser doloroso, mas o cálculo é bem simples: já que o valor 
está acima de 4664,68, usamos a alíquota maior. Para calcular 27,5 % do salário, 
basta multiplicar 0,275 por 4911,66. Isso vai dar R$ 1350, 70. 
 Mas calma, você não vai pagar isso tudo: como a alíquota é de 27,5% apenas 
sobre o valor que está na faixa superior, precisamos deduzir a parcela de 869,36. 
Então o imposto, na verdade, vai ser de R$ 481,34. Seu salário, já com o 
desconto, será de R$ 4.430,32. Viu como é fácil?
TÁ ACABANDOO!
De 1.903,99 até 2.826,65
Até 1.903,98
869,3627,5
142,807,5
- -
354,8015
363,1322,5
De 2.826,66 até 3.751,05
De 3.751,06 até 4.664,68
Acima de 4.664,68
Base de cálculo (R$) Parcela a reduzir do IRPF (R$)Alíquota (%)
EXERCÍCIO
 Caso a alíquota fosse a de 27,5% para todos e o imposto de renda fosse 
calculado usando a última linha da tabela de cálculo, para qual faixa de renda 
haveria um IRPF negativo?
 Com base no exercício anterior, podemos generalizar o imposto y em função da 
renda x, usando a fórmula y = 0,275 x – 869,36. Essa é uma função afim (lembra 
do capítulo 4?), portanto podemos calcular seu zero:
0,275 x – 869,36 = 0
X = 3161,31
 Esse é exatamente o valor que separa os “ricos dos pobres”: no caso do 
gráfico, seria o ponto onde a reta corta o eixo horizontal. À sua direita, estaria a 
parte da reta que fica acima do eixo (os “ricos”), isto é, os que pagam imposto; 
à esquerda, a parte da reta que fica abaixo do eixo (os “pobres”), que teriam um 
imposto negativo. Isso significa dizer que todas as pessoas cuja renda fosse 
inferior a R$ 3161,31 receberiam impostos, em vez de pagá-los. A título de 
curiosidade, pessoas com renda zero teriam direito a um “salário” de R$ 869,36 
mensais. Parece uma ideia interessante, não?
FIIIIIM
EXERCÍCIO
https://mailchi.mp/ac90be98257d/matematica-raiz-4
Segundo minhas estatísticas totalmente confiáveis, 13/17 dos 
estudantes têm arrepios só de ouvir falar em fração. O quê? 
Você nem sabe o que é treze dezessete avos? Gostaria de 
aprender frações de um jeito super divertido? Então você NÃO 
PODE perder nosso próximo capítulo: “operações com frações, 
rap, funk (e outros gêneros musicais)”. Solta o pancadão, DJ!
Acompanhe o lançamento do próximo capítulo 
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