APOSTILA_DIGITAL_CAPITULO_FINAL

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Oi, pessoal. Tudo bem? 
 Para você que já sabe sobre a apostila Matemática Raiz e já leu o nosso 
primeiro capítulo, bem-vindo de volta. O conteúdo do nosso segundo capítulo 
segue a mesma ideia: um estudo leve e didático para aprendermos juntos sobre
essa tal temida matemática. 
 No final desta apostila nós deixamos as respostas dos exercícios do primeiro 
capítulo PANDEMIA, FUNÇÕES E CRUSHS ZODIACAIS, caso você queira 
conferir o resultado dos seus estudos. 
 Se você não está entendo o que está acontecendo aqui, fique tranquilo, basta 
clicar aqui e você vai para o capítulo anterior e todos os conteúdos já realizados 
por esse projeto. 
 Bom, tendo essa breve introdução, agora é a hora de colocarmos a mão na 
massa, certo?! (já deixei aqui um trocadilho inicial, sigamos!) 
BORAAAAAA
AAAAAAAAA
https://mailchi.mp/753e40c411ae/z01y7g317q
https://mailchi.mp/753e40c411ae/z01y7g317q
 Imagine uma empresa fictícia (inclusive, vamos chamá-la de “Fictícia S.A.”) que 
fabrique lasanhas. A tabela abaixo mostra o preço de várias lasanhas do mesmo 
sabor, em função do peso*.
 Se você leu nosso capítulo anterior, provavelmente já deve ter concluído que 
o peso é a variável independente, e o preço, a variável dependente na 
nossa função. 
 E, com toda a sua sagacidade, já deve ter percebido também que esta é uma 
função CRESCENTE. Isto acontece quando a variável dependente aumenta junto 
com a independente. Neste exemplo: quanto mais pesada a lasanha, mais caro 
é o preço. 
*sim, sabemos que o grama é uma medida de massa, e não de “peso”. Mas 
“massa” no caso da lasanha poderia gerar ambiguidade, não é mesmo?
CONTINUA SEGUINDO
O BAILE, JOVEM!
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E REGRAS DE TRÊS
Pequena 350 gramas 5,60
8,40
10,60
12,20
14,00
600 gramas
800 gramas
1 kg
1,2 kg
Tamanho Peso Preço (dias)
Média
Grande
Família
Superfamília
“Leo, quer dizer então que o preço da lasanha 
é DIRETAMENTE PROPORCIONAL ao peso?”
Nananinanão!!!
OBS:
 Este é um erro muito comum, e é por isso que começamos 
o segundo capítulo com este exemplo. Muitos livros 
didáticos trazem aqueles exemplos cheios de setinhas 
para cima e para baixo e já introduzem as famigeradas 
“regras de três”, sem explicar o mais importante: 
o conceito de PROPORCIONALIDADE. Então, 
observem com o Super Leo:
 Uma maneira fácil de verificar se duas variáveis (ou grandezas) são 
diretamente proporcionais (D.P.) é testar o seguinte: o que acontece se 
eu dobrar uma delas? Se realmente houver uma D.P., a outra grandeza tem 
que dobrar também.
 Chamamos de “grandeza” a qualquer variável que seja resultado de uma 
contagem ou medição.
ENTENDA MELHOR
Aumenta ou Diminui? - 
Grandezas Proporcionais
É QUE O DE CIMA SOBE
E O DE BAIXO, DESCE! 
https://www.youtube.com/watch?v=8Dj5rxXgbw0&t=36s
https://www.youtube.com/watch?v=H1J06Reai5U
https://www.youtube.com/watch?v=H1J06Reai5U
 Voltando ao exemplo: reparem que a lasanha Superfamília equivale a 
exatamente duas Médias (600 gramas x 2 = 1,2 kg). No entanto, se você 
comprar duas médias, pagará R$ 16,80, enquanto a Superfamília custa 
R$ 14,00. Ou seja: as grandezas “peso” e “preço”, NESTE exemplo, 
NÃO são proporcionais!
 Uma outra maneira de verificar se há proporcionalidade seria calcular a 
RAZÃO preço/peso, isto é, dividir uma variável pela outra. Com isso, 
você consegue saber quanto está pagando por grama de lasanha em 
cada produto. 
Fazemos isto na tabela abaixo:
 Se as duas grandezas fossem realmente proporcionais, o preço por grama 
deveria ser uma CONSTANTE, isto é, deveria se manter sempre o mesmo. 
No entanto, note que, quanto maior a lasanha, MENOR é a razão entre o preço 
e o peso. Isto é bastante comum na venda de produtos: o objetivo é incentivar o 
consumidor a comprar sempre o maior tamanho.
 É comum vermos questões nos livros de matemática que perguntam “qual a 
opção mais vantajosa para o consumidor” em exemplos como o da lasanha. 
Não é raro vermos respostas do tipo: “A mais vantajosa é a Superfamília, 
pois o preço por grama é menor”. Este argumento é matematicamente 
correto. Mas esta conclusão é válida?
A resposta, mais uma vez, é: DEPENDE! Uma lição importante para qualquer 
consumidor: não se pode pensar apenas no preço! Há vários fatores que 
também precisariam ser considerados, num exemplo como esse: data de 
validade, formas de aquecimento, valor nutricional, entre outros.
Tamanho Preço por grama (R$/g)
0,016
0,014
0,01325
0,0122
0,012
Pequena
Média
Grande
Família
Superfamília
SEGURA NA MÃO
DE DEUS E VÁ! 
SEGURA NA MÃO 
DE DEUS E VAI!
 Como dissemos anteriormente, é comum encontrarmos promoções em que 
quanto mais compras, maior o desconto no preço unitário (ou seja, a razão 
entre o preço total e a quantidade comprada). No entanto, é sempre importante 
perguntar: será que eu realmente preciso de tanto?
 De qualquer forma, se você realmente precisa ir às compras, vale a pena, 
antes de mais nada, verificar se o desconto realmente existe. Observe o 
exemplo abaixo:
POKÉMOEDAS
100
POKÉMOEDAS
550
POKÉMOEDAS
1.200
POKÉMOEDAS
R$ 1,90 R$ 18,90 R$ 37,90
Personagem icônico 
da série Todo 
Mundo Odeia o 
Chris com a fala: “se 
eu não comprar nada, 
o desconto é maior”.
 Note que 100 moedas custam R$ 1,90. Se você fizer essa compra 6 vezes, 
pagará R$ 11,40 e terá 600 moedas. Então por que diâmetros alguém compraria 
500 moedas por R$ 18,90? Se você acompanha o Canal do Super Leo, não vai 
cair nessa!
 Mas toda essa discussão deve ter dado uma fome, não?
 Então vamos voltar ao exemplo anterior e pensar na seguinte questão: 
quantas pessoas vão comer a lasanha? Considerando a lasanha de 1,2 kg, 
a porção de lasanha que caberia a cada integrante (variável dependente) é 
uma função do número de pessoas da família (variável independente). 
Observe a tabela:
Dia do consumidor - 
Como calcular proporções 
sem regra de três
ENTENDA MELHOR
VAI, MILHA FILHA. 
VAI! 
Meme de garoto no 
shopping com uma 
cara engraçada 
falando “pão de 
bataaaata 
e otrash coza
https://www.youtube.com/watch?v=Ljv8ObXB6XE
 Podemos afirmar que esta é uma função DECRESCENTE: quando a variável 
independente AUMENTA, a variável dependente DIMINUI. É claro: quanto mais 
gente para comer, menor é a porção de cada um.
A resposta é SIM! Mas observe: para que haja proporção inversa (I. P.), é 
necessário que a multiplicação de uma variável gere um efeito inverso na 
outra. Por exemplo: se dobramos o número de pessoas (X 2), a porção se 
reduz à metade ( : 2).
 Se na D.P. a RAZÃO é constante, na I.P., o PRODUTO é constante. 
Repare que, em cada linha da tabela, se multiplicarmos os dois números, 
o resultado será sempre o mesmo: 1200 gramas. Esse número nada mais 
é do que o próprio peso da lasanha!
 ~ O editor não conseguiu pensar em nenhuma piada para essa pergunta. Mals, galera.~
Pessoas Quantidade por pessoa
600 gramas
400 gramas
300 gramas
240 gramas
200 gramas
2
3
4
5
6
“Leo, então quer dizer que estas grandezas 
são inversamente proporcionais?”
DEVAGARINHO ATÉ
EMBAIXO. EMBAIXO...
EMBAIXO...
OBSERVAÇÃO: Tanto na D.P. (razão) quanto na I.P. (produto), o número que se 
mantém constante é chamado de FATOR DE PROPORCIONALIDADE.
 Até aqui já vimos duas maneiras de verificar a proporcionalidade: 
a comparação direta (por exemplo, calcular o dobro ou metade) e o cálculo 
do fator de proporcionalidade. Mas como resolver problemas envolvendo 
grandezas proporcionais? Muitos estudantes gostam de usar um método 
chamado “regra de três”, por isso vamos falar um pouco sobre esta regra.
 Vamos voltar ao exemplo da lasanha (prometo que é a última vez!). Fixando o 
preço da lasanha pequena em R$ 5,60, quanto custariam os outros tamanhos, caso 
o preço fosse diretamente proporcional ao peso?
 Vamos começar com a lasanha média. No esquema a seguir, representamos os 
pesos de cada lasanha e seus respectivos pesos.
O CANAL DO SUPER LEO ADVERTE: a regra de 
três serve APENAS para os casos em que existe 
proporcionalidade. Há diversostipos de regras e 
cada uma exige um artifício diferente, portanto use 
com moderação!
TCHUBIRUUUU
UUUUUUUUUU
UUUUUUUUUU
Peso (gramas) Preço (reais)
5,60
?
350
600
OBSERVAÇÃO: temos que calcular um valor desconhecido (representado por “?”) 
a partir de 3 valores conhecidos, daí o nome “regra de três”.
 Como não sabemos o preço da lasanha média podemos representá-la pela 
variável “x”. Pela definição de D.P., as razões devem ser constantes, portanto:
 Uma propriedade importante das frações equivalentes é que o produto do 
numerador de uma pelo denominador da outra dá o mesmo resultado. 
Isso é popularmente conhecido como “multiplicar cruzado”:
 Agora você é o dono da Fictícia S.A. e quer que o preço de cada lasanha seja 
diretamente proporcional ao peso. Preencha a tabela abaixo com os preços, 
atendendo a esta condição.
Assim, 350 x = 3360, portanto x = 9,60
350 x = 600 x 5,60
350 5,60=
600 x
EXERCÍCIOS
Tamanho Preço (reais)Peso
350 gramas 5,60
600 gramas 9,60
800 gramas
1 kg
1,2 kg
Pequena
Média
Grande
Família
Superfamília
 Observe o seguinte exemplo: Se 4 torneiras idênticas enchem uma banheira 
em 10 minutos, 6 torneiras idênticas levariam quanto tempo para enchê-la?
 Se você tentar resolver usando a mesma regra da questão anterior, 
provavelmente encontrará o resultado “15 minutos”. Só que isso não faz sentido! 
Se aumentamos o número de torneiras, a banheira deveria ficar cheia mais rápido, 
não acha? 
 O erro ocorreu porque, na I.P., os produtos (e não as razões) devem ser 
constantes. Nesse caso, fazemos o que alguns estudantes chamam de 
“multiplicar paralelo”:
 A maior parte dos livros didáticos mostra alguns “macetes” que envolvem 
cálculos de um valor desconhecido a partir de 5 ou mais dados. Talvez devessem 
chamá-la de “regra de 5” ou coisa parecida. Mas aqui nós queremos que você 
realmente entenda a lógica da proporcionalidade. Então, o que denominamos 
“regra de 3 composta” seria a composição de duas ou mais regras de 3 simples. 
Isso ocorre quando a situação-problema envolve mais de duas variáveis. 
Mostramos um exemplo na Seção ENEM.
 Assim, x = 40 / 6, ou seja, 6 minutos e 4/6. Como “1 / 6” de minuto equivale a 10 
segundos, a resposta correta seria 6 minutos e 40 segundos. 
“Mas, Leo, e se as grandezas 
forem inversamente 
proporcionais?”
“Beleza, Leo, e a regra de três composta?”
Número de torneiras Tempo (minutos)
10
?
4
6
4 x 10 = 6 x
 ~ Calma, pequeno gafanhoto.~
CHAMAAAAAAA
AAAAAAAAAA!!
 Uma indústria fabrica pacotes com 12 rolos de papel higiênico, de 40 metros 
cada, e os vende por 18 reais. Por conta da crise, ela decide que vai manter esse 
preço, mas reduzirá o pacote para 10 rolos com 30 metros cada. 
 Muitos consumidores acabam sendo enganados por esta estratégia que, 
na verdade, representa um aumento no preço do papel. De quantos por cento 
seria este aumento?
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (D.P.) 
Razão constante (fator de proporcionalidade) 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (I.P.) 
Produto constante (fator de proporcionalidade) 
Enchendo a banheira - 
Regra de três, enfim.
ENTENDA MELHOR
EXERCÍCIOS
RESUMÃO
1
2
VAI COMEÇAR! 
https://www.youtube.com/watch?v=Rur-DuLoSzk&t=1s
 Se dobrarmos uma grandeza, o que acontece com a outra?
A)
B)
C)
DOBRA TAMBÉM – Então é D.P.
REDUZ À METADE – Então é I.P.
NEM UMA COISA, NEM OUTRA – Então não há proporção
VEM ENEM!
 Um mapa é a representação reduzida e amplificada de uma localidade. 
Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção 
do espaço representado em delação ao espaço real. 
 Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
 Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do 
tesouro meça 7,6 cm.
A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é:
A) 4 408
B) 7 632
C) 44 080
D) 76 316
E) 440 800
Representação de 
um mapa que foi 
tema de um exercício 
do Enem 2018.
TO BE CONTINUED...
 A definição de “escala” (em um mapa ou qualquer representação gráfica) é bastante 
simples: a razão entre o tamanho do desenho e o tamanho do objeto real. A escala 
deste mapa nos diz que, para encontramos a medida real, devemos multiplicar a 
medida que está no mapa por 58 milhões.
 Mas há um outro detalhe importante: a medida usada no mapa é o centímetro, 
que equivale à centésima parte do metro (1 m = 100 cm). Queremos que a resposta 
esteja medida em quilômetros. O prefixo “quilo” indica mil vezes, ou seja, 
1 km = 1000 m. Portanto, 1 quilômetro equivale a 100 000 centímetros (100 x 1000). 
Assim, 58 milhões de centímetros seriam equivalentes a 580 km (você pode confirmar 
isso por meio de uma regra de três!). 
Em resumo: cada tracinho de 1 cm no mapa equivale a um percurso de 58 km. 
Portanto, para descobrir a medida do segmento de reta devemos multiplicar 580 
por 7,6. A notícia ruim é que não dá pra usar calculadora nas provas do ENEM 
(ao menos, por enquanto). Mas a boa notícia é que não precisamos encontrar o valor 
exato: os autores da prova costumam colocar alternativas não muito próximas, 
exatamente para que o estudante faça o cálculo por aproximação ou arredondamento. 
Por exemplo, poderíamos “arredondar” 580 para 600, e 7,6 para 7,5. Sabemos que 
60 X 7,5 = 4500. Então, é só procurar a alternativa mais próxima deste valor 
(que, neste caso, é a A).
 Alguns medicamentos para felinos s”ao administrados com base na superfície 
corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na 
dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal.
 O quadrado apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, 
e a área de sua superfície corporal, em metros quadrados.
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de:
A) 0,642
B) 52,0
C) 156,0
D) 750,0
E) 1 201,9
Relação entre a massa de um felino 
e a área de sua superfície corporal
Massa (kg) Área (m )2
0,100
0,159
0,208
0,252
0,292
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
 Uma curiosidade: observe que a superfície corporal dos felinos NÃO é proporcional 
à sua massa (caso fosse, a tabela seria desnecessária). No início, a área vai 
aumentando rapidamente, mas à medida que ganha massa, sua superfície tende 
a se estabilizar.
 Pelas informações da tabela, concluímos que a superfície corporal mede 0,208 m². 
Portanto, basta multiplicar este valor por 250 mg, para obter a dose diária do 
medicamento.
 Vale a mesma dica de arredondamento que vimos na questão anterior. No entanto, 
caso você queira encontrar o valor exato, aqui vai uma dica: 250 mg equivale a ¼ de 
1 grama (lembre-se que 1 grama = 1000 mg). Portanto, poderíamos multiplicar 0,208 
por 1000 (o que equivale a deslocar a vírgula 3 casas para a direita) e depois dividir o 
resultado por 4, obtendo 52 (opção B).
MANDA BALA! 
 No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível,
 e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 Km/L de combustível. 
Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de 
combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do 
medidor, conforme figura a seguir:
 Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu 
destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 
187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida.
 Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser 
necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível 
na estrada?
A) 570
B) 500
C) 450
D) 187
E) 150
TÁ ACABANDO...
 Com o tanque cheio, seria possível caminhar 750 km sem parar para 
reabastecer, considerando que o carro faz 15 km por litro de combustível,
 e sua capacidade é de 50 litros.
 No entanto, a imagem mostra que o tanque está apenas ¼ cheio (metade da 
metade). Por isso, daria apenas para percorrer ¼ desta distância, isto é, 
187,5 km.
 Como há um posto no km 187, ou seja, 500 metros antes do limite, a opção 
correta é a D.
(mesmo assim, recomendamos nãofazer isso numa viagem: o carro 
chegaria ao posto com o tanque praticamente vazio!)
CONTAGEM 
REGRESSIVA
 Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 
dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. 
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas 
diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos 
dias seguintes até o término da campanha.
 Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de 
alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
 Este é um problema que envolve 4 variáveis: número de alunos, tempo (dias), 
ritmo de coleta (horas por dia) e quantidade de alimentos (kg). Para tornar a 
explicação mais didática, vamos combinar dois métodos: a redução à unidade e 
a composição de proporções (ou “regra de três composta”).
 A primeira fase da coleta nos traz uma informação importante: 20 alunos em 10 
dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. 
 Com essa informação, podemos reduzir a unidade de arrecadação, passando de 
horas para dias primeiramente:
a) 920 kg
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg
CONTINUA
CONTINUA
CONTINUA
3 horas ---------------------------- 12 kg
20 alunos ------------------------ 4 kg / hora
1 aluno ---------------------- 0,2 kg / hora
(para 20 alunos)
1 hora ------------------------------- x = 4 kg
Depois calculamos o ritmo de coleta por aluno, da seguinte maneira:
Sabendo, portanto, que cada aluno consegue arrecadar 0,2 kg por hora 
trabalhada, podemos obter a solução fazendo o caminho inverso. 
Por exemplo:
Portanto, o total de alimentos arrecadados foi: 12 X 10 + 40 x 20 = 920 kg
Como o ritmo de trabalho aumentou para 4 horas diárias, 
podemos concluir que, na segunda fase da coleta (20 dias), 
foram arrecadados 40 kg de alimentos por dia.
1 aluno ------------------------- x = 0,2 kg / hora
50 alunos ------------------ x = 10 kg / hora
TÁ LÁ 
EMBAIXO!
“Leo possui um barbante...”
A)
B)
C)
Devemos considerar 3 informações:
 x deve ser um número inteiro
 Os dois segmentos horizontais do retângulo medem x
 O comprimento total é 30,5
A soma dos segmentos horizontal e vertical é o que chamamos 
semiperímetro do retângulo, ou seja, metade do comprimento total. 
Nesse caso, 30,5 : 2 = 15,25. Portanto, se o horizontal mede x, o vertical 
é a diferença entre os valores (15,25 – x) .Como a área do retângulo é 
o produto das suas dimensões (vertical e horizontal), a fórmula pode ser 
escrita assim: Área = x (15,25 – x)
Observe, no entanto, que isto fere as condições do problema, que afirma que x 
deve ser um número inteiro. Ou seja, este valor NÃO pertence ao domínio. 
Por isso, sempre que você resolver um problema por meio de uma equação, 
é importante observar se o resultado que você encontrou é válido, de acordo 
com o domínio da sua variável #fikdik
Para obedecer a essa condição, o segmento vertical deveria medir 
a quarta parte de x (ou 0,25 x). Com base no resultado do item b, 
podemos concluir que:
 x + 0,25x = 15,25
1,25 x = 15,25
x = 15,25 / 1,25
x = 12,2
Podemos concluir que 2x deve ser menor ou igual a 30, portanto x é 
menor ou igual a 15. Portanto, o domínio da variável é o conjunto dos 
números inteiros de 1 a 15.
FIM
Depois de termos falado tanto em lasanha, você provavelmente 
deve estar já juntando as moedinhas pra pedir seu lanche, 
acertei? Mas, por falar nisso, você já se questionou quantos 
por cento do seu salário (ou dos seus pais) é gasto com 
alimentação, todo mês? Aliás, o que significa este “por cento” 
que a gente ouve toda hora? Para saber mais, não perca a 
próxima edição, intitulada TRABALHO, PORCENTAGEM E 
PODER DE COMPRA, que será lançada no próximo 
dia 10 de agosto.
Acompanhe o lançamento do próximo capítulo 
nas nossas redes sociais:
Se tiver alguma dúvida, 
mande e-mail:
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