AP3-NC-gabarito-2016-2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – NÚMEROS COMPLEXOS – 2016-2
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [2,5 pontos]
a) 1,0 pt Esboce no plano complexo, a região formada pelos pontos z = x+ iy, tais que 1 < |z| ≤ 2
e y ≥ x2 .
b) 1,5 pts Determine o número complexo
(
1− i
√
3
)6
na sua forma exponencial.
Solução:
a) Note que os valores de z que satisfazem < 1|z| ≤ 2, são aqueles que estão no interiro do anel
delimitado pelas circunferências de raio 1 e 2, sendo que a circunferência de raio 1 não faz parte
pois a |z| > 1. Os valores de z = x+ iy que satisfazem y ≥ x2, saõ aqueles que estão na parábola
y = x2 e acima dela.
1 2
b) Denotando z = 1− i
√
3, vemos que z = 2(
1
2
− i
√
3
2
), |z| = 2 e seu argumento é 5iπ
3
. Assim,
z = 2e
5iπ
3 .
Temos, portanto que z6 = 26e
30iπ
3 = 26e10iπ = 26e2iπ.
Questão 2 [2,5 pontos] Encontre o complexo z pertencente ao quarto quadrante do plano de
Argand-Gauss tal que z7 = 1− i
√
3
NÚMEROS COMPLEXOS AP3 2
Solução: Considerando w = 1− i
√
3 temos |w| = 2 e como w
|w|
=
1
2
− i
√
3
2
, segue que
arg(w) =
5π
3
. Assim, a forma polar de w é dada por
w = 2(cos(
5π
3
+ 2kπ) + i sen(
5π
3
+ 2kπ)).
Assim, temos que z =
7
√
2(cos(
5π
21
+
2kπ
7
) + i sen(
5π
21
+
2kπ
7
)), onde k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Mas, z está situado no 4o quadrante do plano complexo. E, por isso,
3π
2
<
5π
21
+
2kπ
7
< 2π,
donde
63π
42
<
5π + 6kπ
21
<
42π
21
donde
63π
42
<
10π + 12kπ
42
<
84π
42
63π < 10π + 12kπ < 84π
Isto é, 63 < 12k + 10 < 84 ou 53
12
< k < 74
12
. Logo, a solução é k = 5 e 6. Note que para k = 5 o
argumento é 35π
21
e k = 6 o argumento é 41π
21
. Assim, os números complexos z, no quarto quadrante
que satisfaz z7 = 1− i
√
3 são
z1 =
7
√
2(cos(
35π
21
+ i sen(
35π
21
))
e
z2 =
7
√
2(cos(
41π
21
+ i sen(
41π
21
))
Questão 3 [2,5 pontos] Quatro pontos consecutivos A, B, C, D numa circunferência são tais que
as cordas AC e BD se intercectam num ponto E de modo que CÊD = 80◦. Sabendo que CED é
isósceles de base CD, determine os ângulos do triângulo ABC.
Solução: A situação é como indicada na figura abaixo.
A
B
C
D
80
E
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NÚMEROS COMPLEXOS AP3 3
Dado que CED é isósceles, segue que EĈD = ED̂C = 50◦. Note que AB̂D e DĈA delimitam
o mesmo arco de circunferência, logo AB̂D = 50◦. Analogamente BÂC = BD̂C = 50◦. Segue
que ABE é isósceles de base AB. Considere o quadrilátero ABCD. Sabemos que um quadrilátero
ABCD que cumpre as igualdades AB̂D ≡ BD̂C e BÂC ≡ AĈD é um paralelogramo. Como
em todo paralelogramo as diagonais se cortam ao meio, segue que BEC é isosceles de base BC.
Assim EB̂C = EĈB = 40◦. Concluimos portanto que os ângulos do triângulo ABC são  = 50◦,
B̂ = 90◦ e Ĉ = 40◦.
Questão 4 [2,5 pontos] Um poĺıgono regular ABCDE · · · (não sabemos ainda o número de
lados) tem-se que BÂD = 24◦ e CD̂A = 36◦. Determine o número de diagonais desse poĺıgono.
Solução: A situação é como na figura:
A
B C
D
E
24 36
Dado que ABCD é um poĺıgono convexo de 4 lados temos que a soma dos ângulos internos é
Si = 180(4 − 2) = 360◦. Por outro lado, temos que visto que B e C são vértices de um poĺıgono
regular, segue que B̂ = Ĉ = x. Assim, 2x + 24 + 36 = 360 donde x = 150◦, que é a medida de
cada ângulo interno do poĺıgono. Ora, como a medida do ângulo interno de um poĺıgono regular é
180(n− 2)
n
onde n é o número de lados do poĺıgono, segue que
180(n− 2)
n
= 150, ou seja n=12.
O número de diagonais é portanto, d =
12(12− 3)
2
= 54
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