30-11-2020

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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES
Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra do 
produto:
[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x)
ou
f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x) 
 
 
 
 
 
 
 (1)
Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva 
de [f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e 
que é a regra de integração por partes.
Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a 
regra (1) na seguinte forma usual:
 
 
 
 
 
 
Suponha, agora, que se tenha que calcular 
 
 
. Se você perceber que, multiplicando a 
derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função 
que possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.
segunda-feira, 23 de novembro de 2020 17:38
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Exemplos: Calcule as seguintes integrais:
 
 
 
= 1)
 
 
 
= 2)
 
 
 
= 3)
segunda-feira, 23 de novembro de 2020 17:40
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= 4)
 
 
 
= 5)
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= 6)
 
 
 
 7)
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. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: 
 
 
 
 .
Prova: Temos pelo teorema 3 que se P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b é uma 
partição de [a , b], existem em tal que 
 
 
 
 .
Assim, 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
Notas:
A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral 
indefinida, obtidos para x = a e x = b, respectivamente.
•
É possível provar que toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b]. •
Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a , 
b], então:
•
 
 
 
 
É usual denotar a diferença por 
 . Assim,•
 
 
 
 
 
Exemplos: Calcule
1) 
 
 
 "= ... = 
 
 
 " 
Solução: 
 
 
 é uma primitiva de f(x) = x2 e f é contínua em [1 , 2]
Assim, 
 
 
 "= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 " 
 
 
 
segunda-feira, 23 de novembro de 2020 17:44
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= 1)
 
 
 
 = 2)
 
 
 
 = 3)
 
 
 
 
 
 
 
 = 4)
 
 
 
 
 
 
= 5)
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 = 6)
 
 
 
 = 7)
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17:50
Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 
0 e pelo gráfico de f(x) = x
1.
Solução: 
Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 
0 e pelo gráfico de f(x) = x2.
2.
Solução: 
segunda-feira, 23 de novembro de 2020 17:50
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0 e pelo gráfico de f(x) = x2.
Solução: 
Calcule a área do conjunto 
 
 
 .3.
Solução: 
A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 , x = 2 , y = 0 e 
pelo gráfico de 
 
 
 .
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A seguir apresentaremos situações que evidenciam como estender o conceito de área para 
outros subconjuntos do 2.
Como em [a , b] 
 
 
 e
 
 
 
Seja A o conjunto hachurado
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Observe que 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
= soma das áreas 
dos conjuntos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos conjuntos abaixo do eixo Ox.
a) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x3, 
pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1.
4.
Solução: 
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Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 2 e 
pelo gráfico de y = x2.
1)
Represente geometricamente e calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 
 
 
2)
segunda-feira, 30 de novembro de 2020 17:41
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Represente geometricamente e calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y = x 
e y = x2, no intervalo .
3)
Calcule a área entre x = -2 e x = 5 sob o gráfico de: 
 
 
 
 
 
 
4)
Determine também: 
 
 
. O que isto significa?
9) Represente geometricamente e calcule a integral definida 
 
 
 
 
 
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